第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元卷（含解析） 2023-2024学年高中数学人教A版（2019）必修第一册

第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元卷
一、单选题
1．已知，那么的最小值是
A．1 B．2 C．4 D．5
2．已知正数，是方程的两个根，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．若关于x不等式的解集为，则关于x不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4．下列四个命题，其中真命题的个数是（ ）
（1）若，则 或；
（2）若，则；
（3）已知a，b是实数，若，则；
（4）已知a是实数，不等式的解是；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．若直线平分圆，则的最小值是（ ）.
A．1 B．5 C． D．
6．若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．设， ，则有（ ）
A． B．
C． D．
8．不等式的解集是（ ）
A． B．或
C． D．或
二、多选题
9．下列不等式一定成立的有（ ）
A．
B．当时，
C．已知，则
D．正实数满足，则
10．若，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知，且则（ ）
A．
B．的最大值为4
C．的最小值为9
D．的最小值为
三、填空题
13．若关于的不等式的解集中恰有3个正整数，则实数的取值范围为 ．
14．设，是方程的两个实数根，则 ．
15．已知方程的两根为和5，则不等式的解集是 ．
16．在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，其中“弦”指的是直角三角形的斜边.现将两个全等的直角三角形拼接成一个矩形，若其中一个三角形“弦”的长度为，则该矩形周长的最大值为 .
四、解答题
17．某展览馆用同种规格的木条制作如图所示的展示框，其内框与外框均为矩形，并用木条相互连结，连结木条与所连框边均垂直．水平方向的连结木条长均为，竖直方向的连结木条长均为，内框矩形的面积为．（不计木料的粗细与接头处损耗）
(1)如何设计外框的长与宽，才能使外框矩形面积最小？
(2)如何设计外框的长与宽，才能使制作整个展示框所用木条最少？
18．某厂家拟定在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用万元满足（k为常数）．如果不举行促销活动，该产品的年销量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入将为10万元，每生产1万件，该产品需要再投入16万元（再投入费用不包含促销费用），厂家将每件产品的销售价格定为“平均每件产品的固定投入与再投入”的倍．
(1)求k的值；
(2)将2023年该产品的利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数；
(3)该厂家2023年约投入多少万元促销费用时，获得的利润最大，最大利润是多少？（，结果保留1位小数）．
19．已知的内角，，所对的边分别为，，，设向量,，.
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的最大值.
20．在平面直角坐标系中，垂直于轴的直线分别与函数和的图像相交于两点，若平移直线，可以使都在轴的下方，求实数的取值范围.
21．（1）已知，．求和的取值范围．
（2）已知，，求的取值范围．
22．设函数.
(1)解关于x的不等式；
(2)当时，不等式恒成立，求a的取值范围.
参考答案
1．B
【分析】根据题意，由基本不等式的性质即可得答案．
【详解】根据题意，，则，
当且仅当时等号成立，
即的最小值是2；
故选．
【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是掌握基本不等式的形式．
2．B
【分析】根据韦达定理可得，再根据基本不等式求得的最小值.
【详解】根据题意可得，且为正数，由基本不等式得，当且仅当时等号成立，故选B.
【点睛】本小题主要考查韦达定理，考查利用基本不等式求和式的最小值.属于基础题.
3．C
【分析】结合一元二次不等式的解集，用分别表示和，并判断的符号，然后求解一元二次不等式即可.
【详解】因为不等式的解集为，
则，且和3是的两个根，
所以，即，，
故，
解得或，
从而关于x不等式的解集为.
故选：C.
4．B
【分析】对各命题逐个判断可得正确命题的个数.
【详解】对于（1），因为，故是的真子集或，故（1）正确；
对于（2），不成立，故（2）错误；
对于（3），因为，故同号，所以，故（3）正确；
对于（4），当时，不等式无解；故（4）错误.
故选：B.
【点睛】本题考查命题的真假判断，注意解含参数的一元一次不等式需就一次项系数的正负分类讨论.
5．D
【分析】根据条件可知直线过圆心，求解出的关系式，利用常数代换法以及基本不等式求解出的最小值.
【详解】因为直线平分圆，所以直线过圆心，
又因为圆的方程，所以圆心为，所以，即，
所以，
取等号时即，此时，
故选：D.
【点睛】本题考查圆的对称性与基本不等式的综合应用，其中涉及到利用常数代换法求解最小值，对学生的理解与计算能力要求较高，难度一般.利用基本不等式求解最值时注意说明取等号的条件.
6．C
【分析】利用特殊值可判断AB，利用不等式的性质可判断CD.
【详解】对于A选项，若，则，故A错误；
对于B选项，取，，满足，但此时，故B错误；
对于C选项，∵，在不等式同时乘以，得，
另一方面在不等式两边同时乘以b，得，∴，故C正确；
对于D选项，，则，所以，即，故D错误.
故选：C.
7．A
【分析】根据作差法判断两式大小.
【详解】，∴.
故选：A.
8．C
【分析】令解出方程后，结合函数的图象即可选出正确答案.
【详解】解：令，解得，因为开口向下，
对称轴为，函数图象如下，所以当时，
故选:C.
9．CD
【分析】利用均值不等式逐一判断即可.
【详解】选项A：当时显然有，A错误；
选项B：，
当时，，由均值定理得，当且仅当即时等号成立，
所以当且仅当时取得最小值8，B错误；
选项C：因为，
所以，当且仅当时等号成立，
又，当且仅当即时等号成立，
综上，当且仅当即时等号成立，C正确；
选项D：因为，由得，
所以，当且仅当即时等号成立，
所以，D正确；
故选：CD
10．ABC
【解析】由且，利用基本不等式，对选项中的不等式逐一验证即可.
【详解】由，故D错误；
,故A正确；
又前面可知，故B正确；
由，故C正确，
故选ABC.
【点睛】本题主要基本不等式应用，属于基础题. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.
11．ABCD
【分析】根据二次函数、基本不等式等知识求得正确答案.
【详解】依题意，，，且，
A选项，，，
当时等号成立，所以A选项正确.
B选项，，
，
当且仅当，时等号成立，所以B选项正确.
C选项，，
当且仅当，时等号成立，所以C选项正确.
D选项，由于，所以由基本不等式得，
所以D选项正确.
故选：ABCD
12．ACD
【分析】由条件变形后分解因式可判断A；利用基本不等式结合解不等式可判断B；由条件变形可得，结合1的妙用可判断C；由条件可得，代入结合二次函数的性质可判断D．
【详解】由，得，即，故A正确；
，（当且仅当时取等号），解得，故B错误；
由变形可得，
所以，
当且仅当且，即时取等号，故C正确；
由，得，，
所以，
因为，则，即时，取最小值，故D正确．
故选：ACD．
13．
【分析】先按实数分类讨论求得不等式的解集，再利用题给条件列出实数的不等式，进而求得实数的取值范围
【详解】由，可得
①当时，不等式的解集为
中不可能恰有3个正整数，舍去；
②当时，不等式的解集为，不符合题意；
③当时，不等式的解集为
若中恰有3个正整数，则
综上，实数的取值范围为
故答案为：
14．
【分析】由根与系数关系及根的性质求目标式的值即可.
【详解】由题设且，
所以.
故答案为：
15．
【分析】根据根与系数的关系以及一元二次不等式的解法即可解出．
【详解】由题意可知， ，解得，所以即为
，解得或，所以不等式的解集是．
故答案为：．
16．8
【分析】矩形的一组邻边长为，则该矩形的周长为，且，由基本不等式的结论可求的范围，进而可求．
【详解】解法一：设矩形的一组邻边长为，则该矩形的周长为，且，而，即，当且仅当时取等号，所以，即该矩形周长的最大值为8.
解法二：设矩形的一组邻边长为，则该矩形的周长为，且，由不等式得，当且仅当时取等号，所以，所以，即该矩形周长的最大值为8.
故答案为：8.
17．(1)外框的长与宽分别是，；
(2)外框的长与宽分别是，
【分析】（1）设展示框外框的长为，宽为，结合关系，用表示外框矩形面积，利用基本不等式求其最小值；
（2）用表示展示框所用木条的长度，结合基本不等式求最小值．
【详解】（1）设展示框外框的长为，宽为，
则内框长为，宽为，由题意，，
因为内框的面积为，所以，所以，
外框面积为，
因为，所以，
所以，当且仅当即时等号成立，
所以外框的长与宽分别是，时，才能使外框矩形面积最小；
（2）由（1）可知，整个展示框所用木条的总长度为，当且仅当即，时等号成立；
所以外框的长与宽分别是，时，才能使制作整个展示框所用木条最少．
18．(1)
(2)
(3)当促销费用为3.7万元时，利润最大为19.7万元．
【分析】（1）根据时，，即可求得k的值；
（2）确定销售量的表达式，根据利润等于销售额减去投入，即可得答案；
（3）将变形为，利用基本不等式即可求得答案.
【详解】（1）由已知，当时，，
∴，解得：，
（2）由（1）知，
故
，
化简得：．
（3），
∵，∴，即，则，
当且仅当即时等号成立，
此时，，
答：当促销费用约为3.7万元时，利润最大为19.7万元．
19．(1);(2)
【分析】(1)根据向量平行的充要条件得出三角形中边的关系式；
(2)由余弦定理得出边的关系，再根据基本不等式求得最大值.
【详解】(1)因为，，且，
所以，整理得，,
所以，又，所以；
(2)由（1）得，又，所以得，又，当且仅当时取等号，
，，，
所以面积的最大值为.
【点睛】本题考查向量平行的条件，解三角形中的余弦定理，三角形的面积公式以及基本不等式的运用，属于中档题.
20．或
【分析】根据题意得以，，故分和两类情况讨论即可得答案.
【详解】解：因为直线分别与函数和的图像相交于两点，且都在轴的下方，
所以，即，
，当时，解得，当时，解得，
所以，当时，不等式组有解，故，即；
当时，不等式组有解，故，即，
综上所述，实数的取值范围为或.
【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论思想，是中档题.
21．（1），；（2）.
【分析】（1）根据不等式的性质，求出和的范围，再利用性质求解作答.
（2）令，求出的值，根据不等式的性质即可得到结果.
【详解】（1）因为，由不等式的性质可得，；，
因此，即；，即，
所以，.
（2）令，，即，
则有，解得，
而，，于是，，
所以，，即，
所以.
22．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）对a分类讨论：当时；当时；当时.分别求出对应的解集；
（2）利用分离参数法得到，再利用基本不等式求出的最小值，即可求出a的取值范围.
【详解】（1）
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.
（2）
因为，所以由可化为：，
因为（当且仅当，即时等号成立），
所以.所以a的取值范围为.