专题7.3平面直角坐标系 巩固篇 专项练习（含解析）2023-2024学年七年级数学下册人教版专项讲练

专题7.3 平面直角坐标系（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．小明从学校出发往东走，再往南走即可到家，如果以学校位置为原点，以正北、正东为正方向，那么小明家的位置用有序数对表示为（ ）
A． B． C． D．
2．根据下列表述，能够确定具体位置的是（　　）
A．北偏东25°方向
B．距学校800米处
C．国家大剧院音乐厅4排
D．东经116°20″北纬39°56″
3．如图，已知∠AOC=30°，∠BOC=150°，OD平分∠BOA，若点A可表示为（2，30°），点B可表示为（3，150°），则点D可表示为（ ）
A．（4，75°） B．（75°，4） C．（4，90°） D．（4，60°）
4．若点P是第二象限内的点，且点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，则点P的坐标是 （ ）
A．（－4，3） B．（4，－3） C．（－3，4） D．（3，－4）
5．在平面直角坐标系中，点B（2，－3）到x轴的距离为（ ）
A．－2 B．2 C．－3 D．3
6．若点在第一象限，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．在平面直角坐标系中，有三点，其中点A落在y轴上，P为直线AB上的一动点，若PC连线的长度最短，此时点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．已知点位于二象限的角平分线上，则a的值为（ ）
A．3 B． C． D．
9．已知是平面直角坐标系内一点，点与的连线平行于轴，则，两点间的距离为( )
A． B． C． D．
10．如图，动点从出发，沿图中所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边的夹角为，第1次碰到长方形边上的点的坐标为，则第33次碰到长方形边上的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，若“帅”位于点，“马”位于点，则“兵”位于点 ．
12．如果用(8，3)表示8排3号，那么(5，2)表示 ，10排15号表示为 ．
13．若点(3a－6,2a＋10)是y轴上的点，则a的值是 ．
14．已知点，，轴，轴，则点C的坐标是 ．
15．若关于x的方程的解为负数，则点（m，m+2）在第 象限．
16．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B、C的坐标分别为（），（），（），若△ABO的面积为△ABC面积的3倍，则m的值为 ．
17．如图，将正方形放在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，则点的坐标为 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，在y轴上，，对角线的垂直平分线交于点E，交于点D．若y轴上有一点P（不与点C重合），能使是以为腰的等腰三角形，则点P的坐标为 ．
三、解答题
19．如图，在平面直角坐标系中的位置如图所示，点都落在网格的顶点上．
(1)请写出点的坐标；
(2)把先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到对应的，在平面直角坐标系中画出；
(3)求的面积．
20．已知点，解答下列各题：
(1)若点P在x轴上，则点P的坐标为P____________；
(2)若，且轴，则点P的坐标为P____________；
(3)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值．
21．如图，用表示点A的位置，用表示点B的位置，那么：
(1)画出直角坐标系；
(2)分别写出D、E、F的坐标；
D（ ）E（ ）F（ ）
(3)求三角形的面积．
22．如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足．
(1)填空：______，________；
(2)若存在一点，点M到x轴距离_______，到y轴距离_______，求的面积（用含m的式子表示）；
(3)在（2）条件下，当时，在y轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，请求出点P的坐标．
23．综合与实践：
(1)动手探索在平面直角坐标系内，已知点，，，，连接，，，，，并依次取，，，，的中点，，，，，分别写出，，，的坐标；
(2)观察归纳以上各线段两端点的横、纵坐标与该线段中点的横、纵坐标之间的对应关系，猜想：若线段两端点坐标分别为、，线段的中点是，请用等式表示你所观察的规律 ，并用，的坐标验证规律是否正确 （填“是”或“否” ；
(3)实践运用利用上面探索得到的规律解决问题：
①若点，点，则线段的中点的坐标为 ；
②已知点是线段的中点，且点，，求点的坐标．
24．已知点A（1，a），将线段OA平移至线段CB（A的对应点是B点），B（b，0），a是m+6n的算术平方根，＝3，n＝，且m＜n，正数b满足．
(1)求出：A、B、C三点坐标．
(2)如图1，连接AB、OC，求四边形AOCB的面积；
(3)如图2，若∠AOB＝α，点P为y轴正半轴上一动点，试探究∠CPO与∠BCP之间的数量关系．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，再确定位置即可．
【详解】解：学校大门所在的位置为原点，分别以正东、正北方向为x，y轴正方向建立平面直角坐标系，
所以学校大门的坐标是(0，0)，小明家的坐标是(300，-200)，
故选：C．
【点睛】主要考查了直角坐标系的建立和运用，解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置．
2．D
【分析】根据确定一个点的具体位置的方法判断即得．确定一个点的具体位置的方法是确定点所在的方向和距离，或用有序数对．
【详解】A. 北偏东25°方向不能确定一个点的具体位置，缺少距离，故此选项错误；
B. 距学校800米处不能确定一个点的具体位置，缺少方向，故此选项错误；
C. 国家大剧院音乐厅4排不能确定一个点的具体位置，应具体到8排几号，故此选项错误；
D. 东经116°20″北纬39°56″可以确定一个点的具体位置，故此选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查确定位置的方法，熟练掌握确定一个点的具体位置是解题的关键．
3．C
【分析】根据角平分线的性质得出∠AOD=∠BOD=60°，进而得出∠DOC的度数，利用A，B两点坐标得出2，4代表圆环上数字，角度是与CO边的夹角，根据∠DOC的度数，以及所在圆环位置即可得出答案．
【详解】解：∵∠BOC=150°，∠AOC=30°，
∴∠AOB=120°，
∵OD为∠BOA的平分线，
∴∠AOD=∠BOD=60°，
∴∠DOC=∠AOD+∠AOC=60°+30°=90°，
∵A点可表示为（2，30°），B点可表示为（3，150°），
∴D点可表示为：（4，90°）．
故选：C
【点睛】此题主要考查了点的坐标性质以及角平分线的性质，根据已知得出A点，B点所表示的意义是解决问题的关键．
4．C
【分析】根据直角坐标系内的坐标特点即可求解．
【详解】∵点P到x轴的距离是4，
∴纵坐标为±4，
∵点P到y轴的距离是3，
∴横坐标为±3，
∵P是第二象限内的点
∴,
故选C．
【点睛】此题主要考查直角坐标系的坐标特点，解题的关键是熟知直角坐标系的点的坐标特点．
5．D
【分析】根据点的纵坐标的绝对值是点到x轴的距离即可解答．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点B（-2，-3）到x轴的距离为3．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了点的坐标，熟练掌握点的纵坐标的绝对值是点到x轴的距离是解答本题的关键．
6．D
【分析】直接利用点在第一象限得出ab＞0，a≠0，即可得出点B所在象限．
【详解】解：∵点在第一象限，
∴＞0，
∴ab＞0，a≠0，
∴-a2＜0，
则点在第四象限．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确得出横纵坐标的符号是解题关键．
7．B
【分析】先根据点A在y轴上求出m，从而可得，结合数轴可知当当CP⊥x轴时，CP长度最小，求出点P的坐标即可．
【详解】解：∵点在y轴上，
∴m-1=0
解得m=1，
∴
如图所示，∵点P是直线AB上的动点，
∴当CP⊥x轴时，CP长度最小，
∴点P(4，3)．
故选：B．
【点睛】本题考查坐标轴上点的坐标特征，垂线段最短等知识点，解题关键是理解x轴上点的纵坐标为0，y轴上点的横坐标为0．
8．C
【分析】根据二、四象限的角平分线上点的坐标特征得到，然后解方程即可．
【详解】解：根据题意得，
解得．
故选：C．
【点睛】本题考查了点的坐标，二四象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数，一三象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等．
9．D
【分析】根据平行于轴的直线上的点坐标特征得到，解得，所以，然后计算点，的横坐标之差即可．
【详解】点与的连线平行于轴，
，
解得，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查两点间的距离：平行于轴的直线上的点的纵坐标相等，则两点之间的距离等于横坐标之差的绝对值．
10．B
【分析】通过分析观察，总结出图形变化规律为每碰撞6次回到起始点，所以，，则第33次碰到长方形边上的点的坐标与第3次碰到长方形边上的点的坐标一样，即可求解．
【详解】解：观察图1可知，第1次碰到长方形边上的点的坐标为，第2次碰到长方形边上的点的坐标为，第3次碰到长方形边上的点的坐标为，第4次碰到长方形边上的点的坐标为，第5次碰到长方形边上的点的坐标为，第6次碰到长方形边上的点的坐标为，第7次碰到长方形边上的点的坐标为，
所以每碰撞6次回到起始点，
因为，
所以第33次碰到长方形边上的点的坐标为．
故选：B．
【点睛】本题考查图形规律探究，通过分析观察，总结出图形变化规律是解题的关键．
11．（-2，2）
【分析】根据“帅”和“马”的位置，可确定原点O的位置，即可得答案．
【详解】解：如下图，
∵“帅”位于点(0， 1)，“马”位于点(3， 1)，
∴原点O的位置如上图，
∴“兵”位于点（-2，2），
故答案为：（-2，2）．
【点睛】本题考查了平面上物体位置的确定，解题的关键是确定原点O的位置．
12． 5排2号 (10，15)
【分析】根据有序数对（a，b），a表示排，b表示号，可得答案．
【详解】解：用（8，3）表示电影院的座位号是8排3号，那么（5，2）表示 5排2号；10排15号可表示为 （10，15），
故答案为5排2号；（10，15）．
【点睛】本题考查坐标确定位置，利用有序数对（a，b），a表示排，b表示号是解题关键．
13．2
【分析】根据y轴上的点的坐标特征得关于a的方程：3a－6＝0，解方程就可求出a的值.y轴上的点横坐标为0.
【详解】∵点A(3a－6，2a＋10)在y轴上，
∴3a－6＝0，
解得，a＝2.
【点睛】本题主要考查坐标轴上的点的坐标特征，是一道基础题，记住特征是解答本类题的关键.y轴上的点横坐标为0，x轴上的点纵坐标为0，反之也成立.
14．
【分析】根据直线x轴，点的纵坐标相同；根据直线y轴，点的横坐标相同；确定坐标即可．
【详解】因为点，轴，
所以点C的纵坐标为6；
因为， 轴，
所以点C的横坐标为3；
所以点C的坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行坐标轴的点的坐标特点，熟练掌握坐标的特点是解题的关键．
15．三
【分析】把m看作常数，根据一元一次方程的解法求出x的表达式，再根据方程的解是负数列不等式并求解即可．
【详解】由，得
x=2+m．
∵关于x的方程的解是负数，
∴2+m＜0，
解得m<-2
∴(m，m+2)在第三象限
故答案是：三．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解与解不等式，把m看作常数求出x的表达式是解题的关键．
16．或
【分析】由A,B点的横坐标相等，得出ABy轴，AB=6，点C到AB的距离为，根据△ABO的面积为△ABC面积的3倍，建立方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵A、B、C的坐标分别为（），（），（），
∴ABy轴，AB=6，
点C到AB的距离为
∵若△ABO的面积为△ABC面积的3倍，
∴
即
解得或
故答案为：或
【点睛】本题考查了坐标与图形，两点之间的距离，点到直线的距离，正确建立方程是解题的关键．
17．
【分析】过点作轴于，过点作交的延长线于点，设交轴于点，证明，求出，即可解得．
【详解】如图，过点作轴于，过点作交的延长线于点，设交轴于点，
，
四边形为正方形，
，，
，
又，
，
≌，
，，
点的坐标为，
，，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是图形与坐标，正方形的性质，三角形全等的判定与性质，掌握利用垂直证明三角形全等是解题的关键．
18．，，
【分析】设，根据勾股定理求出m的值，得到点，设点P坐标为，根据勾股定理列出方程，即可得到答案．
【详解】∵对角线的垂直平分线交于点E，
∴，
∵，
，
∴，
，
∴设，则，，
∴在中，，即：，
解得： ，
∴，
设点坐标为，
∵是以为为腰的等腰三角形，
当，则，解得： ，
当，则 ，解得： ，
∴点的坐标为，，，
故答案是：，，．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，勾股定理，矩形的性质，垂直平分线的性质，掌握勾股定理，列出方程，是解题的关键．
19．(1)
(2)见解析
(3)的面积为
【分析】（1）由三顶点在坐标系中的位置即可得出答案；
（2）分别作出三个顶点平移后的对应点，再首尾顺次连接即可；
（3）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积即可．
【详解】（1）解：由图知；
（2）解：如图所示，′即为所求
（3）解：△ABC的面积为．
【点睛】本题主要考查作图—平移变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意列出方程即可解决问题；
（2）根据题意列出方程即可解决问题；
（3）根据题意列出方程得出a的值代入即可得到结论．
【详解】（1）由题意可得：，
解得：，
∴ ，
所以点P的坐标为，
故答案为：；
（2）根据题意可得：，
解得：，
∴，
所以点P的坐标为，
故答案为：；
（3）根据题意可得：，
解得：，
∴，，
把代入．
【点睛】本题考查坐标与图形的变化，一元一次方程等知识，解题的关键是熟记各象限内与坐标轴上点的坐标的特点．
21．(1)画图见解析
(2)2，2；5，3；1，4
(3)
【分析】（1）根据坐标与象限的关系，建立直角坐标系，将(0，0)、(3，1)表示在直角坐标系中即可；
（2）根据（1）建立的直角坐标系，找出点D、E、F的坐标；
（3）用割补法解题，△DEF的面积等于梯形面积减去两个直角三角形面积即可解题．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求：
（2）解：根据（1）建立的直角坐标系，得
D（2，2），E（5，3），F（1，4）；
故答案为：2，2；5，3；1，4．
（3）解：=
=
=．
【点睛】此题考查了坐标与图形的性质，解题的关键是结合已知点的坐标，正确的建立平面直角坐标系．
22．(1)，3
(2)，2，
(3)或
【分析】（1）可将变形为，再根据平方和绝对值的非负性即可求出a和b的值；
（2）由M点坐标即可直接得出点M到x轴距离为，到y轴距离为．又可求出，即可利用三角形面积公式求出；
（3）将代入，得．设，则．即得出，解出t的值，即得出点P的坐标．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，解得：．
故答案为：，3；
（2）∵，
∴点M到x轴距离为，到y轴距离为．
由（1）可知，，
∴，
∴．
故答案为：，2，；
（3）当时，．
设，
∴．
∵，
∴，
解得：，
∴或．
【点睛】本题考查非负数的性质，点到坐标轴的距离，坐标与图形．利用数形结合的思想是解题关键．
23．(1)，，，
(2)；是
(3)①；②
【分析】、
（1）根据图形可以直接读取坐标即可得到答案；
（2）根据观察得到规律并写出等式，再利用B、C、D、G、I五点坐标即可验证所得规律，得到答案；
（3）①根据（2）中发现的规律，即可得到线段的中点的坐标；
②设点的坐标为，根据根据（2）中发现的规律解方程求解即可得到点的坐标．
【详解】（1）解：根据图形可以直接读取各点坐标，，，，，，
，，，的坐标分别为：，，，；
（2）解：根据各点坐标可以发现，线段中点坐标的纵坐标值为线段两端点纵坐标和的一半，线段中点坐标的横坐标值为线段两端点横坐标和的一半，
、，线段的中点是，
，
，，，，，、分别为线段、的中点，
检验得，，，
通过，的坐标验证规律是正确的，
故答案为：；是；
（3）解：①点，点，
根据（2）中发现的规律，线段的中点的坐标为，
故答案为：；
②设点的坐标为，
点是线段的中点，且点，，
，
，
点的坐标为．
【点睛】本题考查了坐标与图形，探索规律，通过观察得到线段中点坐标与线段两端点坐标的对应关系是解题关键．
24．(1)A（1，3），B（3，0），C（2，-3）
(2)9
(3)∠BCP﹣∠CPO＝90°﹣
【分析】（1）根据算术平方根、二次根式和偶次幂确定出点A、B的坐标，然后确定出平移方式，即可确定点C的坐标；
（2）根据平移的性质和三角形的面积解答即可；
（3）过点P作PDOA，可证得PDOABC，由平行线的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：∵a是m+6n的算术平方根，＝3，n＝，且m＜n，正数b满足．
∴m＝﹣3，n＝2，b＝3，
∴m+6n=9
∴a＝3，
∴A（1，3），B（3，0），
点A与点B为对应点，点B由点A平移得到，
∴平移方式为：先向下平移3个单位，然后再向右平移2个单位，
点O的对应点为点C，平移后的点的坐标为（2，-3），
故答案为：A（1，3）；B（3，0）；C(2，-3)；
（2）如图1所示：
由（1）知：C（2，﹣3），
∵B（3，0），
∴OB＝3，
∴，
故答案为：9；
（3）过点P作PDOA，如图2所示：
∵OA平移至CB，
∴OABC，
∴PDOABC，
∴∠BCP＝∠DPC，∠DPO＝∠AOP．
∵∠AOB＝ ，
∴∠AOP＝90°﹣∠AOB＝90°﹣ ．
∴∠DPO＝90°﹣ ．
∵∠DPC＝∠DPO+∠CPO，
∴∠BCP＝∠CPO+90°﹣ ，
即∠BCP﹣∠CPO＝90°﹣ ，
故答案为：∠BCP﹣∠CPO＝90°﹣ ．
【点睛】本题考查了算术平方根，二次根式的计算，线段平移的性质，三角形计算面积，平行的“传递性”以及平行的性质定理，注意图形变化的综合应用题目，要熟记图形的性质和概念．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页