第8章 一元一次不等式教案

第8章 一元一次不等式
8.1认识不等式
教学目标：
认识不等式,能正确理解不等式的概念,弄清不等式的实质;
通过对具体问题的分析会列出简单的不等式,用不等式表示简单的数字语言;
理解不等式的解的概念,会寻找不等式的解.
教学过程：
研究问题：
世纪公园的票价是:每人5元,一次购票满30张可少收1元.某班有27名少先队员去世公园进行活动.当领队王小华准备好了零钱到售票处买了27张票时,爱动脑的李敏同纪学喊住了王小华,提议买30张票.但有的同学不明白.明明只有27个人,买30张票,岂不浪费吗?
那么,究竟李敏的提议对不对呢?是不是真的浪费呢
新课探究：
分析上面的问题
设有x人要进世纪公园,①若x≥30，应该如何买票?
②若x＜30, 则又该如何买票呢？
结论：至少要有多少人进公园时，买30张票才合算?
概括：1、不等式的定义：表示不等关系的式子,叫做不等式.
不等式用符号＞,＜,≥,≤.
2、不等式的解：能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解.
3、不等式的分类：
⑴恒不等式：-7<-5,3+4>1+4,a+2>a+1.
⑵条件不等式：x+3>6,a+2>3,y-3>-5.
三、基础训练。
例1、用不等式表示：
⑴ a是正数；　　　　⑵ b不 是负数；　　　⑶ c是非负数；
⑷ x 的平方是非负数；　⑸ x的一半小于-1；　⑹ y与4的和不小于３.
注：⑴不等式表示代数式之间的不相等关系，与方程表示相等关系相对应；
⑵研究不等关系列不等式的重点是抓关键词，弄清不等关系。
例2、用不等式表示：
⑴ a与1的和是正数；⑵ x的2倍与y的3倍的差是非负数；⑶ x的2倍与1的和大于—1；⑷a的一半与4的差的绝对值不小于a.
例3、当x=2时，不等式x-1＜2成立吗？当x=3呢？当x=4呢？
注：⑴检验字母的值能否使不等式成立，只要代入不等式的左右两边，如果符合不等号所表示的关系，就成立，否则就不成立。
⑵代入法是检验不等式的解的重要方法。
学生练习：课本P56练习1、2、3。实验手册当堂课内练习1、2、3。
四、能力拓展
学校组织学生观看电影，某电影院票价每张12元，50人以上（含50人）的团体票可享受8折优惠，现有45名学生一起到电影院看电影，为享受8折优惠，必须按50人购团体票。
⑴请问他们购买团体票是否比不打折而按45人购票便宜；
⑵若学生到该电影院人数不足50人，应至少有多少人买团体票比不打折而按实际人数购票便宜。
解：⑴按实际45人购票需付钱_________　元，如果按50人购买团体票则需付钱50×12×８０％＝４８０元，所以购买团体票便宜。
⑵设有x人到电影院观看电影，当x_____时，按实际人数买票______张，需付款_______元，而按团体票购票需付款________元，如果买团体票合算，那么应有不等式________________，
由①得，当x=45时，上式成立，让我们再取一些数据试一试，将结果填入下表：
x
12x
比较480与12x的大小
48＜12x成立吗？
30
40
41
42
由上表可见，至少要__________人时进电影院，购团体票才合算。
答：
五、课时小结⑴不等式的定义，不等式的解。
⑵对实际问题中探索得到的不等式的解，不仅要满足数学式子，而且要注意实际意义.
课后记：
8.2解一元一次不等式
第1课时：不等式的解集
教学目标：
（1） 使学生掌握不等式的解、不等式的解集的定义。
（2）知道什么是解不等式、不等式解集的表示方法。
二、 复习与练习
1、用不等式表示：
（1）x的与3的差是正数；　　　　（2）2x与1的和小于0；
（3）a的2倍与4的差是正数；　　　　（4）b的--与的和是负数；
（5）a与b的差是非正数；　　　　　　（6）x的绝对值与1的和不小于1；
2、下列各数中，哪些是不等式x+2>5的解？哪些不是？
--3，--2，--1，0，1.5, 3，3.5 ,5,7。
三、新课探究：
如图：请你在数轴上表示：
小于3的正整数；
不大于3的正整数；
绝对值小于3大于1的整数；
绝对值不小于--3的非正整数；
由复习（2）可知，大于3的每一个数都是不等式x+2>5的解，而不大于3的每一个数都不是它的解。不等式x+2>5的解有无限多个，它们组成一个集合，称为不等式x+2>5的解集。不等式x+2>5的解集，可以表示成x>3,也可以在数轴上直观地表示出来，如图
概括：（1）、一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集。
　（2）、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
　（3）、不等式的解集在数轴上可直观地表示出来，但应注意不等号的类型，小于在左边，大于在右边。当不等号为“>”“<”时用空心圆圈，当不等号为“”“”时用实心圆圈。
四、基础训练。
例1、方程3x=6的解有 个，不等式3x<6的解有 个。
解 方程3x=6的解只有1个，即x=2。 不等式3x<6的解有无数个，其解为x<2，其中非负数整数解有两个, 即x=0，x=1。
例2、判断题
（1）x=2是不等式4x<9的一个解； （2）x=2是不等式4x<9的解集；
（3）不等式4x<9的解集是x<2； （3）不等式4x<9的解集是x<.
解 （1）正确。因为当x用2代替时，不等式4x<9成立。
（2）错误。因为x=2仅仅是不等式4x<9的一个解，不能称为该不等式的解集。
（3）错误。因为解集x<2不是不等式4x<9的所有解的集合。
（4）正确。因为x<是不等式4x<9的所有的解组成的集合。
例3、将下列不等式的解集在数轴上表示出来。
（1）x<2 （2）x （3）-1解 （1）
（2）
（3）
五、能力拓展。
例4、适合不等式的非负整数是哪几个数？适合不等式的非正整数有哪几个？分别求出来．
例5、求出适合不等式≤≤5的整数（不等式的整数解），同时适合不等式 的整数是哪几个？
六、课时小结
（1）不等式的解、不等式的解集的定义。
（2）会判断一个未知数的值是否是不等式的解。
（3）在数轴上表示不等式的解集时应注意不等号的类型。
课后记：
第2课时：不等式的简单变形
教学目标：（1）联系方程的基本变形通过直观的试验与归纳，让学生自主探索得到不等式的基本性质。
（2）综合运用基本性质，会用“作差法”比较两数式的大小。
（3）利用不等式的三条性质初步解不等式。
教学过程：
一、复习练习：
1．不等式中的最小整数值是 ，不等式≤2中的最大整数值是 ．
2．写出不等式的一个解是 ，=7 （填“是”或“不是”）不等式的解，不等式的解是大于 的数．
3．用不等式表示：的5倍与2的差不大于与1的和的3倍． ．
4．用不等式表示“的相反数的4倍减5不小于2”为 ．
5．“不是一个正数”用不等式表示为 ．
6．“与3的差的4倍大于8”用不等式表示为 ．
7．在数轴上表示下列不等式的解集：
（1） x>5. (2).x<-3. (3)x≥-1 (4) -1三、新课探究：
1、 提问：在解一元一次方程时，我们主要是对方程进行变形。那么方程变形的依据是什么？
今天我们来研究解不等式，我们同样应先探究不等式的变形规律。
板书：解一元一次不等式（2）——不等式的简单变形
演示书本P58实验，由学生观察得出不等式的性质1，教师概括板书
不等式性质1 如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c。
不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变
提问：不等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，不等号的方向是否也不变呢？
2、将不等式7>4两边都乘以同一数,比较所得的数的大小,用“>”或 “<”填空:
7ⅹ3 4ⅹ3 7ⅹ1 4ⅹ1　　 7ⅹ2 4ⅹ2 7ⅹ0 4ⅹ0
7ⅹ（-1） 4ⅹ（-1）　　7ⅹ（-2） 4ⅹ（-2）7ⅹ（-3） 4ⅹ（-3）
从中你发现了什么？
教师概括：（2）不等式性质2 如果a>b,并且c>0,那么ac>bc.
（3）不等式性质3 如果a>b,并且c<0,那么ac 也就是说，不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变；不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变。
四、基础训练
1、设a (1)a+1 b+1; (2)a-3 b-3; (3)3a 3b; (4)-a _-b;
(5)a+2 a+3; (6)-4a-5 -4a-3 （7）则a-2 b-1
2、(1)若m+2 （2）若ac2>bc2,则a b,-a-1 -b-1.
（3）若a>b,则ac bc(c≤0),ac2 bc2(c≠0).
五、能力拓展
例1、1、用“〈”或“〉”“= ” 号填空:
（1）如果a-b<0那么a b
（2）如果a-b=0那么a b（3）如果a-b那么a b.
从这道题可以看出：要比较a与b的大小，可以先求出a与b的差，再看这个差是正数、负数还是零。
2、用作差法比较x2-2x-15与 x2-2x-8的大小。
学生练习：若a (1)-3和-4;　　　　　　(2)a+b和a-b;　　　　(3)-+5和-+5。
例2、指出下列各题中不等式变形的依据：
⑴由3a>2,得a>.　　　　　　⑵由a+3>0,得a>-3.
⑶由-5a<1,得a>-.　　　　　⑷由4a>3a+1,得a>1.
例3、利用不等式的性质，把下列各式化成x>a或xx-7<8; (2) 3x<2x-3; (3) x>-3; (4) -2x<6.
提问：（1）（2）两题中不等式的变行与方程的什么变行相类似？（3）（4）两题呢？
学生练习：利用不等式的性质，把下列各式化成x>a或x（1）3x≥2x-3; (2)4x>x-1;(3)4+2x≤3x-1;(4)-x+>;
六、延伸提高：
例1、不等式（m-2）x>1的解集为x<，则
A．m<2 B. m>2 C. m>3 D.m<3.
例2、（1）若(m-3)x<3-m解集为x>-1,则m .
（2）若(a+3)x>-a-3的解集为x>-1，则a 。
七、课时小结：（1）不等式的三条性质。
　　　（2）运用不等式的性质将不等式进行简单变形应注意的问题。
课后记：
第3课时 解一元一次不等式①
一、教学目标：
使学生掌握一元一次不等式的概念及其标准形式；
用解一元一次方程的步骤来探索解一元一次不等式的一般步骤；
会解一元一次不等式,重视数学学习中转化思想的运用。
复习练习：
复习提问：
不等式的三条基本性质是什么?
运用不等式基本性质把下列不等式化成的形式.
① ② ③ ④
什么叫一元一次方程?解一元一次方程的步骤是什么?
新课探究:
1. 一元一次不等式的定义:只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式, 未知数的次数是1.像这样的不等式叫做一元一次不等式.
2. 一元一次不等式的标准形式是:.
3.求一元一次不等式解集的过程叫解一元一次不等式.
4.解一元一次不等式就是把不等式化成的形式.
四、基础例解:
例1、 解下列不等式,并将解集在数轴上表示出来:
⑴ 　　　　　 ⑵
例2、⑴解一元一次方程，并说说经过哪些步骤。
⑵请你将⑴中方程改为一元一次不等式，并解此不等式。
⑶比较⑴与⑵，请你与同学互相讨论，归纳解一元一次方程与解一元一次不等式方法、步骤的异同点，并合作填写下表。
解一元一次方程
解一元一次不等式
相同步骤
区别
学生练习：课本P62练习1、2.
例3、解下列不等式,并将解集在数轴上表示出来:
① ②
五、能力拓展：
例4、取何值时,代数式的值①大于的值;②不大于的值;③是非负数;④不小于3.
例5、求同时满足和的整数解．
六、 延伸与提高:
例6、①代数式的值小于3且大于0，求x的取值范围．
②、有一本书，共300页，前5天读了100页，现要在10天内（包括第10天）读完，则从第6天起每天至少读多少页？
七、课时小结:⑴ 一元一次不等式的定义;
⑵解一元一次不等式的注意点:①移项要变号(同方程解法)②当不等式两边都乘以或除以一个负数时,不等号方向改变.
课后记：
第4课时 ：解一元一次不等式②
教学目标：
使学生熟练掌握一元一次不等式的解法；
掌握在指定数集内解一元一次不等式；
重点掌握一元一次不等式的简单运用。
教学过程：
复习练习：
提问：什么叫一元一次不等式？解一元一次不等式的一般步骤是什么？
解下列不等式（学生板演）：
⑴3(x-2)-4(1-x)>4　　　　　　　⑵3－>＋1
⑶-≤-1　　⑷+1>
3、提问：最小的整数是 ，最大的负整数是 ，最小的非负整数是 。
最小的自然数是 ，绝对值最小的整数，小于5的非负整数是 。
新课探究：
解不等式，并把他们的解集在数轴上表示出来；
<
若把本题改为求不等式的负整数解呢？
学生练习：求下列不等式的负整数解；
① ② ③ 求不等式的负整数解。
能力拓展：
已知关于X的方程=的解是负数，求字母的取值范围；
已知不等式的最小整数解为方程的解，求代数式的值。
延伸与提高：
某次“人与自然”的知识竟赛中共有20道题。每答对一题得10分，答错
了或不答扣5分，至少要答对多少题其得分不少于80分？
学生练习：一个工程队原定在10天内至少挖掘600m3的土方，在前两天共完成120 m3后，又要求提前2天完成任务，问以后几天内平均每天要挖多少土方？
五、课时作业 手册P72 A 组、B组。
课后记：
第5课时：解一元一次不等式③
教学目的
进一步掌握一元一次不等式的解法;
熟练掌握一元一次不等式的应用.
教学过程
基础训练
已知是关于的一元一次不等式,那么=________;不等式的解集是____________.
不等式的解集是_______________.
当取___________时,代数式的值为负数.
当取___________时,关于的方程的解为正数.
已知,若,则________.
求不等式的非正整数解,并在数轴上表示出来.
新课探究
例1:已知方程的解满足不等式和不等式,求的值.
例2:若同时满足不等式和,化简
.
课堂练习
已知正整数满足,求代数式的值.
已知,化简.
能力拓展
例3: 已知不等式的解,也是不等式 的解,求的取值范围.
例4: 当时,求不等式的解集.
延伸提高
例5: 已知方程组的解与的和是正数,求的取值范围.
练习:已知关于的不等式与不等式的解集相同,求的值.
六、课时小结：学生进行发。
课后记：
8.3.一元一次不等式组和它的解法
第1课时：一元一次不等式组和它的解法（1）
一．教学目标：1．了解一元一次不等式组及其解集的概念。
2．探索不等式组的解法及其步骤。
二．复习引入：1．不等式2＋3x＜9的正整数解是_______，不等式3－4x＜8的负整数解是_______。
2．已知，当k取什么值时，b为负数？
三．新课探究：（课本P64）问题3及分析
概括：几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集。解一元一次不
等式组，通常可以先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分。利用数轴可以直观地帮助我们求出不等式组的解集。
例1：解不等式组：（1）；（2）
例2：解不等式组：（1）；（2）
归纳得口决：同大取大，同小取小，大小取中，矛盾无解。
四．基础训练：（手册P82）当堂课内练习
五．能力拓展：1．若不等式组无解，求m的取值范围。
2．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来。
3．解不等式组：（1）；（2）
六．引申提高：解不等式：（1）；（2）
七．课时小结：1．不等组的解集的意义：（略）
2．数形结合，借助数轴来确定解集。
课后记：
第2课时：一元一次不等式组和它的解法（2）
一．教学目标：1．在指定数集内解一元一次不等式组。
2．含有字母的二元一次方程组的解的讨论及字母的取值范围。
二．复习引入：1．（手册P83）复习巩固练习
2．（1）的解集是，求a的取值范围；（2）的解集是，求b的取值范围。
（3）求同时满足不等式和的整数x。
三．新课探究：（课本P83）例1、例2
归纳：先求出不等式组或方程组的含待定字母的解集，然后由另一限制条件求出待定字母的值（或范围）。
四．基础训练：（手册P84）当堂课内练习
五．能力拓展：1．a为何值时，方程组的解是正数？
2．已知，求a的取值范围。
六．引申提高：1．若不等式组无解，求a的取值范围（a≤2）。
2．若不等式组的解集中任一个x的值均不在2≤x≤5的范围内，求a的取值范围。
七．课时小结：数轴法是将不等式的抽象性与数轴上图形的直观性相结合的一种方法，这种方法对求不等式中参数的取值范围很有帮助。
课后记：
第3课时 一元一次不等式及不等式组的应用（1）
例1、⑴当m为何正整数时，关于x的方程的解为非负数.
⑵k取什么整数时，解方程组得到的x,y值都大于－3且都小于3.
例2：如果关于x的不等式(2m－n)x+m－5n>0(n<0)的解集为x<,试求关于x的不等式mx>n的解集.
例3：已知关于x的方程3(2x－5)－-4=x的解适合不等式组，求代数式的值.
例4：求适合2x-y例5：*已知方程组的解也满足x+y+z<7，求x,y,z的正整数解.
如果把题目改为：x,y,z都是正数，且，求x+y+z的范围，你能解吗？
课后练习：
一、选择题：
1、已知关于x的方程5(x－1)=3a+x－11的根是正数，则a的取值范围是（ ）
(A)a<2 (B)a>－2 (C)a<－2 (D)a>2
2、若方程的解是非负数，则与b的关系是（ ）
(A) (B) (C) (D)
3、已知方程组，则m的范围是（ ）
(A)m>1 (B)m<1 (C)m>－1 (D)m<－1
4、已知>b，且|m|+|-m|=2m，则下列结论成立的是（ ）
(A)mbm (C)m≤bm (D)m≥bm
二、解答题：
1、已知方程组的解是一对正数，求⑴的范围；⑵化简|2+1|+|2－|.
2、若不等式组的解集是－33、求x,y满足方程x-4y=20和不等式7x课后记：
第4课时 不等式（组）应用（2）
1．有一批货物成本万元，如果在本年年初出售，可获利10万元，然后将本、利都存入银行，年利率2%；如果在下一年年初出售，可获利12万元，但要付0.8万元货物保管费。试问，这批货物在本年年初出售合算，还是在下一年年初出售合算（本题计算不考虑利息税）。
2．某织布厂有工人200名，为改善经营，增设制衣项目。已知每人每天能织布30米，或利用所织布制衣4件，制衣一件需用布1.5米，将布直接出售，每米可获利2元；将布制成衣后出售，每件获利25元。若每名工人一天只能做一项工作，且不计其它因素，设安排名工人制衣，则：
（1）一天中制衣所获利润P= 元（用含的代数式表示）。
（2）一天中剩余布所获利润Q= 元（用含的代数式表示）
（3）当取何值时，该厂一天中所获利润W（元）为最大？最大利润为多少元？
3．某校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生，买了若干本课外读物准备送给他们。如果每人送3本，则还余8本；如果前面每人送5本，则最后一人得到的课外读物不足3本。设该校买了m本课外读物，有名学生获奖。请解答下列问题：
（1）用含的代数式表示m；
（2）求出该校的获奖人数及所买课外读物的本数。
4．据有关部门统计：20世纪初全世界共有哺乳类和鸟类动物约13000种，由于环境等因素的影响，到20世纪末这两类动物种类共灭绝约1.9%，其中哺乳类动物灭绝约3.0%，鸟类动物灭绝约1.5%。
（1）问20世纪初哺乳类动物和鸟类动物各有多少种？
（2）现在人们越来越意识到保护动物就是保护自己。到21世纪末，如果要把哺乳类动物和鸟类动物的灭绝种数控制在0.9%以内，其中哺乳类动物灭绝的种数与鸟类动物灭绝的种数之比约为6：7。为实现这个目标，鸟类灭绝不能超过多少种？（本题所求结果精确到10位）
5．某球迷协会组织36名球迷拟租乘汽车去比赛场地。可租用的汽车有两种：一种每辆可乘8人，另一种每辆可乘7人，若租用的车子不留空座，也不超载。（1）请你给出不同的租车方案（至少3种）（2）若8个座位的车子的租金是300元/天，4个座位的车子的租金是200元/天，请你设计出费用最少的租车方案，并说明理由。
6．某水库的水位已超过警戒水量P立方米，由于连续暴雨，河水仍以每小时Q立方米的流量流入水库，为了保护大坝安全，需打开泄洪闸。已知每孔泄洪闸每小时泻水量为R立方米，经测算，若打开2孔泄洪闸，30小时可将水位降到警戒线；若打开3孔泄洪闸，12小时可将水位降到警戒线。（1）试用R的代数式分别表示P、Q；（2）现在要求4小时内将水位降到警戒线以下，问至少需打开几孔泄洪闸。
7．烟台大樱桃闻名全国，今年又喜获丰收，某大型超市从大樱桃生产基地购进一批大樱桃，运输过程中质量损失5%。（超市不负责其它费用）
（1）如果超市把售价在进价的基础上提高5%，超市是否亏本？通过计算说明。
（2）如果超市要获得至少20%的利润，那么大樱桃售价最低应提高百分之几？（结果精确到0.1）
8．某果品公司急需将一批不易存放的水果从A市运到B市销售．现有三家运输公司可供选择，这三家运输公司提供的信息如下：
运输单位
运输速度（千米/小时
运输费用
（元/千米）
包装与装卸时间
（小时）
包装与装卸费用
（元）
甲公司
60
6
4
1500
乙公司
50
8
2
1000
丙公司
100
10
3
700
解答下列问题：
（1）若乙、丙两家公司的包装与装卸及运输的费用总和恰好是甲公司的2倍，求A、B两市的距离（精确到个位）；
（2）如果A、B两市的距离为s千米，且这批水果在包装与装卸以及运输过程中的损耗为300元／时，那么要使果品公司支付的总费用（包装与装卸费用、运输费用及损耗三项之和）最小，应选择哪家运输公司？
9．现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车车厢共40节，使用A型车厢每节费用为6000元，使用B型车厢每节费用为8000元。
（1）设运送这批货物的总费用为y万元，这列货车挂A型车厢x节，试写出y与x之间的函数关系式。
（2）如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨，每节B型车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨，装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案？
在上述方案中，哪个方案运费最省？最少运费为多少元。
课后记：