青岛3校2015届高三1月份联考试题理科数学
文档属性
| 名称 | 青岛3校2015届高三1月份联考试题理科数学 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-03-10 14:29:21 | ||
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文档简介
理科数学试题
第Ⅰ卷（共50分） 2015.1
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.若纯虚数满足，，则的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
3. 某中学为了解高三学生数学课程的学习情况，从级部2000名学生的数学考试成绩中随机抽取部分学生的考试成绩进行统计分析，得到如下的样本的频率分布直方图，已知成绩在的学生共有40人，则样本中成绩在内的人数为（ ）
A.102 B.104 C.112 D.114
4. 已知，则向量与的夹角为 （ ）
A． B． C． D．
5. “”是“，使得”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6. 如图为几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
7.设变量满足约束条件：，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8. 函数的大致图象为 （ ）
9.已知抛物线与双曲线有共同的焦点，为坐标原点，在轴上方且在双曲线上，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
10.定义在上的偶函数满足，且在上单调递增，设，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11.若正数，，，，的平均数为3，则的最大值为 .
12. 某企业对自己的拳头产品的销售价格（单位：元）与月销售量（单位：万件）进行调查，其中最近五个月的统计数据如下表所示：
价格
9
11
销售量
11
8
6
5
由散点图可知，销售量与价格之间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是：
，且，则＿＿＿
13.的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为 .
14.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则整数值为 .
15.如图在四边形内任取一点，则点取自阴影部分的概率为 .
三、解答题 （本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.（本小题满分12分）设函数（）的最大值为，且其图象相邻两对称中心之间的距离为.
（Ⅰ）求、的值；
（Ⅱ）求在区间上的最值.
17. （本小题满分12分）党的十八大报告提出：要提高人民健康水平，改革和完善食品药品安全监管体制机制.为加大监督力度，某市工商部门对本市甲、乙两家小型食品加工厂进行了突击抽查，从两个厂家生产的产品中分别随机抽取各10件样品，测量该产品中某种微量元素的含量(单位:毫克)，所得测量数据如图:
根据食品安全法规定: 优等品中的此种微量元素含量不小于15毫克.
（Ⅰ）从甲食品加工厂抽出的上述10件样品中，随机抽取4件,求抽到的4件产品中优等品数的分布列及其数学期望；
（Ⅱ）若从甲、乙两个食品加工厂的10件样品中分别任意抽取3件,求甲、乙食品加工厂抽到的优等品数恰相同的概率.
18. （本小题满分12分）如图三棱锥中，，，，.
证明：（Ⅰ）面面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值..
19. （本小题满分12分） 已知数列的前项和为，数列是公比为2的等比数列，且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，数列的前项和为，求使成立的最小正整数.
20. （本小题满分13分）已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数，使得当时，对任意的，恒有？若存在，试求出实数的取值范围，若不存在，试说明理由.
21. （本小题满分14分）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为.点（）在抛物线上，且的外接圆圆心到准线的距离为.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若直线与抛物线交于另一点，证明：为定值；
（Ⅲ）过点作圆的两条切线，与轴分别交于、两点，求面积取得最小值时对应的值.
理科数学参考答案
一、1.B 2.D 3.B 4.D 5.A 6.C 7.A 8.C 9.B 10.C
二、11.9 12.10 13.-160 14. 5 15.
三、16（Ⅰ）
（2分）
（3分）
由函数的最大值为可得，，解得 （4分）
由已知，函数的周期为，故，解得。 （5分）
所以， （6分）
（Ⅱ）设，则
因为，所以. （8分）
所以当，即时，取得最小值，
故的最大值为。 （10分）
当，即时，取得最大值，
故，的最小值为 （12分）
17. （Ⅰ）从甲食品厂抽出的上述10件样品中，优等品有8件，非优等品为2件，故取4件产品中至少有2件优等品，所以的可能取值为2,3,4. （1分）
，， （4分）
所以的分布列为 （5分）
故数学期望。 （6分）
（Ⅱ）甲食品加工厂抽取的样品中优等品有8件，乙食品加工厂抽取的样品中优等品有7件，故从甲乙两个食品加工厂的10件样品中分别任意抽取3件，则件数相同时，优等品可能为1件、2件、3件。 （7分）
优等品同为3件时的概率为； （8分）
优等品同为2件时的概率为； （9分）
优等品同为1件时的概率为。 （10分）
故，所求事件的概率为 （12分）
18. （Ⅰ）
所以，故。
又，因为，所以面。
因为面，
所以面面。 （5分）
（Ⅱ）如图，由（Ⅰ）知面，以为坐标原点，以、所在直线
分别为轴、轴，过点在平面内作与垂直的射线作为轴，
建立空间直角坐标系。 （6分）
过点作于点，
在中，，，
所以，
由得。
所以。 （7分）
故
设面的法向量为，则由，得
即，令，则。
所以是面的一个法向量。 （9分）
而面，所以是面的一个法向量。 （10分）
所以 （11分）
设所求二面角为，由图可知，所以。（12分）
19. （Ⅰ）因为数列是公比为2的等比数列，
所以，故 （1分）
因为，
解得。 （2分）
所以 （3分）
当时， （4分）
显然，当时，也成立，故 （5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得故
20. （Ⅰ）函数的定义域为。
，函数单调递增。
（6分）
（Ⅱ）
21. （Ⅰ）
（Ⅱ）
第Ⅰ卷（共50分） 2015.1
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.若纯虚数满足，，则的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
3. 某中学为了解高三学生数学课程的学习情况，从级部2000名学生的数学考试成绩中随机抽取部分学生的考试成绩进行统计分析，得到如下的样本的频率分布直方图，已知成绩在的学生共有40人，则样本中成绩在内的人数为（ ）
A.102 B.104 C.112 D.114
4. 已知，则向量与的夹角为 （ ）
A． B． C． D．
5. “”是“，使得”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6. 如图为几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
7.设变量满足约束条件：，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8. 函数的大致图象为 （ ）
9.已知抛物线与双曲线有共同的焦点，为坐标原点，在轴上方且在双曲线上，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
10.定义在上的偶函数满足，且在上单调递增，设，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11.若正数，，，，的平均数为3，则的最大值为 .
12. 某企业对自己的拳头产品的销售价格（单位：元）与月销售量（单位：万件）进行调查，其中最近五个月的统计数据如下表所示：
价格
9
11
销售量
11
8
6
5
由散点图可知，销售量与价格之间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是：
，且，则＿＿＿
13.的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为 .
14.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则整数值为 .
15.如图在四边形内任取一点，则点取自阴影部分的概率为 .
三、解答题 （本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.（本小题满分12分）设函数（）的最大值为，且其图象相邻两对称中心之间的距离为.
（Ⅰ）求、的值；
（Ⅱ）求在区间上的最值.
17. （本小题满分12分）党的十八大报告提出：要提高人民健康水平，改革和完善食品药品安全监管体制机制.为加大监督力度，某市工商部门对本市甲、乙两家小型食品加工厂进行了突击抽查，从两个厂家生产的产品中分别随机抽取各10件样品，测量该产品中某种微量元素的含量(单位:毫克)，所得测量数据如图:
根据食品安全法规定: 优等品中的此种微量元素含量不小于15毫克.
（Ⅰ）从甲食品加工厂抽出的上述10件样品中，随机抽取4件,求抽到的4件产品中优等品数的分布列及其数学期望；
（Ⅱ）若从甲、乙两个食品加工厂的10件样品中分别任意抽取3件,求甲、乙食品加工厂抽到的优等品数恰相同的概率.
18. （本小题满分12分）如图三棱锥中，，，，.
证明：（Ⅰ）面面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值..
19. （本小题满分12分） 已知数列的前项和为，数列是公比为2的等比数列，且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，数列的前项和为，求使成立的最小正整数.
20. （本小题满分13分）已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数，使得当时，对任意的，恒有？若存在，试求出实数的取值范围，若不存在，试说明理由.
21. （本小题满分14分）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为.点（）在抛物线上，且的外接圆圆心到准线的距离为.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若直线与抛物线交于另一点，证明：为定值；
（Ⅲ）过点作圆的两条切线，与轴分别交于、两点，求面积取得最小值时对应的值.
理科数学参考答案
一、1.B 2.D 3.B 4.D 5.A 6.C 7.A 8.C 9.B 10.C
二、11.9 12.10 13.-160 14. 5 15.
三、16（Ⅰ）
（2分）
（3分）
由函数的最大值为可得，，解得 （4分）
由已知，函数的周期为，故，解得。 （5分）
所以， （6分）
（Ⅱ）设，则
因为，所以. （8分）
所以当，即时，取得最小值，
故的最大值为。 （10分）
当，即时，取得最大值，
故，的最小值为 （12分）
17. （Ⅰ）从甲食品厂抽出的上述10件样品中，优等品有8件，非优等品为2件，故取4件产品中至少有2件优等品，所以的可能取值为2,3,4. （1分）
，， （4分）
所以的分布列为 （5分）
故数学期望。 （6分）
（Ⅱ）甲食品加工厂抽取的样品中优等品有8件，乙食品加工厂抽取的样品中优等品有7件，故从甲乙两个食品加工厂的10件样品中分别任意抽取3件，则件数相同时，优等品可能为1件、2件、3件。 （7分）
优等品同为3件时的概率为； （8分）
优等品同为2件时的概率为； （9分）
优等品同为1件时的概率为。 （10分）
故，所求事件的概率为 （12分）
18. （Ⅰ）
所以，故。
又，因为，所以面。
因为面，
所以面面。 （5分）
（Ⅱ）如图，由（Ⅰ）知面，以为坐标原点，以、所在直线
分别为轴、轴，过点在平面内作与垂直的射线作为轴，
建立空间直角坐标系。 （6分）
过点作于点，
在中，，，
所以，
由得。
所以。 （7分）
故
设面的法向量为，则由，得
即，令，则。
所以是面的一个法向量。 （9分）
而面，所以是面的一个法向量。 （10分）
所以 （11分）
设所求二面角为，由图可知，所以。（12分）
19. （Ⅰ）因为数列是公比为2的等比数列，
所以，故 （1分）
因为，
解得。 （2分）
所以 （3分）
当时， （4分）
显然，当时，也成立，故 （5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得故
20. （Ⅰ）函数的定义域为。
，函数单调递增。
（6分）
（Ⅱ）
21. （Ⅰ）
（Ⅱ）
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