第五章1.2 利用二分法求方程的近似解
A级 必备知识基础练
1.已知函数f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在区间(1,2)上的近似解的过程中得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的解落在区间( )
A.(1,1.25)
B.(1.25,1.5)
C.(1.5,2)
D.不能确定
2.(多选题)下列函数中,能用二分法求函数零点的有 ( )
A.f(x)=3x-1
B.f(x)=x2-4x+4
C.f(x)=log4x
D.f(x)=ex-2
3.若函数f(x)=x2-4x+m存在零点,且不能用二分法求该函数的零点,则m的取值范围是( )
A.(4,+∞)
B.(-∞,4)
C.{4}
D.[4,+∞)
4.(多选题)某同学求函数f(x)=ln x+2x-6的零点时,用计算器算得部分函数值,如表所示:
f(2)≈-1.307 f(3)≈1.099 f(2.5)≈-0.084
f(2.75)≈0.512 f(2.625)≈0.215 f(2.562 5)≈0.066
则方程ln x+2x-6=0的近似解(精确度0.1)可取为 ( )
A.2.52 B.2.56
C.2.66 D.2.75
5.根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个实数根所在的区间为(k,k+1)(k∈N),则k的值为 .
x -1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x+2 1 2 3 4 5
6.一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A,B),如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致,要想检验出哪一处的焊口脱落,则至多需要检测 次.
7.用二分法求函数y=x3-3的一个正零点(精确度0.1).
B级 关键能力提升练
8.(多选题)若函数f(x)的图象是连续的,且函数f(x)的唯一零点同在(0,4),(0,2),1,,内,则与f(0)符号不同的是( )
A.f(4) B.f(2) C.f(1) D.f
9.已知函数f(x)=2x-在区间(1,2)上有一个零点x0,如果用二分法求x0的近似值(精确度为0.01),则应将区间(1,2)至少等分的次数为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
10.求方程3x+=0的近似解(精确度0.1).
11.已知方程2x+2x=5.
(1)判断该方程解的个数以及所在区间;
(2)用二分法求出方程的近似解(精确度0.1).
参考数值:
x 1.187 5 1.125 1.25 1.312 5 1.375 1.5
2x 2.278 2.181 2.378 2.484 2.594 2.83
12.某公司生产A种型号的电脑,2019年平均每台电脑的生产成本为5 000元,并按纯利润为20%定出厂价.2020年开始,公司更新设备,加强管理,逐步推行股份制,从而使生产成本逐年降低,2023年平均每台A种型号的电脑出厂价仅是2019年的80%,实现了纯利润50%.
(1)求2023年每台A种型号电脑的生产成本;
(2)以2019年的生产成本为基数,用二分法求2019~2023年间平均每年生产成本降低的百分率(精确度0.01).
C级 学科素养创新练
13.已知函数f(x)=x3-x2+1.
(1)证明方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解;
(2)请使用二分法,取区间的中点二次,指出方程f(x)=0,x∈[0,2]的实数解x0在哪个较小的区间内.
参考答案
1.2 利用二分法求方程的近似解
1.B ∵f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,
∴f(1.25)·f(1.5)<0,因此方程的解落在区间(1.25,1.5)内,故选B.
2.ACD f(x)=x2-4x+4=(x-2)2,f(2)=0,当x<2时,f(x)>0,当x>2时,f(x)>0,在零点两侧函数值同号,不能用二分法求零点,其余选项中在函数的零点两侧函数值异号.故选ACD.
3.C 易知方程x2-4x+m=0有实数根,且Δ=16-4m=0,知m=4.
4.AB 由表格函数值在0的左右两侧,最接近的值,即f(2.5)≈-0.084,f(2.5625)≈0.066可知方程lnx+2x-6=0的近似根在(2.5,2.5625)内,因此选项A中2.52符合,选项B中2.56也符合,故选AB.
5.1 记f(x)=ex-x-2,则该函数的零点就是方程ex-x-2=0的实数根.由题表可知f(-1)=0.37-1<0,f(0)=1-2<0,f(1)=2.72-3<0,f(2)=7.39-4>0,f(3)=20.09-5>0.由零点存在性定理可得f(1)·f(2)<0,故函数的零点所在的区间为(1,2).所以k=1.
6.6 第1次取中点把焊点数减半为=32,第2次取中点把焊点数减半为=16,第3次取中点把焊点数减半为=8,第4次取中点把焊点数减半为=4,第5次取中点把焊点数减半为=2,第6次取中点把焊点数减半为=1,所以至多需要检测的次数是6.
7.解 ∵f(1)=1-3=-2<0,f(2)=23-3=5>0,
因此可取区间[1,2]作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,见下表:
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
1 1 -2 2 5 1
2 1 -2 1.5 0.375 0.5
3 1.25 -1.0469 1.5 0.375 0.25
4 1.375 -0.4004 1.5 0.375 0.125
5 1.4375 -0.0295 1.5 0.375 0.0625
从表中可知|1.5-1.4375|=0.0625<0.1,
∴函数y=x3-3精确度为0.1的零点,可取1.44.
8.ABD 由二分法的步骤可知
①零点在(0,4)内,则有f(0)·f(4)<0,不妨设f(0)>0,f(4)<0,取中点2;
②零点在(0,2)内,则有f(0)·f(2)<0,则f(0)>0,f(2)<0,取中点1;
③零点在(1,2)内,则有f(1)·f(2)<0,则f(1)>0,f(2)<0,取中点;
④零点在(1,)内,则有f(1)·f)<0,则f(1)>0,f<0,则取中点;
⑤零点在内,则有f·f<0,
则f>0,f<0,
所以与f(0)符号不同的是f(4),f(2),f,故选ABD.
9.C 由于每等分一次,零点所在区间的长度变为原来的,则等分n次后的区间长度变为原来的,则由题可得<0.01,即n>log2100,又610.解原方程可化为3x-+1=0,即3x=-1.
令g(x)=3x,h(x)=-1,在同一平面直角坐标系中,分别画出函数g(x)=3x与h(x)=-1的简图.
g(x)与h(x)图象的交点的横坐标位于区间(-1,0),且只有一个交点,
∴原方程只有一个解x=x0.
令f(x)=3x+=3x-+1,
∵f(0)=1-1+1=1>0,
f(-0.5)=-2+1=<0,
∴x0∈(-0.5,0).
用二分法逐次计算,列表如下:
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
1 -0.5 -0.422 6 0 1.000 0 0.5
2 -0.5 -0.422 6 -0.25 0.426 5 0.25
3 -0.5 -0.422 6 -0.375 0.062 3 0.125
4 -0.437 5 -0.159 4 -0.375 0.062 3 0.062 5
∵|-0.4375-(-0.375)|=0.0625<0.1,
∴原方程的近似解可取为-0.4375.
11.解(1)令f(x)=2x+2x-5.
因为函数f(x)=2x+2x-5在R上是增函数,
所以函数f(x)=2x+2x-5至多有一个零点.
因为f(1)=21+2×1-5=-1<0,f(2)=22+2×2-5=3>0,
所以函数f(x)=2x+2x-5的零点在(1,2)内.
(2)用二分法逐次计算,列表如下:
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
1 1 -1.000 0 2 3.000 0 1
2 1 -1.000 0 1.5 0.828 4 0.5
3 1.25 -0.121 6 1.5 0.828 4 0.25
4 1.25 -0.121 6 1.375 0.343 7 0.125
5 1.25 -0.121 6 1.312 5 0.108 7 0.062 5
因为|1.375-1.25|=0.125>0.1,且|1.3125-1.25|=0.0625<0.1,
所以函数的零点近似值可取1.3125,
即方程2x+2x=5的近似解为1.3125.
12.解(1)设2023年每台A种型号电脑的生产成本为p元,
根据题意,得(1+50%)p=5000×(1+20%)×80%,解得p=3200.
故2023年每台A种型号电脑的生产成本为3200元.
(2)设2019~2023年间平均每年生产成本降低的百分率为x(0根据题意,得5000(1-x)4=3200.
令f(x)=5000(1-x)4-3200,求出x与f(x)的对应值(精确到个位)如下表:
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
1 0 1 800 1 -3 200 1
2 0 1 800 0.5 -2 887.5 0.5
3 0 1 800 0.25 -1 617.968 8 0.25
4 0 1 800 0.125 -269.091 8 0.125
5 0.062 5 662.381 0 0.125 -269.091 8 0.062 5
6 0.093 75 172.578 6 0.125 -269.091 8 0.031 25
7 0.093 75 172.578 6 0.109 375 -54.066 6 0.015 625
8 0.101 562 5 57.778 0 0.109 375 -54.066 6 0.007 813
所以原方程的近似解可取0.1025.
故平均每年生产成本降低的百分率约为10.25%.
13.(1)证明∵f(0)=1>0,f(2)=-<0,
∴f(0)·f(2)=-<0,函数f(x)=x3-x2+1是连续函数,由函数的零点存在定理可得方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解.
(2)解取x1=(0+2)=1,得f(1)=>0,由此可得f(1)f(2)<0,下一个有解区间为(1,2),取x2=(1+2)=,得f=-<0,由f(1)·f<0,则下一个有解区间为1,.
综上所述,实数解x0在较小区间1,内.(共33张PPT)
第五章
1.2 利用二分法求方程的近似解
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
目录索引
课程标准 1.探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图.
2.能借助计算工具用二分法求方程的近似解.
3.了解用二分法求方程近似解具有的一般性.
基础落实·必备知识全过关
知识点 二分法
1.定义
此条件不可缺少
对于一般的函数y=f(x),x∈[a,b],若函数y=f(x)的图象是一条连续的曲线,
,则每次取区间的 ,将区间一分为二,再经比较,按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法.
f(a)·f(b)<0
中点
2.用二分法求方程
f(x)=0近似解的过程
其中:“初始区间”是一个两端点函数值异号的区间;
新区间的一个端点是原区间的中点,另一端点是原区间两端点中的一个,并且新区间两端点的函数值异号.
名师点睛
二分法的步骤的记忆口诀
定区间,找中点,中值计算两边看;
同号去,异号算,零点落在异号间;
周而复始怎么办 精确度上来判断.
过关自诊
1.[人教A版教材例题]借助信息技术,用二分法求方程2x+3x=7的近似解
(精确度为0.1).
解 原方程即2x+3x-7=0,令f(x)=2x+3x-7,用信息技术画出
函数y=f(x)的图象如图,并列出它的对应值表.
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y -6 -2 3 10 21 40 75 142 273
观察图或表,可知f(1)f(2)<0,说明该函数在区间(1,2)
内存在零点x0.
取区间(1,2)的中点x1=1.5,用信息技术算得f(1.5)≈0.33.
因为f(1)f(1.5)<0,
所以x0∈(1,1.5).
再取区间(1,1.5)的中点x2=1.25,用信息技术算得f(1.25)≈-0.87.
因为f(1.25)f(1.5)<0,
所以x0∈(1.25,1.5).
同理可得,x0∈(1.375,1.5),x0∈(1.375,1.437 5).
由于|1.375-1.437 5|=0.062 5<0.1,
所以,原方程的近似解可取为1.375.
2.[人教B版教材例题]已知函数f(x)=x2+ax+1有两个零点,在区间(-1,1)内是单调的,且在该区间中有且只有一个零点,求实数a的取值范围.
解 因为函数f(x)的图象是开口向上的抛物线,因此满足条件的函数图象的示意图如图①②所示.
图①
图②
因此(2-a)(a+2)<0且|a|≥2,解得a<-2或a>2.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 二分法定义的理解
【例1】 (1)用二分法求函数f(x)=x3+5的零点时,可以取的初始区间为( )
A.[-2,1] B.[-1,0]
C.[0,1] D.[1,2]
A
解析 由于f(-2)=(-2)3+5=-3<0,f(1)=13+5=6>0,f(-2)·f(1)<0,且f(x)为R上的增函数,因此可以将[-2,1]作为初始区间,故选A.
(2)下列图象表示的函数中,能使用二分法求零点的是( )
C
解析 能用二分法求函数零点的函数,在零点的左右两侧附近的函数值符号相反,由图象可得,选项A,B,D不能满足此条件,故选C.
规律方法 1.在二分法中,初始区间的选择不唯一,一般应在两个整数间,初始区间不同时,二分的次数可能不同.
2.如果函数f(x)的某个零点x0的左右两侧附近的函数值是同号的,那么这样的零点就不能用二分法求解.
变式训练1(1)下列函数中不能用二分法求零点的是( )
A.f(x)=2x+3
B.f(x)=ln x+2x-6
C.f(x)=x2-2x+1
D.f(x)=2x-1
C
解析 因为f(x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,所以在零点的左右两侧附近函数值同号,所以不能用二分法求其零点,故选C.
(2)用二分法求函数y=f(x)在区间(2,4)上的唯一零点的近似值时,已知f(2)·f(4)<0,取区间(2,4)的中点x1= =3,计算得f(4)·f(3)>0,则函数零点所在的区间是( )
A.(2,4) B.(2,3)
C.(3,4) D.无法确定
B
解析 由f(2)·f(4)<0,f(4)·f(3)>0知f(2)·f(3)<0.
故函数零点所在的区间是(2,3).
探究点二 用二分法求方程的近似解
【例2】 求方程lg x-2-x+1=0的近似解(精确度为0.1).
解 令f(x)=lg x-2-x+1,函数f(x)的定义域为(0,+∞).
因为函数f(x)在(0,+∞)上单调递增(证明略),所以f(x)最多有一个零点.
又因为f(1)=0.5>0,f(0.1)≈-0.933<0,所以方程在[0.1,1]内有唯一实数解.
使用二分法求解,如下表:
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
1 0.1 -0.933 033 1 0.5 0.9
2 0.1 -0.933 033 0.55 0.057 343 0.45
3 0.325 -0.286 415 0.55 0.057 343 0.225
4 0.437 5 -0.097 435 0.55 0.057 343 0.112 5
5 0.493 75 -0.016 670 0.55 0.057 343 0.056 25
至此,得到区间[0.493 75,0.55],其区间长度为0.55-0.493 75=0.056 25<0.1,由于要求的精度为0.1,则这一区间内的任一数都可作为方程的近似解,不妨取0.5作为方程的近似解.
规律方法 利用二分法求方程近似解的注意事项
(1)要选好计算的初始区间,这个区间既要包含函数的零点,又要使其长度尽量小.
(2)在求解过程中,可借助表格或数轴清楚地显示出逐步缩小的零点所在区间及其长度.
(3)根据给定的精确度,及时检验所取区间长度是否达到要求,及时终止计算.
变式训练2求 的近似值(精确度为0.01).
解 设x= ,则x3-2=0.
令f(x)=x3-2,
则函数f(x)零点的近似值就是 的近似值.
以下用二分法求其零点的近似值.
由于f(1)=-1<0,f(2)=6>0,故可以取区间[1,2]为计算的初始区间.
用二分法逐步计算,列表如下:
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
1 1 -1 2 6 1
2 1 -1 1.5 1.375 0.5
3 1.25 -0.046 88 1.5 1.375 0.25
4 1.25 -0.046 88 1.375 0.599 61 0.125
5 1.25 -0.046 88 1.312 5 0.260 99 0.062 5
6 1.25 -0.046 88 1.281 25 0.103 30 0.031 25
7 1.25 -0.046 88 1.265 625 0.027 29 0.015 625
8 1.257 812 5 -0.010 02 1.265 625 2.027 29 0.007 812 5
由于区间(1.257 812 5,1.265 625)的长度为1.265 625-1.257 812 5
=0.007 812 5<0.01,
所以 的近似值可以取1.26.
探究点三 二分法的实际应用
【例3】 现有12个小球,从外观上看完全相同,除了1个小球质量不合标准外,其余的小球质量均相同,用同一架天平(无砝码),限称三次,把这个“坏球”找出来,并说明此球是偏轻还是偏重.如何称
解 先在天平左右各放4个球.有两种情况:
(1)若平,则“坏球”在剩下的4个球中.
取剩下的4个球中的3个球放天平的一端,取3个好球放天平的另一端,
①若仍平,则“坏球”为4个球中未取到的那个球,将此球与1个好球放上天平比一比,即知“坏球”是轻还是重;
②若不平,则“坏球”在天平一端的3个球之中,且知是轻还是重.任取其中2个球分别放在天平左右两端,无论平还是不平,均可确定“坏球”.
(2)若不平,则“坏球”在天平上的8个球中,不妨设天平右端较重.
从右端4个球中取出3个球,置于一容器内,然后从左端4个球中取3个球移到右端,再从外面好球中取3个补到左端,看天平,有三种可能.
①若平,则“坏球”是容器内3个球之一且偏重;
②若左端重,“坏球”已从左端换到右端,因此,“坏球”在从左端移到右端的3个球中,并且偏轻;
③若右端重,据此知“坏球”未变动位置,而未被移动过的球只有两个(左右各一),“坏球”是其中之一(暂不知是轻还是重).
显然对于以上三种情况的任一种,再用天平称一次,即可找出“坏球”,且知其是轻还是重.
规律方法 二分法在实际问题中的应用
二分法的思想在实际生活中的应用十分广泛,在电线线路、自来水管道、煤气管道等铺设线路比较隐蔽的故障排除方面有着重要的作用,当然在一些科学实验设计及资料的查询方面也有着广泛的应用.
变式训练3在26枚崭新的金币中,有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点),现在只有一架天平,则应用二分法的思想,最多称 次就可以发现这枚假币.
3
解析 从26枚金币中取18枚,将这18枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,①若天平不平衡,则假币一定在质量小的那9枚金币里面.从这9枚金币中拿出6枚,然后将这6枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,若天平平衡,则假币一定在剩下的那3枚金币里;若不平衡,则假币一定在质量小的那3枚金币里面,从含有假币的3枚金币里取两枚,分别放在天平两端,若天平平衡,则剩下的那一枚是假币,若不平衡,则质量小的那一枚是假币.②若天平平衡,则假币在剩下的8枚金币里,从这8枚金币中取6枚,将这6枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,若天平平衡,假币在剩下的两枚里,若天平不平衡,假币在质量小的3枚里.在含有假币的金币里取2枚分别放在天平左右两端,即可找到假币.综上可知,最多称3次就可以发现这枚假币.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)二分法的定义;
(2)利用二分法求函数零点、方程近似解的步骤.
2.方法归纳:转化与化归、二分法.
3.常见误区:二分法并不适用于求所有零点,只能用于求函数的变号零点.
成果验收·课堂达标检测
1
2
3
4
5
1.用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是( )
A.x1 B.x2
C.x3 D.x4
C
解析 能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a,b]上连续,且f(a)·f(b)<0.
而x3左右两边的函数值都小于零,不满足区间端点处函数值符号相异的条件,故选C.
1
2
3
4
5
2.用二分法求函数的零点,经过若干次运算后函数的零点在区间(a,b)内,当|a-b|<ε(ε为精确度)时,函数零点的近似值 与真实零点的误差最大不超过( )
C.ε D.2ε
B
1
2
3
4
5
3.用二分法求方程f(x)=0在区间(0,1)内的近似解时,经计算,f(0.425)<0, f(0.532)>0,f(0.605)<0,即得到方程的一个近似解为 .(精确度为0.1)
0.6(答案不唯一)
解析 ∵0.605-0.532=0.073<0.1,
∴(0.532,0.605)内的值都可以作为方程精确度为0.1的一个近似解.
1
2
3
4
5
4.某方程有一无理根在区间(1,3)内,若用二分法,求此根的近似值,则将D至少等分 次后,所得近似值的精确度为0.1.
5
1
2
3
4
5
5.求方程x2=2x+1的一个近似解(精确度为0.1).
解 设f(x)=x2-2x-1,因为f(2)=-1<0,f(3)=2>0,所以可以取区间[2,3]作为计算的初始区间.用二分法逐步计算,列表如下:
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
1 2 -1 3 2 1
2 2 -1 2.5 0.25 0.5
3 2.25 -0.437 5 2.5 0.25 0.25
4 2.375 -0.109 375 2.5 0.25 0.125
5 2.375 -0.109 375 2.437 5 0.066 406 25 0.062 5
因为|2.375-2.437 5|=0.062 5<0.1,
所以方程x2=2x+1的一个近似解可取2.4.(共21张PPT)
第五章
1.2 利用二分法求方程的近似解
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
A 级 必备知识基础练
1.已知函数f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在区间(1,2)上的近似解的过程中得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的解落在区间( )
A.(1,1.25) B.(1.25,1.5)
C.(1.5,2) D.不能确定
B
解析 ∵f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,
∴f(1.25)·f(1.5)<0,因此方程的解落在区间(1.25,1.5)内,故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2.(多选题)下列函数中,能用二分法求函数零点的有( )
A.f(x)=3x-1
B.f(x)=x2-4x+4
C.f(x)=log4x
D.f(x)=ex-2
ACD
解析 f(x)=x2-4x+4=(x-2)2,f(2)=0,当x<2时,f(x)>0,当x>2时,f(x)>0,在零点两侧函数值同号,不能用二分法求零点,其余选项中在函数的零点两侧函数值异号.故选ACD.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3.若函数f(x)=x2-4x+m存在零点,且不能用二分法求该函数的零点,则m的取值范围是( )
A.(4,+∞)
B.(-∞,4)
C.{4}
D.[4,+∞)
C
解析 易知方程x2-4x+m=0有实数根,且Δ=16-4m=0,知m=4.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
4.(多选题)某同学求函数f(x)=ln x+2x-6的零点时,用计算器算得部分函数值,如表所示:
f(2)≈-1.307 f(3)≈1.099 f(2.5)≈-0.084
f(2.75)≈0.512 f(2.625)≈0.215 f(2.562 5)≈0.066
则方程ln x+2x-6=0的近似解(精确度0.1)可取为( )
A.2.52 B.2.56 C.2.66 D.2.75
AB
解析 由表格函数值在0的左右两侧,最接近的值,即f(2.5)≈-0.084,f(2.562 5) ≈0.066可知方程ln x+2x-6=0的近似根在(2.5,2.562 5)内,因此选项A中2.52符合,选项B中2.56也符合,故选AB.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
5.根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个实数根所在的区间为(k,k+1)(k∈N),则k的值为 .
x -1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x+2 1 2 3 4 5
1
解析 记f(x)=ex-x-2,则该函数的零点就是方程ex-x-2=0的实数根.由题表可知f(-1)=0.37-1<0,f(0)=1-2<0,f(1)=2.72-3<0,f(2)=7.39-4>0,f(3)=20.09-5>0.由零点存在性定理可得f(1)·f(2)<0,故函数的零点所在的区间为(1,2).所以k=1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
6.一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A,B),如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致,要想检验出哪一处的焊口脱落,则至多需要检测 次.
6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
7.用二分法求函数y=x3-3的一个正零点(精确度0.1).
解 ∵f(1)=1-3=-2<0,f(2)=23-3=5>0,
因此可取区间[1,2]作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,见下表:
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
1 1 -2 2 5 1
2 1 -2 1.5 0.375 0.5
3 1.25 -1.046 9 1.5 0.375 0.25
4 1.375 -0.400 4 1.5 0.375 0.125
5 1.437 5 -0.029 5 1.5 0.375 0.062 5
从表中可知|1.5-1.437 5|=0.062 5<0.1,
∴函数y=x3-3精确度为0.1的零点,可取1.44.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
B 级 关键能力提升练
ABD
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
解析 由二分法的步骤可知
①零点在(0,4)内,则有f(0)·f(4)<0,不妨设f(0)>0,f(4)<0,取中点2;
②零点在(0,2)内,则有f(0)·f(2)<0,则f(0)>0,f(2)<0,取中点1;
③零点在(1,2)内,则有f(1)·f(2)<0,则f(1)>0,f(2)<0,取中点 ;
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
9.已知函数f(x)=2x- 在区间(1,2)上有一个零点x0,如果用二分法求x0的近似值(精确度为0.01),则应将区间(1,2)至少等分的次数为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
10.求方程3x+ =0的近似解(精确度0.1).
g(x)与h(x)图象的交点的横坐标位于区间(-1,0),
且只有一个交点,
∴原方程只有一个解x=x0.
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
1 -0.5 -0.422 6 0 1.000 0 0.5
2 -0.5 -0.422 6 -0.25 0.426 5 0.25
3 -0.5 -0.422 6 -0.375 0.062 3 0.125
4 -0.437 5 -0.159 4 -0.375 0.062 3 0.062 5
∵|-0.437 5-(-0.375)|=0.062 5<0.1,
∴原方程的近似解可取为-0.437 5.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
11.已知方程2x+2x=5.
(1)判断该方程解的个数以及所在区间;
(2)用二分法求出方程的近似解(精确度0.1).
参考数值:
x 1.187 5 1.125 1.25 1.312 5 1.375 1.5
2x 2.278 2.181 2.378 2.484 2.594 2.83
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
解 (1)令f(x)=2x+2x-5.
因为函数f(x)=2x+2x-5在R上是增函数,
所以函数f(x)=2x+2x-5至多有一个零点.
因为f(1)=21+2×1-5=-1<0,f(2)=22+2×2-5=3>0,
所以函数f(x)=2x+2x-5的零点在(1,2)内.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
(2)用二分法逐次计算,列表如下:
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
1 1 -1.000 0 2 3.000 0 1
2 1 -1.000 0 1.5 0.828 4 0.5
3 1.25 -0.121 6 1.5 0.828 4 0.25
4 1.25 -0.121 6 1.375 0.343 7 0.125
5 1.25 -0.121 6 1.312 5 0.108 7 0.062 5
因为|1.375-1.25|=0.125>0.1,且|1.312 5-1.25|=0.062 5<0.1,
所以函数的零点近似值可取1.312 5,
即方程2x+2x=5的近似解为1.312 5.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
12.某公司生产A种型号的电脑,2019年平均每台电脑的生产成本为5 000元,并按纯利润为20%定出厂价.2020年开始,公司更新设备,加强管理,逐步推行股份制,从而使生产成本逐年降低,2023年平均每台A种型号的电脑出厂价仅是2019年的80%,实现了纯利润50%.
(1)求2023年每台A种型号电脑的生产成本;
(2)以2019年的生产成本为基数,用二分法求2019~2023年间平均每年生产成本降低的百分率(精确度0.01).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
解 (1)设2023年每台A种型号电脑的生产成本为p元,
根据题意,得(1+50%)p=5 000×(1+20%)×80%,解得p=3 200.
故2023年每台A种型号电脑的生产成本为3 200元.
(2)设2019~2023年间平均每年生产成本降低的百分率为x(0根据题意,得5 000(1-x)4=3 200.
令f(x)=5 000(1-x)4-3 200,求出x与f(x)的对应值(精确到个位)如下表:
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
1 0 1 800 1 -3 200 1
2 0 1 800 0.5 -2 887.5 0.5
3 0 1 800 0.25 -1 617.968 8 0.25
4 0 1 800 0.125 -269.091 8 0.125
5 0.062 5 662.381 0 0.125 -269.091 8 0.062 5
6 0.093 75 172.578 6 0.125 -269.091 8 0.031 25
7 0.093 75 172.578 6 0.109 375 -54.066 6 0.015 625
8 0.101 562 5 57.778 0 0.109 375 -54.066 6 0.007 813
所以原方程的近似解可取0.102 5.
故平均每年生产成本降低的百分率约为10.25%.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
C 级 学科素养创新练
13.已知函数f(x)= x3-x2+1.
(1)证明方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解;
(2)请使用二分法,取区间的中点二次,指出方程f(x)=0,x∈[0,2]的实数解x0在哪个较小的区间内.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
