第一章 集合与函数 概 念
1.1 集 合
1.1.1 集 合 的 含 义 与 表 示
第1课时 集合的含义
掌握几个要点
1.把握一个标准——一组对象能否构成集合的标准考察对象能否构成一个集合,就是要看是否有一个确定的特征(或标准),依此特征(或标准)能确定任何一个个体是否属于这个总体,如果有,则能构成集合,如果没有,就不能构成集合.
2.掌握一组关系——元素与集合的关系元素 a与集合A之间只有两种关系:a∈A,a A.
(1)唯一性:a∈A与a A取决于a是不是集合A 中的元素,只有属于和不属于两种关系.
(2)方向性:符号“∈”“ ”具有方向性,左边是元素,右边是集合.
3.牢记三个性质——集合中元素的三个特性
(1)确定性:给定一个集合,任何一个对象是不是这个集合的元素必须是确定的.其作用为判断一组对象能否组成集合.
(2)互异性:对于给定的一个集合,它的任何两个元素都不相同,相同的对象只能算一个元素.
(3)无序性:集合中的元素没有先后顺序,只要一个集合的元素确定,则这个集合也随之确定,与元素的排列顺序无关.
知识点一 集合的基本概念
1.考察下列每组对象,能组成一个集合的是 ( )
①一中高一年级聪明的学生;
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点;
③不小于3的正整数;
④ 的近似值.
A.①② B.③④
C.②③ D.①③
2.已知集合Ω中的三个元素l,m,n分别是△ABC的三边长,则△ABC一定不是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
3.“notebooks”中的字母构成一个集合,该集合中的元素个数是 ( )
A.5 B.6
C.7 D.8
知识点二 元素与集合的关系
4.给出下列关系:
① ∈R;② R;③|-3|∈N;④|- |∈Q.其中正确的个数为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
5.已知集合 A 中的元素x满足 ,则下列各式正确的是 ( )
A.3∈A且-3 A B.3∈A且-3∈A
C.3 A且-3 A D.3 A且-3∈A
6.用符号“∈”或“ ”填空.
(1)0 N°;(2)l N;(3)1.5 Z;(4)2 Q;(5)2+ R.
知识点三 集合元素特征的应用
7.设x∈R,集合 A 中含有三个元素3 ,x,x -2x.
(1)求实数x应满足的条件;
(2)若-2∈A,求实数x的值.
8.方程 的根组成集合 A.
(1)当A 中有且只有一个元素时,求a的值,并求此元素;
(2)当A中至少有一个元素时,求a满足的条件.45分钟课时作业与单元测试 数学 必修1A
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一、选择题
1.下列各组对象不能构成集合的是 ( )
A.拥有手机的人
B.某校高一(3)班成绩优秀的学生
C.所有有理数
D.小于π的正整数
2.若a 是R中的元素,但不是Q中的元素,则a可以是( )
A.3.14 B. -5
C. D.
3.有下列说法:
①集合 N中最小的数为 1;②若-a∈N,则a∈N;③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为 2;④所有小的正数组成一个集合.
其中正确命题的个数是 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
4.由实数.x,-x, |x|, 及 所组成的集合,最多含有 ( )
A.2个元素 B.3个元素
C.4个元素 D.5个元素
5.已知集合 A 中的元素都是自然数,满足a∈A且4-a∈A的有且只有2个元素的集合A的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
二、填空题
6.用符号“∈”或“ ”填空.
设集合 M中的元素为平行四边形,p表示某个矩形,q表示某个梯形,则p M,q M.
7.以方程 和方程 的根为元素的集合中共有 个元素.
8.集合A中的元素y满足y∈N且 若t∈A,则t的值为 .
三、解答题
9.已知集合 A 是由 2三个元素组成的,且—3∈A,求实数a的值.
10.数集 A 满足条件:若a∈A,则
(1)若2∈A,试求出 A 中其他所有元素;
(2)自己设计一个数属于 A,然后求出 A 中其他所有元素;
(3)从上面的解答过程中,你能悟出什么道理 并大胆证明你发现的“道理”.
1-5CDCBD
6.答案:(1) (2)∈ (3) (4) (5)∈
7.解:(1)根据集合中元素的互异性,可
知
即x≠0且x≠3且x≠-1.
(2)因为 且-2∈A,所以x=-2.
8.解:(1)A中有且只有一个元素,即 2x+1=0有且只有一个根或有两个相等的实根.①当 a=0时,方程的根为 符合题意;②当a≠0时,由Δ=4-4a=0,得a=1,此时方程的两个相等的根为一1.综上,当a=0时,集合 A 中的元素为 当a=1时,集合 A 中的元素为一1.
(2)A中至少有一个元素,即方程 2x+1=0有两个不等实根或有两个相等实根或有一个实根.
①当方程有两个不等实根时,a≠0,且Δ=4-4a>0,
∴a<1且a≠0;
②当方程有两个相等实根时,a≠0,且Δ=4-4a=0,
∴a=1;
③当方程有一个实根时,a=0,
∴2x+1=0, ∴x=- ,符合题意.
由①②③,得当A中至少有一个元素时,a满足的条件是a≤1.
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1-5BDAAC
6.解析:矩形是平行四边形,梯形不是平行四边形,故p∈M,q M.
答案:∈
7.解析:方程 的根是2.3.方程 的根是一1,2.根据集合中元素的互异性知,以两方程的根为元素的集合中共有3个元素.
答案:3
8.解析:由题意,知l∈N且 故1=0或 1.
答案:0或1
9.解:由-3∈A,可得-3=a-2或-3= 或
当a=-1时,a-2=-3,
,不满足集合中元素的互异性,故 a=-1舍去.
当 时,
满足题意.
∴实数a的值为
10.解:(1)2∈A,则
即-1∈A,则 即 则
即 2∈A,所以 A 中其他所有元素为
(2)如:若3∈A,则A中其他所有元素为 (答案不唯一).
(3)分析以上结果可以得出:A 中只能有3 个元素,它们分别是 且三个数的乘积为-1.
证明如下:
若a∈A,a≠1,则有 且 所以又有 且 进而有
又因为 (因为若 则。 a+1=0.而方程( 无解).且 所以A中只能有3个元素,它们分别是 且三个数的乘积为-1.