1.1 随机现象 1.2 样本空间 1.3 随机事件 1.4 随机事件的运算
A级 必备知识基础练
1.(多选题)以下现象不是随机现象的是( )
A.在相同的条件下投掷一枚均匀的硬币,正反两面出现的情况
B.明天是否刮风下雨
C.同种电荷相互排斥
D.四边形的内角和是360°
2.下列事件中,是必然事件的是( )
A.对任意实数x,有x2≥0
B.某人练习射击,击中10环
C.从装有1号,2号,3号球的不透明的袋子中取一球是1号球
D.某人购买彩票中奖
3.依次投掷两枚质地均匀的骰子,所得点数之和记为X,那么X=4表示的随机试验的样本点是( )
A.第一枚是3点,第二枚是1点
B.第一枚是3点,第二枚是1点或第一枚是1点,第二枚是3点或两枚都是2点
C.两枚都是4点
D.两枚都是2点
4.对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A={两次都击中飞机},B={两次都没击中飞机},C={恰有一弹击中飞机},D={至少有一弹击中飞机},下列关系不正确的是( )
A.A∪B≠Ω B.B∩D=
C.A∪C=D D.A∪C=B∪D
5.一个木箱中装有8个同样大小的篮球,编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8,现从中随机取出3个篮球,以X表示取出的篮球的最大号码,则X=8表示的试验结果有 种.
6.从一批产品中取出三件产品,设事件A={三件产品全不是次品},B={三件产品全是次品},C={三件产品不全是次品},则下列结论正确的序号是 .
①A与B互斥;②B与C互斥;③A与C互斥;④A与B对立;⑤B与C对立.
7.从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花的点数为1~10,各10张)中任取1张.判断下列给出的每对事件是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由.
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”;
(2)“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”.
8.某人向一个目标射击3次,用事件Ai表示随机事件“第i次射击击中目标”(i=1,2,3),指出下列事件的含义:
(1)A1∩A2;
(2)A1∩A2∩;
(3);
(4).
B级 关键能力提升练
9.(多选题)从装有大小和形状完全相同的2个红球和3个黑球的口袋内任取2个球,下列各对事件中,互斥而不对立的是( )
A.“至少一个红球”和“都是红球”
B.“恰有一个红球”和“都是红球”
C.“恰有一个红球”和“都是黑球”
D.“至少一个红球”和“都是黑球”
10.一批产品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件,现给出以下四个事件
事件A:恰有一件次品;
事件B:至少有两件次品;
事件C:至少有一件次品;
事件D:至多有一件次品.
并给出以下结论:
①A∪B=C;②B∪D是必然事件;③A∩B=C;④A∩D=C.
其中正确结论的序号是( )
A.①② B.③④
C.①③ D.②③
11.从1,2,3,4,5这5个数中任取两个数,其中:
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;
②至少有一个是奇数和两个都是奇数;
③至少有一个是奇数和两个都是偶数;
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.
上述事件是对立事件的是 .(填序号)
12.某小区有甲、乙两种报刊供居民订阅,记事件A表示“只订甲报刊”,事件B表示“至少订一种报刊”,事件C表示“至多订一种报刊”,事件D表示“不订甲报刊”,事件E表示“一种报刊也不订”.判断下列事件是不是互斥事件,若是,再判断是不是对立事件.
(1)A与C;(2)B与E;
(3)B与D;(4)B与C;
(5)C与E.
C级 学科素养创新练
13.从某大学数学系图书室中任选一本书,设A={数学书},B={中文版的书},C={2018年后出版的书},问:
(1)A∩B∩表示什么事件
(2)在什么条件下,有A∩B∩C=A
(3)如果=B,那么是否意味着图书室中的所有的数学书都不是中文版的
参考答案
§1 随机现象与随机事件
1.1 随机现象 1.2 样本空间
1.3 随机事件 1.4 随机事件的运算
1.CD 根据随机现象的概念可知,A,B是随机现象,C,D是确定性现象,故选CD.
2.A 选项B,C,D中的事件都不确定发生,因此都不是必然事件,A选项,当x∈R时,总有x2≥0发生,是必然事件.
3.B 依次投掷两枚骰子,所得点数之和记为X,那么X=4表示的随机试验的样本点是“第一枚是3点,第二枚是1点”或“第一枚是1点,第二枚是3点”或“两枚都是2点”.故选B.
4.D 选项A,事件A与事件B可以都不发生,故A正确.选项B,由于事件B,D不能同时发生,故B∩D= 正确.选项C,由题意知正确.选项D,由于A∪C=D={至少有一弹击中飞机},不是必然事件;而B∪D为必然事件,所以A∪C≠B∪D,故D不正确.故选D.
5.21 X=8表示的试验结果有:(1,2,8),(1,3,8),(1,4,8),(1,5,8),(1,6,8),(1,7,8),(2,3,8),(2,4,8),(2,5,8),(2,6,8),(2,7,8),(3,4,8),(3,5,8),(3,6,8),(3,7,8),(4,5,8),(4,6,8),(4,7,8),(5,6,8),(5,7,8),(6,7,8),共21种.
6.①②⑤ A为{三件产品全不是次品},指的是三件产品都是正品,B为{三件产品全是次品},C为{三件产品不全是次品},它包括一件次品,两件次品,三件全是正品三个事件,由此知:A与B是互斥事件,但不对立;A与C是包含关系,不是互斥事件,更不是对立事件;B与C是互斥事件,也是对立事件.所以正确结论的序号为①②⑤.
7.解(1)是互斥事件,不是对立事件.理由是:
从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的,所以是互斥事件.同时,也不能保证其中必有一个发生,这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”,因此二者不是对立事件.
(2)不是互斥事件,当然也不可能是对立事件.理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生,如抽得点数为10,因此,这二者不是互斥事件,当然也不可能是对立事件.
8.解(1)A1∩A2表示第1次和第2次射击都击中目标.
(2)A1∩A2表示第1次和第2次射击都击中目标,而第3次没有击中目标.
(3)表示第1次和第2次射击都没击中目标.
(4)表示三次射击都没击中目标.
9.BC 从装有大小和形状完全相同的2个红球和3个黑球的口袋内任取2个球,
在A中,“至少一个红球”和“都是红球”能同时发生,不是互斥事件,故A错误;
在B中,“恰有一个红球”和“都是红球”不能同时发生,是互斥而不对立事件,故B正确;
在C中,“恰有一个红球”和“都是黑球”不能同时发生,是互斥而不对立事件,故C正确;
在D中,“至少一个红球”和“都是黑球”是对立事件,故D错误.故选BC.
10.A 事件A∪B:至少有一件次品,即事件C,所以①正确;事件A∩B= ,③不正确;事件B∪D:至少有两件次品或至多有一件次品,包括了所有情况,所以②正确;事件A∩D:恰有一件次品,即事件A,所以④不正确.故选A.
11.③ ①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数不是互斥事件,也不是对立事件;②至少有一个是奇数和两个都是奇数不是互斥事件,也不是对立事件;③至少有一个是奇数和两个都是偶数是互斥事件,也是对立事件;④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数不是互斥事件,也不是对立事件.故答案为③.
12.解(1)由于事件C“至多订一种报刊”中有可能“只订甲报刊”,即事件A与事件C有可能同时发生,故A与C不是互斥事件.
(2)事件B“至少订一种报刊”与事件E“一种报刊也不订”是不可能同时发生的,故B与E是互斥事件.由于事件B发生可导致事件E一定不发生,且事件E发生会导致事件B一定不发生,故B与E还是对立事件.
(3)事件B“至少订一种报刊”中有可能“只订乙报”,即有可能“不订甲报刊”,即事件B发生,事件D也可能发生,故B与D不是互斥事件.
(4)B∩C表示“恰好订一种报刊”,故B与C不是互斥事件.
(5)事件C“至多订一种报刊”中有可能“一种报刊也不订”,故C与E不是互斥事件.
13.解(1)A∩B={2018年或2018年前出版的中文版的数学书}.
(2)在“图书室中所有数学书都是2018年后出版的且为中文版”的条件下,才有A∩B∩C=A.
(3)是,=B意味着图书室中的非数学书都是中文版的,而且所有的中文版的书都不是数学书,同时=B又可化成=A,因而也可解释为图书室中所有数学书都不是中文版的,而且所有不是中文版的书都是数学书.(共20张PPT)
第七章
1.1 随机现象 1.2 样本空间 1.3 随机事件 1.4 随机事件的运算
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A 级 必备知识基础练
1.(多选题)以下现象不是随机现象的是( )
A.在相同的条件下投掷一枚均匀的硬币,正反两面出现的情况
B.明天是否刮风下雨
C.同种电荷相互排斥
D.四边形的内角和是360°
CD
解析 根据随机现象的概念可知,A,B是随机现象,C,D是确定性现象,故选CD.
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2.下列事件中,是必然事件的是( )
A.对任意实数x,有x2≥0
B.某人练习射击,击中10环
C.从装有1号,2号,3号球的不透明的袋子中取一球是1号球
D.某人购买彩票中奖
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解析 选项B,C,D中的事件都不确定发生,因此都不是必然事件,A选项,当x∈R时,总有x2≥0发生,是必然事件.
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3.依次投掷两枚质地均匀的骰子,所得点数之和记为X,那么X=4表示的随机试验的样本点是( )
A.第一枚是3点,第二枚是1点
B.第一枚是3点,第二枚是1点或第一枚是1点,第二枚是3点或两枚都是2点
C.两枚都是4点
D.两枚都是2点
B
解析 依次投掷两枚骰子,所得点数之和记为X,那么X=4表示的随机试验的样本点是“第一枚是3点,第二枚是1点”或“第一枚是1点,第二枚是3点”或“两枚都是2点”.故选B.
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4.对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A={两次都击中飞机},B={两次都没击中飞机},C={恰有一弹击中飞机},D={至少有一弹击中飞机},下列关系不正确的是( )
A.A∪B≠Ω B.B∩D=
C.A∪C=D D.A∪C=B∪D
D
解析 选项A,事件A与事件B可以都不发生,故A正确.选项B,由于事件B,D不能同时发生,故B∩D= 正确.选项C,由题意知正确.选项D,由于A∪C=D={至少有一弹击中飞机},不是必然事件;而B∪D为必然事件,所以A∪C≠B∪D,故D不正确.故选D.
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5.一个木箱中装有8个同样大小的篮球,编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8,现从中随机取出3个篮球,以X表示取出的篮球的最大号码,则X=8表示的试验结果有
种.
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解析 X=8表示的试验结果有: (1,2,8),(1,3,8),(1,4,8),(1,5,8),(1,6,8),(1,7,8),(2,3,8),(2,4,8),(2,5,8),(2,6,8),
(2,7,8),(3,4,8),(3,5,8),(3,6,8),(3,7,8),(4,5,8),(4,6,8),(4,7,8),(5,6,8),(5,7,8),
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6.从一批产品中取出三件产品,设事件A={三件产品全不是次品},B={三件产品全是次品},C={三件产品不全是次品},则下列结论正确的序号是 .
①A与B互斥;②B与C互斥;③A与C互斥;④A与B对立;⑤B与C对立.
①②⑤
解析 A为{三件产品全不是次品},指的是三件产品都是正品,B为{三件产品全是次品},C为{三件产品不全是次品},它包括一件次品,两件次品,三件全是正品三个事件,由此知:A与B是互斥事件,但不对立;A与C是包含关系,不是互斥事件,更不是对立事件;B与C是互斥事件,也是对立事件.所以正确结论的序号为①②⑤.
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7.从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花的点数为1~10,各10张)中任取1张.判断下列给出的每对事件是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由.
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”;
(2)“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”.
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解 (1)是互斥事件,不是对立事件.理由是:
从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的,所以是互斥事件.同时,也不能保证其中必有一个发生,这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”,因此二者不是对立事件.
(2)不是互斥事件,当然也不可能是对立事件.理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生,如抽得点数为10,因此,这二者不是互斥事件,当然也不可能是对立事件.
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8.某人向一个目标射击3次,用事件Ai表示随机事件“第i次射击击中目标”(i=1,2,3),指出下列事件的含义:
(1)A1∩A2;
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解 (1)A1∩A2表示第1次和第2次射击都击中目标.
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9.(多选题)从装有大小和形状完全相同的2个红球和3个黑球的口袋内任取2个球,下列各对事件中,互斥而不对立的是( )
A.“至少一个红球”和“都是红球”
B.“恰有一个红球”和“都是红球”
C.“恰有一个红球”和“都是黑球”
D.“至少一个红球”和“都是黑球”
BC
解析 从装有大小和形状完全相同的2个红球和3个黑球的口袋内任取2个球,
在A中,“至少一个红球”和“都是红球”能同时发生,不是互斥事件,故A错误;
在B中,“恰有一个红球”和“都是红球”不能同时发生,是互斥而不对立事件,故B正确;
在C中,“恰有一个红球”和“都是黑球”不能同时发生,是互斥而不对立事件,故C正确;
在D中,“至少一个红球”和“都是黑球”是对立事件,故D错误.故选BC.
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10.一批产品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件,现给出以下四个事件
事件A:恰有一件次品;
事件B:至少有两件次品;
事件C:至少有一件次品;
事件D:至多有一件次品.
并给出以下结论:
①A∪B=C;②B∪D是必然事件;③A∩B=C;④A∩D=C.
其中正确结论的序号是( )
A.①② B.③④ C.①③ D.②③
A
解析 事件A∪B:至少有一件次品,即事件C,所以①正确;事件A∩B= ,③不正确;事件B∪D:至少有两件次品或至多有一件次品,包括了所有情况,所以②正确;事件A∩D:恰有一件次品,即事件A,所以④不正确.故选A.
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11.从1,2,3,4,5这5个数中任取两个数,其中:
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;
②至少有一个是奇数和两个都是奇数;
③至少有一个是奇数和两个都是偶数;
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.
上述事件是对立事件的是 .(填序号)
③
解析 ①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数不是互斥事件,也不是对立事件;②至少有一个是奇数和两个都是奇数不是互斥事件,也不是对立事件;③至少有一个是奇数和两个都是偶数是互斥事件,也是对立事件;④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数不是互斥事件,也不是对立事件.故答案为③.
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(1)A与C;(2)B与E;
(3)B与D;(4)B与C;
(5)C与E.
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解 (1)由于事件C“至多订一种报刊”中有可能“只订甲报刊”,即事件A与事件C有可能同时发生,故A与C不是互斥事件.
(2)事件B“至少订一种报刊”与事件E“一种报刊也不订”是不可能同时发生的,故B与E是互斥事件.由于事件B发生可导致事件E一定不发生,且事件E发生会导致事件B一定不发生,故B与E还是对立事件.
(3)事件B“至少订一种报刊”中有可能“只订乙报”,即有可能“不订甲报刊”,即事件B发生,事件D也可能发生,故B与D不是互斥事件.
(4)B∩C表示“恰好订一种报刊”,故B与C不是互斥事件.
(5)事件C“至多订一种报刊”中有可能“一种报刊也不订”,故C与E不是互斥事件.
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C 级 学科素养创新练
13.从某大学数学系图书室中任选一本书,设A={数学书},B={中文版的书}, C={2018年后出版的书},问:
(1)A∩B∩ 表示什么事件
(2)在什么条件下,有A∩B∩C=A
(3)如果 =B,那么是否意味着图书室中的所有的数学书都不是中文版的
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(2)在“图书室中所有数学书都是2018年后出版的且为中文版”的条件下,才有A∩B∩C=A.(共51张PPT)
第七章
1.1 随机现象 1.2 样本空间 1.3 随机事件 1.4 随机事件的运算
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
目录索引
成果验收·课堂达标检测
课程标准 1.了解随机现象、样本点和样本空间的概念.
2.理解随机事件的概念,在实际问题中,能正确地求出事件包含的样本点的个数,并会写出相应的样本空间.
3.理解事件的关系与运算,并会简单应用.
4.理解互斥事件与对立事件的概念及二者之间的关系.
基础落实·必备知识全过关
知识点1 现象的相关概念
1.确定性现象:在一定条件下必然出现的现象,称为确定性现象.
2.随机现象:在一定条件下,进行试验或观察会出现不同的结果,而且每次试验之前都无法预言会出现哪一种结果的现象,称为随机现象.
名师点睛
随机现象的两个特点
(1)结果至少有两种;
(2)事先并不知道会出现哪一种结果.
过关自诊
以下现象是随机现象的是( )
A.过了冬天就是春天
B.物体只在重力作用下自由下落
C.不共线的三点确定一个平面
D.下一届奥运会中国获得30枚金牌
D
解析 A,B,C均是确定性现象,D是随机现象.
知识点2 样本空间
1.试验:在概率与统计中,把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验,一般用E表示,把观察结果或实验结果称为试验结果.
2.样本空间:一般地,将试验E的所有可能结果组成的集合称为试验E的样本空间,记作Ω.
3.样本点:样本空间Ω的元素,即试验E的每种可能结果,称为试验E的样本点,记作ω.
4.有限样本空间:如果样本空间Ω的样本点的个数是有限的,那么称样本空间Ω为有限样本空间.
过关自诊
1.[人教A版教材例题]抛掷一枚硬币,观察它落地时哪一面朝上,写出试验的样本空间.
解 因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果,所以试验的样本空间可以表示为Ω={正面朝上,反面朝上}.
如果用h表示“正面朝上”,t表示“反面朝上”,则样本空间Ω={h,t}.
2.[人教A版教材例题]抛掷一枚骰子,观察它落地时朝上的面的点数,写出试验的样本空间.
解 用i表示朝上面的“点数为i”.
因为落地时朝上面的点数有1,2,3,4,5,6共6个可能的基本结果,所以试验的样本空间可以表示为Ω={1,2,3,4,5,6}.
3.[人教A版教材例题]抛掷两枚硬币,观察它们落地时朝上的面的情况,写出试验的样本空间.
解 掷两枚硬币,第一枚硬币可能的基本结果用x表示,第二枚硬币可能的基本结果用y表示,那么试验的样本点可用(x,y)表示.
于是,试验的样本空间Ω={(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面,反面)}.
知识点3 随机事件
1.随机事件:一般地,把试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件,简称事件.常用A,B,C等表示.
2.必然事件:样本空间Ω是其自身的子集,因此Ω也是一个事件;又因为它包含所有的样本点,每次试验无论哪个样本点ω出现,Ω都必然发生,因此称Ω为必然事件.
3.不可能事件:空集 也是Ω的一个子集,可以看作一个事件;由于它不包含任何样本点,它在每次试验中都不会发生,故称 为不可能事件.
名师点睛
应注意事件的结果是相对于条件而言的,所以必须明确何为事件发生的条件,何为此条件下产生的结果.
过关自诊
1.[人教B版教材例题]张华练习投篮10次,观察张华投篮命中的次数,写出对应的样本空间,并用集合表示出事件A:投篮命中的次数不少于7次.
解 样本空间为Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},所要表示的事件为A={7,8,9,10}.
2.[人教A版教材例题]
如图,一个电路中有A,B,C三个电器元件,每个元件可能正常,也可能失效.把这个电路是否为通路看作一个随机现象,观察这个电路中各元件是否正常.
(1)写出试验的样本空间;
(2)用集合表示下列事件:
M=“恰好两个元件正常”;
N=“电路是通路”;
T=“电路是断路”.
解 (1)分别用x1,x2和x3表示元件A,B和C的可能状态,则这个电路的工作状态可用(x1,x2,x3)表示.
进一步地,用1表示元件的“正常”状态,用0表示“失效”状态,则样本空间Ω={(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)}.
(2)“恰好两个元件正常”等价于(x1,x2,x3)∈Ω,且x1,x2,x3中恰有两个为1,所以M={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}.
“电路是通路”等价于(x1,x2,x3)∈Ω,x1=1,且x2,x3中至少有一个是1,所以N={(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)}.
同理,“电路是断路”等价于(x1,x2,x3)∈Ω,x1=0,或x1=1,x2=x3=0.
所以T={(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,0)}.
知识点4 随机事件的运算
1.交事件与并事件
名称 定义 表示法 图示
交事件 (或积 事件) 一般地,由事件A与事件B都发生所构成的事件,称为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或AB)
并事件 (或和 事件) 一般地,由事件A和事件B至少有一个发生(即A发生或B发生,或A,B都发生)所构成的事件,称为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A+B)
2.互斥事件与对立事件
互斥 事件 定义 一般地,不能同时发生的两个事件A与B(A∩B= )称为互斥事件
符号 A∩B= (或AB= )
图示
注意事项 例如,在掷骰子试验中,记C1={出现1点},C2={出现2点},则C1与C2互斥
对立 事件 定义 若A∩B= ,且A∪B=Ω,则称事件A与事件B互为对立事件
图示
注意事项 A的对立事件一般记作
名师点睛
事件运算的性质
(1)A∪B=B∪A.
(2)并事件包含三种情况:①事件A发生,事件B不发生;②事件A不发生,事件B发生;③事件A,B都发生.即A∪B表示事件A,B至少有一个发生.
(3)A∩B或AB表示事件A与事件B同时发生.
过关自诊
1.[人教A版教材例题]如图,由甲、乙两个元件组成一个并联电路,每个元件可能正常或失效.设事件A=“甲元件正常”,B=“乙元件正常”.
(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间;
(2)用集合的形式表示事件A,B以及它们的对立事件;
(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件 ,并说明它们的含义及关系.
解 (1)用x1,x2分别表示甲、乙两个元件的状态,则可以用(x1,x2)表示这个并联电路的状态.
以1表示元件正常,0表示元件失效,则样本空间为Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.
(2)根据题意,可得A={(1,0),(1,1)},B={(0,1),(1,1)},
2.[人教A版教材例题]一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”,R2=“第二次摸到红球”,R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”,M=“两个球颜色相同”,N=“两个球颜色不同”.
(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件;
(2)事件R与R1,R与G,M与N之间各有什么关系
(3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系 事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系
解 (1)所有的试验结果如图所示.用数组(x1,x2)表示可能的结果,x1是第一次摸到的球的标号,x2是第二次摸到的球的标号,则试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}.
事件R1=“第一次摸到红球”,即x1=1或2,
于是R1={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)};
事件R2=“第二次摸到红球”,即x2=1或2,
于是R2={(2,1),(3,1),(4,1),(1,2),(3,2),(4,2)}.
同理,有R={(1,2),(2,1)},
G={(3,4),(4,3)},
M={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)},
N={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}.
(2)因为R R1,所以事件R1包含事件R;
因为R∩G= ,所以事件R与事件G互斥;
因为M∪N=Ω,M∩N= ,所以事件M与事件N互为对立事件.
(3)因为R∪G=M,所以事件M是事件R与事件G的并事件;因为R1∩R2=R,所以事件R是事件R1与事件R2的交事件.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 样本点与样本空间
【例1】 同时掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.
(1)写出这个试验的样本空间.
(2)求这个试验的样本点的总数.
(3)“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个样本点
解 (1)试验的样本空间Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),
(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)}.
(2)样本点的总数是8.
(3)“恰有两枚正面向上”包含以下3个样本点:(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正).
变式探究同时掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面,写出这个试验中“恰有一枚正面向上”这一事件包含的样本点.
解 “恰有一枚正面向上”这一事件包含3个样本点,分别是:(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正).
规律方法 确定样本空间的方法
(1)必须明确事件发生的条件;
(2)根据题意,按一定的次序列出问题的答案.特别要注意结果出现的机会是均等的,按规律去写,要做到既不重复也不遗漏.
探究点二 随机事件的概念及分类
【例2】 以下的随机事件中不是必然事件的是( )
A.标准大气压下,水加热到100 ℃,必会沸腾
B.长和宽分别为a,b的矩形,其面积为a×b
C.走到十字路口,遇到红灯
D.三角形内角和为180°
C
解析 在A中,标准大气压下,水加热到100 ℃,必会沸腾是必然事件,故A不符合题意;在B中,长和宽分别为a,b的矩形,其面积为a×b是必然事件,故B不符合题意;在C中,走到十字路口,遇到红灯是随机事件但不是必然事件,故C符合题意;在D中,三角形内角和为180°是必然事件,故D不符合题意.
规律方法 1.要判断一个事件是必然事件、随机事件、还是不可能事件,要从定义出发.
2.必然事件和不可能事件不具有随机性,但为了统一处理,将必然事件和不可能事件作为随机事件的特殊情形,具有随机性的和不具有随机性的事件都可以理论上认为是随机事件.
变式训练1从6个篮球、2个排球中任选3个球,则下列事件中,不可能事件是
( )
A.3个都是篮球
B.至少有1个是排球
C.3个都是排球
D.至少有1个是篮球
C
解析 根据题意,从6个篮球、2个排球中任选3个球,四个选项都是随机事件,进一步C是不可能事件,D是必然事件.
探究点三 互斥事件与对立事件的判定
【例3】 某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件.
(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”;
(2)“至少有1名男生”与“全是男生”;
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”;
(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”.
解 从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果:2名男生、2名女生、1男1女.
(1)“恰有1名男生”指1男1女,与“恰有2名男生”不能同时发生,它们是互斥事件;但是当选取的结果是2名女生时,该两事件都不发生,所以它们不是对立事件.
(2)“至少1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果,与事件“全是男生”可能同时发生,所以它们不是互斥事件.
(3)“至少1名男生”与“全是女生”不可能同时发生,所以它们互斥,由于它们必有一个发生,所以它们是对立事件.
(4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果,当选出的是1男1女时,“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生,所以它们不是互斥事件.
规律方法 互斥事件和对立事件的判定方法
利用基本概念,要判断两个事件是不是互斥事件,只需要找出各个事件所包含的所有样本点,看它们能不能同时发生,在互斥的前提下,看两个事件中是否必有一个发生,可判断是否为对立事件.注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义,明晰它们对事件结果的影响.
变式训练2把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人,每人分得1张,事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )
A.对立事件
B.不可能事件
C.互斥但不对立事件
D.以上答案都不对
解析 “甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生,但分得红牌的还可能是丙或丁,所以不是对立事件.
故选C.
C
探究点四 事件的运算
角度1事件间的运算
【例4】 连续抛掷两枚骰子,观察落地时的点数.记事件A={两次出现的点数相同},事件B={两次出现的点数之和为4},事件C={两次出现的点数之差的绝对值为4},事件D={两次出现的点数之和为6}.
(1)用样本点表示事件C∩D,A∪B;
(2)若事件E={(1,3),(1,5),(2,2),(2,6),(3,1),(5,1),(6,2)},则事件E与已知事件是什么运算关系
解 由题意得,事件A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},
事件B={(1,3),(2,2),(3,1)},事件C={(1,5),(2,6),(5,1),(6,2)},
事件D={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.
(1)C∩D={(1,5),(5,1)},A∪B={(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}.
(2)E=B∪C.
规律方法 事件间的运算方法
(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果,分析并利用这些结果进行事件间的运算.
(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想,分析同一条件下的试验所有可能出现的结果,把这些结果在图中列出,进行运算.
变式训练3盒子里有6个红球、4个白球,现从中任取3个球,设事件A={3个球中有1个红球2个白球},事件B={3个球中有2个红球1个白球},事件C={3个球中至少有1个红球},事件D={3个球中既有红球又有白球}.
(1)事件D与A,B是什么样的运算关系
(2)事件C与A的交事件是什么事件
解 (1)对于事件D,可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球,故D=A∪B.
(2)对于事件C,可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个均为红球,故C∩A=A.
角度2事件运算的综合问题
【例5】 抛掷编号为1,2的两枚骰子,记“1号骰子出现2点”为事件A,“2号骰子出现3点”为事件B,分别判断下列两对事件是否为互斥事件:
(1)事件A与事件AB;
(2)事件B与事件A .
解 由题意得,事件A={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)},事件B={(1,3),(2,3),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3)}.
(1)事件AB={(2,3)},所以A∩(AB)={(2,3)}≠ ,所以事件A与事件AB不是互斥事件.
(2)事件 ={(1,1),(1,2),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),
(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,4),(6,5),(6,6)},所以事件A ={(2,1),(2,2),(2,4),(2,5),(2,6)},
所以B∩A = ,所以事件B与事件A 是互斥事件.
规律方法 事件运算应注意的两个问题
(1)进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.
(2)在一些比较复杂的判断事件之间互斥关系的题目中,要严格按照定义来推理.
变式训练4设A,B,C为三个事件,下列表述不正确的是( )
A
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)随机事件、必然事件、不可能事件的概念;
(2)实际问题中样本空间及样本点的求法;
(3)随机事件的含义,随机事件的样本空间的表示;
(4)交事件与并事件;
(5)互斥事件与对立事件.
2.方法归纳:列举法、Venn图法.
3.常见误区:因未按照一定的顺序列举样本点,导致样本点重复或遗漏;未弄清事件之间的关系,导致互斥、对立事件判断错误.
成果验收·课堂达标检测
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1.下列现象:①当x是实数时,x-|x|=2;
②某班一次数学测试,及格率低于75%;
③从分别标有0,1,2,3,…,9这十个数字的纸团中任取一个,取出的纸团是偶数;
④体育彩票某期的特等奖号码.
其中是随机现象的是( )
A.①②③ B.①③④
C.②③④ D.①②④
C
解析 由随机现象的定义知②③④正确.
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2.从含有8件正品、2件次品的10件产品中,任意抽取3件,则必然事件是
( )
A.3件都是正品 B.至少有1件次品
C.3件都是次品 D.至少有1件正品
D
解析 从含有8件正品、2件次品的10件产品中,任意抽取3件,对于A,3件都是正品不是必然事件,A错误;对于B,至少有1件次品不是必然事件,B错误;对于C,3件都是次品是不可能事件,C错误;对于D,至少有1件正品是必然事件,D正确.故选D.
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3.已知事件M“3粒种子全部发芽”,事件N“3粒种子都不发芽”,那么事件M和N是( )
A.不可能事件 B.不是互斥事件
C.互斥但不对立事件 D.对立事件
C
解析 事件M与事件N在任何一次试验中不会同时发生,故事件M和事件N互斥,而事件M“3粒种子全部发芽”的对立事件为“3粒种子不都发芽”,有可能1个不发芽,也有可能2个不发芽,也有可能3个不发芽,故事件M和事件N不对立,故事件M和事件N互斥但不对立.故选C.
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4.为了丰富学生的课外生活,某校要组建数学、计算机、航空模型3个兴趣小组,小明要选报其中的2个,则包含的样本点共有 个.
3
解析 由题意可得,包含的样本点有“数学与计算机”“数学与航空模型”“计算机与航空模型”,共3个.
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5.打靶三次,事件Ai表示“击中i次”,i=0,1,2,3,则“至少有一次击中”这一事件用事件的交、并运算应表示为 .
A1∪A2∪A3(或A1+A2+A3)
解析 因为A0,A1,A2,A3彼此互斥,“至少有一次击中”是击中一次A1,击中二次A2和击中三次A3这三个事件的并事件,应表示为A1∪A2∪A3(或A1+A2+A3).
