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第六章
2.2 分层随机抽样
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A 级 必备知识基础练
1.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题:“今有北乡8 758人,西乡7 236人,南乡8 356人,现要按人数多少从三个乡共征集487人,问从各乡各征集多少人”.在上述问题中,需从南乡征集的人数大约是( )
A.112 B.128 C.145 D.167
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2.某校有学生800人,其中女生有350人,为了解该校学生的体育锻炼情况,按男、女学生采用分层抽样法抽取容量为80的样本,则男生抽取的人数是
( )
A.35 B.40
C.45 D.60
C
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3.(多选题)某中学高一年级有20个班,每班50人;高二年级有30个班,每班45人.甲就读于高一,乙就读于高二.学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查,下列说法中正确的有( )
A.应该采用分层随机抽样的方法
B.高一、高二年级应分别抽取100人和135人
C.乙被抽到的可能性比甲大
D.该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力
ABD
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4.甲校有3 600名学生,乙校有5 400名学生,丙校有1 800名学生,为统计三校学生某方面的情况,计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为90的样本,应在这三校分别抽取学生( )
A.30人,30人,30人 B.30人,45人,15人
C.20人,30人,10人 D.30人,50人,10人
B
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5.某单位200名职工的年龄分布情况如图,现要从中抽取40名职工.若用分层随机抽样方法,则40岁以下年龄段应抽取 人.
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解析 分层随机抽样时,由于40岁以下年龄段占总数的50%,故容量为40的样本中在40岁以下年龄段中应抽取40×50%=20(人).
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6.某高中高一年级有x名学生,高二年级有y名学生,高三年级有z名学生,采用分层随机抽样抽取一个容量为45人的样本,高一年级被抽取20人,高二年级被抽取10人.若高三年级共有300人,则此学校共有 人.
900
解析 高三年级被抽取45-20-10=15(人), ∴ ,∴x=400,y=200.又z=300,∴学校共有900人.
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7.某校按分层随机抽样的方法从高中三个年级抽取部分学生调查,从三个年级抽取人数的比例为如图所示的扇形面积比,已知高二年级共有学生1 200人,并从中抽取了40人.
(1)该校的总人数为多少
(2)三个年级分别抽取多少人
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解 高二年级所占的角度为120°.
(1)设总人数为n,则 ,可知n=3 600,故该校的总人数为3 600.
(2)高一、高二、高三人数所占的比分别为150∶120∶90=5∶4∶3,可知高一、高二、高三所抽人数分别为50,40,30.
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8.某高中共有学生3 000名,各年级男生与女生的人数如下表:
性别 高一年级 高二年级 高三年级
女生 523 x y
男生 487 490 z
已知在全校学生中随机抽取100名,抽到高二年级女生的人数是17.
(1)问高二年级有多少名女生
(2)现对各年级用分层随机抽样的方法在全校抽取300名学生,问应在高三年级抽取多少名学生
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故高二年级有510名女生.
(2)高三年级人数为
y+z=3 000-(523+487+490+510)=990,
现用分层随机抽样的方法在全校抽取300名学生,应在高三年级抽取的人数为
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B 级 关键能力提升练
9.某中学有高中生3 000人,初中生2 000人,男、女生所占的比例如下图所示.为了解学生的学习情况,用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取女生21人,则从初中生中抽取的男生人数是( )
A.12 B.15
C.20 D.21
A
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10.某公司生产甲、乙两种产品的数量之比为5∶3,现用分层抽样的方法抽出一个样本,已知样本中甲种产品比乙种产品多6件,则甲种产品被抽取的件数为 .
15
解析 设甲种产品被抽取的件数为x,则x∶(x-6)=5∶3,解得x=15.故答案为15.
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11.某大型超市有员工120人,其中男性员工90人,现管理部门按性别采用分层随机抽样的方法从超市的所有员工中抽取n人进行问卷调查,若抽取到的男性员工比女性员工多4人,则n= .
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12.在120人中,青年人有65人,中年人有15人,老年人有40人,从中抽取一个容量为20的样本.写出用分层随机抽样抽取样本的步骤.
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解 第一步 按照青年、中年、老年把总体分为三层;
第二步 计算各层抽取的人数:
第三步 在各层中采用简单随机抽样抽取样本个体:在青年人和老年人中采用随机数法,在中年人中采用抽签法;
第四步 把抽取的个体组成一个样本即可.
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C 级 学科素养创新练
13.某单位最近组织了一次健身活动,活动小组分为登山组和游泳组,且每个职工至多参加了其中一组.在参加活动的职工中,青年人占42.5%,中年人占47.5%,老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的 ,且该组中青年人占50%,中年人占40%,老年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度,现用分层随机抽样法从参加活动的全体职工中抽取200人进行调查,试确定:
(1)游泳组中,青年人、中年人、老年人所占的比例分别为 ;
(2)游泳组中,青年人、中年人、老年人应抽取的人数分别为 .
40%,50%,10%
60,75,15
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解析 (1)设登山组人数为x,则游泳组人数为3x,再设游泳组中,青年人、中年人、老年人各占比例分别为a,b,c,则有
解得a=40%,b=50%,c=10%.
所以游泳组中,青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%,50%,10%.(共35张PPT)
第六章
5.1.3 数据的直观表示
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
目录索引
成果验收·课堂达标检测
课程标准 1.理解分层随机抽样的概念.
2.掌握分层随机抽样的步骤,会利用分层随机抽样从总体中抽取样本.
3.能解决分层随机抽样中的计算问题.
4.能综合运用简单随机抽样与分层随机抽样解决相关问题.
基础落实·必备知识全过关
知识点1 分层随机抽样
1.定义
将总体按其属性特征分成互不交叉的若干类型(有时称作层),然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的个体,这种抽样方法通常叫作分层随机抽样.
2.特点
(1)分层随机抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成;
(2)分成的各层互不重叠;
(3)各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例,即 ,其中n为样本容量,N为总体中的个体数.
(4)各层抽样可以按简单随机抽样进行.
名师点睛
关于分层随机抽样应注意的问题
(1)分层随机抽样中分多少层,如何分层要视具体情况而定,总的原则是每层内样本的差异要小,不同层之间样本的差异要大,且互不重叠.
(2)每一层抽取的个体数由样本容量乘以这一层的个体数在总体中所占的比例得到.
过关自诊
[人教A版教材习题改编]高二年级有男生490人,女生510人,张华按男生、女生进行分层,通过分层随机抽样的方法,得到男生、女生的平均身高分别为170.2 cm和160.8 cm.如果张华在各层中按比例分配样本,总样本量为100,那么在男生、女生中分别抽取了多少名 在这种情况下,请估计高二年级全体学生的平均身高.
知识点2 分层随机抽样的步骤
1.分层:根据已经掌握的信息,按某种标准将总体分成互不交叉的若干部分.
2.求比:根据总体中的个数N和样本容量n计算比例K= .
3.定数:确定第i层应该抽取的个体数为ni=Ni×K(Ni是第i层所包含的个体数),使得各层抽取的样本之和等于样本容量n.
4.抽样:按照第三步中确定的应在各层抽取的个体数,分别在各层抽取样本,然后合在一起就得到所需要抽取的容量为n的样本.
过关自诊
1.[人教A版教材习题]一支田径队有男运动员56人,女运动员42人,按性别进行分层,用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本.如果样本按比例分配,那么男、女运动员应各抽取多少名
2.[人教B版教材例题]某科研院所共有科研人员800人,其中具有高级职称的160人,具有中级职称的320人,具有初级职称的240人,无职称的80人,欲了解该科研院所科研人员的创新能力,决定抽取100名科研人员进行调查,应怎样进行抽样
解 因为一般来说,创新能力与职称有关,所以应该用分层抽样.
设样本中具有高级职称的人数为x,则 ,可算得x=20,即要抽取具有高级职称的科研人员20人.
类似地,可以算得要抽取具有中级职称的科研人员40人,具有初级职称的科研人员30人,无职称的科研人员10人.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 分层随机抽样的概念
【例1】 (1)下列问题中,最适合用分层随机抽样抽取样本的是( )
A.从10名同学中抽取3人参加座谈会
B.一次数学竞赛中,某班有10人在110分以上,40人在90~100分,12人低于90分,现从中抽取12人了解有关情况
C.从某校1 000名高中一年级学生中,抽取100名调查上学途中所用时间
D.从生产流水线上,抽取样本检查产品质量
B
解析 A中总体的每个个体无明显差异且个数较少,适合用简单随机抽样;C和D中总体个体无明显差异且个数较多,不适合用分层随机抽样;B中总体个体差异明显,适合用分层随机抽样.
(2)分层随机抽样将相似的个体归入一类(层),然后每类抽取若干个个体构成样本,所以分层随机抽样为保证每个个体等可能抽样,必须( )
A.每层等可能抽样
B.每层可以不等可能抽样
C.所有层按同一抽样比例等可能抽样
D.所有层抽取的个体数量相同
C
解析 保证每个个体等可能的被抽取是简单随机抽样与分层随机抽样的共同特征,为了保证这一点,分层随机抽样时必须在所有层都按同一抽样比例等可能抽取.
规律方法 1.使用分层随机抽样的前提
分层随机抽样的适用前提条件是总体可以分层,层与层之间有明显区别,而层内个体间差异较小.
2.使用分层随机抽样应遵循的两个原则
(1)将相似的个体归入一类,即为一层,分层要求每层的各个个体互不交叉,即遵循不重复、不遗漏的原则;
(2)分层随机抽样为保证每个个体等可能入样,需遵循在各层中进行简单随机抽样,每层样本数量与每层个体数量的比等于样本容量与总体中个体数的比.
变式训练1某学校有男、女学生各500名,为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是 .
分层随机抽样
解析 由于被抽取的个体属性有明显的差异,因此宜采用分层随机抽样.
探究点二 分层随机抽样的方案设计
【例2】 一个单位有职工500人,其中不到35岁的有125人,35岁至49岁的有280人,50岁及50岁以上的有95人,为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标,要从中抽取100名职工作为样本,职工年龄与这项指标有关,应该怎样抽取
解 因为职工年龄与这项指标有关,故采用分层随机抽样.
步骤如下:
(1)分层.按年龄将职工分成三层:不到35岁的职工;35岁至49岁的职工;50岁及50岁以上的职工.
(3)在各层分别按抽签法或随机数法抽取样本.
(4)综合每层抽样,组成样本.
规律方法 应用分层随机抽样的解题策略
变式训练2某工厂有在编人员100人,其中副处级以上干部10人,一般干部70人,工人20人.上级部门为了了解他们对机构改革的意见,要从中抽取一个容量为20的样本,试确定用何种方法抽取,请具体实施操作.
解 因机构改革关系到每个人的不同利益,故采用分层随机抽样方法较
合适.
∴从副处级以上干部中抽取2人,从一般干部中抽取14人,从工人中抽取4人.
副处级以上干部与工人人数都较少,把他们分别按1~10编号和1~20编号,然后采用抽签法分别抽取2人和4人;
对一般干部70人进行00,01,…,69编号,然后用随机数法抽取14人.这样便得到了一个容量为20的样本.
探究点三 抽样方法的综合应用
【例3】 选择合适的抽样方法抽样,写出抽样过程.
(1)有甲厂生产的30个篮球,其中一箱21个,另一箱9个,抽取3个;
(2)有30个篮球,其中甲厂生产的有21个,乙厂生产的有9个,抽取10个;
(3)有甲厂生产的300个篮球,抽取10个.
下面给出的是随机数表中的第8行到第12行
2 7 4 8 6 1 9 8 7 1 6 4 4 1 4 8 7 0 8 6 2 8 8 8 8 5 1 9 1 6 2 0
7 4 7 7 0 1 1 1 1 6 3 0 2 4 0 4 2 9 7 9 7 9 9 1 9 6 8 3 5 1 2 5
5 3 7 9 7 0 7 6 2 6 9 4 2 9 2 7 4 3 9 9 5 5 1 9 8 1 0 6 8 5 0 1
9 2 6 4 4 6 0 7 2 0 2 1 3 9 2 0 7 7 6 6 3 8 1 7 3 2 5 6 1 6 4 0
5 8 5 8 7 7 6 6 3 1 7 0 0 5 0 0 2 5 9 3 0 5 4 5 5 3 7 0 7 8 1 4
解 (1)总体个数较小,用简单随机抽样中的抽签法.
①将30个篮球编号,编号为00,01,…,29;
②将以上30个编号分别写在完全一样的小纸条上,揉成小球,制成号签;
③把号签放入一个不透明的袋子中,充分搅拌;
④从袋子中逐个抽取3个号签,并记录上面的号码;
⑤找出和所得号码对应的篮球即可得到样本.
(2)总体由差异明显的两个层次组成,需选用分层随机抽样.
②用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个,乙厂生产的篮球3个,这些篮球便组成了我们要抽取的样本.
(3)总体个数较大,样本容量较小,宜用简单随机抽样中的随机数法.
①将300个篮球用随机方式编号,编号为001,002,…,300;
②在随机数表中随机的确定一个数作为开始.如从第8行第1列的数“2”开始,向右读;
③从数“2”向右读,每次读三位,凡不在001~300中的数跳过不读,遇到读到的也跳过不读.依次得到:274,164,207,011,116,297,076,269,068,072,这就是所抽取的10个样本个体的号码.
规律方法 抽样方法的选取
(1)若总体由差异明显的几个层次组成,则选用分层随机抽样;
(2)若总体没有差异明显的层次,则考虑采用简单随机抽样.当总体中个体数较小时宜用抽签法;当总体中个体数较大,样本容量较小时宜用随机数法.
变式训练3下列问题中,采用怎样的抽样方法较为合理
(1)从10台电冰箱中抽取3台进行质量检查;
(2)某学校有160名教职工,其中教师120名,行政人员16名,后勤人员24名,为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见,拟抽取一个容量为20的样本.
解 (1)抽签法,总体中个体数较小,宜用抽签法.
(2)分层随机抽样,由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异较大,用分层随机抽样.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)分层随机抽样的概念及适用情形;
(2)分层随机抽样中的计算问题;
(3)分层随机抽样的设计与应用.
2.方法归纳:方程思想.
3.常见误区:计算错误导致各层抽样数量错误.
成果验收·课堂达标检测
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1.某班有60名学生,其中男生有40人,现将男、女学生用分层随机抽样法抽取12人观看校演讲总决赛,则该班中被抽取观看校演讲总决赛的女生人数为( )
A.8 B.6 C.4 D.2
C
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2.某次娱乐节目中有A,B,C三个方阵,其人数之比为3∶3∶4,现用分层随机抽样方法抽出一个容量为n的样本,方阵A被抽出人数为12人,则此样本容量n为( )
A.20 B.25 C.30 D.40
D
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3.①教育局督学组到校检查工作,临时需在高三20个班抽两个班听课;②某班一次数学测试中有14人在120分以上,35人在90~119分,7人在90分以下,现从中抽出8人研讨进一步改进教与学;③某班春节聚会,要产生两位“幸运者”.上述三种情况,合适的抽样方法分别为( )
A.分层随机抽样,分层随机抽样,简单随机抽样
B.分层随机抽样,简单随机抽样,分层随机抽样
C.简单随机抽样,简单随机抽样,分层随机抽样
D.简单随机抽样,分层随机抽样,简单随机抽样
D
解析 ①20个班抽两个班用简单随机抽样.②由于学生分成了差异比较大的几层,应用分层随机抽样.③由于总体与样本容量较小,应用简单随机抽样.故选D.
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4.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点,公司为了调查产品销售的情况,需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本,记这项调查为①;在丙地区中有20个特大型销售点,要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况,记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是 、 .
分层随机抽样
分层随机抽样
解析 ①对应的总体明显分成互不交叉的四层,即甲、乙、丙、丁四个地区,故用分层随机抽样.②对应的总体容量较少且个体差异较小,故用简单随机抽样.
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5.某企业共有3 200名职工,其中青、中、老年职工的比例为3∶5∶2.若从所有职工中抽取一个容量为400的样本,则采用哪种抽样方法更合理 青、中、老年职工应分别抽取多少人
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解 因为总体由差异明显的三部分(青、中、老年)组成,所以采用分层随机抽样的方法更合理.
因为青、中、老年职工的比例是3∶5∶2,所以应分别抽取第六章2.2 分层随机抽样
A级 必备知识基础练
1.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题:“今有北乡8 758人,西乡7 236人,南乡8 356人,现要按人数多少从三个乡共征集487人,问从各乡各征集多少人”.在上述问题中,需从南乡征集的人数大约是( )
A.112 B.128
C.145 D.167
2.某校有学生800人,其中女生有350人,为了解该校学生的体育锻炼情况,按男、女学生采用分层抽样法抽取容量为80的样本,则男生抽取的人数是( )
A.35 B.40
C.45 D.60
3.(多选题)某中学高一年级有20个班,每班50人;高二年级有30个班,每班45人.甲就读于高一,乙就读于高二.学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查,下列说法中正确的有( )
A.应该采用分层随机抽样的方法
B.高一、高二年级应分别抽取100人和135人
C.乙被抽到的可能性比甲大
D.该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力
4.甲校有3 600名学生,乙校有5 400名学生,丙校有1 800名学生,为统计三校学生某方面的情况,计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为90的样本,应在这三校分别抽取学生( )
A.30人,30人,30人
B.30人,45人,15人
C.20人,30人,10人
D.30人,50人,10人
5.某单位200名职工的年龄分布情况如图,现要从中抽取40名职工.若用分层随机抽样方法,则40岁以下年龄段应抽取 人.
6.某高中高一年级有x名学生,高二年级有y名学生,高三年级有z名学生,采用分层随机抽样抽取一个容量为45人的样本,高一年级被抽取20人,高二年级被抽取10人.若高三年级共有300人,则此学校共有 人.
7.某校按分层随机抽样的方法从高中三个年级抽取部分学生调查,从三个年级抽取人数的比例为如图所示的扇形面积比,已知高二年级共有学生1 200人,并从中抽取了40人.
(1)该校的总人数为多少
(2)三个年级分别抽取多少人
8.某高中共有学生3 000名,各年级男生与女生的人数如下表:
性别 高一年级 高二年级 高三年级
女生 523 x y
男生 487 490 z
已知在全校学生中随机抽取100名,抽到高二年级女生的人数是17.
(1)问高二年级有多少名女生
(2)现对各年级用分层随机抽样的方法在全校抽取300名学生,问应在高三年级抽取多少名学生
B级 关键能力提升练
9.某中学有高中生3 000人,初中生2 000人,男、女生所占的比例如下图所示.为了解学生的学习情况,用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取女生21人,则从初中生中抽取的男生人数是( )
A.12 B.15 C.20 D.21
10.某公司生产甲、乙两种产品的数量之比为5∶3,现用分层抽样的方法抽出一个样本,已知样本中甲种产品比乙种产品多6件,则甲种产品被抽取的件数为 .
11.某大型超市有员工120人,其中男性员工90人,现管理部门按性别采用分层随机抽样的方法从超市的所有员工中抽取n人进行问卷调查,若抽取到的男性员工比女性员工多4人,则n= .
12.在120人中,青年人有65人,中年人有15人,老年人有40人,从中抽取一个容量为20的样本.写出用分层随机抽样抽取样本的步骤.
C级 学科素养创新练
13.某单位最近组织了一次健身活动,活动小组分为登山组和游泳组,且每个职工至多参加了其中一组.在参加活动的职工中,青年人占42.5%,中年人占47.5%,老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的,且该组中青年人占50%,中年人占40%,老年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度,现用分层随机抽样法从参加活动的全体职工中抽取200人进行调查,试确定:
(1)游泳组中,青年人、中年人、老年人所占的比例分别为 ;
(2)游泳组中,青年人、中年人、老年人应抽取的人数分别为 .
参考答案
2.2 分层随机抽样
1.D 由题意结合分层随机抽样的方法可知,需从南乡征集的人数为487167.
2.C 由题意可得男生抽取的人数是80=45.故选C.
3.ABD 由于各年级的年龄段不一样,因此应采用分层随机抽样的方法.由于比例为,因此高一年级1000人中应抽取100人,高二年级1350人中应抽取135人,甲、乙被抽到的可能性都是,因此只有C不正确,故应选ABD.
4.B 先求抽样比,再各层按抽样比分别抽取,甲校抽取3600=30(人),乙校抽取5400=45(人),丙校抽取1800=15(人),故选B.
5.20 分层随机抽样时,由于40岁以下年龄段占总数的50%,故容量为40的样本中在40岁以下年龄段中应抽取40×50%=20(人).
6.900 高三年级被抽取45-20-10=15(人),,∴x=400,y=200.又z=300,∴学校共有900人.
7.解高二年级所占的角度为120°.
(1)设总人数为n,则,可知n=3600,故该校的总人数为3600.
(2)高一、高二、高三人数所占的比分别为150∶120∶90=5∶4∶3,可知高一、高二、高三所抽人数分别为50,40,30.
8.解(1)由题设可知,所以x=510.
故高二年级有510名女生.
(2)高三年级人数为
y+z=3000-(523+487+490+510)=990,
现用分层随机抽样的方法在全校抽取300名学生,应在高三年级抽取的人数为990=99.
9.A 因为分层随机抽样的抽取比例为,所以初中生中抽取的男生人数是=12.
故选A.
10.15 设甲种产品被抽取的件数为x,则x∶(x-6)=5∶3,解得x=15.故答案为15.
11.8 总共有120人,男性员工90人,所以女性员工有30人,由总共抽出n人,所以抽样比为,则男性员工抽了90,女性员工抽了30,
又抽取到的男性员工比女性员工多4人,所以=4,则n=8.
12.解第一步 按照青年、中年、老年把总体分为三层;
第二步 计算各层抽取的人数:
青年人:2011(人),
中年人:202(人),
老年人:207(人);
第三步 在各层中采用简单随机抽样抽取样本个体:在青年人和老年人中采用随机数法,在中年人中采用抽签法;
第四步 把抽取的个体组成一个样本即可.
13.(1)40%,50%,10% (2)60,75,15 (1)设登山组人数为x,则游泳组人数为3x,再设游泳组中,青年人、中年人、老年人各占比例分别为a,b,c,则有=42.5%,=47.5%,=10%,
解得a=40%,b=50%,c=10%.
所以游泳组中,青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%,50%,10%.
(2)游泳组中,抽取的青年人人数为20040%=60(人),抽取的中年人人数为
20050%=75(人),抽取的老年人人数为20010%=15(人).
