专题7.6平面直角坐标系中的图形变化及其应用 巩固篇 专项练习（含解析）2023-2024学年七年级数学下册人教版专项讲练

专题7.6 平面直角坐标系中的图形变化及其应用（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．根据下列表述，能确定位置的是（ ）
A．北纬，东经 B．郑州市建设路
C．北偏东 D．郑东新区奥斯卡影院2排
2．已知点与关于x轴对称，则（ ）
A．1 B．0 C．4 D．2
3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（－2，－3），点B的坐标为（3，－3），下列说法不正确的是（ ）
A．点A在第三象限 B．点B在第二、四象限的角平分线上
C．线段AB平行于x轴 D．点A与点B关于y轴对称
4．在平面直角坐标系xOy中，若在第三象限，则关于x轴对称的图形所在的位置是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．已知两点A（﹣1，3），B（2，﹣3），现将线段AB平移至，如果（a，1），（5，﹣b），那么的值是（ ）
A．16 B．25 C．32 D．49
6．在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度所得到的点坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．三角形ABC在经过某次平移后，顶点A(﹣1，m+2)的对应点为A(2，m﹣3)，若此三角形内任意一点P(a，b)经过此次平移后对应点P1(c，d)．则a+b﹣c﹣d的值为（ ）
A．8+m B．﹣8+m C．2 D．﹣2
8．如图，已知点，，点P在直线上运动，则的最大值为（ ）
A． B． C．4 D．
9．如图，在中，顶点A在x轴的负半轴上，且，顶点B的坐标为，P为AB边的中点，将沿x轴向右平移，当点A落在上时，点P的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，0），B（5，0），C（0，3），平移线段AC至线段BD，点P在四边形OBDC内，满足S△PCD＝S△PBD，S△POB：S△POC＝5：6，则点P的坐标为（　　）
A．（2，1） B．（2，4） C．（3，2） D．（4，2）
二、填空题
11．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“兵”位于点（1，﹣1），“炮”位于点（﹣1，0），则“马”位于点 ．
12．已知|m+5|+＝0，点P（m，n）关于x轴的对称点的坐标是 ．
13．若，则点先向左平移2个单位，再向下平移1个单位后的对应点，则点坐标为 ．
14．点向左平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度所得对应点，则的值为 ．
15．如图，点向下平移n个单位后的点关于y轴的对称点为，则 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，，将点向下平移1个单位，再向右平移2个单位得到点，若点在轴上，且，则点的坐标为 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，在y轴和x轴上分别有两点P、Q，则A，B，P，Q四点组成的四边形的最小周长为 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(-1，0)，(3，0)，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，则D的坐标为 ，连接AC，BD．在y轴上存在一点P，连接PA，PB，使S四边形ABDC，则点P的坐标为 ．
三、解答题
19．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
(1)的面积为_______________；
(2)画出格点（顶点均在格点上）关于轴对称的；
(3)指出的顶点坐标：（，），（，），（，）；
(4)在轴上画出点，使最小．
20．如图，在平面直角坐标系中．
(1)将向上平移2个单位长度，再向右平移两个单位长度得到，画出；
(2)写出点、、的坐标；
(3)直接写出的面积．
21．在平面直角坐标系中，O为原点，点，点，且点B在A的右边．将线段平移，平移后A，B的对应点分别为点，，其中，．
(1)求b和k的值；（用含a的代数式表示k）
(2)探求当a变化时，三角形与三角形的面积大小关系．
22．如图所示，，点B在y轴上，将三角形沿x轴负方向平移，平移后的图形为三角形，点C的坐标为，且．
(1)直接写出点C的坐标 ；
(2)直接写出点E的坐标 ；
(3)点P是直线上一动点，设，，，确定x，y，z之间的数量关系，并证明你的结论．
23．如图，在平面直角坐标系中，点，过点作x轴的垂线l，点A关于直线l的对称点为B．
(1)点B的坐标为_____________；
(2)已知点，点，在图中描出点B，C，D，顺次连接点A，B，C，D．
①在四边形内部有一点P，满足且，则此时点P的坐标为_____________，_____________；
②在四边形外部是否存在点Q，满足且，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
24．如图，点A的坐标为，点B在y轴上，将三角形OAB沿x轴负方向平移，平移后的图形为三角形DEC，且点C的坐标为．
(1)点E的坐标为________；点B的坐标为_______；
(2)在四边形ABCD中，点P从点B出发，沿“”移动．
①当点P在CD上时﹐设，试用含x，y的式子表示z，写出解答过程．
②当点P在BC上﹐且直线OP平分四边形ABCD的面积时﹐求点P的坐标．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】根据确定位置需要两个不同要素判定即可．
【详解】A.北纬，东经，能确定位置，故A符合题意；
B. 郑州市建设路，不能确定位置，故B不符合题意；
C.北偏东，不能确定位置，故C不符合题意；
D.郑东新区奥斯卡影院2排，不能确定位置，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了位置的确定方法，熟练掌握位置确定的方法是解题的关键．
2．B
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；可以直接写出答案．
【详解】解：∵点与关于轴对称，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，解决此类题目的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
3．D
【分析】根据点坐标特征、特殊直线的解析式可以作出判断 ．
【详解】解：A、根据点坐标的符号特征，点A在第三象限，正确；
B、第二、四象限的角平分线为y=-x，并且点B坐标符合y=-x，正确；
C、线段AB为y=-3，平行于x轴，正确；
D、与点A关于y轴对称的点为（2，-3），错误；
故选D．
【点睛】本题考查点坐标的应用，熟练掌握点坐标特征及特殊直线的解析式是解题关键．
4．B
【分析】设内任一点A（a，b）在第三象限内，可得a＜0，b＜0，关于x轴对称后的点B(-a，b)，则﹣a＞0，b＜0，然后判定象限即可．
【详解】解：∵设内任一点A（a，b）在第三象限内，
∴a＜0，b＜0，
∵点A关于x轴对称后的点B(a，-b)，
∴﹣b＞0，
∴点B（a，-b）所在的象限是第二象限，即在第二象限．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，熟练掌握四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）是解题的关键．
5．C
【分析】根据平移的性质，结合已知点A，B的坐标，根据平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减，可得出a，b的值，即可得到答案．
【详解】解：∵A（-1，3）平移后对应点的坐标为（a，1），
∴线段向下平移了2个单位，
∵点B（2，-3）平移后对应的点（5，-b），
∴线段向右平移了3个单位，
∴a=2，b=5，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减，难度适中．
6．D
【分析】根据“横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减”的规律求解即可．
【详解】解：将点P（3，2）向右平移2个单位长度得到（5，2），
再向下平移2个单位长度，所得到的点坐标为（5，0）．
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化——平移：向右平移a个单位，坐标P（x，y） （x+a，y）；向左平移a个单位，坐标P（x，y）（x-a，y）；向上平移b个单位，坐标P（x，y）（x，y+b）；向下平移b个单位，坐标P（x，y）（x，y-b），熟记点的坐标的平移规则是解题的关键．
7．C
【分析】由A（-1，m+2）在经过此次平移后对应点A1（2，m-3），可得△ABC的平移规律为：向右平移3个单位，向下平移5个单位，由此得到结论．
【详解】解：∵A（-1，m+2）在经过此次平移后对应点A1（2，m-3），
∴△ABC的平移规律为：向右平移3个单位，向下平移5个单位，
∵点P（a，b）经过平移后对应点P1（c，d），
∴a+3=c，b-5=d，
∴a-c=-3，b-d=5，
∴a+b-c-d=-3+5=2，
故选：C．
【点睛】本题考查的是坐标与图形变化-平移，牢记平面直角坐标系内点的平移规律：上加下减、右加左减是解题的关键．
8．D
【分析】根据轴对称的性质可求得答案．
【详解】解：作A关于直线对称点C，
∴，
∵，
∴C的坐标为；
连接并延长，交直线于P点，
此时，取得最大值，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，轴对称 最短路线问题，正确的作出辅助线是解决本题的关键．
9．D
【分析】先求出点A的坐标，然后利用中点坐标公式求出点P的坐标，将点P和点A向右平移相同的单位长度即可．
【详解】解：过点B作轴，垂足为D，如图，
∵B，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
∵P为AB边的中点，
，即，
当点A落在上时，相当于将A水平向右平移了5个单位长度，
将向右平移5个单位长度后，即，
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标与图形中的点的平移，等腰直角三角形的性质，中点坐标公式等，得到是由P向右平移5个单位长度得到的是解决这题的关键．
10．D
【分析】过P作PM⊥OB于M，并反向延长交CD于N，设P（x，y），根据S△POB：S△POC=5：6，于是得到x=2y；由于S△PCD=S△PBD，于是得到×7 （3-y）=18-×7（3-y）-×3x-×5y，最后解方程组即可得到结论．
【详解】解：如图，过P作PM⊥OB于M，交CD于N，
∵CD∥OB，
∴PN⊥CD，
设P（x，y），
∵S△POB：S△POC＝5：6，
∴5××3x＝6××5y，
∴x＝2y，①
∵S△PCD＝S△PBD，
∴×7 （3﹣y）＝18﹣×7（3﹣y）﹣×3x﹣×5y，②
由①、②解得x＝4，y＝2，
∴P（4，2），
故选：D．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形性质，平行线的性质，三角形的面积，坐标与图形变化-平移，作辅助线构造平行线和垂线是解题的关键．
11．（4，﹣3）
【分析】由“兵”位于点（1，﹣1），“炮”位于点（﹣1，0），找出坐标原点，即可得出答案．
【详解】解：∵“兵”位于点（1，﹣1），“炮”位于点（﹣1，0），
∴坐标系如图：
∴“马”点的位于（4，﹣3）．
故答案为：（4，﹣3）．
【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确建立平面直角坐标系是解题关键．
12．（﹣5，﹣3）
【分析】根据非负数的性质求得m、n的值，然后根据关于x轴对称的点的坐标特征即可解答．
【详解】解：∵|m+5|+＝0，
∴m+5＝0，n﹣3＝0，
∴m＝﹣5，n＝3，
∴点P的坐标是（﹣5，3）．
∴点P（m，n）关于x轴的对称点的坐标是 （﹣5，﹣3）．
故填（﹣5，﹣3）．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质、平面直角坐标系中对称点的规律等知识点，根据非负数性质得出m、n的值是解答本题的关键．
13．
【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，可得，的值，再根据坐标平移的变化规律即可求解．
【详解】解：，
，，
解得，，
，
点先向左平移2个单位，再向下平移1个单位后的对应点，
点的横坐标为，纵坐标为，
点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标点的平移，偶次方的性质，算术平方根的性质，准确利用非负性求得点的坐标是解题的关键．
14．4
【分析】根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加列方程求出m、n的值，再相加计算即可得解．
【详解】解：∵点向左平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度所得对应点，
∴，，
解得m=1，n=3，
所以，m+n=1+3=4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
15．3
【分析】根据关于y轴对称的规律和点平移的规律解答即可．
【详解】解：如下图，
∵点B(1， 1)，点C、B关于y轴对称，
∴点C(-1， 1)，
∵点A( 1，2)，
∴点A( 1，2)向下平移3个单位后与点C重合，
∴n为3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了关于关于y轴对称的规律和点平移的规律，解题的关键是掌握关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数；在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移 a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数 a ，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移 a 个单位长度（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减）．
16．（0，2）或（0，）
【分析】根据题意确定点B的坐标，然后设C（0，m），结合图形，利用面积得出方程求解即可．
【详解】解：将点A向下平移1个单位，再向右平移2个单位得到点B，
∴B(0，)，
设C（0，m），
如图所示，
根据题意得：，
解得：m=2或，
∴C(0，2)或（0，），
故答案为：（0，2）或（0，）．
【点睛】题目主要考查坐标与图形，坐标的平移，一元一次方程的应用等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
17．##
【分析】作点A关于y轴的对称点C，点B关于x轴的对称点D，连接CD交y轴于P，交x轴于Q，则此时，四边形APQB的周长最小，且四边形的最小周长=AB+CD，根据两点间的距离公式即可得到结论．
【详解】解：作点A关于y轴的对称点C，点B关于x轴的对称点D，连接CD交y轴于p，交x轴于Q，则此时，四边形APQB的周长最小，且四边形的最小周长=AB+CD，
∵点A的坐标是(2，4)，点B的坐标是(6，2)，
∴C(-2,4)，D(6，-2)，
∵AB=，CD=，
∴四边形APQB的最小周长=10+，
故答案为：10+．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，轴对称-最短路径问题，两点间的距离公式，正确的确定点P和点Q的位置是解题的关键．
18． （4，2） （0，4）或（0，-4）
【分析】根据B点的平移方式即可得到D点的坐标；设点P到AB的距离为h，则S△PAB=×AB×h，根据S△PAB=S四边形ABDC，列方程求h的值，确定P点坐标；
【详解】解：由题意得点D是点B（3，0）先向上平移2个单位，再向右平移1个单位的对应点，
∴点D的坐标为（4，2）；
同理可得点C的坐标为（0，2），
∴OC=2，
∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，
∴，
设点P到AB的距离为h，
∴S△PAB=×AB×h=2h，
∵S△PAB=S四边形ABDC，
得2h=8，解得h=4，
∵P在y轴上，
∴OP=4，
∴P（0，4）或（0，-4）．
故答案为：（4，2）；（0，4）或（0，-4）．
【点睛】本题主要考查了根据平移方式确定点的坐标，坐标与图形，解题时注意：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．
19．(1)5
(2)详见解析
(3)
(4)详见解析
【分析】（1）用割补法求三角形的面积即可；
（2）先找出A、B、C、三点关于x轴的对称点，，，连接对称点即可；
（3）根据图象分析出三个点的坐标；
（4）根据轴对称的性质求解即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：5．
（2）如图所示，即为所求；
（3）解：根据图象对称后的图象，可知每个顶点坐标为，
故答案为：．
（4）解：在图像上画出点关于y轴的对称点，连接，两点与轴的交点即为点，如下图所示：
【点睛】本题考查平面直角坐标系上的点，平面直角坐标系中关于x，y轴对称点的坐标特征，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．
20．(1)见解析
(2)，，
(3)7
【分析】（1）根据平移的性质确定出点、、的位置，然后连线即可；
（2）根据图形写出坐标即可；
（3）用割补法求解即可．
【详解】（1）如图所示，即为所求．
（2）由图可知，，，．
（3）的面积．
【点睛】本题考查了平移作图，写出平面直角坐标系点的坐标，割补法求图形的面积，正确作出图形是解答本题的关键．
21．(1)；；
(2)
【分析】（1）由，，结合，可得线段向上平移，再根据点的平移规则列方程即可；
（2）由平移的性质可得：，，如图，可得，过作于，过作于，显然，，从而可得答案．
【详解】（1）解：如图，∵点，点，且点B在A的右边．将线段平移，平移后A，B的对应点分别为点，，其中，．
∴，，
∴，即，解得：，
∴，，，
∴，
解得：；
（2）由平移的性质可得：，，如图，
∴，
过作于，过作于，
显然，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是平移的性质，点的平移的坐标变化规律，平移的性质，平行线的性质，熟练地利用平移的性质解题是关键．
22．(1)
(2)
(3)①当点P在线段EC上时：；②当点P在线段的延长线上时：；③当点P在线段的延长线上时：
【分析】（1）直接利用算术平方根的性质得出a，b的值，即可得出答案；
（2）利用平移的性质得出点E的坐标；
（3）分三种情况讨论：①当点P在线段上时：如图，过点P作， ②当点P在线段的延长线上时，如图，过点P作， ③当点P在线段的延长线上时，再利用平行线的性质分析得出答案．
【详解】（1）解：∵
∴，，解得： ，，
∵点C的坐标为，
∴点C的坐标为：；
（2）∵点B在y轴上，点C的坐标为：，
∴B点向左平移了3个单位长度，
∴，向左平移3个单位得到：，
∴点E的坐标为：；
（3）①当点P在线段上时：
如图，过点P作，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴， 即．
②当点P在线段的延长线上时，
如图，过点P作，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴， 即．
③当点P在线段的延长线上时，
如图，过点P作，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴， 即．
【点睛】此题主要考查了平移的性质以及平行线的性质，算术平方根的非负性的应用，坐标与图形，清晰的分类讨论是解题关键．
23．(1)．
(2)①，．②，理由见解析
【分析】（1）根据对称性可知点A和点B到直线l的距离相等，且纵坐标相等即可求解；
（2）①根据点A，B，C，D的坐标可得点A和点B关于直线l对称，点C和点D关于直线l对称，，，，由，可知点P在直线l上，设点P，再根据可得，求解即可得点P坐标，进而即可求解；
②与①同理，设，根据，可得，解方程进而即可求解．
【详解】（1）∵点坐标为，过点作x轴的垂线l，
∴点到直线l的距离为1，
∵点A和点B关于直线l的对称点，
∴，
故答案为：；
（2）如图所示：顺次连接A，B，C，D，可以发现四边形是等腰梯形，且关于直线对称，
①∵点，点，点，点，
∴点A和点B关于直线l对称，点C和点D关于直线l对称，，，，
∵在四边形内部有一点P，满足，
则点P在直线l上，设点P，
∵，
∴，即，
整理得：，
解得：，
∴点，
∴，
故答案为：，；
②存在，
理由：∵
∴点Q在对称轴上，
设，
∵，
∴，即，
解得：，
∴点．
【点睛】本题考查坐标与图形—对称，三角形面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想和参数构造方程解决问题．
24．(1)（-2，0）；（0，2）．
(2)① ②
【分析】（1）依据平移的性质可知轴，BC=AE=3，然后依据点A和点C的坐标可得到点B和点E的坐标；
（2）①过点P作交AB于点F，则，然后依据平行线的性质可得到∠BPF=∠CBP=x，∠APF=∠DAP=y，最后，再依据角的和差关系进行解答即可；②先求解四边形ABCD的面积，再画出图形，结合直线OP平分四边形ABCD的面积建立方程求解即可．
【详解】（1）解： ∵将三角形OAB沿x轴负方向平移，C（-3，2），A（1，0），
∴轴，BC=AE=3．
∴B（0，2），E（-2，0）．
故答案为：（-2，0）；（0，2）．
（2）①∵点P在线段CD上时，
如图，过点P作交AB于点F，则，
∴∠BPF=∠CBP=x，∠APF=∠DAP=y，
∴∠BPA=∠BPF+∠APF=x+y=z，
∴z=x+y．
②∵由平移的性质可得：轴， 而
∴
∵
∴ 而
∴
如图，当点P在BC上﹐且直线OP平分四边形ABCD的面积时﹐
∴
∴
∴
∴
【点睛】本题考查的是平移的性质，坐标与图形，平行线的判定与性质，图形面积的计算，掌握“坐标与图形中线段的长度的对应关系以及平移的性质”是解本题的关键．
答案第1页，共2页
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