专题8.1二元一次方程（组） 知识讲解（含解析）2023-2024学年七年级数学下册人教版专项讲练

专题8.1 二元一次方程（组）（知识讲解）
【学习目标】
1.认识二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的定义；
2.会检验一组数是不是某个二元一次方程（组）的解．
【要点梳理】
要点一、二元一次方程
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
特别说明：二元一次方程满足的三个条件：
（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数．
（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.
（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式．
要点二、二元一次方程的解
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解．
特别说明：
（1）二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，如： ．
（2）一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．
要点三、二元一次方程组
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．
特别说明：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如 也是二元一次方程组．
要点四、二元一次方程组的解
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
特别说明：
（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成的形式．
（2）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个．
【典型例题】
类型一、二元一次方程（组） 定义的理解与认识
1．若方程是二元一次方程，试求的值．
举一反三：
【变式1】
2．哪些是二元一次方程？为什么？
（1）x2＋y＝20；（2）2x＋5＝10；（3）2a＋3b＝1；（4）x2＋2x＋1＝0；（5）2x＋y＋z＝1.
【变式2】
3．已知方程（k+2）x+（k-6）y=k+8是关于x，y的方程．
(1)k为何值时，方程为一元一次方程？
(2)k为何值时，方程为二元一次方程？
4．若方程组是二元一次方程组，求a的值．
举一反三：
【变式1】
5．已知方程组是二元一次方程组，求m的值．
【变式2】
6．哪些是二元一次方程组？为什么？
（1）；（2）；（3）；（4）
类型二、二元一次方程（组）的解 求值 检验
7．若是方程的解，求的值．
举一反三：
【变式1】
8．是二元一次方程和的公共解，求a与b的值．
【变式2】
9．若是方程的解，求的值．
10．判断是否为方程组的解．
举一反三：
【变式1】
11．已知下列五对数值:
①④
(1)哪几对数值是方程x-y=6的解
(2)哪几对数值是方程2x+31y=-11的解
(3)指出方程组的解.
【变式2】
12．判断是否是二元一次方程组的解.
类型三、二元一次方程组的解 求参数
13．关于，的二元一次方程组，，是常数），，．
(1)当时，求c的值；
(2)若a是正整数，求证：仅当时，该方程有正整数解．
举一反三：
【变式1】
14．已知关于x，y的方程组 的解满足，求的值．
【变式2】
15．已知是关于，的二元一次方程组的解，求的立方根．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．m＝ 3，n＝0
【分析】根据二元一次方程满足的条件列式求解即可．
【详解】解：∵方程是二元一次方程，
∴，，n＋1＝1，
∴m＝ 3，n＝0．
【点睛】本题考查二元一次方程的定义，要求熟悉二元一次方程的形式及特点：含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程．
2．（3），见解析
【详解】解：(3)是二元一次方程，理由是含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．
3．(1)k=-2或k=6；
(2)k≠-2且k≠6时
【分析】（1）根据一元次方程的定义，含有一个未知数，并且含未知数的项的次数为1的整式方程可得或 ，解方程组得；
（2）根据方程是二元一次方程方程的定义含有两个未知数，含未知数的项的次数为1的整式方程可得，解不等式组即可．
【小题1】解：∵方程是一元一次方程，
∴或
∴解得k=-2或k=6．
∴当k=-2或k=6时，该方程是一元一次方程．
【小题2】解：∵方程是二元一次方程，
∴
∴解得k≠-2且k≠6．
∴当k≠-2且k≠6时，该方程是二元一次方程．
【点睛】本题考查一元一次方程的定义，二元一次方程方程的定义，掌握一元一次方程的定义，二元一次方程方程的定义是解题关键．
4．a=﹣3
【分析】根据了二元一次方程组的定义，可得 且a﹣3≠0，解出即可
【详解】解：∵方程组是二元一次方程组，
∴ 且a﹣3≠0，
∴a=﹣3．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握含有两个未知数，且未知数的次数都是1的整式方程是二元一次方程，而由两个二元一次方程组成的方程组就是二元一次方程组是解题的关键．
5．m=5
【详解】解：依题意，得：|m-2|-2=1，且m-3≠0，且m+1≠0，
解得：m=5．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义．二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程，②方程组中共含有两个未知数，③每个方程都是一次方程．
6．（1）（3），见解析
【详解】解：(1)、(3)是二元一次方程组，因为他们是共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程
7．
【分析】根据二元一次方程的解的定义，得到，进而整体代入所求的代数式计算即可解决此题．
【详解】解：∵是方程的解，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解决本题的关键．
8．a的值是7，b的值是8
【分析】根据二元一次方程的解的概念解答即可．
【详解】解：∵是二元一次方程和的公共解，
所以，
解得，
即a的值是7，b的值是8．
【点睛】此题考查了二元一次方程的解，要注意：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
9．2
【分析】把代入方程可得关于的等式，整体代入计算可得答案．
【详解】解：是方程的解，
，即，
．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，根据方程的解就是使方程的左右两边相等的未知数的值代入得到关于、的方程组是解题的关键．
10．是
【分析】把代入原方程组的两个方程，从而可得答案．
【详解】解：把代入①，
把代入②，
所以同时满足方程①与②，
所以是二元一次方程组的解，
【点睛】本题考查的是判断二元一次方程组的解，掌握代入检验的方法判断二元一次方程组的解是解题的关键．
11．（1）①②③ （2）③④⑤ （3）③
【分析】(1)把每组数据代入方程进行判断即可；(2)把每组数据代入方程进行判断即可；(3)在①②中的公共解就是方程组的解．
【详解】(1)只有①②③满足方程x－y＝6,所以①②③是方程x－y＝6的解.
(2)只有③④⑤满足方程2x＋31y＝－11,所以③④⑤是方程2x＋31y＝－11的解.
(3)③是方程组的解.
【点睛】本题考查了二元一次方程的解和二元一次方程组的解，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.
12．不是
【分析】将x和y的值带入到二元一次方程组中看是否正确即可得出本题答案.
【详解】将分别代入方程①和方程②中,得4x＋2y＝2成立,x＋y＝－1不成立,所以不是方程组的解.
【点睛】本题考查了二元一次方程和二元一次方程组的解，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.
13．(1)
(2)见解析
【分析】（1）将，值代入方程，得到关于，，的方程求解．
（2）先表示方程的解，再确定．
【详解】（1）解：代入方程得：，
，，
，，
．
；
（2）证明：由题意，得，
整理得，①，
、均为正整数，
是正整数，
是正整数，
是正整数，
，
把代入①得，，
，
此时，，，，方程的正整数解是．
仅当时，该方程有正整数解．
【点睛】本题考查二元一次方程的解，消元法是求解本题的关键．
14．
【分析】先在方程组中方程②－方程①得到的值，再结合已知，列出方程即可求解．
【详解】解：在方程组 中，
由②－①，得，
因为，代入得
解得．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和二元一次方程的解，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
15．
【分析】将代入题目中的二元一次方程组，求出m和n的值，即可求解．
【详解】解：将代入，
得，
解得，
∴ ，
∴ ，
即的立方根为．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，以及求一个数的立方根，解题的关键是掌握方程组的解的含义．方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
答案第1页，共2页
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