(共13张PPT)
第五章
1.1 利用函数性质判定方程解的存在性
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A 级 必备知识基础练
1.下列图象表示的函数中没有零点的是( )
A
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2.函数f(x)=3x+ex的零点所在区间为( )
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
B
解析 函数f(x)=3x+ex为R上的增函数,且f(-2)=-6+e-2<0,f(-1)=-3+e-1<0, f(0)=1>0,所以f(-1)·f(0)<0,因此,函数f(x)=3x+ex的零点所在区间为(-1,0).故选B.
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3.函数 的零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.无数个
B
解析 作出y=x3与 的图象,如图所示,两个函数的图象只有一个交点,所以函数f(x)只有一个零点.
故选B.
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4.(多选题)已知函数f(x)=( )x-log2x,0
A.0d>b C.d>c D.aABD
解析 由于y=( )x在(0,+∞)上单调递减,y=log2x在(0,+∞)上单调递增,可得f(x)=( )x-log2x在定义域(0,+∞)上是减函数,当0f(b)>f(c),又因为f(a)·f(b)·f(c)<0,f(d)=0,所以①当f(a),f(b),f(c)都为负值时,则a,b,c都大于d,②当f(a)>0,f(b)>0,f(c)<0时,则a,b都小于d,c大于d.综合①②可得d>c不可能成立.
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5.已知函数f(x)与g(x)满足的关系为f(x)-g(x)=-x-3,根据所给数表,判断f(x)的一个零点所在的区间为( )
x -1 0 1 2 3
g(x) 0.37 1 2.72 7.39 20.39
A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
C
解析 由列表可知f(-1)=g(-1)+1-3=0.37-2=-1.63,f(0)=g(0)-0-3=1-3=-2, f(1)=-1.28,f(2)=2.39,f(3)=14.39,∵f(1)·f(2)<0,∴函数f(x)的一个零点所在的区间为(1,2).
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6.已知函数 则该函数零点的个数为 .
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解析 当x<0时,由f(x)=0,得x=-4,当x≥0时,由f(x)=0,得x=4或x=0.
故函数共有3个零点.
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7.若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是 .
(0,2)
解析 因为y=f(x)有两个零点,所以|2x-2|-b=0有两个实根.即|2x-2|=b有两个实根.
令y1=|2x-2|,y2=b,则y1与y2的图象有两个交点.
由图可知当b∈(0,2)时,y1与y2有两个交点.
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B 级 关键能力提升练
8.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且α,β是函数f(x)的两个零点,则实数a,b,α,β的大小关系可能是( )
A.a<αC
解析 ∵α,β是函数f(x)的两个零点,
∴f(α)=f(β)=0.
又f(a)=f(b)=-2<0,结合二次函数的图象
(如图所示)可知a,b必在α,β之间.故选C.
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9.方程ex-x-2=0的一个实根所在的区间为(k-1,k)(k∈N),则k的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
B
解析 令f(x)=ex-x-2,在定义域R上为连续函数,
又f(1)=e-3<0,f(2)=e2-4>0,
所以方程ex-x-2=0的一个实根必在(1,2),
所以k=2.故选B.
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10.已知函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次为a,b,c,则a,b,c的大小关系是 .
a解析 画出函数y=3x,y=log3x,y=-x,y=-2的图象,如图所示.
观察图象可知,函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次是点A,B,C的横坐标,由图象可知a1
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C 级 学科素养创新练
11.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且当x∈[-1,0]时,f(x)=-x2+1,如果函数g(x)=f(x)-a|x|恰有8个零点,求实数a的值.
解 由f(x+1)=f(x-1),则f(x)=f(x-2),故函数f(x)为周期为2的周期函数.
∵函数g(x)=f(x)-a|x|恰有8个零点,
∴f(x)-a|x|=0在(-∞,0)上有四个解,
即f(x)的图象与直线y=a|x|在(-∞,0)上有4个公共点.又当x∈[-1,0]时,
f(x)=-x2+1,
∴当直线y=-ax与y=-(x+4)2+1相切时,即可在(-∞,0)上有4个公共点,
∴x2+(8-a)x+15=0.
∴Δ=(8-a)2-60=0.
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11(共42张PPT)
第五章
1.1 利用函数性质判定方程解的存在性
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
目录索引
课程标准 1.了解函数零点的定义,并会求简单函数的零点.
2.了解函数的零点与方程解的关系.
3.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理.
基础落实·必备知识全过关
知识点1 函数的零点
1.代数定义:使得f(x0)=0的数 称为方程f(x)=0的解,也称为函数f(x)的零点.
2.几何定义:f(x)的零点就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的 .
名师点睛
1.并不是所有的函数都有零点,如f(x)=1,f(x)=x2+1就没有零点.
2.若函数有零点,则零点一定在函数的定义域内.
3.函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的解,也就是函数y1=f(x)与y2=g(x)的图象交点的横坐标.
x0
横坐标
过关自诊
1.[人教B版教材例题]如图所示是函数y=f(x)的图象,分别写出f(x)=0,f(x)>0,f(x)≤0的解集.
解 由图可知,f(x)=0的解集为{-5,-3,-1,2,4,6}.
f(x)>0的解集为(-5,-3)∪(2,4)∪(4,6).
f(x)≤0的解集为[-6,-5]∪[-3,2]∪{4,6}.
2.[人教B版教材例题]利用函数求下列不等式的解集:
(1)x2-x-6<0;(2)x2-x-6≥0.
解 设f(x)=x2-x-6,令f(x)=0,得x2-x-6=0,即(x-3)(x+2)=0,
从而x=3或x=-2.
因此,3和-2都是函数f(x)的零点,从而f(x)的图象与x轴相交于(3,0)和(-2,0),又因为函数图象是开口向上的抛物线,f(0)=-6,所以可以作出函数图象的示意图,如图所示.
由图可知:
(1)所求解集为(-2,3);
(2)所求解集为(-∞,-2]∪[3,+∞).
知识点2 零点存在定理
若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且在区间端点的函数值一正一负,即f(a)·f(b)<0,则在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点.即在区间(a,b)内相应的方程f(x)=0至少有一个解.
f(a)·f(b)<0是在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点的充分但不必要条件
名师点睛
1.定理要求具备两个条件:(1)函数在区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线;(2)f(a)·f(b)<0.这两个条件缺一不可.
2.若函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上是一条连续的曲线,则由f(a)·f(b)<0可以推出函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点,但是由函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点不一定能推出f(a)·f(b)<0.如f(x)=x2在(-1,1)内存在零点,但
f(-1)·f(1)>0.
3.如果单调函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有唯一的零点,即存在唯一的x0∈(a,b),使得f(x0)=0,这个x0也就是方程f(x)=0的解.
过关自诊
1.[人教B版教材例题]求证:函数f(x)=x3-2x+2至少有一个零点.
证明 因为f(0)=2>0,f(-2)=-8+4+2=-2<0,所以f(-2)f(0)<0,因此 x0∈(-2,0), f(x0)=0,即结论成立.
2.[人教A版教材例题]求方程ln x+2x-6=0的实数解的个数.
解 设函数f(x)=ln x+2x-6,利用计算工具,列出函数y=f(x)的对应值表,并画出图象.
x y
1 -4
2 -1.306 9
3 1.098 6
4 3.386 3
5 5.609 4
6 7.791 8
7 9.945 9
8 12.079 4
9 14.197 2
由表和图可知,f(2)<0,f(3)>0,则f(2)f(3)<0.
由函数零点存在定理可知,函数f(x)=ln x+2x-6在区间(2,3)内至少有一个零点.
容易证明,函数f(x)=ln x+2x-6,x∈(0,+∞)是增函数,所以它只有一个零点,即相应方程ln x+2x-6=0只有一个实数解.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 求函数的零点
【例1】 判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出零点.
(1)f(x)=-8x2+7x+1;
(2)f(x)=1+log3x;
(3)f(x)=4x-16.
(3)存在.令4x-16=0,
即4x=42,解得x=2.
所以函数的零点为2.
规律方法 因为函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的解,也是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,所以求函数的零点通常有两种方法:一是代数法,令f(x)=0,通过求方程f(x)=0的解求得函数的零点;二是几何法,画出函数y=f(x)的图象,图象与x轴交点的横坐标即函数的零点.
变式训练1已知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2,求函数y=logn(mx+1)的零点.
解 由题意知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点为1和2,则1和2是方程x2+3(m+1)x+n=0的解.
所以函数y=logn(mx+1)的解析式为y=log2(-2x+1).
令log2(-2x+1)=0,得x=0.
所以函数y=log2(-2x+1)的零点为0.
探究点二 函数零点个数的判断
【例2】 判断下列函数零点的个数:
(1)f(x)=(x2-4)log2x;
(2)f(x)=x2- ;
(3)f(x)=2x+lg(x+1)-2.
解 (1)令f(x)=0,得(x2-4)log2x=0,因此x2-4=0或log2x=0,解得x=±2或x=1.
又因为函数定义域为(0,+∞),所以-2不是函数的零点,故函数有1和2两个零点.
(方法二)令f(x)=x2- =0,得x2= ,设g(x)=x2,h(x)= (x≠0),在同一坐标系中分别画出函数g(x)和h(x)的图象如图所示.
由图象可知,两个函数图象只有一个交点,故函数f(x)只有一个零点.
(3)(方法一)∵f(0)=1+0-2=-1<0,
f(2)=4+lg 3-2=2+lg 3>0,
∴f(x)在(0,2)上必定存在零点.
又f(x)=2x+lg(x+1)-2在区间(-1,+∞)上单调递增,故f(x)有且只有一个零点.
(方法二)令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1),在同一平面直角坐标系中作出h(x)与g(x)的图象,如图所示.
由图象知g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x的图象有且只有一个公共点,即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.
规律方法 判断函数零点个数的常用方法
(1)解方程f(x)=0,方程f(x)=0解的个数就是函数f(x)零点的个数.
(2)直接作出函数f(x)的图象,图象与x轴交点的个数就是函数f(x)零点的个数.
(3)f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一平面直角坐标系中作出y1=g(x)和y2=h(x)的图象,则两个图象交点的个数就是函数y=f(x)零点的个数.
(4)若证明一个函数的零点唯一,也可先由零点存在定理判断出函数有零点,再证明该函数在定义域内单调.
变式训练2(1)若abc≠0,且b2=ac,则函数f(x)=ax2+bx+c的零点的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.1或2
A
解析 ∵b2=ac,且abc≠0,
∴方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac=b2-4b2=-3b2<0.故函数f(x)=ax2+bx+c的零点个数为0.
(2)判断函数f(x)=x-3+ln x的零点个数.
解 (方法一)令f(x)=x-3+ln x=0,则ln x=3-x.
在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=ln x与y=-x+3的图象,如图所示.由图可知函数y=ln x与y=-x+3的图象只有一个交点,即函数f(x)=x-3+ln x只有一个零点.
(方法二)因为f(3)=ln 3>0,f(2)=-1+ln 2=ln <0,
所以f(3)·f(2)<0,
说明函数f(x)=x-3+ln x在区间(2,3)内有零点.
又f(x)=x-3+ln x在区间(0,+∞)上单调递增,所以原函数只有一个零点.
探究点三 已知零点个数求参数的取值范围
A.(1,2] B.[1,+∞) C.[1,2) D.[1,2]
A
【例4】 已知a是实数,函数f(x)=2·|x-1|+x-a,若函数y=f(x)有且仅有两个零点,则实数a的取值范围是 .
(1,+∞)
解析 函数f(x)=2|x-1|+x-a有且仅有两个零点,即函数y=2|x-1|+x与y=a的图象有且仅有两个交点.
分别作出函数y=2|x-1|+x与y=a的图象,如图所示.
由图易知,当a>1时,两函数的图象有且仅有
两个不同的交点,故实数a的取值范围是(1,+∞).
规律方法 已知函数有零点(方程有根)求参数的方法
直接法 根据题设条件构建关于参数的不等式(组),通过解不等式(组)确定参数的取值范围
数形 结合法 先对f(x)的解析式变形,将f(x)=0转化为h(x)=g(x)(h(x),g(x)的图象易画出),在同一平面直角坐标系中画出函数h(x),g(x)的图象,然后利用数形结合思想求解
变式训练3已知关于x的函数f(x)=3ax-1-2a在区间(-1,1)内存在零点,则( )
C
解析 显然a≠0,∴f(x)=3ax-1-2a在(-1,1)内单调,且存在零点,
∴f(-1)·f(1)<0,即(-3a-1-2a)·(3a-1-2a)=(-5a-1)·(a-1)<0,
∴a>1或a<-
探究点四 判断函数零点所在的区间
【例5】 (1)二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的部分对应值如下表:
x -3 -1 0 1 2 4
y 6 -4 -6 -6 -4 6
不求a,b,c的值,判断方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根所在区间是( )
A.(-3,-1)和(2,4)
B.(-3,-1)和(-1,1)
C.(-1,1)和(1,2)
D.(-∞,-3)和(4,+∞)
A
解析 易知f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条连续不断的曲线,又f(-3)·f(-1) =6×(-4)=-24<0,所以f(x)在(-3,-1)内有零点,即方程ax2+bx+c=0(a≠0)在
(-3,-1)内有根,同理,方程ax2+bx+c=0(a≠0)在(2,4)内有根.
故选A.
(2)已知函数f(x)= -log2x,在下列区间中,包含f(x)零点的区间是( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,4) D.(4,+∞)
C
规律方法 确定函数f(x)零点所在区间的常用方法
(1)解方程法:当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,再看求得的根是否落在给定区间上.
(2)利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(3)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
变式训练4(1)函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是( )
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
C
解析 ∵f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,
∴f(0)·f(1)<0,
∴f(x)在(0,1)内有零点.又函数f(x)为单调增函数,
∴C选项符合条件.
(2)若方程xlg(x+2)=1的实根在区间(k,k+1)(k∈Z)内,则k=( )
A.-2 B.1 C.-2或1 D.0
C
解析 由题意知x≠0,则原方程即为lg(x+2)= ,在同一平面直角坐标系中作出函数y=lg(x+2)与y= 的图象,如图所示.由图象可知原方程有两个根,一个在区间(-2,-1)内,一个在区间(1,2)内,所以k=-2或k=1.故选C.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)求函数的零点;
(2)判断零点个数;
(3)由零点个数求参数范围;
(4)确定函数零点所在的区间.
2.方法归纳:转化法、数形结合法.
3.常见误区:误将零点当作点,零点是数,是图象与x轴交点的横坐标.
成果验收·课堂达标检测
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1.下列四个函数图象,在区间(-∞,0)内存在零点的是( )
B
解析 只有选项B中的函数图象与x轴的负半轴有交点.
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A
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3.函数f(x)=3x-4的零点所在区间为( )
A.(0,1) B.(-1,0) C.(2,3) D.(1,2)
D
解析 由f(-1)= <0,f(0)=-3<0,f(1)=-1<0,f(2)=5>0,f(3)=23>0,得f(x)的零点所在区间为(1,2).
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4.已知函数y=ax2-x-1只有一个零点,则实数a的值为 .
解析 当a=0时,函数为y=-x-1,显然该函数的图象与x轴只有一个交点,即函数只有一个零点.
当a≠0时,函数y=ax2-x-1为二次函数.
∵函数y=ax2-x-1只有一个零点,
∴方程ax2-x-1=0有两个相等的实数解.
∴Δ=1+4a=0,即a=- .
综上可知,a的值为0或- .
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5.判断下列函数在给定区间上是否存在零点,如果存在,求出零点的个数.
(1)f(x)=x2-3x-18,x∈[-4,7];
(2)f(x)=x2+2x+1- ,x∈(0,+∞).
解 (1)令x2-3x-18=0,解得x=-3或x=6.
又-3∈[-4,7],6∈[-4,7],
∴f(x)=x2-3x-18在区间[-4,7]上有两个零点.
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5第五章§1 方程解的存在性及方程的近似解
1.1 利用函数性质判定方程解的存在性
A级 必备知识基础练
1.下列图象表示的函数中没有零点的是( )
2.函数f(x)=3x+ex的零点所在区间为( )
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
3.函数f(x)=x3-的零点个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.无数个
4.(多选题)已知函数f(x)=x-log2x,0A.0d>b
C.d>c D.a5.已知函数f(x)与g(x)满足的关系为f(x)-g(x)=-x-3,根据所给数表,判断f(x)的一个零点所在的区间为( )
x -1 0 1 2 3
g(x) 0.37 1 2.72 7.39 20.39
A.(-1,0) B.(0,1)
C.(1,2) D.(2,3)
6.已知函数f(x)=则该函数零点的个数为 .
7.若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是 .
B级 关键能力提升练
8.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且α,β是函数f(x)的两个零点,则实数a,b,α,β的大小关系可能是 ( )
A.a<αC.α9.方程ex-x-2=0的一个实根所在的区间为(k-1,k)(k∈N),则k的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.已知函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次为a,b,c,则a,b,c的大小关系是 .
C级 学科素养创新练
11.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且当x∈[-1,0]时,f(x)=-x2+1,如果函数g(x)=f(x)-a|x|恰有8个零点,求实数a的值.
参考答案
第五章 函数应用
§1 方程解的存在性及方程的近似解
1.1 利用函数性质判定方程解的存在性
1.A
2.B 函数f(x)=3x+ex为R上的增函数,且f(-2)=-6+e-2<0,f(-1)=-3+e-1<0,f(0)=1>0,所以f(-1)·f(0)<0,因此,函数f(x)=3x+ex的零点所在区间为(-1,0).故选B.
3.B 作出y=x3与y=的图象,如图所示,两个函数的图象只有一个交点,所以函数f(x)只有一个零点.
故选B.
4.ABD 由于y=()x在(0,+∞)上单调递减,y=log2x在(0,+∞)上单调递增,可得f(x)=()x-log2x在定义域(0,+∞)上是减函数,当0f(b)>f(c),又因为f(a)·f(b)·f(c)<0,f(d)=0,所以①当f(a),f(b),f(c)都为负值时,则a,b,c都大于d,②当f(a)>0,f(b)>0,f(c)<0时,则a,b都小于d,c大于d.综合①②可得d>c不可能成立.
5.C 由列表可知f(-1)=g(-1)+1-3=0.37-2=-1.63,f(0)=g(0)-0-3=1-3=-2,f(1)=-1.28,f(2)=2.39,f(3)=14.39,∵f(1)·f(2)<0,∴函数f(x)的一个零点所在的区间为(1,2).
6.3 当x<0时,由f(x)=0,得x=-4,当x≥0时,由f(x)=0,得x=4或x=0.
故函数共有3个零点.
7.(0,2) 因为y=f(x)有两个零点,所以|2x-2|-b=0有两个实根.即|2x-2|=b有两个实根.
令y1=|2x-2|,y2=b,则y1与y2的图象有两个交点.
由图可知当b∈(0,2)时,y1与y2有两个交点.
8.C
∵α,β是函数f(x)的两个零点,∴f(α)=f(β)=0.
又f(a)=f(b)=-2<0,结合二次函数的图象(如图所示)可知a,b必在α,β之间.故选C.
9.B 令f(x)=ex-x-2,在定义域R上为连续函数,
又f(1)=e-3<0,f(2)=e2-4>0,
所以方程ex-x-2=0的一个实根必在(1,2),
所以k=2.故选B.
10.a观察图象可知,函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次是点A,B,C的横坐标,由图象可知a11.解由f(x+1)=f(x-1),则f(x)=f(x-2),故函数f(x)为周期为2的周期函数.
∵函数g(x)=f(x)-a|x|恰有8个零点,
∴f(x)-a|x|=0在(-∞,0)上有四个解,
即f(x)的图象与直线y=a|x|在(-∞,0)上有4个公共点.又当x∈[-1,0]时,f(x)=-x2+1,
∴当直线y=-ax与y=-(x+4)2+1相切时,即可在(-∞,0)上有4个公共点,
∴x2+(8-a)x+15=0.
∴Δ=(8-a)2-60=0.
∵a>0,∴a=8-2