(共23张PPT)
第五章
2.1 实际问题的函数刻画 2.2 用函数模型解决实际问题
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A 级 必备知识基础练
1.根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为
(A,c为常数).已知工人组装第4件产品用时30 min,组装第A件产品用时15 min,那么c和A的值分别是( )
A.75,25 B.75,16 C.60,25 D.60,16
D
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2.在如图所示的三角形空地中,欲建一个如图所示的内接矩形花园(阴影部分),则该矩形花园的面积的最大值为( )
A.120
B.210
C.225
D.300
C
解析 设矩形的长为x,宽为y,则以x为底的三角形和该锐角三角形相似,可得
y=30-x,则矩形面积S=xy=x(30-x)=-(x-15)2+225,当矩形长x=15时,面积S最大,为225.故选C.
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3.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=f(x)的图象大致是( )
D
解析 设该林区的森林原有蓄积量为a,由题意知ax=a(1+0.104)y,即y=log1.104x(x≥1),所以y=f(x)的图象大致为D中图象.
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4.(多选题)某工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)
( )
A.6 B.9 C.8 D.7
BC
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5.在一场足球比赛中,一球员从球门正前方10 m处将球踢起射向球门,当球飞行的水平距离是6 m时,球到达最高点,此时球高3 m,已知球门高2.44 m并且球按抛物线飞行, 踢进球门(填“能”或“不能”).
能
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解析 建立如图所示的坐标系,拋物线经过点(0,0),顶点为(6,3).
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6.某市环保部门近年来利用水生植物(例如浮萍、蒲草、芦苇等),对国家级湿地公园——东昌湖进行进一步净化和绿化.为了保持水生植物面积和开阔水面面积的合理比例,对水生植物的生长进行了科学管控,并于2020年对东昌湖内某一水域浮萍的生长情况作了调查,测得该水域二月底浮萍覆盖面积为45 m2,四月底浮萍覆盖面积为80 m2,八月底浮萍覆盖面积为115 m2.若浮萍覆盖面积y(单位:m2)与月份x(2020年1月底记x=1,2021年1月底记x=13)的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=mlog2x+n(m>0)可供选择.
(1)你认为选择哪个模型更符合实际 并解释理由.
(2)利用你选择的函数模型,试估算从2020年1月初起至少经过多少个月该水域的浮萍覆盖面积能达到148 m2
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(2)因为35log215+10≈35×3.9+10=146.5,35log216+10=150,而146.5<148<150,
所以至少经过16个月该水域的浮萍覆盖面积能达到148 m2.
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B 级 关键能力提升练
7.(多选题)某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费);超过3 km但不超过8 km时,超过部分按每千米2.15元收费:超过8 km时,超过部分按每千米2.85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是( )
A.出租车行驶4 km,乘客需付费9.6元
B.出租车行驶10 km,乘客需付费25.45元
C.某人乘出租车行驶5 km两次的费用超过他乘出租车行驶10 km一次的费用
D.某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了9 km
BCD
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解析 在A中,出租车行驶4 km,乘客需付费8+1×2.15+1=11.15(元),A错误;在B中,出租车行驶10 km,乘客需付费8+2.15×5+2.85×(10-8)+1= 25.45(元),B正确;在C中,乘出租车行驶5 km,乘客需付费8+2×2.15+1 =13.30(元),乘坐两次需付费26.6元,26.6>25.45,C正确;在D中,设出租车行驶x km时,付费y元,由8+5×2.15+1=19.75<22.6知x>8,因此由y=8+2.15×5+2.85(x-8)+1=22.6,解得x=9,D正确.
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8.某工厂生产A,B两种成本不同的产品,用于市场销售,A产品连续两次提价20%,同时B产品连续两次降价20%,结果都以每件23.04元售出,此时厂家同时出售A,B产品各一件,则盈亏情况为( )
A.亏5.20元 B.亏5.92元
C.盈6元 D.盈5元
B
解析 可设A,B的成本价分别为x元、y元,则(1+20%)2×x=23.04,
(1-20%)2×y=23.04,所以x=16,y=36.成本价为x+y=52(元),实际销售额为2×23.04=46.08(元),显然亏损额为52-46.08=5.92(元).故选B.
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9.已知有A,B两个水桶,桶A中开始有a L水,桶A中的水不断流入桶B,t min后,桶A中剩余的水符合指数衰减曲线y1=ae-nt,那么桶B中的水就是
y2=a-ae-nt(n为常数).假设5 min时,桶A和桶B中的水量相等,再过 min,桶A中的水只有 L.
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10.如图①是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象.
图①
图②
图③
由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两种扭亏为赢的方案,根据图①上点A,点B以及射线AB上的点的实际意义,用文字说明图②方案是 ,图③方案是 .
降低成本,票价不变
增加票价
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解析 由题图①知,点A表示无人乘车时,收支差额为-20元,即运行成本为20元;点B表示10人乘车,收支平衡,收支差额为0.线段AB上的点表示亏损,AB延长线上的点表示盈利.题图②与题图①相比,一次函数的一次项系数不变,图象与y轴负半轴的交点上移,故题图②表示降低成本,票价不变,题图③与题图①相比,一次项系数增大,图象与y轴负半轴的交点不变,故题图③表示增加票价.
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11.某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元,经预测可知,市场对这种产品的年需求量为500件,当出售的这种产品的数量为t(单位:百件)时,销售所得的收入约为(5t- t2)万元.
(1)若该公司的年产量为x(单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数;
(2)当这种产品的年产量为多少时,当年所得利润最大
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解 (1)当05时,产品只能售出500件.
所以当x=4.75时,f(x)有最大值,f(x)max=10.781 25.
当x>5时,f(x)<12-0.25×5=10.75(万元).
故当年产量为475件时,当年所得利润最大.
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12.科学研究表明:人类对声音有不一样的感觉,这与声音的强度I(单位:瓦/平方米)有关.在实际测量时,常用L(单位:分贝)来表示声音强弱的等级,它与声音的强度I满足关系式:L=a·lg (a是常数),其中I0=1×10-12瓦/平方米.如风吹落叶沙沙声的强度I=1×10-11瓦/平方米,它的强弱等级L=10分贝.
(1)已知生活中几种声音的强度如下表:
声音来源 风吹落叶沙沙声 轻声耳语 马路上的嘈杂声
强度I(瓦/平方米) 1×10-11 1×10-10 1×10-3
强弱等级L(分贝) 10 m 90
求a和m的值;
(2)为了不影响正常的休息和睡眠,声音的强弱等级一般不能超过50分贝,求此时声音强度I的最大值.
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C 级 学科素养创新练
13.某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示),该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条线段围成.
按设计要求扇环面的周长为30 m,其中大圆弧所在圆的
半径为10 m.设小圆弧所在圆的半径为x m,圆心角为θ(弧度).
(1)求θ关于x的函数关系式;
(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为4元/米,弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y,求y关于x的函数关系式,并求出x为何值时,y取得最大值
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第五章
2.1 实际问题的函数刻画 2.2 用函数模型解决实际问题
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
目录索引
课程标准 1.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.
2.能建立函数模型解决实际问题.
3.体会如何借助函数刻画实际问题,感悟数学模型中参数的现实意义.
基础落实·必备知识全过关
知识点1 实际问题的函数刻画
1.在现实世界中,事物之间存在着广泛的联系,当面对的实际问题中存在几个变量,并且它们之间具有依赖关系时,我们往往用函数对其进行刻画.函数刻画的方法可以使用图象,但常见的还是使用解析式.
2.函数模型是应用最广泛的数学模型之一.许多实际问题一旦被认定是函数关系,就可以通过研究函数的性质,使问题得到解决.
通过一些数据寻求事物规律,往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点,观察这些点的整体特征,看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象,选定函数形式后,将一些数据代入这个函数的一般表达式,求出具体的函数解析式,再做必要的检验,基本符合实际,就可以确定这个函数基本反映了事物规律,这种方法称为数据拟合.在自然科学和社会科学中,很多规律、定律都是先通过实验,得到数据,再通过数据拟合得到的.
过关自诊
1.[人教B版教材例题]某农家旅游公司有客房160间,每间房单价为200元时,每天都客满.已知每间房单价每提高20元,则客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素,旅游公司把每间房单价提到多少时,每天客房的租金总收入最高
解 设每间房单价提高x个20元时,每天客房的租金总收入为y元.
因为此时每间房单价为200+20x元,而客房出租数将减少10x间,即为
160-10x间,
所以y=(200+20x)(160-10x)=200(10+x)(16-x)=200(-x2+6x+160)
=200[-(x-3)2+169]=-200(x-3)2+33 800.
从而可知,当x=3时,y的最大值为33 800,
因此每间房单价提到200+20×3=260元时,每天客房的租金总收入最高.
2.[人教B版教材例题]某单位计划用围墙围出一块矩形场地,现有材料可筑墙的总长度为l,如果要使围墙围出的场地面积最大,则矩形的长、宽各等于多少
解 设矩形的长为x时,场地的面积为S.
因为矩形的周长要为l,所以矩形的宽为 (l-2x),
即所围矩形是长、宽都为 的正方形时,场地面积最大.
3.[人教B版教材例题]已知某产品的总成本C与年产量Q之间的关系为C=aQ2+3 000,且当年产量是100时,总成本是6 000.设该产品年产量为Q时的平均成本为f(Q).
(1)求f(Q)的解析式;
(2)求年产量为多少时,平均成本最小,并求最小值.
解 (1)将Q=100,C=6 000代入C=aQ2+3 000中,
可得1002a+3 000=6 000,
知识点2 数学建模
1.定义:用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作数学建模.
2.过程:如下图所示.
名师点睛
常见的函数模型及其特点:(1)一次函数模型:y=kx+b(k≠0),其增长特点是直线式上升(k>0)或下降(k<0),其特例是y=kx(k≠0).(2)一元二次函数模型: y=ax2+bx+c(a≠0),其增长特点是函数值先减小后增大(a>0)或先增大后减小(a<0).(3)反比例函数模型:y= (k≠0)型,其增长特点是当x>0时,y随x的增大而减小(k>0)或y随x的增大而增大(k<0).(4)指数型函数模型: y=a·bx+c(b>0,且b≠1,a≠0),其增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(底数b>1,a>0),常形象地称为指数爆炸.(5)对数型函数模型:y=mlogax+n(a>0,a≠1,m≠0),其增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢(底数a>1,m>0).(6)幂函数模型:y=a·xn+b(a≠0),其增长特点是y随x的增大而增大(n>0,a>0,x>0).
过关自诊
[人教A版教材例题]某公司为了实现1 000万元利润的目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型:y=0.25x, y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求
解 借助信息技术画出函数y=5,y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x的图象.观察图象发现,在区间[10,1 000]上,模型y=0.25x,y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方,只有模型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方,这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求.
下面通过计算确认上述判断.
先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元.
对于模型y=0.25x,它在区间[10,1 000]上单调递增,而且当x=20时,y=5,因此,当x>20时,y>5,所以该模型不符合要求;
对于模型y=1.002x,由函数图象,并利用信息技术,可知在区间(805,806)内有一个点x0满足 =5,由于它在区间[10,1 000]上单调递增,因此当x>x0时,y>5,所以该模型也不符合要求;
对于模型y=log7x+1,它在区间[10,1 000]上单调递增,而且当x=1 000时,y=log71 000+1≈4.55<5,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.
再计算按模型y=log7x+1奖励时,奖金是否不超过利润的25%,即当 x∈[10,1 000]时,是否有y≤0.25x,即log7x+1≤0.25x成立.
令f(x)=log7x+1-0.25x,x∈[10,1 000],利用信息技术画出它的图象.
由图象可知函数f(x)在区间
[10,1 000]上单调递减,
因此f(x)≤f(10)≈-0.316 7<0,
即log7x+1<0.25x.
所以,当x∈[10,1 000]时,y≤0.25x,说明按模型y=log7x+1奖励,奖金不会超过利润的25%.
综上所述,模型y=log7x+1确实能符合公司要求.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 用函数图象刻画变化过程
【例1】 (1)某工厂6年来生产某种产品的情况是:前3年年产量的增长速度越来越快,后3年年产量保持不变,则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(单位:年)的函数关系图象正确的是( )
A
解析 前3年年产量的增长速度越来越快,只有A,C的图象符合要求,而后3年年产量保持不变,故选A.
(2)(多选题)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中错误的有( )
A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米
B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油量最多
C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时,消耗10升汽油
D.某城市机动车最高限速80千米/时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
ABC
解析 根据图象所给数据,逐个验证选项.
根据图象知,当行驶速度大于40千米/时时,消耗1升汽油,乙车最多行驶里程大于5千米,故选项A错误;以相同速度行驶时,甲车燃油效率最高,因此以相同速度行驶相同路程时,甲车消耗汽油最少,故选项B错误;甲车以80千米/时的速度行驶时燃油效率为10千米/升,行驶1小时,里程为80千米,消耗8升汽油,故选项C错误;最高限速80千米/时,丙车的燃油效率比乙车高,因此相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油,故选项D正确.
规律方法 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象.
(2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案.
变式训练1已知正方形ABCD的边长为4,动点P从点B开始沿折线BCDA向点A运动.设点P运动的路程为x,△ABP的面积为S,则函数S=f(x)的图象是
( )
D
解析 依题意知,当0≤x≤4时,f(x)=2x;
当4当8探究点二 建立一元二次函数模型解决实际问题
【例2】 设某市现有从事第二产业人员100万人,平均每人每年创造产值a万元(a为正常数),现在决定从中分流x万人去加强第三产业,分流后,继续从事第二产业的人员平均每人每年创造产值可增加2x%(0(1)若要保证第二产业的产值不减少,求x的取值范围;
(2)在(1)的条件下,问应分流出多少万人,才能使该市第二、第三产业的总产值每年增加最多
因此当0(2)设该市第二、三产业的总产值每年增加f(x)(0∵x∈(0,50]时,f(x)单调递增,
∴当x=50时,f(x)max=60a.
即应分流出50万人,才能使该市第二、三产业的总产值每年增加最多.
规律方法 求解本题时,应注意以下两点:一是x∈N+,二是第二、三产业的总产值每年增加量为剩余人员创造的产值与分流人员创造产值的和减去没有人员分流时创造的产值.
变式训练2有A,B两城相距100 km,在A,B两城之间距A城x km的D地建一核电站给这两城供电.为保证城市安全,核电站与城市距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系数λ=0.25.若A城供电量为20亿度/月,B城供电量为10亿度/月.
(1)把月供电总费用y表示成x的函数,并求其定义域.
(2)核电站建在距A城多远时,才能使供电费用最小
∵x≥10,且100-x≥10,∴10≤x≤90.
∴函数的定义域为[10,90].
探究点三 建立指数型函数、对数型函数模型解决实际问题
【例3】 某种商品进价为每个80元,零售价为每个100元,为了促销,决定用买一个这种商品,赠送一个小礼品的办法.实践表明:礼品价值为1元时,销售量增加10%,且在一定范围内,礼品价值为(n+1)元时比礼品价值为n元(n∈N+)时的销售量增加10%.
(1)写出礼品价值为n元时,利润yn(单位:元)与n的函数关系式;
(2)请你设计礼品的价值,以便商店获得最大利润.
解 (1)设没有礼品时销售量为m,则当礼品价值为n元时,销售量为m(1+10%)n,利润yn=(100-80-n)·m·(1+10%)n=(20-n)·m·1.1n(0(2)令yn+1-yn≥0,即(19-n)·m·1.1n+1-(20-n)·m·1.1n≥0,解得n≤9.
∴y1令yn+1-yn+2≥0,
即(19-n)·m·1.1n+1-(18-n)·m·1.1n+2≥0,
解得n≥8.∴y9=y10>y11>y12>y13>…>y19,
∴当礼品价值为9元或10元时,商店获得最大利润.
规律方法 1.指数型函数模型应用非常广泛,有关人口增长、银行利息、细胞分裂等问题都可以建立指数型函数模型来解决问题,建立函数解析式时要善于通过列举、归纳等方法寻求变量之间的关系,探寻内在的规律.
2.对于本题通过作差探讨出函数的单调情况是解题的关键所在.
变式训练3大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2 000 m,游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数 ,单位是m/s,其中x表示鲑鱼的耗氧量的单位数.
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是8 100个单位时,它的游速是多少
(2)计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数.
(3)若鲑鱼A的游速大于鲑鱼B的游速,问这两条鲑鱼谁的耗氧量较大 并说明理由.
解 (1)将x=8 100代入函数关系式,得 ,所以一条鲑鱼的耗氧量是8 100个单位时,它的游速是2 m/s.
探究点四 建立分段函数模型
【例4】 WAP手机上网每月使用量在500 min以下(包括500 min),按30元计费;超过500 min的部分按0.15元/min计费.假如上网时间过短(小于60 min)使用量在1 min以下不计费,在1 min以上(包括1 min)按0.5元/min计费.WAP手机上网不收通话费和漫游费.
(1)写出上网时间x(单位:min)与所付费用y(单位:元)之间的函数关系式.
(2)12月份小王WAP上网使用量为20 h,要付多少钱
(3)小王10月份付了90元的WAP上网费,那么他上网的时间是多少
解 (1)由已知条件所付费用y关于x的函数关系式为
(2)当x=20×60=1 200(min)时,x>500,应付y=30+0.15×(1 200-500) =135(元).
(3)90元已超过30元,所以上网时间超过500 min,由30+0.15(x-500)=90,解得x=900,所以10月份的上网时间为900 min.
规律方法 1.在刻画实际问题中,变量之间的关系因自变量x取值范围的不同,对应的函数关系不能用同一个解析式表示时,常用分段函数建立函数模型解决问题.
2.分段函数是指自变量在不同的范围内有着不同对应法则的函数.求解分段函数的最值问题时应注意分段函数的最大值是各段函数最大值中最大的一个,分段函数的最小值是各段函数最小值中最小的一个.
变式训练4为支持福利事业,解决残疾人就业问题,银行决定给某福利企业免息贷款46.8万元,用于经营某种商品.已知该种商品的进价为每件40元,每月销售量q(单位:百件)与销售价格p(单位:元/件)之间满足关系式:
该企业职工每人每月工资为1 200元,其他经营性费用为每月13 200元.
(1)如果暂时不考虑还贷的前提下,当销售价格p为52元/件时,每月刚好收支平衡,求该企业的职工人数;
(2)若该企业只有20名职工,在保证职工工资及其他经营性支出外,剩余的利润都用来偿还贷款,试问最早几年后还清贷款
解 (1)设该企业职工人数为t,
依题意p=52时,q=36时,
则(52-40)×36×100=1 200t+13 200,
∴t=25.
即该企业有25名职工.
(2)设每个月的利润为f(p),则
∵当p=55时,[(-2p+140)(p-40)]max=450,
当p=61时,[(-p+82)(p-40)]max=441,
∵450>441,
∴p=55时,能更早还清贷款,
又(100×450-1 200×20-13 200)×12=93 600,
∴当定价为55元时,最早5年后能还清贷款.
探究点五 拟合函数模型解决实际问题
【例5】 某个体经营者把开始六个月试销售A,B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表:
投资A种商品金额/万元 1 2 3 4 5 6
获纯利润/万元 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40
投资B种商品金额/万元 1 2 3 4 5 6
获纯利润/万元 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51
该经营者准备第七个月投入12万元经营这两种产品,但不知投入A,B两种商品各多少万元才合算.请你帮助制定一个资金投入方案,使得该经营者能获得最大利润,并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润.
解 以投资额x为横坐标,纯利润y为纵坐标,在平面直角坐标系中画出散点图,如图①②所示.
图①
观察散点图可以看出,A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟,如图①所示.取(4,2)为最高点,则y=a(x-4)2+2 (a≠0),再把点(1,0.65)代入,得0.65=a(1-4)2+2,解得a=-0.15,所以
y=-0.15(x-4)2+2.
B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的,可以用一次函数模型进行模拟,如图②所示.
图②
设y=kx+b(k≠0),取点(1,0.25)和(4,1)代入,
所以y=0.25x.
即前六个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是
y=-0.15(x-4)2+2;前六个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系式是y=0.25x.
设第七个月投入A,B两种商品的资金分别为x,12-x(单位:万元),则0设总纯利润为W(单位:万元),那么W=-0.15(x-4)2+2+0.25(12-x)
=-0.15x2+0.95x+2.6.
当x= ≈3.2时,W取最大值,约为4.1,此时12-x=8.8.
即该经营者下月用3.2万元投资A种商品,8.8万元投资B种商品,可获得最大纯利润约为4.1万元.
规律方法 解决拟合函数模型问题一般有以下步骤:
(1)根据原始数据、表格,绘出两个变量之间的散点图.
(2)通过散点图,画出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线.如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上,“点滴”不漏,那么这将是一件十分完美的事情,但在实际应用中,这种情况一般不会发生.因此,使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧,使两侧的点的个数大体相等,得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了.
(3)根据所学函数知识,结合已知数据,求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式.
(4)利用函数解析式,根据条件对所给问题进行预测和检验,为决策和管理提供依据.
变式训练5为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响,在山上建立了一个观察站,测量最大积雪深度x(单位:cm)与当年灌溉面积y(单位:hm2).现有连续10年的实测资料,如下表所示:
年序 最大积雪深度x/cm 灌溉面积y/hm2
1 15.2 28.6
2 10.4 21.1
3 21.2 40.5
4 18.6 36.6
5 26.4 49.8
6 23.4 45.0
7 13.5 29.2
8 16.7 34.1
9 24.0 45.8
10 19.1 36.9
(1)描出灌溉面积y随积雪深度x变化的数据点(x,y).
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y=f(x),并作出其图象.
(3)根据所建立的函数模型,若今年最大积雪深度为25 cm,则可以灌溉的土地面积是多少
解 (1)数据点分布如图①所示.
图①
(2)从图①中可以看到,数据点大致落在一条直线附近,由此,我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型y=a+bx(a,b为常数,b≠0).
取其中的两组数据(10.4,21.1),(24.0,45.8),
代入y=a+bx,得
用计算器可算得a≈2.4,b≈1.8.
这样,我们得到一个函数模型y=2.4+1.8x.
作出函数图象如图②,可以发现,这个函数模型与已
图②
知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映最大
积雪深度与灌溉面积的关系.
(3)由(2)得当x=25时,y=2.4+1.8×25=47.4,即当最大积雪深度为25 cm时,可以灌溉土地47.4 hm2.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)用函数模型解决实际问题;
(2)数据拟合与函数建模的优劣.
2.方法归纳:数学建模.
3.常见误区:实际问题中一是要注意自变量的取值范围,二是要检验所得结果,最后要将数学问题还原为实际问题.
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1.一辆汽车在某段路上的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示,则图象所对应的函数模型是( )
A.分段函数
B.一元二次函数
C.指数函数
D.对数函数
A
解析 由题图知,在不同的时间段内,对应的图象不同,故对应函数模型应为分段函数.
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2.用一段长为50 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙a长25 m.要使围成的矩形菜园ABCD的面积最大,则这个矩形菜园ABCD的宽(矩形的较短边)为( )
B
解析 设矩形的宽为x m,矩形的面积为S m2,
所以矩形的面积为S=x(50-2x)=-2x2+50x=-2(x-12.5)2+312.5(0当x= 时,S取得最大值312.5.故选B.
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3.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%,设质量为1的镭经过x年后剩留量为y,则x,y的函数关系是( )
A
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4.(多选题)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示,则下列说法中正确的有( )
(注:结余=收入-支出)
A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1
B.结余最高的月份是7月
C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同
D.前6个月的平均收入为40万元
ABC
解析 由题图可知,收入最高值为90万元,收入最低值为30万元,其比是3∶1,故A正确;由题图可知,7月份的结余最高,为80-20=60(万元),故B正确;由题图可知,1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同,故C正确;由题图可知,前6个月的平均收入为 ×(40+60+30+30+50+60)=45(万元),故D错误.
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5.某工厂生产一种电脑元件,每月的生产数据如下表:
月份 1 2 3
产量/千件 50 52 53.9
为估计以后每月该电脑元件的产量,以这三个月的产量为依据,用函数y=kx+m(k,m为常数,且k≠0)或y=ax+b(a,b为常数,且a>0)来模拟这种电脑元件的月产量y(单位:千件)与月份x的关系.请问用以上哪个函数拟合较好 并说明理由.
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当x=3时,y=54.
若用函数y=ax+b拟合,取(1,50),(2,52),
∴y=2x+48.
当x=3时,y=56.
由题知3月份的产量为53.9千件,因此用函数y=2x+48拟合估计时误差较小,故用函数y=2x+48拟合比较好.2.1 实际问题的函数刻画 2.2 用函数模型解决实际问题
A级 必备知识基础练
1.根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=(A,c为常数).已知工人组装第4件产品用时30 min,组装第A件产品用时15 min,那么c和A的值分别是( )
A.75,25 B.75,16
C.60,25 D.60,16
2.在如图所示的三角形空地中,欲建一个如图所示的内接矩形花园(阴影部分),则该矩形花园的面积的最大值为 ( )
A.120 B.210
C.225 D.300
3.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=f(x)的图象大致是( )
4.(多选题)某工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少,则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)( )
A.6 B.9 C.8 D.7
5.在一场足球比赛中,一球员从球门正前方10 m处将球踢起射向球门,当球飞行的水平距离是6 m时,球到达最高点,此时球高3 m,已知球门高2.44 m并且球按抛物线飞行, 踢进球门(填“能”或“不能”).
6.某市环保部门近年来利用水生植物(例如浮萍、蒲草、芦苇等),对国家级湿地公园——东昌湖进行进一步净化和绿化.为了保持水生植物面积和开阔水面面积的合理比例,对水生植物的生长进行了科学管控,并于2020年对东昌湖内某一水域浮萍的生长情况作了调查,测得该水域二月底浮萍覆盖面积为45 m2,四月底浮萍覆盖面积为80 m2,八月底浮萍覆盖面积为115 m2.若浮萍覆盖面积y(单位:m2)与月份x(2020年1月底记x=1,2021年1月底记x=13)的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=mlog2x+n(m>0)可供选择.
(1)你认为选择哪个模型更符合实际 并解释理由.
(2)利用你选择的函数模型,试估算从2020年1月初起至少经过多少个月该水域的浮萍覆盖面积能达到148 m2
可能用到的数据:log215≈3.9,≈1.37,≈66.72
B级 关键能力提升练
7.(多选题)某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费);超过3 km但不超过8 km时,超过部分按每千米2.15元收费:超过8 km时,超过部分按每千米2.85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是( )
A.出租车行驶4 km,乘客需付费9.6元
B.出租车行驶10 km,乘客需付费25.45元
C.某人乘出租车行驶5 km两次的费用超过他乘出租车行驶10 km一次的费用
D.某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了9 km
8.某工厂生产A,B两种成本不同的产品,用于市场销售,A产品连续两次提价20%,同时B产品连续两次降价20%,结果都以每件23.04元售出,此时厂家同时出售A,B产品各一件,则盈亏情况为( )
A.亏5.20元
B.亏5.92元
C.盈6元
D.盈5元
9.已知有A,B两个水桶,桶A中开始有a L水,桶A中的水不断流入桶B,t min后,桶A中剩余的水符合指数衰减曲线y1=ae-nt,那么桶B中的水就是y2=a-ae-nt(n为常数).假设5 min时,桶A和桶B中的水量相等,再过 min,桶A中的水只有 L.
10.如图①是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象.
图①
图②
图③
由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两种扭亏为赢的方案,根据图①上点A,点B以及射线AB上的点的实际意义,用文字说明图②方案是 ,图③方案是 .
11.某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元,经预测可知,市场对这种产品的年需求量为500件,当出售的这种产品的数量为t(单位:百件)时,销售所得的收入约为5t-t2万元.
(1)若该公司的年产量为x(单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数;
(2)当这种产品的年产量为多少时,当年所得利润最大
12.科学研究表明:人类对声音有不一样的感觉,这与声音的强度I(单位:瓦/平方米)有关.在实际测量时,常用L(单位:分贝)来表示声音强弱的等级,它与声音的强度I满足关系式:L=a·lg (a是常数),其中I0=1×10-12瓦/平方米.如风吹落叶沙沙声的强度I=1×10-11瓦/平方米,它的强弱等级L=10分贝.
(1)已知生活中几种声音的强度如下表:
声音来源 风吹落叶沙沙声 轻声耳语 马路上的嘈杂声
强度I(瓦/平方米) 1×10-11 1×10-10 1×10-3
强弱等级L(分贝) 10 m 90
求a和m的值;
(2)为了不影响正常的休息和睡眠,声音的强弱等级一般不能超过50分贝,求此时声音强度I的最大值.
C级 学科素养创新练
13.某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示),该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条线段围成.
按设计要求扇环面的周长为30 m,其中大圆弧所在圆的半径为10 m.设小圆弧所在圆的半径为x m,圆心角为θ(弧度).
(1)求θ关于x的函数关系式;
(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为4元/米,弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y,求y关于x的函数关系式,并求出x为何值时,y取得最大值
参考答案
§2 实际问题中的函数模型
2.1 实际问题的函数刻画
2.2 用函数模型解决实际问题
1.D 由题意知,组装第A件产品所需时间为=15,故组装第4件产品所需时间为=30,解得c=60.将c=60代入=15,得A=16.
2.C 设矩形的长为x,宽为y,则以x为底的三角形和该锐角三角形相似,可得y=30-x,则矩形面积S=xy=x(30-x)=-(x-15)2+225,当矩形长x=15时,面积S最大,为225.故选C.
3.D 设该林区的森林原有蓄积量为a,由题意知ax=a(1+0.104)y,即y=log1.104x(x≥1),所以y=f(x)的图象大致为D中图象.
4.BC 设经过n次过滤,产品达到市场要求,则n,即n,
由nlg-lg20,即n(lg2-lg3)≤-(1+lg2),得n7.4.
5.能 建立如图所示的坐标系,拋物线经过点(0,0),顶点为(6,3).
设其解析式为y=a(x-6)2+3,把x=0,y=0代入,得a=-,∴y=-(x-6)2+3.
当x=10时,y=-(10-6)2+3=<2.44.
∴球能射进球门.
6.解 (1)若选择数据(2,45)和(4,80),
由解得
则y=35log2x+10.
当x=8时,y=35log28+10=115,与实际情况相符.
由解得则y=()x.
当x=8时,y=()8=>115,与实际情况差别较大.
故选函数模型y=35log2x+10.
(2)因为35log215+10≈35×3.9+10=146.5,35log216+10=150,而146.5<148<150,
所以至少经过16个月该水域的浮萍覆盖面积能达到148m2.
7.BCD 在A中,出租车行驶4km,乘客需付费8+1×2.15+1=11.15(元),A错误;在B中,出租车行驶10km,乘客需付费8+2.15×5+2.85×(10-8)+1=25.45(元),B正确;在C中,乘出租车行驶5km,乘客需付费8+2×2.15+1=13.30(元),乘坐两次需付费26.6元,26.6>25.45,C正确;在D中,设出租车行驶xkm时,付费y元,由8+5×2.15+1=19.75<22.6知x>8,因此由y=8+2.15×5+2.85(x-8)+1=22.6,解得x=9,D正确.
8.B 可设A,B的成本价分别为x元、y元,则(1+20%)2×x=23.04,(1-20%)2×y=23.04,所以x=16,y=36.成本价为x+y=52(元),实际销售额为2×23.04=46.08(元),显然亏损额为52-46.08=5.92(元).故选B.
9.10 因为5min时,桶A和桶B中的水量相等,
所以a·e-5n=a-a·e-5n,
所以e-5n=令a·e-nt=,
则e-nt==e-15n,
故有t=15.
所以再过10min,桶A中的水只有L.
10.降低成本,票价不变 增加票价 由题图①知,点A表示无人乘车时,收支差额为-20元,即运行成本为20元;点B表示10人乘车,收支平衡,收支差额为0.线段AB上的点表示亏损,AB延长线上的点表示盈利.题图②与题图①相比,一次函数的一次项系数不变,图象与y轴负半轴的交点上移,故题图②表示降低成本,票价不变,题图③与题图①相比,一次项系数增大,图象与y轴负半轴的交点不变,故题图③表示增加票价.
11.解(1)当0当x>5时,产品只能售出500件.
所以,f(x)=
即f(x)=
(2)当0所以当x=4.75时,f(x)有最大值,f(x)max=10.78125.
当x>5时,f(x)<12-0.25×5=10.75(万元).
故当年产量为475件时,当年所得利润最大.
12.解(1)将I0=1×10-12瓦/平方米,I=1×10-11瓦/平方米代入L=a·lg,
得10=alg=alg10=a,
即a=10,m=10lg=10lg100=20.
(2)由题意得L≤50,
得10lg50,
得lg5,即105,
即I≤105×10-12=10-7.
所以此时声音强度I的最大值为10-7瓦/平方米.
13.解(1)由题意得30=θ(10+x)+2(10-x),
所以θ=(0(2)花坛的面积为(102-x2)=(5+x)(10-x)=-x2+5x+50(0装饰总费用为9θ(10+x)+8(10-x)=170+10x,
所以花坛的面积与装饰总费用的比y==-
令t=17+x,则y=,当且仅当t=18时,等号成立,此时x=1,θ=
所以当x=1时,花坛的面积与装饰总费用的比最大.
