(共20张PPT)
第六章
3.1 从频数到频率 3.2 频率分布直方图
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A 级 必备知识基础练
1.一个频数分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分,若样本中数据在区间[20,60)上的频率为0.8,则估计样本在区间[40,50),[50,60)内的数据个数共为( )
A.15 B.16
C.17 D.19
A
解析 由题易得在区间[40,50),[50,60)内的频率为0.8- =0.5.故样本在区间[40,50),[50,60)内的数据个数共为30×0.5=15.故选A.
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2.(多选题)为弘扬中华民族传统文化,某中学学生会对本校高一年级1 000名学生课余时间参加传统文化活动的情况,随机抽取50名学生进行调查,将数据分组整理后,列表如下
参加场数 0 1 2 3 4 5 6 7
参加人数占调 查人数的百分比 8% 10% 20% 26% 18% 12% 4% 2%
估计该校高一学生参加传统文化活动情况不正确的是( )
A.参加活动次数是3场的学生约为360人
B.参加活动次数是2场或4场的学生约为480人
C.参加活动次数不高于2场的学生约为280人
D.参加活动次数不低于4场的学生约为360人
ABC
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解析 参加活动场数为3场的学生约有1 000×26%=260(人),A错误;参加活动场数为2场或4场的学生约有1 000×(20%+18%)=380(人),B错误;参加活动场数不高于2场的学生约有1 000×(8%+10%+20%)=380(人),C错误;参加活动场数不低于4场的学生约有1 000×(18%+12%+4%+2%)=360(人),D正确.故选ABC.
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3.去年,相关部门对某城市的某景区在“十一”黄金周中每天的游客人数作了统计,其频率分布如下表所示:
时间 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日
频率 0.05 0.08 0.09 0.13 0.30 0.15 0.20
已知10月1日这天该景区的营业额约为8万元,假定这七天每天游客人均消费相同,则这个黄金周该景区游客人数最多的那一天的营业额约为
万元.
48
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解析 根据表格可知,10月1日这天的频率为0.05,营业额为8万;频率最高的为10月5日,频率为0.30.
设这个黄金周10月5日的营业额约为x万元,
由 ,得x=48,则游客人数最多的那一天的营业额约为48万元.
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4.从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图所示).由图中数据可知a= .若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中,用分层随机抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为 .
0.030
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解析 因为频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1,所以10×(0.005+0.035+a+0.020+0.010)=1,解得a=0.030.由图可知身高在[120,150]内的学生人数为100×10×(0.030+0.020+0.010)=60,其中身高在[140,150]内的学生人数为10,所以从身高在[140,150]内的学生中选取的人数为
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5.为了解某校高一1 000名学生的物理成绩,随机抽查了部分学生的期中考试成绩,将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)估计该校高一学生物理成绩不低于80分的人数;
(2)若在本次考试规定物理成绩在m分以上(包括m分)的为优秀,该校学生物理成绩的优秀率大约为18%,求m的值.
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解 (1)由频率分布直方图得,该校高一学生物理成绩不低于80分的频率为(0.03+0.024)×10=0.54,
∴该校高一学生物理成绩不低于80分的人数为1 000×0.54=540.
(2)∵0.24>0.18,
∴90解得m=92.5.
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B 级 关键能力提升练
6.为了丰富教职工业余生活,某校计划在假期组织全体老师外出旅游,并给出了两个方案(方案一和方案二),每位老师均选择且只选择一种方案,其中有50%的男老师选择方案一,有75%的女老师选择方案二,且选择方案一的老师中女老师占40%,那么该校全体老师中女老师的比例为( )
B
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解析 设该校男老师的人数为x,女老师的人数为y,则可得如下表格:
性别 方案一 方案二
男老师 0.5x 0.5x
女老师 0.25y 0.75y
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7.(多选题)某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查,随机抽取了100名学生,他们的身高都处在A,B,C,D,E五个层次内,根据抽样结果得到统计图表如图,则下面叙述正确的是( )
A.样本中女生人数多于男生人数
B.样本中B层人数最多
C.样本中E层男生人数为6人
D.样本中D层男生人数多于女生人数
女生身高情况直方图
男生身高情况扇形图
ABC
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解析 样本中女生人数为9+24+15+9+3=60,男生人数为100-60=40,A正确;
样本中A层人数为9+40×10%=13,B层人数为24+40×30%=36,C层人数为15+40×25%=25,D层人数为9+40×20%=17,E层人数为3+40×15%=9,故B正确;
样本中E层男生人数为40×15%=6,C正确;
样本中D层男生人数为40×20%=8,女生人数为9,D错误.
故选ABC.
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8.某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中,上学所需时间的范围是[0,100],样本数据分组为[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].
(1)图中的x= ;
(2)若上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿,则该校600名新生中估计有
名学生可以申请住宿.
0.0125
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解析 (1)由频率分布直方图知20x=1-20×(0.025+0.006 5+0.003+0.003),解得x=0.012 5.
(2)上学时间不少于1小时的学生的频率为0.003×2×20=0.12,因此估计有0.12×600=72(人)可以申请住宿.
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9.某样本频率分布直方图如图所示,且在区间[15,18)内频数为8.求:
(1)求样本容量;
(2)若在区间[12,15)内的小矩形面积为0.06,求在区
间[12,15)内的频数和样本在区间[18,33)内的频率.
(2)因为[12,15)内的小矩形面积为0.06,所以在区间[12,15)内频率为0.06,且样本容量为50,所以在区间[12,15)内的频数为50×0.06=3,又因为在区间[15,18)内的频数为8,所以在区间[18,33)内的频数为50-3-8=39.所以在区间[18,33)内的频率为 =0.78.
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C 级 学科素养创新练
10.为了解某市家庭用电量的情况,该市统计局调查了100户居民去年一年的月均用电量,发现他们的用电量都在50 kW·h至350 kW·h之间,进行适当分组后,画出频率分布直方图如图所示.
(1)求a的值;
(2)求被调查用户中,用电量大于250 kW·h的户数;
(3)为了既满足居民的基本用电需求,又提高能源的利用效率,市政府计划采用阶梯定价,希望使80%的居民缴费在第一档(费用最低),请给出第一档用电标准(单位:kW·h)的建议.
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解 (1)因为(0.002 4+0.003 6+a+0.004 4+0.002 4+0.001 2)×50=1,
所以a=0.006 0.
(2)根据频率分布直方图可知,“用电量大于250 kW·h”的频率为(0.002 4 +0.001 2)×50=0.18,所以用电量大于250 kW·h的户数为100×0.18=18.
(3)因为前三组的频率之和为(0.002 4+0.003 6+0.006 0)×50=0.6<0.8,
前四组的频率之和为(0.002 4+0.003 6+0.006 0+0.004 4)×50=0.82>0.8,
所以频率为0.8时对应的数据在第四组,所以第一档用电标准为
故第一档用电标准为245.5 kW·h.(共54张PPT)
第六章
3.1 从频数到频率 3.2 频率分布直方图
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
目录索引
成果验收·课堂达标检测
课程标准 1.了解频率与频数对总体的估计情况.
2.理解用样本的频率分布估计总体的分布的方法.
3.会列频率分布表,画频率分布直方图、频率折线图.
4.能够利用频率分布直方图解决实际问题.
基础落实·必备知识全过关
知识点1 频率分布表与频率分布直方图
1.基本概念
名称 概念
频数、 频率 将一批数据按要求分为若干个组,各组内数据的个数,叫作该组的频数.每组频数除以全体数据个数的商叫作该组的频率.频率反映该组数据在样本中所占比例的大小
样本的 频率分布 根据随机所抽样本的大小,分别计算某一事件出现的频率,这些频率的分布规律(取值状况)就叫作样本的频率分布
极差 若一组数据的最小值为a,最大值为b,则b-a的差就叫作极差
组距 把所有数据分成若干组,每个小组的两个端点之间的距离称为组距
2.频率分布表和频率分布直方图的意义
从一个总体得到一个包含大量数据的样本时,我们很难从一个个数据中直接看出样本所含的信息.如果把这些数据整理成频率分布表或频率分布直方图,就可以比较清楚地看出样本数据的频率分布,从而估计总体的分布情况.用样本估计总体,是研究统计问题的一个基本思想方法,而对于总体分布,我们总是用样本频率分布对它进行估计.
3.频率分布表与频率分布直方图的制作步骤
(1)频率分布是指从各个小组数据在样本
容量中所占比例大小的角度,来表示数据分布的规律.
(2)一般用频率分布直方图反映样本的频率分布.
(3)画频率分布直方图的一般步骤为:
第一步,求极差.
第二步,确定组距和组数.为了方便起见,组距的选择应力求“取整”,极差、
组距、组数有如下关系:①若 为整数,则 =组数;②若 不为整数,则 +1=组数.
([x]表示不大于x的最大整数)
第三步,分组.通常对组内数值所在区间取左闭右开区间,最后一组取闭区间.
第四步,列频率分布表.统计各组数据的频数,计算频率,填入表格中,完成频率分布表.
第五步,依据频率分布表画频率分布直方图.画图时,以横轴表示样本数据,纵轴(小长方形的高)表示频率与组距的比值.
名师点睛
频率分布直方图的特征
总体分布情况可以通过样本频率分布情况来估计,样本频率分布是总体分布的一种近似表示,频率分布表和频率分布直方图有以下特征:(1)从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势.(2)从频率分布直方图得
不出原始的数据内容,把数据表示成直方图后,原有的具体数据信息就被抹掉了.(3)频率分布表和频率分布直方图由样本决定,因此它们会随样本的变化而变化.(4)若固定分组数,随着样本容量的增加,频率分布表中各个频率会稳定在某一个值的附近,从而频率分布直方图中的各个小长方形的高度也会稳定在特定的值上.
过关自诊
1.[人教A版教材习题]从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查,发现他们的用电量都在50~350 kW·h之间,进行适当分组后(每组为左闭右开的区间),画出如图所示的频率分布直方图.
(1)直方图中x的值为 ;
(2)在被调查的用户中,用电量落在区间[100,250)内的户数为 .
0.004 4
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解析 (1) 由(0.006 0+x+0.003 6+0.002 4×2+0.001 2)×50=1,得x=0.004 4.
(2) (0.003 6+0.006 0+0.004 4)×50×100=70.
2.[人教A版教材习题]如图,胡晓统计了他爸爸9月的手机通话明细清单,发现他爸爸该月共通话60次.胡晓按每次通话时间长短进行分组(每组为左闭右开的区间),画出了频率分布直方图.
(1)通话时长在区间[15,20),[20,30)内的次数分别为多少
(2)区间[20,30)上的小长方形高度低于[15,20)上的小长方形的高度,说明什么
解 (1)0.030×5×60=9,0.020×10×60=12,
故通话时长在区间[15,20),[20,30)内的次数分别为9,12.
(2)说明通话时长在区间[15,20)上的数据密度大于在区间[20,30)上的数据密度.
3.[人教B版教材例题]我国是世界上严重缺水的国家之一,某市为了制定合理的节水方案,对家庭用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年100个家庭的月均用水量(单位:t),将数据按照[0,1),[1,2),[2,3),[3,4),[4,5]分成5组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中a的值;
(2)设该市有10万个家庭,估计全市月均用水量不低于3 t的家庭数;
(3)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替,估计全市家庭月均用水量的平均数.
解 (1)因为频率分布直方图所有矩形的面积之和为1,
所以(0.12+0.22+0.36+a+0.12)×1=1,
解得a=0.18.
(2)抽取的样本中,月均用水量不低于3 t的家庭所占比例为(a+0.12)×1=0.3=30%,
因此估计全市月均用水量不低于3 t的家庭所占比例也为30%,所求家庭数为100 000×30%=30 000.
(3)因为0.12×0.5+0.22×1.5+0.36×2.5+0.18×3.5+0.12×4.5=2.46,
所以估计全市家庭月均用水量的平均数为2.46.
知识点2 频率折线图
在频率分布直方图中,按照分组原则,再在左边和右边各加一个区间,从所加的左边区间的中点开始,用线段依次连接各个矩形的顶端中点,直至右边所加区间的中点,就可以得到一条折线,我们称之为频率折线图.
名师点睛
频率折线图的优点是它反映了数据的变化趋势,随着样本容量的不断增加,分组的不断加密,频率折线就会越来越光滑,最终形成一条光滑的曲线.
过关自诊
判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)分组越密的频率分布直方图得到的频率折线图越光滑.( )
(2)频率折线图不能反应数据的变化趋势.( )
√
×
微拓展
总体密度曲线的特征
(1)在样本频率分布直方图中,随着样本容量的增加,作图时所分的组数增加,组距减小,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,统计学中称这条光滑曲线为总体密度曲线,如图所示.
(2)总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的百分比,它能给我们提供更加精细的信息,图中阴影部分的面积,就是总体在区间(a,b)内取值的百分比.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 频数与频率的有关计算
【例1】 已知一个容量是40的样本,把它分成六组,第一组到第四组的频数分别是5,6,7,10,第五组的频率是0.2,那么第六组的频数是 ,频率是 .
4
0.1
规律方法 频数与频率的求解策略
对于频数与频率的问题,首先要明确几个等量关系,即各组的频数之和等于样本容量,各组的频率之和为1,频率= .在解题过程中,要明确频数、频率以及样本容量之间的关系,弄清已知、未知,选择合适的公式进行解题.
变式训练1(多选题)肥胖会增加各种疾病发生的几率.为了了解运动健身减肥的效果,某健身房跟踪调查了20名肥胖者,把健身前后他们的体重(单位:kg)制成如下表格.
健身减肥前
体重区间 [80,90) [90,100) [100,110) [110,120]
频率 0 30% 50% 20%
健身减肥后
体重区间 [80,90) [90,100) [100,110) [110,120]
频率 10% 40% 50% 0
对比健身前后,关于这20名肥胖者,下面结论正确的是( )
A.健身后,体重在区间[90,100)内的频数增加值为2
B.健身后,原来体重在区间[110,120]内的肥胖者体重都有减少
C.原来体重在[80,90)和[90,100)内的人减肥失败
D.原来体重在区间[100,110)内的人减肥没有效果
AB
解析 原来体重在区间[90,100)内的频数为20×30%=6,健身后体重在此区间内的频数为20×40%=8,频数增加值为2,A正确;原来体重在区间[110,120]内的频数为20×20%=4,而健身后在此区间内的频数为0,说明此前的肥胖者体重都有减少,B正确;健身后体重在区间[100,110)内的频数没有变化,但是并不能说原来体重在区间[100,110)内的人减肥没有效果,因为健身前后这个区间的人不一定是相同的,同理,也不能说原来体重在[80,90)和[90,100)内的人减肥失败,CD均不正确.故选AB.
探究点二 画频率分布直方图、频率折线图
【例2】 某省为了了解和掌握2022年高考考生的实际答卷情况,随机地取出了100名考生的数学成绩,数据如下:(单位:分)
135 98 102 110 99 121 110 96 100 103
125 97 117 113 110 92 102 109 104 112
105 124 87 131 97 102 123 104 104 128
109 123 111 103 105 92 114 108 104 102
129 126 97 100 115 111 106 117 104 109
111 89 110 121 80 120 121 104 108 118
129 99 90 99 121 123 107 111 91 100
99 101 116 97 102 108 101 95 107 101
102 108 117 99 118 106 119 97 126 108
123 119 98 121 101 113 102 103 104 108
(1)列出频率分布表;
(2)画出频率分布直方图和频率折线图;
(3)估计该省考生数学成绩在[100,120)分之间的比例.
解 在100个数据中,最大值为135,最小值为80,极差为135-80=55.取组距为5,则组数为 =11.
(1)频率分布表如下:
分组 频数 频率
[80,85) 1 0.01 0.002
[85,90) 2 0.02 0.004
[90,95) 4 0.04 0.008
[95,100) 14 0.14 0.028
[100,105) 24 0.24 0.048
[105,110) 15 0.15 0.030
[110,115) 12 0.12 0.024
[115,120) 9 0.09 0.018
[120,125) 11 0.11 0.022
[125,130) 6 0.06 0.012
[130,135] 2 0.02 0.004
合计 100 1.00 0.200
(2)根据频率分布表中的有关信息画出频率分布直方图及频率折线图,如图所示.
(3)从频率分布表中可知,这100名考生的数学成绩在[100,120)分之间的频率为0.24+0.15+0.12+0.09=0.60,据此估计该省考生数学成绩在[100,120)分之间的比例为60%.
变式探究本例条件不变,制成频率分布直方图时分组如下, [80,85),[85,90),[90,95),[95,100),[100,105),[105,110),[110,115),[115,120),
[120,125),[125,130),[130,135].若90分或90分以上为及格,请计算该省考生数学成绩的及格率.
解 列出频率分布表如下
分组 频数 频率
[80,85) 1 0.01
[85,90) 2 0.02
[90,95) 4 0.04
[95,100) 14 0.14
[100,105) 24 0.24
[105,110) 15 0.15
[110,115) 12 0.12
[115,120) 9 0.09
[120,125) 11 0.11
[125,130) 6 0.06
[130,135] 2 0.02
合计 100 1.00
由表可得,及格(即90分或90分以上)的频率为0.04+0.14+0.24+0.15+0.12+
0.09+0.11+0.06+0.02=0.97.
故及格率为97%.
规律方法 组距和组数的确定没有固定的标准,将数据分组时,组数力求合适,使数据的分布规律能较清楚地呈现出来,组数太多或太少都会影响对数据分布情况的了解,若样本容量不超过120个时,按照数据的多少常分为5组~12组,一般样本容量越大,所分组数越多.
探究点三 频率分布直方图的应用
角度1频率分布直方图中的计算问题
【例3】 某校在5月份开展了科技月活动.在活动中某班举行了小制作评比,规定作品上交的时间为5月1日到31日,逾期不得参加评比.评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计,绘制了频率分布直方图(如图).已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1,第三组的频数为12,请解答下列问题:
(1)本次活动共有多少件作品参加评比
(2)哪组上交的作品数最多,有多少件
(3)经过评比,第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖,问这两组哪组获奖率较高
解 (1)设从左到右各长方形的高分别为2x,3x,4x,6x,4x,x.参加评比的作品总数为a件,
又(2x+3x+4x+6x+4x+x)×5=1,解得a=60(件).
(2)由频率分布直方图可以看出第四组上交的作品数量最多,共有6×x×5×a=18(件).
(3)第四组上交的作品数为18件,第六组上交的作品为x×5×a=3(件),则它们的获奖率分别为
规律方法 1.频率分布直方图的性质
(1)因为小矩形的面积=组距× =频率,所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样,频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小;
(2)在频率分布直方图中,各小矩形的面积之和等于1;
(3) =样本容量.
2.频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性,由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率,可近似地估计总体在这一范围内取值的可能性.
变式训练2为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图如图所示,图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小组频数为12.
(1)第二小组的频率是多少 样本容量是多少
(2)若次数在110或110以上为达标,试估计该校全体高一学生的达标率是多少
角度2利用频率分布直方图估计总体分布
【例4】 一个农技站为了考察某种大麦穗生长的分布情况,在一块试验田里抽取了100株麦穗,量得长度如下(单位: cm):
6.5 6.4 6.7 5.8 5.9 5.9 5.2 4.0 5.4 4.6
5.8 5.5 6.0 6.5 5.1 6.5 5.3 5.9 5.5 5.8
6.2 5.4 5.0 5.0 6.8 6.0 5.0 5.7 6.0 5.5
6.8 6.0 6.3 5.5 5.0 6.3 5.2 6.0 7.0 6.4
6.4 5.8 5.9 5.7 6.8 6.6 6.0 6.4 5.7 7.4
6.0 5.4 6.5 6.0 6.8 5.8 6.3 6.0 6.3 5.6
5.3 6.4 5.7 6.7 6.2 5.6 6.0 6.7 6.7 6.0
5.6 6.2 6.1 5.3 6.2 6.8 6.6 4.7 5.7 5.7
5.8 5.3 7.0 6.0 6.0 5.9 5.4 6.0 5.2 6.0
6.3 5.7 6.8 6.1 4.5 5.6 6.3 6.0 5.8 6.3
根据上面的数据列出频率分布表,绘制出频率分布直方图,并估计在这块试验田里长度在5.75~6.35 cm之间的麦穗所占的百分比.
解 (1)计算极差:7.4-4.0=3.4.
(2)决定组距与组数:若取组距为0.3,因为 ≈11.3,需分为12组,组数合适,所以取组距为0.3,组数为12.
(3)分组所分的12个小组可以是3.95~4.25,4.25~4.55,4.55~4.85,…,7.25~7.55.
分组 频数 频率
[3.95,4.25) 1 0.01
[4.25,4.55) 1 0.01
[4.55,4.85) 2 0.02
[4.85,5.15) 5 0.05
[5.15,5.45) 11 0.11
[5.45,5.75) 15 0.15
[5.75,6.05) 28 0.28
[6.05,6.35) 13 0.13
[6.35,6.65) 11 0.11
[6.65,6.95) 10 0.10
[6.95,7.25) 2 0.02
[7.25,7.55] 1 0.01
合计 100 1.00
(4)列频率分布表:
(5)绘制频率分布直方图如图.
从表中看到,样本数据落在5.75~6.35之间的频率是0.28+0.13=0.41,于是可以估计,在这块试验田里长度在5.75~6.35 cm之间的麦穗约占41%.
规律方法 1.频率分布表能比较准确地反映样本的频率分布,而频率分布直方图则能直观地反映样本的频率分布.
2.估计总体分布时,样本容量越大,估计越准确.
变式训练3公交车的数量太多容易造成资源的浪费,太少又难以满足乘客的需求.为此,公交公司在某站台随机调查了80名乘客,他们的候车时间如下所示(单位:分钟):
17 14 20 12 10 24 18 17 1 22
13 19 28 5 34 7 25 18 28 1
15 31 12 11 10 16 12 9 10 13
19 10 12 12 16 22 17 23 16 15
16 11 9 3 13 2 18 22 19 9
23 28 15 21 28 12 11 14 15 3
11 6 2 18 25 5 12 15 20 16
12 28 20 12 28 15 8 32 18 9
(1)将数据进行适当的分组,并画出相应的频率分布直方图和频率折线图.
(2)候车时间15分钟以上的频率是多少 你能为公交公司提出什么建议
解 (1)该数据中最大值为34,最小值为1,两者之差为33,故取组距为5,分为7组.
分组 频数 频率
[0,5) 6 0.075 0.015
[5,10) 9 0.112 5 0.022 5
[10,15) 22 0.275 0.055
[15,20) 22 0.275 0.055
[20,25) 10 0.125 0.025
[25,30) 8 0.100 0.020
[30,35] 3 0.037 5 0.007 5
频率分布直方图如图所示:
频率折线图如图所示:
(2)候车时间不低于15分钟的比例为0.275+0.125+0.100+0.037 5=0.537 5.
建议:公交公司可以适当增加公交车的数量.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)频数与频率的关系;
(2)列频率分布表、画频率分布直方图与频率折线图;
(3)频率分布直方图的应用.
2.方法归纳:数据分析.
3.常见误区:误把频率分布直方图中的纵坐标当成频率,导致计算错误.
成果验收·课堂达标检测
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1.一个容量为20的样本数据,分组及各组的频数如下
分组 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70]
频数 2 3 4 5 4 2
则样本在区间[20,60)上的频率是( )
A.0.5 B.0.6 C. 0.7 D. 0.8
D
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2.一个容量为32的样本,已知某组数据的频率为0.125,则该组数据的频数为
( )
A.2 B. 4 C. 6 D. 8
B
解析 0.125×32=4.
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3.观察新生儿的体重,其频率分布直方图如图所示,则新生儿体重在
[2 700,3 000)内的频率为( )
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
C
解析 0.001×(3 000-2 700)=0.3.
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4.[2020天津高考,4]从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位:mm),将所得数据分为9组:[5.31,5.33),[5.33,5.35),…,[5.45,5.47),[5.47,5.49],并整理得到如下频率分布直方图,则在被抽取的零件中,直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为( )
A.10 B.18 C.20 D.36
B
解析 在[5.43,5.47]的频率为(6.25+5.00)×0.02=0.225,
∴0.225×80=18.故选B.
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5.从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:cm)数据绘制成频率分布直方图如图所示.由图中数据可知a= .若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中,用分层随机抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数为 .
0.030
3
1
2
3
4
5
解析 ∵0.005×10+0.035×10+a×10+0.020×10+0.010×10=1,
∴a=0.030,设身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组的人数分别为x,y,z.
∴ =0.030×10,∴x=30,同理y=20,z=10.
∴从[140,150]中抽取的人数为 ×18=3.第六章§3 用样本估计总体的分布
3.1 从频数到频率 3.2 频率分布直方图
A级 必备知识基础练
1.一个频数分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分,若样本中数据在区间[20,60)上的频率为0.8,则估计样本在区间[40,50),[50,60)内的数据个数共为 ( )
A.15 B.16
C.17 D.19
2.(多选题)为弘扬中华民族传统文化,某中学学生会对本校高一年级1 000名学生课余时间参加传统文化活动的情况,随机抽取50名学生进行调查,将数据分组整理后,列表如下
参加场数 0 1 2 3 4 5 6 7
参加人数占调 查人数的百分比 8% 10% 20% 26% 18% 12% 4% 2%
估计该校高一学生参加传统文化活动情况不正确的是 ( )
A.参加活动次数是3场的学生约为360人
B.参加活动次数是2场或4场的学生约为480人
C.参加活动次数不高于2场的学生约为280人
D.参加活动次数不低于4场的学生约为360人
3.去年,相关部门对某城市的某景区在“十一”黄金周中每天的游客人数作了统计,其频率分布如下表所示:
时间 10月 1日 10月 2日 10月 3日 10月 4日 10月 5日 10月 6日 10月 7日
频率 0.05 0.08 0.09 0.13 0.30 0.15 0.20
已知10月1日这天该景区的营业额约为8万元,假定这七天每天游客人均消费相同,则这个黄金周该景区游客人数最多的那一天的营业额约为 万元.
4.从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图所示).由图中数据可知a= .若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中,用分层随机抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为 .
5.为了解某校高一1 000名学生的物理成绩,随机抽查了部分学生的期中考试成绩,将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)估计该校高一学生物理成绩不低于80分的人数;
(2)若在本次考试规定物理成绩在m分以上(包括m分)的为优秀,该校学生物理成绩的优秀率大约为18%,求m的值.
B级 关键能力提升练
6.为了丰富教职工业余生活,某校计划在假期组织全体老师外出旅游,并给出了两个方案(方案一和方案二),每位老师均选择且只选择一种方案,其中有50%的男老师选择方案一,有75%的女老师选择方案二,且选择方案一的老师中女老师占40%,那么该校全体老师中女老师的比例为( )
A. B. C. D.
7.(多选题)某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查,随机抽取了100名学生,他们的身高都处在A,B,C,D,E五个层次内,根据抽样结果得到统计图表如图,则下面叙述正确的是( )
女生身高情况直方图
男生身高情况扇形图
A.样本中女生人数多于男生人数
B.样本中B层人数最多
C.样本中E层男生人数为6人
D.样本中D层男生人数多于女生人数
8.某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中,上学所需时间的范围是[0,100],样本数据分组为[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].
(1)图中的x= ;
(2)若上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿,则该校600名新生中估计有 名学生可以申请住宿.
9.某样本频率分布直方图如图所示,且在区间[15,18)内频数为8.求:
(1)求样本容量;
(2)若在区间[12,15)内的小矩形面积为0.06,求在区
间[12,15)内的频数和样本在区间[18,33)内的频率.
C级 学科素养创新练
10.为了解某市家庭用电量的情况,该市统计局调查了100户居民去年一年的月均用电量,发现他们的用电量都在50 kW·h至350 kW·h之间,进行适当分组后,画出频率分布直方图如图所示.
(1)求a的值;
(2)求被调查用户中,用电量大于250 kW·h的户数;
(3)为了既满足居民的基本用电需求,又提高能源的利用效率,市政府计划采用阶梯定价,希望使80%的居民缴费在第一档(费用最低),请给出第一档用电标准(单位:kW·h)的建议.
参考答案
§3 用样本估计总体的分布
3.1 从频数到频率
3.2 频率分布直方图
1.A 由题易得在区间[40,50),[50,60)内的频率为0.8-=0.5.故样本在区间[40,50),[50,60)内的数据个数共为30×0.5=15.故选A.
2.ABC 参加活动场数为3场的学生约有1000×26%=260(人),A错误;参加活动场数为2场或4场的学生约有1000×(20%+18%)=380(人),B错误;参加活动场数不高于2场的学生约有1000×(8%+10%+20%)=380(人),C错误;参加活动场数不低于4场的学生约有1000×(18%+12%+4%+2%)=360(人),D正确.故选ABC.
3.48 根据表格可知,10月1日这天的频率为0.05,营业额为8万;频率最高的为10月5日,频率为0.30.
设这个黄金周10月5日的营业额约为x万元,
由,得x=48,则游客人数最多的那一天的营业额约为48万元.
4.0.030 3 因为频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1,所以10×(0.005+0.035+a+0.020+0.010)=1,解得a=0.030.由图可知身高在[120,150]内的学生人数为100×10×(0.030+0.020+0.010)=60,其中身高在[140,150]内的学生人数为10,所以从身高在[140,150]内的学生中选取的人数为10=3.
5.解(1)由频率分布直方图得,该校高一学生物理成绩不低于80分的频率为(0.03+0.024)×10=0.54,
∴该校高一学生物理成绩不低于80分的人数为1000×0.54=540.
(2)∵0.24>0.18,
∴90,
解得m=92.5.
6.B 设该校男老师的人数为x,女老师的人数为y,则可得如下表格:
性别 方案一 方案二
男老师 0.5x 0.5x
女老师 0.25y 0.75y
由题意,=0.4,可得,
所以故选B.
7.ABC 样本中女生人数为9+24+15+9+3=60,男生人数为100-60=40,A正确;
样本中A层人数为9+40×10%=13,B层人数为24+40×30%=36,C层人数为15+40×25%=25,D层人数为9+40×20%=17,E层人数为3+40×15%=9,故B正确;
样本中E层男生人数为40×15%=6,C正确;
样本中D层男生人数为40×20%=8,女生人数为9,D错误.
故选ABC.
8.(1)0.0125 (2)72 (1)由频率分布直方图知20x=1-20×(0.025+0.0065+0.003+0.003),解得x=0.0125.
(2)上学时间不少于1小时的学生的频率为0.003×2×20=0.12,因此估计有0.12×600=72(人)可以申请住宿.
9.解(1)由频率分布直方图可知区间[15,18)对应y轴的数字为,且组距为3,所以区间[15,18)对应频率为3=,又已知在区间[15,18)内频数为8,所以样本容量为n==50.
(2)因为[12,15)内的小矩形面积为0.06,所以在区间[12,15)内频率为0.06,且样本容量为50,所以在区间[12,15)内的频数为50×0.06=3,又因为在区间[15,18)内的频数为8,所以在区间[18,33)内的频数为50-3-8=39.所以在区间[18,33)内的频率为=0.78.
10.解(1)因为(0.0024+0.0036+a+0.0044+0.0024+0.0012)×50=1,所以a=0.0060.
(2)根据频率分布直方图可知,“用电量大于250kW·h”的频率为(0.0024+0.0012)×50=0.18,所以用电量大于250kW·h的户数为100×0.18=18.
(3)因为前三组的频率之和为(0.0024+0.0036+0.0060)×50=0.6<0.8,
前四组的频率之和为(0.0024+0.0036+0.0060+0.0044)×50=0.82>0.8,
所以频率为0.8时对应的数据在第四组,所以第一档用电标准为200+50≈245.5(kW·h).
故第一档用电标准为245.5kW·h.
