专题7.1平面直角坐标系 知识讲解（含解析）2023-2024学年七年级数学下册人教版专项讲练

专题7.1 平面直角坐标系（知识讲解）
【学习目标】
1．理解平面直角坐标系概念，能正确画出平面直角坐标系．
2．能在平面直角坐标系中，根据坐标确定点，以及由点求出坐标，掌握点的坐标的特征．
3．由数轴到平面直角坐标系，渗透类比的数学思想．
【要点梳理】
要点一、有序数对
定义：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作．
特别说明：：
有序，即两个数的位置不能随意交换，与顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是6排7号，可以写成的形式，而则表示7排6号．
要点二、平面直角坐标系与点的坐标的概念
1． 平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系．水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点（如图1）．
特别说明：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的．
2． 点的坐标
平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对叫做点P的坐标，记作：，如图2．
特别说明：：
（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开．
（2）点中，表示点到y轴的距离；表示点到x轴的距离．
（3）对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对和它对应，反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．
要点三、坐标平面
1． 象限
建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图．
特别说明：：
（1）坐标轴x轴与y轴上的点（包括原点）不属于任何象限．
（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方．
2． 坐标平面的结构
坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限． 这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点．
要点四、点坐标的特征
1．各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律
点的位置 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 x轴 y轴 原点
横坐标符号 + - - + 任意数x 0 0
纵坐标符号 + + - - 0 任意数y 0
点的坐标符号 （+，+） （-，+） （-，-） （+，-）
特别说明：：
（1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上．
（2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0．
（3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况．
2．象限的角平分线上点坐标的特征
第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为；
第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为．
3．关于坐标轴对称的点的坐标特征
关于x轴对称的点的坐标为；
关于y轴对称的点的坐标为；
关于原点对称的点的坐标为．
4．平行于坐标轴的直线上的点
平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；
平行于y轴的直线上的点的横坐标相同．
要点五、两点之间距离公式及中点坐标
（1）两点之间距离公式：已知在平面内两点，其两点间的距离＝；
（2）中点坐标公式：已知在平面内两点则其中点坐标，则有．
【典型例题】
类型一、平面直角坐标系 有序对 表示位置 表示路线
1．中国象棋棋盘中蕴含着平面直角坐标系，如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走例如：图中“马”所在的位置可以直接走到点A、B处．
(1)如果“帅”位于点（0，0），“相”位于点（4，2），则“马”所在的点的坐标为______，点C的坐标为______，点D的坐标为______．
(2)若“马”的位置在C点，为了到达D点，请按“马”走的规则，在图中画出一种你认为合理的行走路线，并用坐标表示．
举一反三：
【变式1】
2．如图所示，一方队正沿箭头所指的方向前进
（1）A的位置为第三列第四行，表示为（3，4），那么B的位置是____________．
A． B． C． D．
（2）B左侧第二个人的位置是____________．
A． B． C． D．
（3）如果队伍向东前进，那么A北侧第二个人的位置是____________．
A． B． C． D．
（4）表示的位置是____________．
A．A B．B C．C D．D
【变式2】
3．根据指令(s，A)(说明：s≥0，单位：厘米；0°≤A＜180°)，机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度A，再朝其面对的方向沿直线行走距离s，若机器人站在点M处，面对的方向如图所示．
（1）给机器人下了一个指令(2，60°)，机器人移动到了B点，请你画出机器人从M点到B点的运动路径；
（2）若机器人从M点运动到了C点，则给机器人下了一个什么指令？
类型二、平面直角坐标系 建系 点的坐标 点的位置 面积
4．如图，已知直角梯形，，，，建立适当坐标系，写出四个顶点的坐标．
举一反三：
【变式1】
5．如图，正方形和正方形，在边长为1的正方形格点上建立平面直角坐标系，使点B、C的坐标分别为和，写出点A、D、E、F、G的坐标．
【变式2】
6．已知平面直角坐标系中有一点
(1)点M到x轴的距离为1时，M的坐标？
(2)点且轴时，M的坐标？
7．已知点，若点的纵坐标比横坐标大6，求点到轴和轴的距离．
举一反三：
【变式1】
8．已知点，试分别根据下列条件，求点的坐标．
(1)点在轴上；
(2)点到两坐标轴的距离相等．
【变式2】
9．已知，平面直角坐标系中有一点．
(1)点在二、四象限的角平分线上，求点的坐标；
(2)点到轴的距离为2时，求点的坐标．
类型三、平面直角坐标系 平移 轴对称 求值 证明
10．根据图中各点的位置填表．
点 坐标 所在象限或坐标轴
A
B
C
D
E
F
G
O
举一反三：
【变式1】
11．若x，y为实数，且满足．
(1)如果实数x，y对应为平面直角坐标系上的点，则点A在第几象限？
(2)求的值？
【变式2】
12．已知点，以点A为坐标原点建立直角坐标系．
(1)求a，b的值；
(2)判断点、点所在的位置．
13．已知平面直角坐标系中有一点．
(1)若点P在第四象限，求m的取值范围；
(2)若点P到y轴的距离为3，且点P在第三象限，求点P的坐标．
举一反三：
【变式1】
14．已知平面直角坐标系中有一点P（2m+1，m﹣3）．
(1)若点P在第四象限，求m的取值范围；
(2)若点P到y轴的距离为3，求点P的坐标．
【变式2】
15．已知：点P．试分别根据下列条件，求出P点的坐标．
(1)点P在y轴上；
(2)点P在x轴上；
(3)点P的横坐标比纵坐标大1．
中考真题专练：
16．坐标平面内有个点为．
(1)建立坐标系，描出这4个点；
(2)顺次连接，组成四边形，求四边形的面积．
17．如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，．
(1)在平面直角坐标系中画出．
(2)已知P为y轴上一点，若的面积为5，求点P的坐标．
18．如图，在平面直角坐标系中，有点，点，点．
(1)若，，求的面积．
(2)若在第二象限，轴，线段交y轴于点．
①判断的形状，并说明理由．
②沿x轴正方向平移，使点B与原点重合，得到，求四边形的面积．
19．如图，在下面直角坐标系中，已知，，三点，其中、、满足关系式和．
(1)求、、的值；
(2)如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积；
(3)在（2）的条件下，是否存在点，使得四边形的面积与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．在平面直角坐标系中，某点按向下、向右、向上、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其运动路线如图所示，根据图形规律，解决下列问题．
(1)点的坐标为___________，点的坐标为___________，点的坐标为___________，点的坐标为___________．
(2)直接写出点到点的距离：___________．
21．如图，在平面直角坐标系中，设一点自处向上运动个单位长度至，然后向左运动个单位长度至处，再向下运动个单位长度至处，再向右运动个单位长度至处，再向上运动个单位长度至处，…，如此继续运动下去，设
(1)分别计算和的值．
(2)计算的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．(1)，，
(2)路线见解析，走路线为
【分析】（1）结合图示，确定原点，再根据题意求出点的位置；
（2）结合图示，确定原点，再根据题意求出马走的路线．
【详解】（1）解：∵“帅”位于点（0，0），“相”位于点（4，2），
∴“马”所在的点的坐标为（-3，0），
点C的坐标为（1，3），
点D的坐标为（3，1）．
故答案为，，．
（2）解：以 “帅”为（0，0），则“马”走的路线为，
如图：
．
【点睛】本题考查了用有序数对解决实际问题的能力和阅读理解能力．解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置．
2．（1）A；（2）A；（3）B；（4）C
【分析】根据A在第三列第四行，用表示，可知用有序数对表示点的位置时，列号在前，行号在后，据此解答即可．
【详解】解：（1）在第四列第五行，用有序数对表示点B，故选A．
（2）B左侧第二个人的位置在第二列第五行，用表示，故选A．
（3）由队伍向东前进，可知左侧为北，A北侧第二个人的位置为，故选B．
（4）表示的位置是第四列，第三行，即C的位，置故选C．
【点睛】本题考查了利用数对表示位置，解题的关键是正确理解题意、明确点所在的列数与行数．
3．（1）见解析（2）指令(3，20°)
【分析】（1）首先弄懂(2，60°)表示的意思：先原地逆时针旋转60°，再朝其面对的方向沿直线行走2厘米，据此画图；
（2）根据图形看出s和A的值．
【详解】（1）如图：
（2）给机器人的指令是（3，20°）．
【点睛】本题考查了用角度和距离表示物体的位置，关键是理解题意，弄懂(2，60°)表示的意思，先原地逆时针旋转60°，再朝其面对的方向沿直线行走2厘米．
4．坐标系见解析，，，，
【分析】以点B为坐标原点建立平面直角坐标系，然后写出各点的坐标即可．
【详解】解：建立平面直角坐标系如图，
∵，，，
∴，，，．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了平面直角坐标系的建立与点的坐标，根据原点的不同选择，答案也不一致．
5．建立平面直角坐标系见解析，
【分析】根据B、C的坐标建立正确的平面直角坐标系，然后写出对应点的坐标即可．
【详解】解：如图所示坐标系即为所求，．
【点睛】本题主要考查了写出坐标系中点的坐标，正确建立坐标系是解题的关键．
6．(1)
(2)或
【分析】（1）根据题意可知，从而可以得到m的值，进而得到点M的坐标；
（2）根据题意可知点M的纵坐标等于点N的纵坐标，从而可以得到m的值，进而得到点M的坐标．
【详解】（1）∵点，点M到x轴的距离为1，
∴，
解得，或，
当时，点M的坐标为，
当时，点M的坐标为；
（2）∵点，点且轴，
∴，
解得，，
故点M的坐标为．
【点睛】本题考查了点的坐标，解题的关键是明确题意，求出m的值．
7．点到轴的距离为4，到轴的距离为2
【分析】由点的纵坐标比横坐标大6求出，即可得到点P的坐标．
【详解】解：∵点的纵坐标比横坐标大6，
∴，
解得，
∴，，
∴点的坐标为，
所以点到轴的距离为4，到轴的距离为2．
【点睛】此题考查了点的坐标和点到坐标轴的距离，根据题意列出方程求出m的值是解题的关键．
8．(1)点的坐标为
(2)点的坐标为或
【分析】（1）根据横坐标为0列方程求出的值，再求解即可；
（2）根据点到两坐标轴的距离相等，横坐标与纵坐标相等或互为相反数列方程求出的值，再求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，
解之得，，
，
点的坐标为，
故点在轴上时，点的坐标为；
（2）解：根据题意得：或，
解之得：或，
或，
点的坐标为或．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了平行于轴的直线上的点的坐标特征，难点在于（2）要考虑两种情况．
9．(1)
(2)或
【分析】（1）根据第二、四象限的角平分线上的横坐标、纵坐标互为相反数求解即可得；
（2）根据题意可知，从而可以得到的值，进而即可得点的坐标．
【详解】（1）解：点在二、四象限的角平分线上，
，
解得，
，
点的坐标为．
（2）解：点到轴的距离为2，
，
解得或，
或，
点的坐标为或．
【点睛】本题考查了点的坐标、点到坐标轴的距离，熟练掌握在角平分线上的点的坐标的特征是解题关键．
10．表格见详解
【分析】根据平面直角坐标系可直接进行求解．
【详解】解：由坐标系可完成表格如下：
点 坐标 所在象限或坐标轴
A 第一象限
B 第二象限
C 第三象限
D x轴
E 第四象限
F 第四象限
G y轴
O 坐标原点
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标及象限是解题的关键．
11．(1)点A在第四象限
(2)
【分析】（1）根据非负数的和为0，每一个非负数均为0，求出的值，根据点的符号特征，即可判断出点A所在象限；
（2）将的值，代入代数式进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，，
解得：，；
∴，在第四象限；
（2）解：∵，，
∴．
【点睛】本题考查非负性．熟练掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，是解题的关键．同时考查了象限点的符号特征，以及有理数的乘方运算．
12．(1)a＝3，b＝ 1
(2)B（2， 4）在第四象限；C（0， 1）在y轴的负半轴上且到x轴的距离为1．
【分析】（1）根据点A为原点，则点A的横纵坐标都为0，解答即可；
（2）把a＝3，b＝ 1分别代入B，C即可求解．
【详解】（1）解：∵点A为原点，
∴a 3＝0，2b＋2＝0，
解得：a＝3，b＝ 1；
（2）解：把a＝3，b＝ 1代入点B得：2a 4＝2×3 4＝2，3b 1＝3×（ 1） 1＝ 4，
∴B（2， 4）在第四象限；
把a＝3，b＝ 1代入点C得： a＋3＝ 3＋3＝0，b＝ 1，
∴C（0， 1）在y轴的负半轴上且到x轴的距离为1．
【点睛】本题考查了点的坐标，解题的关键是掌握x轴，y轴上点的坐标特征．
13．(1)
(2)
【分析】（1）直接利用第四象限内点的坐标特点分析得出答案；
（2）利用点到轴的距离为3，得出的值．
【详解】（1）解：由题知，
解得：；
（2）解：由题知，
解得或．
当时，得；
当时，得．
因为点P在第三象限，
所以点P的坐标为．
【点睛】此题主要考查了点的坐标，熟练掌握点在各象限内的特点以及点到坐标轴的距离是解题关键．
14．(1)＜m＜3；
(2)点P的坐标为（3，﹣2）或（﹣3，﹣5）．
【分析】（1）直接利用第四象限内点的坐标特点分析得出答案；
（2）利用点P到y轴的距离为3，得出m的值．
【详解】（1）解：由题知，
解得：；
（2）解：由题知|2m+1|＝3，
解得m＝1或m＝﹣2．
当m＝1时，得P（3，﹣2）；
当m＝﹣2时，得P（﹣3，﹣5）．
综上，点P的坐标为（3，﹣2）或（﹣3，﹣5）．
【点睛】此题主要考查了点的坐标，熟练掌握点在各象限内的特点以及点到坐标轴的距离是解题关键．
15．(1)(0，-3)
(2)(6，0)
(3)( 4， 5)
【分析】（1）根据y轴上的点横坐标为零解答即可；
（2）根据x轴上的点纵坐标为零解答即可；
（3）根据点P的横坐标大于纵坐标大1，列方程解答即可．
【详解】（1）∵点P在y轴上，
∴2m+4=0，
解得：m= 2，
∴m 1= 3，
则P点坐标为(0，-3)；
（2）∵点P在x轴上，
∴m 1=0，
解得：m=1，
∴2m+4=6，
则P点坐标为(6，0)；
（3）∵点P的横坐标大于纵坐标大1，
∴m 1=(2m+4)-1，
解得：m= 4，
∴2m+4= 4，m 1= 5，
则P点坐标为( 4， 5)．
【点睛】本题主要考查了坐标轴上点的特征，根据坐标特点列一元一次方程是解题的关键．
16．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，画出坐标系，然后描点即可求解；
（2）用矩形围住四边形，用矩形的面积减去4个三角形的面积即可求解．
【详解】（1）坐标系及4个点的位置，如图所示；
（2）如图，用矩形围住四边形，则
．
【点睛】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)P点坐标为或
【分析】（1）在坐标系中描出A、B、C三个点，依次连接这三个点即可；
（2）由题意可求得，则由点A的坐标即可求得点P的坐标．
【详解】（1）如图所示．
（2）因为P为y轴上一点，的面积为5，
可得，解得：．
则点P的纵坐标为：或．
故P点坐标为或．
【点睛】本题考查了坐标与图形，正确描点、由条件求得是解题的关键．
18．(1)6
(2)①等腰直角三角形，理由见解析；②
【分析】（1）由A、B的坐标可得的长度，由点C的坐标即可求得的面积；
（2）①由A、E的坐标可得，，由轴，即可得，从而，即可得的形状；
②由四边形的面积的面积的面积，即可求得．
【详解】（1）解：∵，，
，
，
，
；
（2）①结论：△ABC是等腰直角三角形．
理由：，
，
，
，轴，
，
，
是等腰直角三角形；
②四边形的面积的面积的面积
．
【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰直角三角形的判定，求图形面积等知识，熟悉这些知识是关键．
19．(1)
(2)
(3)存在点，使得四边形的面积与的面积相等
【分析】（1）根据非负数的性质进行求解即可；
（2）根据进行求解即可；
（3）先求出，进而得到关于m的方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解；∵，，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（3）解；∵，
∴轴，
∴，
∵四边形的面积与的面积相等，
∴，
∴，
∴，
∴存在点，使得四边形的面积与的面积相等．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，非负数的性质，熟练掌握非负数的性质，灵活运用分割法求面积是解题的关键．
20．(1)；；；
(2)1012
【分析】（1）根据题意可得点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；……由此发现规律，即可求解；
（2）根据，可得点的坐标为，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
……
由此发现，点的坐标为；
故答案为：；；；；
（2）解：∵，
∴点的坐标为，即，
∵点的坐标为，
∴点到点的距离1012．
故答案为：1012
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系，点的坐标的规律题，明确题意，准确得到点的坐标为是解题的关键．
21．(1)，
(2)
【分析】（1）根据题意求得，即可求解；
（2）通过求解，找到规律，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知，，，，，，，，
，，，，的值分别为1，，，3；3，3，，，
故，
．
（2）∵，
，
…
，
所以．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中找规律，先写出前面几个点的坐标，发现规律是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页