4.1 样本的数字特征 4.2 分层随机抽样的均值与方差 4.3 百分位数
A级 必备知识基础练
1.小霞在学校的“经典诗词朗诵”大赛中,5位评委给她的分数分别是:93,93,95,96,92,则小霞得分的中位数与平均数分别是( )
A.93,93 B.93,93.8
C.93.5,93.5 D.94,93.8
2.某射手在一次训练中五次射击的成绩分别为9.4,9.4,9.4,9.6,9.7,则该射手成绩的方差是( )
A.0.127 B.0.016 C.0.08 D.0.216
3.某商场一天中售出某品牌运动鞋13双,其中各种尺码鞋的销量如下表所示,则这13双鞋的尺码组成的一组数据中,众数和中位数分别为( )
鞋的尺码/cm 23.5 24 24.5 25 26
销售量/双 1 2 2 5 3
A.25 cm,25 cm B.24.5 cm,25 cm
C.26 cm,25 cm D.25 cm,24.5 cm
4.一组数据中的每一个数据都减去80,得到一组新数据,若求得新数据的平均数是1.2,方差是4.4,则原来数据的平均数和方差分别是( )
A.81.2,4.4
B.78.8,4.4
C.81.2,84.4
D.78.8,75.6
5.(多选题)某校举行篮球比赛,两队长小明和小张在总共6场比赛中得分情况如下表:
场次 1 2 3 4 5 6
小明得分 30 15 23 33 17 8
小张得分 22 20 31 10 34 9
则下列说法正确的是( )
A.小明得分的极差小于小张得分的极差
B.小明得分的中位数小于小张得分的中位数
C.小明得分的平均数大于小张得分的平均数
D.小明的成绩比小张的稳定
6.数据18,26,27,28,30,32,34,40的75%分位数为 .
7.若一组数据x1,x2,…,xn的方差为9,则数据3x1,3x2,…,3xn的方差为 ,标准差为 .
8.某城区举行“奥运知识”演讲比赛,中学组根据初赛成绩在高一、高二年级中分别选出10名同学参加决赛,这些选手的决赛成绩如图所示.
数字特征 众数 极差 平均数 方差
高一年级 a 22 b 39.6
高二年级 c d 85.7 27.8
(1)求出表格中a,b,c,d的值;
(2)考虑平均数与方差,你认为哪个年级的团体成绩更好些
B级 关键能力提升练
9.期中考试后,班长算出了全班40人数学成绩的平均分为M,如果把M当成一个同学的分数,与原来的40个分数一起,算出这41个分数的平均数为N,那么=( )
A. B.1 C. D.2
10.某人5次上班途中所花的时间(单位:分)分别为x,y,10,11,9,已知这组数据的平均数为10,方差为2,则|x-y|的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11.(多选题)气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天每天日平均温度不低于22 ℃”.甲、乙、丙三地连续5天日平均温度的记录数据(数据都是正整数,单位:℃)满足以下条件
甲地:5个数据的中位数是24,众数是22;
乙地:5个数据的中位数是27,平均数是24;
丙地:5个数据中有1个是32,平均数是26,方差是10.2.
则下列说法正确的是( )
A.进入夏季的地区至少有2个
B.丙地区肯定进入了夏季
C.乙地区肯定进入了夏季
D.不能肯定甲地区进入夏季
12.高三(1)班4名体育生的测试成绩分别为82,81,79,78,高三(2)班6名体育生的测试成绩分别为70,76,77,74,78,75,则这10名体育生的平均分与方差分别为 、 .
13.某校在统计一班级50名学生的数学考试成绩时,将两名学生的成绩统计错了,一个将115分统计为95分,1个将65分统计为85分,若根据统计的数据得出平均分为90分,标准差为5分,则该50名学生实际成绩的平均分及标准差分别为多少
C级 学科素养创新练
14.一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况,记录了过去20天苹果的日销售量(单位:千克)结果如下:56,52,55,52,57,59,54,53,55,51,56,56,58,56,52,58,56,55,51,58.
(1)请计算该水果店过去20天苹果日销售量的中位数、平均数、极差和标准差.
(2)一次进货太多,水果会变得不新鲜;进货太少,又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜,又能70%地满足顾客需求(在100天中,大约有70天可以满足顾客的需求),请问每天应该进多少千克苹果
参考答案
§4 用样本估计总体的数字特征
4.1 样本的数字特征 4.2 分层随机
抽样的均值与方差 4.3 百分位数
1.B
2.B (9.4+9.4+9.4+9.6+9.7)=9.5,
∴s2=[(9.4-9.5)2+(9.4-9.5)2+(9.4-9.5)2+(9.6-9.5)2+(9.7-9.5)2]=0.016.
3.A 易知众数为25cm.因为共有13个数据,所以中位数应为第7个数据,而尺码为23.5cm到24.5cm的共有5个数据,且尺码为25cm的有5个数据,因此第7个数据一定是25cm,即中位数为25cm.
4.A 原数据的平均数应为1.2+80=81.2,原数据的方差与新数据的方差相同,即为4.4.
5.BD 小明得分的极差为33-8=25,小张得分的极差为34-9=25,故A错误;小明得分的中位数为=20,小张得分的中位数为=21,故B正确;小明得分的平均数为=21,小张得分的平均数为=21,故C错误;小明和小张平均分相等,但小明分数相对集中,更稳定,故D正确.
6.33 该组数据一共有8个,8×75%=6,故该数据的75%分位数第6,7个数的平均数,即=33.
7.81 9 数据3x1,3x2,…,3xn的方差为32×9=81,标准差为=9.
8.解(1)高一年级的成绩为80,87,89,80,88,99,80,77,91,86;
高二年级的成绩为85,97,85,87,85,88,77,87,78,88.
由此可知高一年级成绩的众数是a=80,平均数b=85+(-5+2+4-5+3+14-5-8+6+1)=85.7;
高二年级成绩的众数是c=85,极差是d=20.
(2)因为两个年级的得分的平均数相同,高二年级成绩的方差小,说明高二年级的成绩偏离平均数的程度小,所以高二年级的团体成绩更好些.
9.B 平均数是用所有数据的和除以数据的总个数而得到的.设40位同学的成绩为xi(i=1,2,…,40),则M=,N==M,故=1.
10.D 依题意,得(x+y+10+11+9)=10,即x+y=20. ①
又[(x-10)2+(y-10)2+0+(11-10)2+(9-10)2]=2,所以(x-10)2+(y-10)2=8. ②
由①②解得
所以|x-y|=4.
11.AB 甲地:5个数据由小到大排,则22,22,24,a,b,其中24
则27+c+d≥81,而a+b+27+c+d=5×24=120,故a+b≤39,其中至少有一个小于22,故不满足一定进入夏季的标志;丙地:设5个数据为a,b,c,d,32,且a,b,c,d∈Z,
由方差公式可知(a-26)2+(b-26)2+(c-26)2+(d-26)2+(32-26)2=10.2×5=51,
则(a-26)2+(b-26)2+(c-26)2+(d-26)2=15=9+4+1+1,不妨设|a-26|=3,|b-26|=2,|c-26|=|d-26|=1,则a,b,c,d均大于22,满足进入夏季标准.
综上,故选AB.
12.77 由题意知=80,
(70+76+77+74+78+75)=75,
∴这10名体育生的平均成绩为80+75=77.
[(82-80)2+(81-80)2+(79-80)2+(78-80)2]=,
[(70-75)2+(76-75)2+(77-75)2+(74-75)2+(78-75)2+(75-75)2]=,
∴这10名体育生的方差为s2=+(80-77)2]+[+(75-77)2]=
13.解设没统计错的数据为x1,x2,…,x48,统计错的两个成绩为x49=95,x50=85,实际成绩为x1,x2,…,x48,t49=115,t50=65,
则(x1+x2+…+x48+95+85)=90,
所以(x1+x2+…+x48)=90-,所以(x1+x2+…+x48+t49+t50)=(x1+x2+…+x48)+(115+65)=90-=90.
由[(x1-90)2+…+(x48-90)2+(95-90)2+(85-90)2],
[(x1-90)2+…+(x48-90)2+(115-90)2+(65-90)2],得(252+252-52-52)=1200=24,
所以+24=52+24=49,
所以s2=7,即该50名学生实际成绩的平均分为90分,标准差为7分.
14.解(1)把这组数据从小到大排列为:51,51,52,52,52,53,54,55,55,55,56,56,56,56,56,57,58,58,58,59.
所以中位数是(55+56)=55.5,
平均数是(51+51+52+52+52+53+54+55+55+55+56+56+56+56+56+57+58+58+58+59)=55,极差是59-51=8,
方差为[(51-55)2+(51-55)2+(52-55)2+(52-55)2+(52-55)2+(53-55)2+(54-55)2+(55-55)2+(55-55)2+(55-55)2+(56-55)2+(56-55)2+(56-55)2+(56-55)2+(56-55)2+(57-55)2+(58-55)2+(58-55)2+(58-55)2+(59-55)2]=5.8,
标准差为
(2)因为20×70%=14,
所以样本数据的70%百分位数是第14,15项数据的平均值,
即(56+56)=56,
据此估计每天应进56千克苹果.(共22张PPT)
第六章
4.1 样本的数字特征 4.2 分层随机抽样的均值与方差 4.3 百分位数
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A 级 必备知识基础练
1.小霞在学校的“经典诗词朗诵”大赛中,5位评委给她的分数分别是:93,93,95,96,92,则小霞得分的中位数与平均数分别是( )
A.93,93
B.93,93.8
C.93.5,93.5
D.94,93.8
B
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2.某射手在一次训练中五次射击的成绩分别为9.4,9.4,9.4,9.6,9.7,则该射手成绩的方差是( )
A.0.127 B.0.016 C.0.08 D.0.216
B
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3.某商场一天中售出某品牌运动鞋13双,其中各种尺码鞋的销量如下表所示,则这13双鞋的尺码组成的一组数据中,众数和中位数分别为( )
鞋的尺码/cm 23.5 24 24.5 25 26
销售量/双 1 2 2 5 3
A.25 cm,25 cm B.24.5 cm,25 cm
C.26 cm,25 cm D.25 cm,24.5 cm
A
解析 易知众数为25 cm.因为共有13个数据,所以中位数应为第7个数据,而尺码为23.5 cm到24.5 cm的共有5个数据,且尺码为25 cm的有5个数据,因此第7个数据一定是25 cm,即中位数为25 cm.
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4.一组数据中的每一个数据都减去80,得到一组新数据,若求得新数据的平均数是1.2,方差是4.4,则原来数据的平均数和方差分别是( )
A.81.2,4.4
B.78.8,4.4
C.81.2,84.4
D.78.8,75.6
A
解析 原数据的平均数应为1.2+80=81.2,原数据的方差与新数据的方差相同,即为4.4.
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5.(多选题)某校举行篮球比赛,两队长小明和小张在总共6场比赛中得分情况如下表:
场次 1 2 3 4 5 6
小明得分 30 15 23 33 17 8
小张得分 22 20 31 10 34 9
则下列说法正确的是( )
A.小明得分的极差小于小张得分的极差
B.小明得分的中位数小于小张得分的中位数
C.小明得分的平均数大于小张得分的平均数
D.小明的成绩比小张的稳定
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6.数据18,26,27,28,30,32,34,40的75%分位数为 .
33
解析 该组数据一共有8个,8×75%=6,故该数据的75%分位数第6,7个数的平均数,即 =33.
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7.若一组数据x1,x2,…,xn的方差为9,则数据3x1,3x2,…,3xn的方差为 ,标准差为 .
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解析 数据3x1,3x2,…,3xn的方差为32×9=81,标准差为 =9.
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8.某城区举行“奥运知识”演讲比赛,中学组根据初赛成绩在高一、高二年级中分别选出10名同学参加决赛,这些选手的决赛成绩如图所示.
数字特征 众数 极差 平均数 方差
高一年级 a 22 b 39.6
高二年级 c d 85.7 27.8
(1)求出表格中a,b,c,d的值;
(2)考虑平均数与方差,你认为哪个年级的团体成绩更好些
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解 (1)高一年级的成绩为80,87,89,80,88,99,80,77,91,86;
高二年级的成绩为85,97,85,87,85,88,77,87,78,88.
由此可知高一年级成绩的众数是a=80,
平均数b=85+ ×(-5+2+4-5+3+14-5-8+6+1)=85.7;
高二年级成绩的众数是c=85,极差是d=20.
(2)因为两个年级的得分的平均数相同,高二年级成绩的方差小,说明高二年级的成绩偏离平均数的程度小,所以高二年级的团体成绩更好些.
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B 级 关键能力提升练
9.期中考试后,班长算出了全班40人数学成绩的平均分为M,如果把M当成一个同学的分数,与原来的40个分数一起,算出这41个分数的平均数为N,
B
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10.某人5次上班途中所花的时间(单位:分)分别为x,y,10,11,9,已知这组数据的平均数为10,方差为2,则|x-y|的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
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11.(多选题)气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天每天日平均温度不低于22 ℃”.甲、乙、丙三地连续5天日平均温度的记录数据(数据都是正整数,单位:℃)满足以下条件
甲地:5个数据的中位数是24,众数是22;
乙地:5个数据的中位数是27,平均数是24;
丙地:5个数据中有1个是32,平均数是26,方差是10.2.
则下列说法正确的是( )
A.进入夏季的地区至少有2个
B.丙地区肯定进入了夏季
C.乙地区肯定进入了夏季
D.不能肯定甲地区进入夏季
AB
解析 甲地:5个数据由小到大排,则22,22,24,a,b,其中24则27+c+d≥81,而a+b+27+c+d=5×24=120,故a+b≤39,其中至少有一个小于22,故不满足一定进入夏季的标志;丙地:设5个数据为a,b,c,d,32,且a,b,c,d∈Z,
由方差公式可知(a-26)2+(b-26)2+(c-26)2+(d-26)2+(32-26)2=10.2×5=51,
则(a-26)2+(b-26)2+(c-26)2+(d-26)2=15=9+4+1+1,不妨设|a-26|=3,|b-26|=2,|c-26|=|d-26|=1,则a,b,c,d均大于22,满足进入夏季标准.
综上,故选AB.
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12.高三(1)班4名体育生的测试成绩分别为82,81,79,78,高三(2)班6名体育生的测试成绩分别为70,76,77,74,78,75,则这10名体育生的平均分与方差分别
为 、 .
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解 设没统计错的数据为x1,x2,…,x48,统计错的两个成绩为x49=95,x50=85,实际成绩为x1,x2,…,x48,t49=115,t50=65,
所以s2=7,即该50名学生实际成绩的平均分为90分,标准差为7分.
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14.一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况,记录了过去20天苹果的日销售量(单位:千克)结果如下: 56,52,55,52,57,59,54,53,55,51,56,56,58,56,52,58,56,55,51,58.
(1)请计算该水果店过去20天苹果日销售量的中位数、平均数、极差和标准差.
(2)一次进货太多,水果会变得不新鲜;进货太少,又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜,又能70%地满足顾客需求(在100天中,大约有70天可以满足顾客的需求),请问每天应该进多少千克苹果
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解 (1)把这组数据从小到大排列为: 51,51,52,52,52,53,54,55,55,55,56,56,56,56,56,57,58,58,58,59.
所以中位数是 ×(55+56)=55.5,
平均数是 ×(51+51+52+52+52+53+54+55+55+55+56+56+56+56+56+
57+58+58+58+59)=55,极差是59-51=8,
方差为 × [(51-55)2+(51-55)2+(52-55)2+(52-55)2+(52-55)2+(53-55)2
+(54-55)2+(55-55)2+(55-55)2+(55-55)2+(56-55)2+(56-55)2+(56-55)2+
(56-55)2+(56-55)2+(57-55)2+(58-55)2+(58-55)2+(58-55)2+(59-55)2]=5.8,
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(2)因为20×70%=14,
所以样本数据的70%百分位数是第14,15项数据的平均值,
即 ×(56+56)=56,
据此估计每天应进56千克苹果.(共40张PPT)
第六章
4.1 样本的数字特征 4.2 分层随机抽样的均值与方差 4.3 百分位数
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
目录索引
成果验收·课堂达标检测
课程标准 1.会求样本的平均数、中位数、众数、百分位数.
2.会求样本的极差、标准差与方差.
3.通过应用相关知识解决实际统计问题,培养数据分析的核心素养.
基础落实·必备知识全过关
知识点1 样本的数字特征
1.众数、中位数、平均数
众数、中位数、平均数刻画了一组数据的集中趋势.
(1)众数
一组数据中,出现次数最多的数据就是众数.若有两个或几个数据出现的次数相等且都最多,则这些数都是这组数据的众数;若一组数据中,每个数据出现的次数都一样,则这组数据没有众数.
(2)中位数
一般地,将一组数据按从小到大的顺序排列后,“中间”的那个数据为这组数据的中位数.
当数据有奇数个时,位于最中间位置的数就是中位数;当数据有偶数个时,位于最中间的两个数的平均数就是中位数.
(3)平均数
一组数据的平均值,数据x1,x2,…,xn的平均数为 = .
名师点睛
众数、中位数、平均数的比较
名称 优点 缺点
众数 (1)体现了样本数据的最大集中点;(2)容易计算 (1)它只能表达样本数据中很少的一部分信息;(2)无法客观地反映总体的特征
中位数 (1)不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响; (2)容易计算,便于利用中间数据的信息 对极端值不敏感
平均数 反映出更多的关于样本数据全体的信息 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变,数据波动越大,对平均数的影响也越大
2.极差、方差、标准差
极差、方差、标准差刻画了一组数据的 .
(1)极差:数据中 和 的差.
(2)方差:设一组数据为x1,x2,x3,…,xn,其平均数为 ,则方差s2= ,其单位是原始观测数据单位的 ,方差刻画的是数据偏离平均数的离散程度.
离散程度
最大值
最小值
平方
(3)标准差
①定义:它是方差的算术平方根,s=
= ,其单位与原始数据的单位 .
②计算方法:先求出方差s2,再求方差的算术平方根,即得标准差s= .
相同
名师点睛
计算方差、标准差的步骤
计算样本数据x1,x2,…,xn的标准差的算法如下:
第一步:算出样本数据的平均数 ;
第二步:算出每个样本数据与样本平均数的差xi- (i=1,2,…,n);
第三步:算出第二步中xi- (i=1,2,…,n)的平方;
第四步:算出第三步中n个平方数的平均数,即为样本方差;
第五步:算出第四步中平均数的算术平方根,即为样本标准差.
过关自诊
1.[人教B版教材例题]计算下列各组数的平均数与方差:
(1)18.9,19.5,19.5,19.2,19,18.8,19.5;
(2)2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,6,6.
(2)可将数据整理为
x 2 3 4 5 6
频数 3 4 5 6 2
每一个数都减去4可得
x-4 -2 -1 0 1 2
频数 3 4 5 6 2
这组数的平均数与方差分别为
因此,所求平均数为4,方差为
2.[人教A版教材例题]某学校要定制高一年级的校服,学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格.据统计,高一年级女生需要不同规格校服的频数如表所示.
校服规格 155 160 165 170 175 合计
频数 39 64 167 90 26 386
如果用一个量来代表该校高一年级女生所需校服的规格,那么在中位数、平均数和众数中,哪个量比较合适 试讨论用表中的数据估计全国高一年级女生校服规格的合理性.
解 为了更直观地观察数据的特征,我们用条形图来表示表中的数据(图略).可以发现,选择校服规格为“165”的女生的频数最高,所以用众数165作为该校高一年级女生校服的规格比较合适.
知识点2 分层随机抽样的均值与方差
1.分层随机抽样的平均数
(1)定义:一般地,将样本a1,a2,…,am和样本b1,b2,…,bn合并成一个新样本,则这个新样本的平均数为
w1,w2∈[0,1]
2.分层随机抽样的方差
过关自诊
[人教A版教材习题]某学校有高中学生500人,其中男生320人,女生180人.有人为了获得该校全体高中学生的身高信息,采用分层抽样的方法抽取样本,并观测样本的指标值(单位:cm),计算得男生样本的均值为173.5,方差为17,女生样本的均值为163.83,方差为30.03.
(1)根据以上信息,能够计算出总样本的均值和方差吗 为什么
(2)如果已知男、女样本量按比例分配,你能计算出总样本的均值和方差各为多少吗
(3)如果已知男、女的样本量都是25,你能计算出总样本的均值和方差各为多少吗 它们分别作为总体均值和方差的估计合适吗 为什么
解 (1)不能.因为缺少男生样本量和女生样本量.
它们分别作为总体平均数和方差的估计不合适,因为男、女生的身高差异较大,不能等量抽取样本.
知识点3 百分位数
取值连续不断,不能一一列举
1.一般地,当总体是连续变量时,给定一个百分数p∈(0,1),总体的p分位数有这样的特点:总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p.
2.计算一组n个数据的p分位数的一般步骤如下:
第一步,按照从小到大排列原始数据;
第二步,计算i=np;
第三步,若i不是整数,大于i的最小整数为j,则p分位数为第j项数据;若i是整数,则p分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.
过关自诊
[人教B版教材例题]给定甲、乙两组数如下所示,计算其75%分位数.
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲组 1 2 2 2 2 3 3 3 5 5
乙组 0 0 0 0 1 1 2 3 4 5
序号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
甲组 6 6 8 8 9 10 10 12 13 13
乙组 6 6 7 7 10 14 14 14 14 15
重难探究·能力素养全提升
探究点一 平均数、众数、中位数的求法
【例1】 在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示.
成绩/m 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90
人数 2 3 2 3 4 1 1 1
分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数.(结果精确到0.01)
解 在17个数据中,1.75出现了4次,出现的次数最多,即这组数据的众数是1.75.题目中表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的,其中第9个数据1.70是最中间的一个数据,即这组数据的中位数是1.70.
这组数据的平均数是
所以这17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75,1.70,1.69.
规律方法 中位数、众数、平均数的应用注意事项
求中位数的关键是将数据排序,一般按照从小到大的顺序排列.中位数仅与数据的排列位置有关,某些数据的变动对中位数没有影响.中位数可能在所给数据中,也可能不在所给数据中.当一组数据中的个别数据变动较大时,可用中位数描述数据的集中趋势
确定众数的关键是统计各数据出现的频数,频数最大的数据就是众数.当一组数据中有不少数据多次重复出现时,众数往往更能反映数据的集中趋势
平均数与每一个样本数据都有关,受个别极端数据(比其他数据大很多或小很多的数据)的影响较大,因此若在数据中存在少量极端数据,平均数对总体估计的可靠性较差,这时往往用众数或中位数去估计总体.有时也采用剔除最大值与最小值后所得的平均数去估计总体
变式训练1(1)16位参加百米赛跑半决赛同学的成绩各不相同,按成绩取前8位进入决赛.如果小刘知道了自己的成绩后,要判断能否进入决赛,则其他15位同学成绩的下列数据中,能使他得出结论的是( )
A.平均数 B.极差
C.中位数 D.方差
C
解析 判断能否进入决赛,只要判断是不是前8名,所以只要知道其他15名同学的成绩中是不是有8名高于他,也就是把其他15名同学的成绩排列后看第8名的成绩即可,小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛,低于这个成绩就不能进入决赛,这个第8名的成绩就是这15名同学成绩的中位数.
(2)已知一组数据按从小到大排列为-1,0,4,x,6,15,且这组数据的中位数是5,那么该组数据的众数是 ,平均数是 .
6
5
探究点二 方差和标准差的计算及应用
【例2】 甲、乙两台机床同时加工直径为100 cm的零件,为检验质量,各从中抽取6件测量,数据为:
甲:99,100,98,100,100,103;
乙:99,100,102,99,100,100.
(1)分别计算两组数据的平均数及方差;
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.
(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同,又 ,所以乙机床加工零件的质量更稳定.
规律方法 标准差(方差)的两个作用
(1)标准差(方差)越大,数据的离散程度越大;标准差(方差)越小,数据的离散程度越小.
(2)在实际应用中,常常把平均数与标准差结合起来进行决策.在平均值相等的情况下,比较方差或标准差以确定稳定性.
变式训练2已知样本9,10,11,x,y的平均数是10,标准差是 ,则xy= .
96
解析 由平均数得9+10+11+x+y=50,
所以x+y=20.
又由(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(x-10)2+(y-10)2=( )2×5=10,
得x2+y2-20(x+y)=-192,
(x+y)2-2xy-20(x+y)=-192,xy=96.
故填96.
探究点三 求百分位数
【例3】 给出下列一组数据:18,19,20,20,21,22,23,31,31,35,求出45%分位数.
解 因为数据个数为10,而且10×45%=4.5,因此该组数据的45%分位数为21.
变式探究求出本例中的80%分位数.
解 因为10×80%=8,所以该组数据的80%分位数为
规律方法 计算一组数据的p分位数时,注意区分i=np的值是否为整数.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)众数、中位数、平均数、极差、方差和标准差的意义与计算;
(2)样本数据数字特征的应用;
(3)分层随机抽样的均值与方差;
(4)百分位数.
2.方法归纳:数据分析、统计.
3.常见误区:未对数据排序导致求中位数错误;方差与标准差计算错误;求百分位数时,未排序导致错误.
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1
2
3
4
5
1.(多选题)下列说法中,正确的是( )
A.数据2,4,6,8的中位数是4,6
B.数据1,2,2,3,4,4的众数是2,4
C.一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数据
D.8个数据的平均数为5,另3个数据的平均数为7,则这11个数据的平均数是
BCD
解析 数据2,4,6,8的中位数为 =5,显然A是错误的,B,C,D都是正确的.
1
2
3
4
5
2.若甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和标准差如下表:
选手 甲 乙 丙 丁
8.5 8.8 8.8 8
标准差s 3.5 3.5 2.1 8.7
则参加奥运会的最佳人选应为( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
C
解析 从平均数来看,乙、丙的平均值最大,从标准差来看,丙的标准差最小,因此应选择丙参加比赛.
1
2
3
4
5
3.已知一组数据:
125,121,123,125,127,129,125,128,130,129,126,124,125,127,126.则这组数据的25%分位数和80%分位数分别是( )
A.125,128 B.124,128
C.125,129 D.125,128.5
D
解析 把这15个数据按从小到大排序,可得121,123,124,125,125,125,125,126,126,127,127,128,129,129,130,由25%×15=3.75,80%C15=12,可知数据的25%分位数为第4项数据为125,80%分位数为第12项与第13项数据的平均数,即 × (128+129)=128.5.
1
2
3
4
5
4.已知一组数据4,2a,3-a,5,6的平均数为4,则a的值是 .
2
解析 由已知,得 × [4+2a+(3-a)+5+6]=4,
解得a=2.
1
2
3
4
5
5.某车间20名工人年龄数据如下表:
年龄/岁 人数
19 1
28 3
29 3
30 5
31 4
32 3
40 1
合计 20
(1)求这20名工人年龄的众数与极差;
(2)求这20名工人年龄的方差s2.
解 (1)这20名工人年龄的众数为30,年龄的极差为40-19=21.
(2)这20名工人年龄的平均数为(19+28×3+29×3+30×5+31×4+32×3+40)÷20=30,
所以这20名工人年龄的方差为