第四章§4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
*§5 信息技术支持的函数研究
A级 必备知识基础练
1.(多选题)有一组实验数据如表所示:
x 1 2 3 4 5
y 1.5 5.9 13.4 24.1 37
则下列所给函数模型较不适合的有( )
A.y=logax(a>1)
B.y=ax+b(a>1)
C.y=ax2+b(a>0)
D.y=logax+b(a>1)
2.(多选题)以下四种说法中,不正确的是( )
A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B.对任意的x>0,xa>logax
C.对任意的x>0,ax>logax
D.一定存在x0,使x>x0,总有ax>xn>logax
3.[2023江西南昌高三检测]茶文化起源于中国,中国饮茶据说始于神农时代.现代研究结果显示,饮茶温度最好不要超过60 ℃.一杯茶泡好后置于室内,1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80 ℃,68 ℃,给出三个茶温T(单位:℃)关于茶泡好后置于室内时间t(单位:分钟)的函数模型:①T=at+b(a<0);②T=logat+b(0
0,0A.2.72分钟
B.2.82分钟
C.2.92分钟
D.3.02分钟
4.四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
关于x呈指数函数变化的变量是 .
5.某商场为了实现100万元的利润目标,准备制订一个激励销售人员的奖励方案:在利润达到5万元时,按利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过3万元,同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型:y=0.2x,y=log5x,y=1.02x,其中哪个模型符合该商场的要求
B级 关键能力提升练
6.当0A.h(x)B.h(x)C.g(x)D.f(x)7.在国家大力发展新能源汽车产业政策下,我国新能源汽车的产销量高速增长.某地区2019年年底新能源汽车保有量为1 500辆,2020年年底新能源汽车保有量为2 250辆,2021年年底新能源汽车保有量为3 375辆.
(1)根据以上数据,试从y=a·bx(a>0,b>0且b≠1),y=a·logbx(a>0,b>0且b≠1),y=ax+b(a>0)三种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势(不必说明理由),设从2019年年底起经过x年后新能源汽车保有量为y辆,求出新能源汽车保有量y关于x的函数关系式;
(2)假设每年新能源汽车保有量按(1)中求得的函数模型增长,且传统能源汽车保有量每年下降的百分比相同,2019年年底该地区传统能源汽车保有量为50 000辆,预计到2024年年底传统能源汽车保有量将下降10%.试估计到哪一年年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量.(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)
C级 学科素养创新练
8.某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲,这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,二月底测得凤眼莲覆盖面积为24 m2,三月底测得凤眼莲覆盖面积为36 m2,凤眼莲覆盖面积y(单位:m2)与月份x(单位:月)的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=p+q(p>0)可供选择.
(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的关系式;
(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入时面积的10倍以上的最小月份(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1).
参考答案
§4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
*§5 信息技术支持的函数研究
1.ABD 由所给数据可知y随x的增大而增大,且增长速度越来越快,而A,D中的函数增长速度越来越慢,B中的函数增长速度保持不变.
2.ABC
3.B 依据生活常识,茶温一般不会低于室内温度,因此选择模型③,得到解得因此20+75·()t≤60 ()tt2.82.
4.y2 从表格观察函数值y1,y2,y3,y4的增加值,哪个变量的增加值最大,则该变量关于x呈指数函数变化.以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.
从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,变量y1,y2,y3,y4都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,可知变量y2关于x呈指数函数变化.故填y2.
5.解在同一平面直角坐标系中作出函数y=0.2x,y=log5x,y=1.02x的图象(图略).
观察图象可知,在区间[5,100]内,函数y=0.2x,y=1.02x的图象都有一部分在直线y=3的上方,只有函数y=log5x的图象始终在直线y=3和y=0.2x的下方,这说明只有按模型y=log5x进行奖励才符合商场的要求.
6.D
在同一坐标系下作出函数f(x)=x2,g(x)=,h(x)=x-2的图象,由图象知,D正确.
7.解(1)根据该地区新能源汽车保有量的增长趋势知,应选择的函数模型是y=a·bx(a>0,b>0且b≠1),由题意得解得所以y=1500·()x.
(2)设传统能源汽车保有量每年下降的百分比为r,依题意得,50000(1-r)5=50000(1-10%),解得1-r=0设从2019年年底起经过x年后的传统能源汽车保有量为y辆,则有y=50000(1-r)x=50000,设从2019年年底起经过x年后新能源汽车的数量将超过传统能源汽车,则有1500·()x>50000,
化简得3·()x>100,所以lg3+x(lg3-lg2)>2+(2lg3-1),解得x>8.09,故从2019年年底起经过9年后,即2028年年底该地区的新能源汽车的数量将超过传统能源汽车.
8.解(1)两个函数y=kax(k>0,a>1),y=p+q(p>0)在(0,+∞)上都是增函数,随着x的增加,函数y=kax(k>0,a>1)的值增加的越来越快,而函数y=p+q(p>0)的值增加的越来越慢.
由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,所以函数模型y=kax(k>0,a>1)更合适.由题意可知,x=2时,y=24,x=3时,y=36.所以解得所以该函数模型的关系式是y=(x∈N+).
(2)当x=0时,y=,所以元旦放入时凤眼莲的面积是m2.
由>10,得>10,所以x>lo10=因为5.7,所以x≥6,所以凤眼莲的覆盖面积是元旦放入时凤眼莲面积的10倍以上的最小月份是6月份.(共31张PPT)
第四章
§4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
*§5 信息技术支持的函数研究
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
目录索引
成果验收·课堂达标检测
课程标准 1.通过作图,借助数学软件体会并了解指数函数、幂函数、对数函数的增长特性.
2.掌握幂函数与对数函数、幂函数与指数函数的增长差异,并能解决相关问题.
3.能正确地选择函数模型解决实际问题.
基础落实·必备知识全过关
知识点 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
1.幂函数与对数函数增长的比较
幂函数y=xc(x>0,c>0)比对数函数y=logbx(b>1)增长快,而且快很多.当b>1,c>0时,即使b很接近于1,c很接近于0,都有y=xc比y=logbx增长快.
2.指数函数与幂函数增长的比较
当x的值充分大时,指数函数y=ax(a>1)比幂函数y=xc(x>0,c>0)增长快,而且快很多.当a>1,c>0时,即使a很接近于1,c很大,都有y=ax比y=xc增长快.
名师点睛
1.对数函数y=logbx(b>1)在区间(0,+∞)上,随着x的增长,增长得越来越慢,图象渐渐地接近与x轴平行,尽管在x的一定变化范围内,logbx可能会大于xc,但是由于logbx的增长慢于xc的增长,因此总存在一个x0,当x>x0时就会有logbx2.对于指数函数y=ax(a>1)和幂函数y=xc(x>0,c>0),在区间(0,+∞)上,无论c比a大多少,尽管在x的一定变化范围内,ax会小于xc,但由于ax的增长快于xc的增长,因此总存在一个x0,当x>x0时,就会有ax>xc.
过关自诊
[人教B版教材例题]已知函数f(x)=2x,g(x)=x,h(x)=log2x,分别计算这三个函数在区间[a,a+1](a>1)上的平均变化率,并比较它们的大小.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 函数增长快慢的比较
【例1】 已知函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图,设两个函数的图象相交于点A(x1,y1)和B(x2,y2),且x1(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应哪一个函数;
(2)若x1∈[a,a+1],x2∈[b,b+1],且a,b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},指出a,b的值,并说明理由.
解 (1)根据指数函数与幂函数的增长速度知曲线C1对应函数g(x)=x3,C2对应函数f(x)=2x.
(2)依题意知x1和x2是使两个函数的函数值相等的自变量的值.当xg(x);
当x1x2时,f(x)>g(x).
因为f(1)=2,g(1)=1,f(2)=22=4,g(2)=23=8,所以x1∈[1,2],即a=1.
又因为f(8)=28=256,g(8)=83=512,
f(8)g(9)=93=729,f(9)f(10)=210=1 024,g(10)=103=1 000,f(10)>g(10),所以x2∈[9,10],即b=9.综上可知,a=1,b=9.
规律方法 比较函数增长快慢的方法
(1)利用指数函数、幂函数、对数函数的不同的增长特点比较函数增长的快慢;(2)借助函数图象,通过图象特点以及变化趋势来比较函数的增长快慢;(3)通过计算相同区间上函数值的增量的大小来比较函数增长的快慢.
变式训练1(1)下列所给函数,当x越来越大时,增长最快的是( )
A.y=5x B.y=x5
C.y=log5x D.y=5x
D
解析在一次函数、幂函数、对数函数和指数函数中,增长最快的是指数函数y=5x,故选D.
(2)以下是三个函数y1,y2,y3随x变化的函数值列表:
x 1 2 3 4 5 6 7 8 …
y1 3 9 27 81 243 729 2 187 6 561 …
y2 1 8 27 64 125 216 343 512 …
y3 0 0.630 1 1.261 1.465 1.630 1.771 1.892 …
其中符合指数函数变化的函数是 .
y1
解析 通过观察、猜想、归纳,函数y1符合指数函数的变化.
探究点二 根据函数的不同增长特点比较大小
【例2】 比较下列各组数的大小:
(2)0.32,log20.3,20.3;
解 令函数y1=x2,y2=log2x,y3=2x.在同一坐标系内作出上述三个函数的图象如图,然后作直线x=0.3,此直线必与上述三个函数图象相交.由图象知log20.3<0.32<20.3.
规律方法 1.比较函数值大小的关键在于构造恰当的函数,若指数相同而底数不同,则考虑幂函数;若指数不同而底数相同,则考虑指数函数;若底数不同,指数也不同,则需引入中间量.
2.将涉及的函数图象在同一直角坐标系中画出来,通过图象位置之间的关系比较大小.
变式训练2设a=30.7, ,c=log0.70.8,则a,b,c的大小关系为( )
A.aC.bD
探究点三 函数不同增长特点在实际问题中的应用
【例3】 某公司为了实现1 000万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型: y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型符合该公司要求
解 借助计算器或计算机作出函数y=5,y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x在第一象限的图象如图所示;
观察图象发现,在区间[10,1 000]上,模型y=0.25x,y=1.002x 的图象都有一部分在y=5的上方,这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励才符合公司要求,下面通过计算确认上述判断.
首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元.
对于模型y=0.25x,它在区间[10,1 000]上单调递增,当x∈(20,1 000]时,y>5,因此该模型不符合要求.
对于模型y=1.002x,它在区间[10,1 000]上单调递增,利用计算器,可知1.002806≈5.005,由于y=1.002x在(-∞,+∞)上是增函数,故当x∈(806,1 000]时,y>5,因此,也不符合要求.
对于模型y=log7x+1,它在区间[10,1 000]上单调递增,且当x=1 000时,y=log71 000+1≈4.55<5,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.
再计算按模型y=log7x+1奖励时,奖金是否超过利润x的25%,即当
x∈[10,1 000]时,利用计算器或计算机作f(x)=log7x+1-0.25x的图象(图略),由图象可知f(x)在[10,1 000]上单调递减,因此f(x)这说明,按模型y=log7x+1进行奖励,奖金不超过利润的25%.综上所述,模型y=log7x+1符合公司要求.
规律方法 1.在实际问题中,选择函数模型时,首先要明确各种不同函数在增长快慢上的差异,其次要根据问题的实际需要,辅之以必要的数据计算,从而选择最恰当的函数模型.
2.从这个例题可以看到,底数大于1的指数函数模型比一次项系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多,而后者又比底数大于1的对数函数模型增长速度要快,从而我们可以体会到对数增长、直线上升、指数爆炸等不同函数类型增长的含义.
变式训练3某同学高三阶段12次数学考试的成绩呈现前几次与后几次均连续上升,中间几次连续下降的趋势.现有三种函数模型:①f(x)=pqx,②f(x)=logax+q,③f(x)=(x-1)(x-q)2+p(其中p,q为正常数,且q>2).若要较准确反映数学成绩与考试次序关系,应选 作为模拟函数(填序号);若f(1)=4,f(3)=6,则所选函数f(x)的解析式为 .
③
f(x)=(x-1)(x-4)2+4
解析 由于指数函数增长迅速,而对数型函数增长缓慢,因此满足先上升后下降再上升的是f(x)=(x-1)(x-q)2+p,
∵f(1)=4,f(3)=6,且q>2,
本节要点归纳
1.知识清单:
三种函数模型的增长差异:幂函数型增长模型、指数型函数增长模型、对数型函数增长模型.
2.方法归纳:数形结合思想、建模思想.
3.常见误区:实际问题要注明函数的定义域并作答.
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1.当x越来越大时,下列函数中,增长最快的应该是( )
A.y=100x B.y=log100x
C.y=x100 D.y=100x
D
解析 由于指数函数的增长是爆炸式增长,则当x越来越大时,函数y=100x的增长最快.
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2.若x∈(0,1),则下列结论正确的是( )
A
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3.为了治理沙尘暴,A市政府大力加强环境保护,其周边草场绿色植被面积每年都比上一年增长10.4%,那么经过x年绿色植被的面积为y,则y=f(x)的图象大致为( )
D
解析 由已知条件可得函数关系y=f(x)=a(1+10.4%)x,a为草场绿色植被的初始面积,故选D.
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4.已知y随x的变化关系如下表:
x 5 10 15 20 25 30
y 95 1 758 34 000 64×106 1.2×108 2.3×1010
则函数y随x呈 型增长趋势.
指数
解析 根据表格中给出的数据作出函数的大致图象(图略),由图象可知,y随x呈指数型函数的增长趋势.(共17张PPT)
第四章
§4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较*
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A 级 必备知识基础练
1.(多选题)有一组实验数据如表所示:
x 1 2 3 4 5
y 1.5 5.9 13.4 24.1 37
则下列所给函数模型较不适合的有( )
A.y=logax(a>1) B.y=ax+b(a>1)
C.y=ax2+b(a>0) D.y=logax+b(a>1)
ABD
解析 由所给数据可知y随x的增大而增大,且增长速度越来越快,而A,D中的函数增长速度越来越慢,B中的函数增长速度保持不变.
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2.(多选题)以下四种说法中,不正确的是( )
A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B.对任意的x>0,xa>logax
C.对任意的x>0,ax>logax
D.一定存在x0,使x>x0,总有ax>xn>logax
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3.[2023江西南昌高三检测]茶文化起源于中国,中国饮茶据说始于神农时代.现代研究结果显示,饮茶温度最好不要超过60 ℃.一杯茶泡好后置于室内,1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80 ℃,68 ℃,给出三个茶温T(单位:℃)关于茶泡好后置于室内时间t(单位:分钟)的函数模型:①T=at+b(a<0);②T=logat+b(00,0A.2.72分钟 B.2.82分钟
C.2.92分钟 D.3.02分钟
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4.四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
关于x呈指数函数变化的变量是 .
y2
解析 从表格观察函数值y1,y2,y3,y4的增加值,哪个变量的增加值最大,则该变量关于x呈指数函数变化.以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.
从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,变量y1,y2,y3,y4都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,可知变量y2关于x呈指数函数变化.故填y2.
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解 在同一平面直角坐标系中作出函数y=0.2x,y=log5x,y=1.02x的图象
(图略).
观察图象可知,在区间[5,100]内,函数y=0.2x,y=1.02x的图象都有一部分在直线y=3的上方,只有函数y=log5x的图象始终在直线y=3和y=0.2x的下方,这说明只有按模型y=log5x进行奖励才符合商场的要求.
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B 级 关键能力提升练
6.当0A.h(x)B.h(x)C.g(x)D.f(x)D
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在同一坐标系下作出函数f(x)=x2,g(x)= ,h(x)=x-2的图象,由图象知,D正确.
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(1)根据以上数据,试从y=a·bx(a>0,b>0且b≠1),y=a·logbx(a>0,b>0且b≠1), y=ax+b(a>0)三种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势(不必说明理由),设从2019年年底起经过x年后新能源汽车保有量为y辆,求出新能源汽车保有量y关于x的函数关系式;
(2)假设每年新能源汽车保有量按(1)中求得的函数模型增长,且传统能源汽车保有量每年下降的百分比相同,2019年年底该地区传统能源汽车保有量为50 000辆,预计到2024年年底传统能源汽车保有量将下降10%.试估计到哪一年年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量.(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)
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,故从2019年年底起经过9年后,即2028年年底该地区的新能源汽车的数量将超过传统能源汽车.
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C 级 学科素养创新练
8.某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲,这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,二月底测得凤眼莲覆盖面积为24 m2,三月底测得凤眼莲覆盖面积为36 m2,凤眼莲覆盖面积y(单位:m2)与月份x(单位:月)的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=p +q(p>0)可供选择.
(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的关系式;
(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入时面积的10倍以上的最小月份(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1).
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