(共36张PPT)
第七章
2.1-2.2 第1课时 古典概型的概率计算公式及其应用
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
目录索引
成果验收·课堂达标检测
课程标准 1.理解古典概型的定义及两个基本特征.
2.掌握古典概型的概率计算公式,会求古典概型事件的概率.
3.会根据实际问题建立概率模型,并能利用古典概型的概率计算公式进行计算.
基础落实·必备知识全过关
知识点1 古典概型
当A为必然事件时,P(A)=1;当A为不可能事件时,P(A)=0
1.对于随机事件A,通常用一个数P(A)(0≤P(A)≤1)来表示该事件发生的可能性大小,这个数就称为随机事件A的概率.
2.一般地,若试验E具有如下特征:(1)有限性:试验E的样本空间Ω的样本点总数有限,即样本空间Ω为有限样本空间;(2)等可能性:每次试验中,样本空间Ω的各个样本点出现的可能性相等.
则称这样的试验模型为古典概率概型,简称古典概型.
名师点睛
古典概型的判断标准
一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特点:有限性和等可能性,并不是所有的试验都是古典概型.
下列三类试验不是古典模型:
(1)样本点个数有限,但非等可能;
(2)样本点个数无限,但等可能;
(3)样本点个数无限,也非等可能.
过关自诊
[人教A版教材例题]抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号),观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.
(1)写出这个试验的样本空间,并判断这个试验是否为古典概型;
(2)求下列事件的概率:
A=“两个点数之和是5”;
B=“两个点数相等”;
C=“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”.
解 (1)抛掷一枚骰子有6种等可能的结果,Ⅰ号骰子的每一个结果都可与Ⅱ号骰子的任意一个结果配对,组成掷两枚骰子试验的一个结果.用数字m表示Ⅰ号骰子出现的点数是m,数字n表示Ⅱ号骰子出现的点数是n,则数组(m,n)表示这个试验的一个样本点.
因此该试验的样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6}},其中共有36个样本点.
由于骰子的质地均匀,所以各个样本点出现的可能性相等,因此这个试验是古典概型.
(2)因为A={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},所以n(A)=4,
因为C={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),
(6,3),(6,4),(6,5)},
知识点2 古典概型的概率计算公式
对古典概型来说,如果样本空间Ω包含的样本点总数为n,随机事件A包含的样本点个数为m,那么事件A发生的概率为
名师点睛
使用古典概型概率公式的注意事项
(1)首先判断该模型是不是古典概型;
(2)找出随机事件A所包含的样本点的个数和试验中样本点的总数.
过关自诊
1.[人教A版教材例题]单项选择题是标准化考试中常用的题型,一般是从A,B,C,D四个选项中选择一个正确答案.如果考生掌握了考查的内容,他可以选择唯一正确的答案.假设考生有一题不会做,他随机地选择一个答案,答对的概率是多少
解 试验有选A、选B、选C、选D共4种可能结果,试验的样本空间可以表示为Ω={A,B,C,D}.
考生随机选择一个答案,表明每个样本点发生的可能性相等,所以这是一个古典概型.
设M=“选中正确答案”,因为正确答案是唯一的,所以n(M)=1.
所以,考生随机选择一个答案,答对的概率P(M)= .
2.[人教B版教材例题]人的眼皮有单眼皮与双眼皮之分,这是由对应的基因决定的.生物学上已经证明:决定眼皮单双的基因有两种,一种是显性基因(记为B),另一种是隐性基因(记为b);基因总是成对出现(如BB,bB,Bb,bb),而成对的基因中,只要出现了显性基因,那么这个人就一定是双眼皮(也就是说,“单眼皮”的充要条件是“成对的基因是bb”);如果不发生基因突变的话,成对的基因中,一个来自父亲,另一个来自母亲,但父母亲提供基因时都是随机的.有一对夫妻,两人成对的基因都是Bb,不考虑基因突变,求他们的孩子是单眼皮的概率.
解 我们用连着写的两个字母来表示孩子的成对的基因,其中第一个字母表示父亲提供的基因,第二个字母表示母亲提供的基因.
由图所示的树形图可知,样本空间中共含有4个样本点,即Ω={BB,Bb,bB,bb}.
孩子要是单眼皮,成对的基因只能是bb,因此所求概率为 .
重难探究·能力素养全提升
探究点一 古典概型的判断
【例1】 判断下列概率模型是否属于古典概型.
(1)在区间[0,2]上任取一点;
(2)从甲地到乙地共有10条路线,某人从中任选一条;
(3)任意抛掷两枚质地均匀的骰子,所得点数之和作为基本事件.
解 (1)区间[0,2]包含无穷多个点,从 [0,2]上任取一点时,有无穷多种取法,不满足有限性,因此这不是古典概型.
(2)从甲地到乙地共有10条路线,某人从中任选一条,共有10种选法,满足有限性,又每一条路线被选中的可能性是相同的,满足等可能性,因此这是古典概型.
(3)任意抛掷两枚质地均匀的骰子,点数之和共有11种,即点数之和分别是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,满足有限性,但这11种结果不是等可能出现的,不满足等可能性,故这不是古典概型.
规律方法 古典概型的判断方法
判断一个试验是不是古典概型,关键看它是否具备古典概型的两个特征:
(1)一次试验中,可能出现的样本点只有有限个,即有限性;(2)每个样本点出现的可能性是均等的,即等可能性.
变式训练1下列试验不是古典概型的是 .(填序号)
①从6名同学中任选4人,参加数学竞赛;
②近三天中有一天降雨;
③从10人中任选两人表演节目.
②
解析 ①③为古典概型,它们符合古典概型的两个特征:有限性和等可能性.②不符合等可能性.
探究点二 古典概型概率的求解
【例2】 袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a,b的2个黑球和编号为c,d,e的3个红球,从中任意摸出2个球,写出试验的样本空间,并求至少摸出1个黑球的概率.
解 试验的样本空间为 Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)},n=10.
记“至少摸出1个黑球”为事件A,则事件A包含7个样本点,∴m=7.
∴P(A)= =0.7.
即至少摸出1个黑球的概率为0.7.
变式探究袋子中有红、白色球各1个,每次任取一个,有放回地摸三次,写出试验的样本空间,并计算下列事件的概率:(1)三次颜色恰有两次同色;(2)三次颜色全相同;(3)三次摸
到的红球多于白球.
解 试验的样本空间Ω={(红,红,红),(红,红,白),(红,白,红),(白,红,红),(红,白,白),(白,红,白),(白,白,红),(白,白,白)}.
样本点总数n=8.
(1)记事件A为“三次颜色恰有两次同色”.
∵A中含有的样本点数m1=6,
(2)记事件B为“三次颜色全相同”.
∵B中含有的样本点数m2=2,
(3)记事件C为“三次摸到的红球多于白球”.
∵C中含有的样本点数m3=4,∴P(C)= =0.5.
探究点三 古典概型的综合问题
【例3】 编号分别为A1,A2,…,A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下:
运动员编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
得分 15 35 21 28 25 36 18 34
运动员编号 A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15 A16
得分 17 26 25 33 22 12 31 38
(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格:
区间 [10,20) [20,30) [30,40]
人数
(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人,
①用运动员编号列出所有可能的抽取结果;
②求这2人得分之和大于50的概率.
解 (1)由得分记录表,从左到右应填4,6,6.
(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A3,A4,A5,A10,A11,A13.从中随机抽取2人,所有的样本点有(A3,A4),(A3,A5),(A3,A10),(A3,A11),(A3,A13),(A4,A5),(A4,A10),(A4,A11),(A4,A13), (A5,A10),(A5,A11),(A5,A13),(A10,A11),(A10,A13),(A11,A13),共15个.
②从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人,将“这2人得分之和大于50”记为事件B,则事件B包含的样本点有(A4,A5),(A4,A10),(A4,A11),(A5,A10),(A10,A11),共5个.所以
规律方法 求解古典概型概率的“四步”法
变式训练2(1)设a,b∈{1,2,3},则函数f(x)=x2+bx+a无零点的概率为 .
解析 由题意知本题是一个古典概型问题,试验的样本点有3×3=9(个).样本点要满足b2-4a<0,即b2<4a.从所给的数据中,当b=1时,a有3种结果;当b=2时,a有2种结果;当b=3时,a有1种结果.
综上所述,共有3+2+1=6(个)样本点,
所以所求概率是
(2)“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数(如2 578),在两位的“渐升数”中任取一个数比37大的概率是 .
解析 十位是1的“渐升数”有8个,十位是2的“渐升数”有7个,…,十位是8的“渐升数”有1个,所以两位的“渐升数”共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个);
以3为十位数,比37大的“渐升数”有2个,分别以4,5,6,7,8为十位数的“渐升数”均比37大,且共有5+4+3+2+1=15(个),
所以比37大的两位“渐升数”共有2+15=17(个).
故在两位的“渐升数”中任取一个数比37大的概率是
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)古典概型的概念;
(2)古典概型的概率公式及应用.
2.方法归纳:列举法、列表法、树状图法.
3.常见误区:因不按照一定的顺序列举,导致漏掉部分样本点;混淆“放回”与“不放回”抽取,导致列举样本点错误.
成果验收·课堂达标检测
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1.下列试验中,是古典概型的个数为( )
①种下一粒花生,观察它是否发芽;
②向上抛一枚质地不均匀的硬币,观察正面向上的概率;
③在正方形ABCD内任意一点P,点P恰与点C重合;
④从1,2,3,4四个数中,任取两个数;
⑤在区间[0,5]上任取一点.
A.0 B.1 C.2 D.3
B
解析 只有④是古典概型.
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2.从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是
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解析 从2,3,8,9中任取两个不同的数记为(a,b),则有(2,3),(3,2),(2,8),(8,2), (2,9),(9,2),(3,8),(8,3),(3,9),(9,3),(8,9),(9,8),共12个样本点,其中符合logab为整数的有log39和log28,共2个样本点,所以所求概率为
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3.抛掷两枚均匀的骰子,则两个都为4点的概率为 ,点数之和为5的概率为 .
解析 样本空间中样本点的总数为36,其中两个都为4点的样本点为(4,4),和为5的是(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),故所求的概率分别为
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4.某商场举行购物抽奖促销活动,规定每位顾客从装有编号为0,1,2,3四个相同小球的抽奖箱中,每次取出一个球记下编号后放回,连续取两次,若取出的两个小球号码相加之和等于6,则中一等奖,等于5则中二等奖,等于4或3则中三等奖.
(1)求中三等奖的概率;
(2)求中奖的概率.
解 设“中三等奖”为事件A,“中奖”为事件B,从四个小球中有放回地取两球有(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1), (3,2),(3,3),共16个样本点.
(1)取出的两个小球号码相加之和等于4或3的取法有(1,3),(2,2),(3,1),(0,3), (1,2),(2,1),(3,0),共7个样本点,则中三等奖的概率为P(A)=
(2)由(1)知两个小球号码相加之和等于3或4的取法有7个;两个小球号码相加之和等于5的样本点有2个:(2,3),(3,2).两个小球号码相加之和等于6的样本点有1个:(3,3).则中奖的概率为
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第七章
2.1-2.2 第1课时 古典概型的概率计算公式及其应用
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A 级 必备知识基础练
1.下列事件属于古典概型的是( )
A.任意抛掷两颗均匀的正方体骰子,所得点数之和作为基本事件
B.篮球运动员投篮,观察他是否投中
C.测量一杯水分子的个数
D.在4个完全相同的小球中任取1个
D
解析 判断一个事件是否为古典概型,主要看它是否具有古典概型的两个特征:有限性和等可能性.
A选项,任意抛掷两颗均匀的正方体骰子,所得点数之和对应的概率不全相等,如点数之和为2与点数之和为3发生的可能性显然不相等,不属于古典概型,故A排除;
B选项,“投中”与“未投中”发生的可能性不一定相等,不属于古典概型,故B排除;
C选项,杯中水分子有无数多个,不属于古典概型,故C排除;
D选项,在4个完全相同的小球中任取1个,每个球被抽到的机会均等,且包含的基本事件共有4个,符合古典概型,故D正确.故选D.
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2.从一副52张的扑克牌中任抽一张,“抽到K或Q”的概率是( )
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解析 设“抽到K或Q”为事件A,∵基本事件总数为52,事件A包含的基本事件数为8,
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3.将一枚质地均匀的骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为b,c,则方程x2+bx+c=0有相等的实根的概率为( )
D
解析 样本点总数为6×6=36,若方程有相等的实根,则b2-4c=0,满足这一条件的b,c的值只有两种:b=2,c=1;b=4,c=4,故所求概率为
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4.(多选题)以下对各事件发生的概率判断正确的是( )
A.甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏,则玩一局甲不输的概率是
B.在不超过14的素数中随机选取两个不同的数,其和等于14的概率为
C.将一个质地均匀的正方体骰子(每个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6)先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数之和是6的概率是
D.从三件正品、一件次品中随机取出两件,则取出的产品全是正品的概率是
BCD
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解析 对于A,如图所示:
由图可以看出,所有可能出现的结果共有9种,这些结果出现的可能性相等,P(甲获胜)= ,P(乙获胜)= ,故玩一局甲不输的概率是 ,故A错误;
对于B,不超过14的素数有2,3,5,7,11,13共6个,从这6个素数中任取2个,有(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2,13),(3,5),(3,7),(3,11),(3,13),(5,7),(5,11),(5,13),(7,11),(7,13),(11,15),共有15种样本点,其中和等于14的只有(3,11)一组,所以在不超过14的素数中随机选取两个不同的数,其和等于14的概率为 ,故B正确;
(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5种情况,则所求概率是 ,故C正确;
对于D,记三件正品为A1,A2,A3,一件次品为B,任取两件产品的所有可能为A1A2,A1A3,A1B,A2A3,A2B,A3B,共6种,其中两件都是正品的有A1A2,A1A3,A2A3,共3种,则所求概率为 ,故D正确.故选BCD.
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5.20名高一学生、25名高二学生和30名高三学生在一起座谈,如果任意抽其中一名学生讲话,抽到高一学生的概率是 ,抽到高二学生的概率是 ,抽到高三学生的概率是 .
解析 任意抽取一名学生是等可能事件,样本点总数为75,记事件A,B,C分别表示“抽到高一学生”“抽到高二学生”和“抽到高三学生”,则它们包含的样本点的个数分别为20,25和30.
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6.现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为 .
解析 “从5根竹竿中一次随机抽取2根竹竿”的所有可能结果为(2.5,2.6),(2.5,2.7),(2.5,2.8),(2.5,2.9),(2.6,2.7),(2.6,2.8),(2.6,2.9),(2.7,2.8),(2.7,2.9),(2.8,2.9),共10个样本点,
又“它们的长度恰好相差0.3 m”包括(2.5,2.8),(2.6,2.9),共2个样本点,由古典概型的概率计算公式可得所求事件的概率为
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7.若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为 .
解析 甲、乙、丙三人随机地站成一排有(甲,乙,丙),(甲,丙,乙),(乙,甲,丙), (乙,丙,甲),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲),共6种样本点,其中甲、乙相邻有(甲,乙,丙), (乙,甲,丙),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲),共4种样本点.
所以甲、乙两人相邻而站的概率为
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8.某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是:从装有2个红球A1,A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中,各随机摸出1个球,若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖(所有的球除颜色外都相同).
(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果.
(2)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为正确吗 请说明理由.
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解 (1)所有可能的摸出结果是(A1,a1),(A1,a2),(A1,b1),(A1,b2),(A2,a1),(A2,a2), (A2,b1),(A2,b2),(B,a1),(B,a2),(B,b1),(B,b2).
(2)不正确.理由如下:
由(1)知,所有可能的摸出结果共12种,其中摸出的2个球都是红球的结果为(A1,a1),(A1,a2),(A2,a1),(A2,a2),共4种,所以中奖的概率为 ,不中奖的概率为 .故这种说法不正确.
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9.为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养,促进高等教育教学改革,教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段,参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛,选拔出甲、乙、丙三支队伍参加决赛.
(1)求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率;
(2)求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率.
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解 根据题意可知其样本空间Ω={(甲,乙,丙),(甲,丙,乙),(乙,甲,丙),(乙,丙,甲),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲)},共6个样本点.
(1)设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A,事件A包含的样本点有(甲,乙,丙),(乙,甲,丙),共2个,所以
所以甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为
(2)设“甲、乙两支队伍出场顺序相邻”为事件B,事件B包含的样本点有(甲,乙,丙),(乙,甲,丙),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲),共4个,所以
所以甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率为
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B 级 关键能力提升练
10.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲在心中任想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,且a,b∈{1,2,3,4},若|a-b|≤1,则称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为
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A
解析 甲、乙所猜数字的情况有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)共16种情况,其中满足|a-b|≤1的情况有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)共10种情况,故所求概率为
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11.若集合A={1,2,3},B={x∈R|x2-ax+b=0,a∈A,b∈A},则A∩B=B的概率是
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C
解析 随着a,b的取值变化,集合B有32=9(种)可能,如表.经过验证很容易知道其中有8种满足A∩B=B,所以概率是 故选C.
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12.有6根细木棒,长度分别为1,2,3,4,5,6,从中任取3根首尾相接,能搭成三角形的概率是 .
解析 从这6根细木棒中任取3根首尾相接,有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,2,6),(1,3,4),(1,3,5),(1,3,6),(1,4,5),(1,4,6),(1,5,6),
(2,3,4),(2,3,5),(2,3,6),(2,4,5),(2,4,6),(2,5,6),(3,4,5),(3,4,6),(3,5,6),(4,5,6),共20个样本点,能构成三角形的取法有(2,3,4),(2,4,5),(2,5,6),(3,4,5),(3,4,6),(3,5,6), (4,5,6),共7个样本点,所以由古典概型概率公式可得所求概率为P=
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13.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:
①若xy≤3,则奖励玩具一个;
②若xy≥8,则奖励水杯一个;
③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.
(1)求小亮获得玩具的概率;
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.
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解 用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则样本空间Ω与点集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应.因为S中元素的个数是4×4=16,所以样本点总数n=16.
(1)记“xy≤3”为事件A,则事件A包含的样本点共5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).所以P(A)= ,即小亮获得玩具的概率为
(2)记“xy≥8”为事件B,“31
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14.某校学生社团组织活动丰富,学生会为了解同学对社团活动的满意程度,随机选取了100位同学进行问卷调查,并将问卷中的这100人根据其满意度评分值(百分制)按照[40,50),[50,60),[60,70),…,[90,100]分成6组,制成如图所示频率分布直方图.
(1)求图中x的值;
(2)求这组数据的中位数;
(3)现从被调查的问卷满意度评分值在[60,80)的学生中按分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈了解,再从这5人中随机抽取2人作主题发言,求抽取的2人恰在同一组的概率.
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解 (1)由(0.005+0.010+0.030+0.025+0.010+x)×10=1,解得x=0.020.
(2)设中位数为m,则0.05+0.1+0.2+(m-70)×0.03=0.5,解得m=75.
(3)可得满意度评分值在[60,70)内有20人,抽得样本为2人,记为a1,a2,满意度评分值在[70,80)内有30人,抽得样本为3人,记为b1,b2,b3,样本空间Ω={(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3)},共10个样本点,记“5人中随机抽取2人作主题发言,抽出的2人恰在同一组”为事件A,A包含的样本点个数为4,利用古典概型概率公式可知P(A)=0.4.
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C 级 学科素养创新练
15.某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究,他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子浸泡后的发芽数,得到如下资料:
日期 3月1日 3月2日 3月3日 3月4日 3月5日
温差x/℃ 10 11 13 12 8
发芽数y/颗 23 25 30 26 16
(1)求这5天发芽数的中位数;
(2)求这5天的平均发芽数;
(3)从3月1日至3月5日中任选2天,
记前面一天发芽的种子数为m,
后面一天发芽的种子数为n,用
(m,n)的形式列出所有基本事件,并求满足 的概率.
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解 (1)因为16<23<25<26<30,所以这5天发芽数的中位数是25.
(3)用(m,n)表示所求基本事件,则有(23,25),(23,30),(23,26),(23,16),(25,30), (25,26),(25,16),(30,26),(30,16),(26,16),共10个基本事件.
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16.从某商场随机抽取了2 000件商品,按商品价格(单位:元)进行统计,所得频率分布直方图如图所示.记价格在[800,1 000),[1 000,1 200),
[1 200,1 400]对应的小矩形的面积分别为S1,S2,S3,且S1=3S2=6S3.
(1)按分层随机抽样从价格在[200,400),[1 200,1 400]的商品中共抽取6件,再从这6件中随机抽取2件作价格对比,求抽到的两件商品价格差超过800元的概率.
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(2)在节日期间,该商场制定了两种不同的促销方案
方案一:全场商品打八折;
方案二:全场商品优惠如下表,如果你是消费者,你会选择哪种方案 为什么 (同一组中的数据用该组区间中点值作代表)
商品价格 [200,400) [400,600) [600,800) [800,1 000) [1 000,1 200) [1 200,1 400]
优惠/元 30 50 140 160 280 320
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解 (1)根据频率和为1的性质知0.000 50×200+0.001 00×200+0.001 25×200+S1+S2+S3=1,
又S1=3S2=6S3,得到S1=0.30,S2=0.10,S3=0.05.价格在[200,400)的频率为0.000 50×200=0.10,价格在[1 200,1 400]的频率为S3=0.05.按分层随机抽样的方法从价格在[200,400),[1 200,1 400]的商品中抽取6件,则在[200,400)上抽取4件,记为a1,a2,a3,a4,在[1 200,1 400]上抽取2件,记为b1,b2.现从中抽出2件,所有可能情况为a1a2,a1a3,a1a4,a1b1,a1b2,a2a3,a2a4,a2b1,a2b2,a3a4,a3b1,a3b2,a4b1,a4b2,b1b2,共计15个样本点,其中符合题意的有a1b1,a1b2,a2b1,a2b2,a3b1,a3b2,a4b1,a4b2共8个样本点,因此抽到的两件商品价格差超过800元的概率为
(2)对于方案一,优惠的价钱的平均值为(300×0.10+500×0.20+700×0.25+900×0.30+1 100×0.10+1 300×0.05)
×20%=150;
对于方案二,优惠的价钱的平均值为30×0.10+50×0.20+140×0.25+160×0.30+280×0.10+320×0.05=140.
因为150>140,所以选择方案一更好.
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162.1 古典概型的概率计算公式 2.2 古典概型的应用
第1课时 古典概型的概率计算公式及其应用
A级 必备知识基础练
1.下列事件属于古典概型的是( )
A.任意抛掷两颗均匀的正方体骰子,所得点数之和作为基本事件
B.篮球运动员投篮,观察他是否投中
C.测量一杯水分子的个数
D.在4个完全相同的小球中任取1个
2.从一副52张的扑克牌中任抽一张,“抽到K或Q”的概率是( )
A. B. C. D.
3.将一枚质地均匀的骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为b,c,则方程x2+bx+c=0有相等的实根的概率为( )
A. B. C. D.
4.(多选题)以下对各事件发生的概率判断正确的是( )
A.甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏,则玩一局甲不输的概率是
B.在不超过14的素数中随机选取两个不同的数,其和等于14的概率为
C.将一个质地均匀的正方体骰子(每个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6)先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数之和是6的概率是
D.从三件正品、一件次品中随机取出两件,则取出的产品全是正品的概率是
5.20名高一学生、25名高二学生和30名高三学生在一起座谈,如果任意抽其中一名学生讲话,抽到高一学生的概率是 ,抽到高二学生的概率是 ,抽到高三学生的概率是 .
6.现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为 .
7.若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为 .
8.某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是:从装有2个红球A1,A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中,各随机摸出1个球,若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖(所有的球除颜色外都相同).
(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果.
(2)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为正确吗 请说明理由.
9.为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养,促进高等教育教学改革,教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段,参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛,选拔出甲、乙、丙三支队伍参加决赛.
(1)求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率;
(2)求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率.
B级 关键能力提升练
10.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲在心中任想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,且a,b∈{1,2,3,4},若|a-b|≤1,则称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为( )
A. B. C. D.
11.若集合A={1,2,3},B={x∈R|x2-ax+b=0,a∈A,b∈A},则A∩B=B的概率是( )
A. B. C. D.1
12.有6根细木棒,长度分别为1,2,3,4,5,6,从中任取3根首尾相接,能搭成三角形的概率是 .
13.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:
①若xy≤3,则奖励玩具一个;
②若xy≥8,则奖励水杯一个;
③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.
(1)求小亮获得玩具的概率;
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.
14.某校学生社团组织活动丰富,学生会为了解同学对社团活动的满意程度,随机选取了100位同学进行问卷调查,并将问卷中的这100人根据其满意度评分值(百分制)按照[40,50),[50,60),[60,70),…,[90,100]分成6组,制成如图所示频率分布直方图.
(1)求图中x的值;
(2)求这组数据的中位数;
(3)现从被调查的问卷满意度评分值在[60,80)的学生中按分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈了解,再从这5人中随机抽取2人作主题发言,求抽取的2人恰在同一组的概率.
C级 学科素养创新练
15.某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究,他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子浸泡后的发芽数,得到如下资料:
日期 3月1日 3月2日 3月3日 3月4日 3月5日
温差x/℃ 10 11 13 12 8
发芽数y/颗 23 25 30 26 16
(1)求这5天发芽数的中位数;
(2)求这5天的平均发芽数;
(3)从3月1日至3月5日中任选2天,记前面一天发芽的种子数为m,后面一天发芽的种子数为n,用(m,n)的形式列出所有基本事件,并求满足的概率.
16.从某商场随机抽取了2 000件商品,按商品价格(单位:元)进行统计,所得频率分布直方图如图所示.记价格在[800,1 000),[1 000,1 200),[1 200,1 400]对应的小矩形的面积分别为S1,S2,S3,且S1=3S2=6S3.
(1)按分层随机抽样从价格在[200,400),[1 200,1 400]的商品中共抽取6件,再从这6件中随机抽取2件作价格对比,求抽到的两件商品价格差超过800元的概率.
(2)在节日期间,该商场制定了两种不同的促销方案
方案一:全场商品打八折;
方案二:全场商品优惠如下表,如果你是消费者,你会选择哪种方案 为什么 (同一组中的数据用该组区间中点值作代表)
商品价格 [200,400) [400,600) [600,800) [800,1 000) [1 000,1 200) [1 200,1 400]
优惠/元 30 50 140 160 280 320
参考答案
§2 古典概型
2.1 古典概型的概率计算公式
2.2 古典概型的应用
第1课时 古典概型的概率计算公式及其应用
1.D 判断一个事件是否为古典概型,主要看它是否具有古典概型的两个特征:有限性和等可能性.
A选项,任意抛掷两颗均匀的正方体骰子,所得点数之和对应的概率不全相等,如点数之和为2与点数之和为3发生的可能性显然不相等,不属于古典概型,故A排除;
B选项,“投中”与“未投中”发生的可能性不一定相等,不属于古典概型,故B排除;
C选项,杯中水分子有无数多个,不属于古典概型,故C排除;
D选项,在4个完全相同的小球中任取1个,每个球被抽到的机会均等,且包含的基本事件共有4个,符合古典概型,故D正确.故选D.
2.D 设“抽到K或Q”为事件A,∵基本事件总数为52,事件A包含的基本事件数为8,∴P(A)=
3.D 样本点总数为6×6=36,若方程有相等的实根,则b2-4c=0,满足这一条件的b,c的值只有两种:b=2,c=1;b=4,c=4,故所求概率为
4.BCD 对于A,如图所示:
由图可以看出,所有可能出现的结果共有9种,这些结果出现的可能性相等,P(甲获胜)=,P(乙获胜)=,故玩一局甲不输的概率是,故A错误;
对于B,不超过14的素数有2,3,5,7,11,13共6个,从这6个素数中任取2个,有(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2,13),(3,5),(3,7),(3,11),(3,13),(5,7),(5,11),(5,13),(7,11),(7,13),(11,15),共有15种样本点,其中和等于14的只有(3,11)一组,所以在不超过14的素数中随机选取两个不同的数,其和等于14的概率为,故B正确;
对于C,基本事件总共有6×6=36(种)情况,其中点数之和是6的有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5种情况,则所求概率是,故C正确;
对于D,记三件正品为A1,A2,A3,一件次品为B,任取两件产品的所有可能为A1A2,A1A3,A1B,A2A3,A2B,A3B,共6种,其中两件都是正品的有A1A2,A1A3,A2A3,共3种,则所求概率为P=,故D正确.故选BCD.
5 任意抽取一名学生是等可能事件,样本点总数为75,记事件A,B,C分别表示“抽到高一学生”“抽到高二学生”和“抽到高三学生”,则它们包含的样本点的个数分别为20,25和30.
故P(A)=,P(B)=,P(C)=
6 “从5根竹竿中一次随机抽取2根竹竿”的所有可能结果为(2.5,2.6),(2.5,2.7),(2.5,2.8),(2.5,2.9),(2.6,2.7),(2.6,2.8),(2.6,2.9),(2.7,2.8),(2.7,2.9),(2.8,2.9),共10个样本点,
又“它们的长度恰好相差0.3m”包括(2.5,2.8),(2.6,2.9),共2个样本点,由古典概型的概率计算公式可得所求事件的概率为
7 甲、乙、丙三人随机地站成一排有(甲,乙,丙),(甲,丙,乙),(乙,甲,丙),(乙,丙,甲),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲),共6种样本点,其中甲、乙相邻有(甲,乙,丙),(乙,甲,丙),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲),共4种样本点.
所以甲、乙两人相邻而站的概率为
8.解(1)所有可能的摸出结果是(A1,a1),(A1,a2),(A1,b1),(A1,b2),(A2,a1),(A2,a2),(A2,b1),(A2,b2),(B,a1),(B,a2),(B,b1),(B,b2).
(2)不正确.理由如下:
由(1)知,所有可能的摸出结果共12种,其中摸出的2个球都是红球的结果为(A1,a1),(A1,a2),(A2,a1),(A2,a2),共4种,所以中奖的概率为,不中奖的概率为1-故这种说法不正确.
9.解根据题意可知其样本空间Ω={(甲,乙,丙),(甲,丙,乙),(乙,甲,丙),(乙,丙,甲),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲)},共6个样本点.
(1)设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A,事件A包含的样本点有(甲,乙,丙),(乙,甲,丙),共2个,所以P(A)=
所以甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为
(2)设“甲、乙两支队伍出场顺序相邻”为事件B,事件B包含的样本点有(甲,乙,丙),(乙,甲,丙),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲),共4个,所以P(B)=
所以甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率为
10.A 甲、乙所猜数字的情况有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)共16种情况,其中满足|a-b|≤1的情况有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)共10种情况,故所求概率为
11.C 随着a,b的取值变化,集合B有32=9(种)可能,如表.经过验证很容易知道其中有8种满足A∩B=B,所以概率是故选C.
B a
1 2 3
b 1 {1}
2 {1,2}
3
12 从这6根细木棒中任取3根首尾相接,有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,2,6),(1,3,4),(1,3,5),(1,3,6),(1,4,5),(1,4,6),(1,5,6),(2,3,4),(2,3,5),(2,3,6),(2,4,5),(2,4,6),(2,5,6),(3,4,5),(3,4,6),(3,5,6),(4,5,6),共20个样本点,能构成三角形的取法有(2,3,4),(2,4,5),(2,5,6),(3,4,5),(3,4,6),(3,5,6),(4,5,6),共7个样本点,所以由古典概型概率公式可得所求概率为P=
13.解用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则样本空间Ω与点集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应.因为S中元素的个数是4×4=16,所以样本点总数n=16.
(1)记“xy≤3”为事件A,则事件A包含的样本点共5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).所以P(A)=,即小亮获得玩具的概率为
(2)记“xy≥8”为事件B,“314.解(1)由(0.005+0.010+0.030+0.025+0.010+x)×10=1,解得x=0.020.
(2)设中位数为m,则0.05+0.1+0.2+(m-70)×0.03=0.5,解得m=75.
(3)可得满意度评分值在[60,70)内有20人,抽得样本为2人,记为a1,a2,满意度评分值在[70,80)内有30人,抽得样本为3人,记为b1,b2,b3,样本空间Ω={(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3)},共10个样本点,记“5人中随机抽取2人作主题发言,抽出的2人恰在同一组”为事件A,A包含的样本点个数为4,利用古典概型概率公式可知P(A)=0.4.
15.解(1)因为16<23<25<26<30,所以这5天发芽数的中位数是25.
(2)这5天的平均发芽率为100%=24%.
(3)用(m,n)表示所求基本事件,则有(23,25),(23,30),(23,26),(23,16),(25,30),(25,26),(25,16),(30,26),(30,16),(26,16),共10个基本事件.
记满足为事件A,则事件A包含的基本事件为(25,30),(25,26),(30,26),共有3个基本事件.
所以P(A)=,即事件的概率为
16.解(1)根据频率和为1的性质知0.00050×200+0.00100×200+0.00125×200+S1+S2+S3=1,
又S1=3S2=6S3,得到S1=0.30,S2=0.10,S3=0.05.价格在[200,400)的频率为0.00050×200=0.10,价格在[1200,1400]的频率为S3=0.05.按分层随机抽样的方法从价格在[200,400),[1200,1400]的商品中抽取6件,则在[200,400)上抽取4件,记为a1,a2,a3,a4,在[1200,1400]上抽取2件,记为b1,b2.现从中抽出2件,所有可能情况为a1a2,a1a3,a1a4,a1b1,a1b2,a2a3,a2a4,a2b1,a2b2,a3a4,a3b1,a3b2,a4b1,a4b2,b1b2,共计15个样本点,其中符合题意的有a1b1,a1b2,a2b1,a2b2,a3b1,a3b2,a4b1,a4b2共8个样本点,因此抽到的两件商品价格差超过800元的概率为P=
(2)对于方案一,优惠的价钱的平均值为(300×0.10+500×0.20+700×0.25+900×0.30+1100×0.10+1300×0.05)×20%=150;
对于方案二,优惠的价钱的平均值为30×0.10+50×0.20+140×0.25+160×0.30+280×0.10+320×0.05=140.
因为150>140,所以选择方案一更好.
