3.2.1函数单调性与最值（第一课时）（含解析）

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3.2.1函数的单调性与最值（第一课时）
一、单选题
1．若函数与在上都是单调递增的，则函数在上（　　）
A．单调递减 B．单调递增
C．先增后减 D．先减后增
2．如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
3．函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．和
4．函数的单调递减区间是（ ）
A． B．和
C． D．和
5．“”是“函数在上为增函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
6．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．若函数满足对任意，且，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．下列说法不正确的是（ ）
A．函数的最小值为2.
B．已知，则.
C．函数在定义域上是减函数.
D．若定义在上的函数f（x）为增函数，且，则实数m的取值范围为.
12．已知函数是上的增函数，则a的值可以是（ ）
A． B． C． D．1
三、解答题
13．已知 .
(1)若，试证明在内单调递增；
(2)若且在内单调递减，求a的取值范围.
14．已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)确定函数的解析式；
(2)用定义证明在上是增函数；
(3)解不等式：．
15．在以下三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答此题.
①，.当时，;
②，.当时，;
③，. 且，; 当时，.
问题; 对任意，均满足___________.（填序号）
(1)判断并证明的单调性;
(2)求不等式的解集.
注; 如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
16．函数的定义域为，对于，，，且当时，．
(1)证明：为减函数；
(2)若，求不等式的解集．
3.2.1函数的单调性与最值(第一课时)
一、单选题
1．若函数与在上都是单调递增的，则函数在上（　B　）
A．单调递减 B．单调递增
C．先增后减 D．先减后增
【详解】因为与在上单调递增，
所以，
所以函数的图象开口向上，对称轴为，
所以函数在区间上单调递增，
又因为，所以，所以函数在上单调递增.
故选：B

2．如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的有（A ）
A． B．
C． D．
【详解】对于A项，因为在上是增函数，
所以对于任意的，（），
当时，，所以，，所以，
当时，，所以，，所以，
综述：，故A项正确；
对于B项，因为在上是增函数，
所以对于任意的，（），
当时，，所以，，所以，
当时，，所以，，所以，
综述：，故B项不成立；
对于C项、D项，由于，的大小关系不确定，所以与的大小关系不确定，故C项不成立，D项不成立.
故选：A.
3．函数的单调递增区间为（D ）
A． B． C．D．和
【详解】的定义域为，
由反比例函数的性质可知的单调递增区间为和，
故选：D
4．函数的单调递减区间是（B ）
A． B．和
C． D．和
【详解】，
则由二次函数的性质知，当时，的单调递减区间为；
当，的单调递减区间为，
故的单调递减区间是和.
故选：B
5．“”是“函数在上为增函数”的（B ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【详解】当时，满足，但是函数在上为减函数，则正推无法推出；
反之，若函数在上为增函数，则，则反向可以推出，
则“”是“函数在上为增函数”的必要不充分条件，
故选：B.
6．已知函数，则不等式的解集为（A ）
A． B．
C． D．
【详解】由函数，
根据二次函数的性质，可得函数在上为单调递减函数，
又由不等式，可得，
即，解得，
即实数的取值范围为.
故选：A.
7．若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围是（ B ）
A． B． C． D．
【详解】因为的对称轴为，开口向下，且在上为减函数，
所以，
因为，且在上为减函数，
所以在上恒成立，即在上恒成立，可得，
综上，.
故选：B.
8．若函数满足对任意，且，都有成立，则实数的取值范围为（A ）
A． B． C． D．
【详解】根据题意可知，函数在上单调递减，
所以需满足，解得.
即实数的取值范围为.
故选：A
9．若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（D ）
A． B． C． D．
【详解】的对称轴为，
要想函数在区间上是减函数，则，
解得，
故选：D
10．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（A ）
A． B． C． D．
【详解】因为函数在上单调递增，
设，则为减函数，且在区间上大于零恒成立.
所以.
故选：A
二、多选题
11．下列说法不正确的是（ACD ）
A．函数的最小值为2.
B．已知，则.
C．函数在定义域上是减函数.
D．若定义在上的函数f（x）为增函数，且，则实数m的取值范围为.
【详解】由题意，
对A，
在中，，
令 , 则 在 单调递增，
所以 ，即函数 的最小值为 ，
故选项A错误；
对B，
因为 , 所以 .
所以 , 即 ，
故选项B正确；
对C，
函数 在 和 上是减函数，
所以选项C错误;
对D，
因为函数 为 上的增函数，且 .
所以 , 解得 ，
故选项D错误.
故选: ACD.
12．已知函数是上的增函数，则a的值可以是（BC ）
A． B． C． D．1
【详解】由题意，函数的图象开口朝下，对称轴为，
因为函数是上的增函数，
所以，解得.
所以实数的取值可以是，.
故选：BC.
三、解答题
13．已知 .
(1)若，试证明在内单调递增；
(2)若且在内单调递减，求a的取值范围.
【详解】（1）证明：设，
则.
∵，∴，，
∴，即，
∴在内单调递增.
（2）设，则
.
∵，，
∴，
∴要使，只需恒成立，
若，则当时，，
当时，，
∴.
综上所述，a的取值范围为.
14．已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)确定函数的解析式；
(2)用定义证明在上是增函数；
(3)解不等式：．
【详解】（1）由题意，得，
∴（经检验符合题意），故．
（2）证明　任取，且，
则．
∵，∴，，．
又，∴．∴，即，
∴在上是增函数．
（3）由（2）知在上是增函数，又在上为奇函数，
，∴，∴，
解得．∴不等式的解集为．
15．在以下三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答此题.
①，.当时，;
②，.当时，;
③，. 且，; 当时，.
问题; 对任意，均满足___________.（填序号）
(1)判断并证明的单调性;
(2)求不等式的解集.
注; 如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【详解】（1）若选①：设，且，则，所以.
由得，
所以，，
所以，，所以在上是增函数;
若选②：设，且.则，所以.
由得，
所以，所以，所以f（x）在上是增函数;
若选③：设，且，则，所以.
由得，，
又，所以>，所以函数为上的增函数;
（2）若选①：由得，
所以，可化为，
根据的单调性，得，解得，所以不等式的解集为.
若选②：令，则，所以可化为，根据的单调性，得，解得，所以不等式的解集为.
若选③：由得，，
所以可化为，根据的单调性，得，
解得，所以不等式的解集为.
16．函数的定义域为，对于，，，且当时，．
(1)证明：为减函数；
(2)若，求不等式的解集．
【详解】（1）设，且，
则，，
因为，
所以，
即为减函数.
（2）因为，
所以，
令，则，即，
所以，
又因为在上单调递减，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
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