专题8.12二元一次方程组的应用 巩固篇 专项练习（含解析）2023-2024学年七年级数学下册人教版专项讲练

专题8.12 二元一次方程组的应用（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．在解方程组时，一同学把c看错而得到，正确的解应是，那么的值是（ ）
A．不能确定 B．－3 C．－1 D．1
2．方程组有正整数解，则整数k的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文为：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？意思是：现有几个人共同购买一件物品，每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱，求物品的价格和共同购买该物品的人数．设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，则根据题意，列出的方程组是（ ）
A． B． C． D．
4．为迎接2022年北京冬奥会，清华附中初二级部开展了以“绿色冬奥，人文冬奥，科技冬奥”为主题的演讲比赛，计划拿出240元钱全部用于购买奖品，奖励优胜者，已知一等奖品每件15元，二等奖品每件10元，则两种奖项齐全的购买方案有（ ）
A．6种 B．7种 C．8种 D．9种
5．在一块a公顷的稻田上插秧，如果10个人插秧，要用m天完成；如果一台插秧机工作，要比10个人插秧提前3天完成，一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的（　　）倍．
A． B． C． D．
6．六年前，A的年龄是B的年龄的3倍，现在A的年龄是B的年龄的2倍，A现在的年龄是(　　)．
A．12岁 B．18岁 C．24岁 D．30岁
7．2022北京残奥会已于3月13日闭幕，北京冬（残）奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”赢得了广大网友的喜爱王老师想要购买两种吉祥物玩偶作为本次冬奥会的纪念品，已知购买1件“冰墩墩”和1件“雪容融”共需95元，购买3件“冰墩墩”和2件“雪容融”共需245元，玩偶“冰墩墩”、“雪容融”的单价分别为________元．
A．55，40 B．50，45 C．125，135 D．25，30
8．如图，在长为15，宽为12的矩形中，有形状、大小完全相同的5个小矩形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．35 B．45 C．55 D．65
9．咖啡A与咖啡B以之比（以质量计）混合，A的原价为50元/kg，B的原价为40元/kg．若A的价格增加，而B的价格减少，且混合咖啡每千克的价格不变，则等于（ ）
A． B． C． D．
10．《九章算术》中记载这样一个问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．问绳长、井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？若设绳长、井深分别为x、y尺，则符合题意的方程组是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若与互为相反数，则的值为 .
12．已知方程组和的解相同，则 ．
13．一次越野赛跑中，当小明跑了时，小刚跑了．此后两人分别以和匀速跑．又过小刚追上小明，时小刚到达终点，时小明到达终点．这次越野赛跑的全程为 ．
14．一个两位数的十位数字与个位数字的和是，把这个两位数加上后，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，设这两个数的十位数的十位数字为，个位数字为，根据题意列得方程组 ．
15．某车间有名工人，每人平均每天可加工螺栓个或螺母个，要使每天加工的螺栓和螺母配套（1个螺栓配2个螺母），设应分配x人生产螺母，y人生产螺栓，依题意列方程组得 ．
16．在一个的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等，得到的的方格称为一个三阶幻方．如图，方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则的值是 ．
17．如图，将正方形ABCD的一角折叠，折痕为AE，点B恰好落在点处，∠AD比∠BAE大45°．设∠BAE和∠AD的度数分别为x°和y°，那么所适合的一个方程组是 ．
18．如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”的高度为23 cm，小红所搭的“小树”的高度为22 cm，设每块A型积木的高为x cm，每块B型积木的高为y cm，则x= ，y= ．
三、解答题
19．下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：
解：①×2，得……③ 第一步
②－③，得 第二步
． 第三步
将代入①，得． 第四步
所以，原方程组的解为 第五步
(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 法，以上求解步骤中，马小虎同学第 步开始出现错误．
(2)请写出此题正确的解答过程．
20．已知关于x、y的方程组；
(1)请写出方程的所有正整数解；
(2)若方程组的解满足，求m的值；
(3)当m每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解吗；
(4)如果方程组有整数解，求整数m的解．
21．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的共需95万元；购进4辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车的共需110万元．
(1)问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆A型汽车可获利1.2元，销售1辆B型汽车可获利0.8元，假如这些新能源汽车全部售出，问该公司的共有几种购买方案？最大利润是多少元？
22．某县在创建省级卫生文明县城中，对县城内的河道进行整治，现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天．要求整治任务完成后甲、乙工程队分别整治河道的长度．
（1）小明、小华两位同学提出的解题思路如下：
小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米．
根据题意，得
小华同学：设整治任务完成后，表示__________________，表示______________________________；
得
请你补全小明、小华两位同学的解题思路．
（2）求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从中任选一个方程组求解（写出完整的解答过程）
23．平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为50%；乙种商品每件进价50元，售价80元．
(1)甲种商品每件进价为______元，每件乙种商品所赚利润______元；
(2)若该商场进货时同时购进甲、乙两种商品共62件，恰好总进价为2600元，求购进甲、乙商品各多少件？如果这些商品全部出售，商场共获利多少元？
(3)在“五一”期间，该商场只对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额 优惠措施
少于等于450 不优惠
超过450，但不超过600 按打九折
超过600 其中600部分八点二折优惠，超过600的部分打三折优惠
按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在商场购买乙种商品多少件？
24．小明家需要用钢管做防盗窗，按设计要求，其中需要长为0.8米的钢管100根，还需要长为2.5米的钢管32根，两种长度的钢管粗细必须相同；并要求这些用料不能是焊接而成的．经市场调查，钢材市场中符合这种规格的钢管每根长均为6米．
（1）试问：把一根长为6米的钢管进行裁剪，有下面几种方法，
请完成填空(余料作废)．
方法①：只裁成为0.8米的用料时，最多可裁7根；
方法②：先裁下1根2.5米长的用料，余下部分最多能裁成为0.8米长的用料 根；
方法③：先裁下2根2.5米长的用料，余下部分最多能裁成为0.8米长的用料1 根．
（2）分别用（1）中的方法②和方法③各裁剪多少根6米长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料；
（3）试探究：除（2）中方案外，在（1）中还有哪两种方法联合，所需要6米长的钢管与（2）中根数相同．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】将错解代入得到a与b的关系式，再由正确解求出c，联立方程即可求得a、b进而得出答案．
【详解】解：将x=-2，y=2代入ax-by=2，可得：-2a-2b=2，
∵正确的解为x=3，y=2，
∴，
解得c=-2，
联立，
解得，
∴a+b-c=0-1+2=1，
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，解题关键在于分析题意，联立方程组，解出答案．
2．B
【分析】利用加减法得到，再由方程组有正整数解，可确定k+2=4或k+2=2或k+2=1，求出k的值即可．
【详解】解：，
①-②得，（k+2）y=6-k，
解得，
∵方程组有正整数解，
∴k+2=4或k+2=2或k+2=1，
解得k=2或k=0或k=-1，
∴整数k有3个，
故选：B．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的整数解问题，熟练掌握二元一次方程组的解法，分数取整数的条件是解题的关键．
3．A
【分析】根据“现有几个人共同购买一件物品，每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱”可得方程组．
【详解】解：设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，则列方程组为
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
4．B
【分析】设购买x件一等奖品，y件二等奖品，由题意：现计划拿出240元钱全部用于购买奖品，已知一等奖品每件15元，二等奖品每件10元，列出二元一次方程，求出正整数解即可．
【详解】解：设购买x件一等奖品，y件二等奖品，
由题意得：15x+10y=240，
∴，
又∵x，y均为正整数，
∴或或或或或或，
∴购买方案有7种，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
5．C
【分析】本题可利用工作总量作为相等关系，借助方程解题．
【详解】解：设一台插秧机的工作效率为x，一个人工作效率为y．
则10my=（m﹣3）x．
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了列代数式的知识，列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，找到其中的数量关系，工程问题要有“工作效率”，“工作时间”，“工作总量”三个要素，数量关系为：工作效率×工作时间=工作总量．
6．C
【详解】解：设A现在的年龄是x岁，B是y岁．根据题意得：
，解得：．故选C．
7．A
【分析】设“冰墩墩”的单价为x元，“雪容融”的单价为y元，根据等量关系“购买1件“冰墩墩”和1件“雪容融”共需95元，购买3件“冰墩墩”和2件“雪容融”共需245元”列出二元一次方程组求解即可．
【详解】解：设“冰墩墩”的单价为x元/件，“雪容融”的单价为y元/件，
由题意，得
解得
答：“冰墩墩”的单价为55元/件，“雪容融”的单价为40元/件．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，审清题意、找准等量关系、正确列出二元一次方程组是解答本题的关键．
8．B
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，观察图形可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可求出x、y的值，再利用阴影部分的面积＝大矩形的面积 5×小矩形的面积，即可求出结论．
【详解】解：设小矩形的长为x，宽为y，
根据题意得：，
解得： ，
∴＝15×12 5xy＝45．
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9．C
【分析】根据题意首先求得原咖啡的价格；如果A的价格增加10%，B的价格减少15%，此时咖啡的价格再根据混合咖啡的价格保持不变，即原咖啡的价格＝此时咖啡的价格．即可求得x：y的值．
【详解】解：根据题意得
化简得50x+40y＝55x+34y
∴x：y＝6：5
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解决本题的关键是明白元咖啡的价格计算方法与调整A、B价格后混合咖啡价格的计算方法，列出等式方程．
10．C
【分析】设绳长为x尺，根据水井的深度不变，得出关于x的一元一次方程即可解答．
【详解】解：若设绳长、井深分别为x、y尺，
则符合题意的方程组是，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键．
11．－1
【分析】由题意可得关于a、b的二元一次方程组，解方程组得到a、b的值，然后可以得解．
【详解】解：由题意，得，
∴，
解得：a=1，b=2，
∴，
故答案为：－1．
【点睛】本题考查二元一次方程组的综合应用，熟练掌握二元一次方程组的解法、相反数的定义及绝对值和平方数的非负性是解题的关键．
12．3
【分析】根据题意，两个方程组解相同，则可将x-2y=1和x-y=2联立，解出x和y的值，再将x和y的值代入求出m和n的值，随后即可求出2m-n的值．
【详解】∵方程组和的解相同，
∴将x-2y=1和x-y=2联立得：，解得：，
将 代入得：，
∴2m-n=2×4-5=3，
故答案为：3
【点睛】本题主要考查了一元二次方程得解和解一元二次方程，掌握消元得思想，熟练地掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
13．2050
【分析】根据两人的全程的距离相同可得出，再由当小明跑了时，小刚跑了．此后两人分别以和匀速跑．又过时小刚追上小明，可以得到，解方程求出a、b的值，由此求解即可．
【详解】解：解：根据题意，得
，
解得：
所以m
故答案为：2050
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键在于能够准确根据题意列出方程求解．
14．
【分析】根据关键语句“十位数字与个位数字的和是7”可得方程，十位数字为x，个位数字为y，则这个两位数是，对调后组成的两位数是，根据关键语句“这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数”可得方程，联立两个方程即可得到答案．
【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意得：
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，抓住关键语句，列出方程．
15．
【分析】根据车间有名工人，每人平均每天可加工螺栓个或螺母个，要使每天加工的螺栓和螺母配套（1个螺栓配2个螺母），即可列出二元一次方程组．
【详解】解：设应分配x人生产螺母，y人生产螺栓，
依题意，得．
故答案是：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出二元一次方程组是解决本题的关键．
16．27
【分析】根据题意可得关于x、y的方程，继而进行求解即可得答案．
【详解】根据题意可得：
解得，
∴，
故答案为：27．
【点睛】本题考查了三阶幻方，涉及方程，移项等知识，弄清题意，找准数量关系是解题的关键．
17．
【分析】根据将正方形ABCD的一角折叠，折痕为AE，∠AD比∠BAE大45°以及∠DAB为直角可列出方程组．
【详解】解：根据题意可得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，以及翻折变换的问题，关键知道正方形的四个角都是直角．
18． 4 5
【详解】解：根据小强搭的积木的高度=A的高度×2+B的高度×3，小红搭的积木的高度=A的高度×3+B的高度×2，
依两个等量关系列出方程组，
解得．
故答案为：4和5．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是看清图形的意思，找出等量关系列方程组求解．
19．(1)加减消元法，第四步
(2)见解析
【分析】（1）根据解方程组的特点判断，注意系数化为1时的计算．
（2）按照解方程组的步骤求解即可
【详解】（1）根据解题步骤分析，这种求解方程组的方法是加减消元法，在第四步系数化为1时，出错，
故答案为：加减消元法，第四步．
（2）方程组：
解：①×2，得……③ ，
②－③，得 ，
解得．
将代入①，得3．
解得x=．
所以，原方程组的解为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握方程组的解法是解题的关键．
20．(1)，；
(2)m= ；
(3)公共解为；
(4)整数m的值为-2或-4或-10或4．
【分析】（1）确定出方程的正整数解即可；
（2）已知方程与方程组第一个方程联立求出x与y的值，进而求出m的值；
（3）方程变形后，确定出公共解即可；
（4）根据方程组有整数解，确定出整数m的值即可．
【详解】（1）解：方程x+2y=6整理得y=3-，
∴方程x+2y=6的正整数解有：，；
（2）解：将x+2y=6记作①，x+y=0记作②，
由②，得x=-y，
将x=-y代入①，得-y+2y=6，
解得y=6，
∴x=-6，
∴2×（-6）-2×6-6m=8．
解得，m= ；
（3）解：2x-2y+mx=8变形得：（2+m）x-2y=8，
令x=0，得y=-4，
∴无论m取如何值，都是方程2x-2y+mx=8的解，
∴公共解为；
（4）解：，
①+②得，3x+mx=14，
∴x=，
由（1）得y=3-，
∵方程组有整数解，且m是整数，x是偶数，
∴3+m=±1，3+m=±7，
∴m=-2或-4；m=4或-10．
此时m=-2，-4，4，-10．
当m=-2时，x=14，y=-4，符合题意；
当m=-4时，x=-14，y=10，符合题意；
当m=-10时，x=-2，y=4，符合题意，
当m=4时，x=2，y=2，符合题意，
综上，整数m的值为-2或-4或-10或4．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，同解方程，二元一次方程，解二元一次方程组，解题的关键是熟练应用加减消元法．
21．(1)两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元
(2)最大利润为 万元
【分析】（1）设A种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元，根据购进3辆A型新能源汽车总价辆B型新能源汽车总价万元；购进4辆A型新能源汽车总价辆B型新能源汽车的总价万元，列出方程组，解方程组即可；
（2）设购买A型号的汽车辆，种型号的汽车辆，根据题意得出，根据m、n为正整数，求出方程的解，再分别算出各种方案获得的利润，进行比较即可得出最大利润．
【详解】（1）解：设A种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元，
由题意可得: ，
解得: ，
答：两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元
（2）解：设购买A型号的汽车辆，种型号的汽车辆，由题意可得且的正整数，
解得： 或或或，
该公司共有四种购买方案，
当 时, 获得的利润为:(万元)，
当 时, 获得的利润为:(万元)，
当 时, 获得的利润为:(万元)，
当 时, 获得的利润为:(万元)，
由上可得, 最大利润为 万元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，准确计算．
22．（1）见解析；（2）甲、乙两工程队分别整治河道120米和60米
【分析】（1）根据题意所列式子可知，小华同学所列方程组中未知数为：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米；小华同学所列方程组中未知数为：设整治任务完成后，m表示甲工程队整治河道用的天数，n表示乙工程队整治河道用的天数，据此补全方程组即可；
（2）由题意选择其中一个方程组结合解二元一次方程组的方法进行解答即可解决问题．
【详解】解：（1）小明、小华两位同学提出的解题思路如下：
小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米.
根据题意得
小华同学：设整治任务完成后，表示甲工程队整治河道用时的天数，
表示乙工程队整治河道用时的天数 ；
得 ；
（2）若解小明同学的方程组
②×24，得： ， ③
③－①×2,得： ，
把 =120代入①，得， ，
，
答：甲、乙两工程队分别整治河道120米和60米.
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，注意掌握利用基本数量关系：甲工程队用的时间+乙工程队用的时间=20天，甲工程队整治河道的米数+乙工程队整治河道的米数=180，运用不同设法列出不同的方程组解决实际问题．
23．(1)40，30
(2)购进甲商品50件，购进乙商品12件，全部出售，商场共获利1360元．
(3)小华在该商场购买乙种商品7件或8件．
【分析】（1）设甲商品的进价为x，根据题意列出方程即可求出甲商品的进价；根据利润=售价-进价，即可求出每件乙种商品所赚利润；
（2）根据题意，列出方程组，求解即可；
（3）根据题意，分两种情况进行讨论：当商品原价超过450元，但不超过600元时；当商品原价超过600元时．
【详解】（1）解：设甲商品的进价为x，
，
解得：，
每件乙种商品所赚利润：（元），
故答案为：40，30；
（2）设购进甲商品a件，购进乙商品b件，
，解得：，
∴购进甲商品50件，购进乙商品12件，
（元），
答：购进甲商品50件，购进乙商品12件，全部出售，商场共获利1360元．
（3）设购买乙商品y件，
当商品原价超过450元，但不超过600元时：，
解得：；
当商品原价超过600元时：，
解得：；
答：小华在该商场购买乙种商品7件或8件．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程及二元一次方程组的应用，解题的关键是熟知销售问题有关的计算公式，根据题意找出等量关系，列出方程和方程组求解．
24．（1）4；（2）24；4；（3）方法①与方法③联合
【分析】（1）由总数÷每份数=份数就可以直接得出结论；
（2）设用方法②剪x根，方法③裁剪y根6m长的钢管，就有x+2y=32，4x+y=100，由此方程构成方程组求出其解即可．
（3）分别设方法①裁剪m根，方法③裁剪n根6m长的钢管和设方法①裁剪a根，方法②裁剪b根6m长的钢管，建立方程组求出其解即可．
【详解】（1） （6-2.5）÷0.8=4…0.3，最多裁成0.8米长的用料4根，
故答案为：4；
（2） 设用方法②剪根，方法③裁剪 根6m长的钢管，
由题意，得
解得：
答：用方法②剪根，方法③裁剪 根m长的钢管；
（3） 设方法①裁剪根，方法③裁剪根m长的钢管，
由题意，得
解得：
∴m+n=28
，
设方法①裁剪 根，方法②裁剪 根m长的钢管，
由题意，得
解得：无意义，
方法①与方法③联合，所需要m长的钢管与（）中根数相同．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据每份数×份数=总数建立方程是关键，注意分类讨论思想的运用．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页