第三章 函数的概念与性质 单元卷(含解析) 2023-2024学年高中数学人教A版(2019)必修第一册

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名称 第三章 函数的概念与性质 单元卷(含解析) 2023-2024学年高中数学人教A版(2019)必修第一册
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资源类型 试卷
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2023-11-01 08:56:23

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文档简介

第三章 函数的概念与性质 单元卷
一、单选题
1.若函数的图象与函数的图象关于坐标原点对称,则的表达式为( )
A. B. C. D.
2.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( )
A.y=x+1 B.y=-x3 C. D.y=x
3.已知,则的定义域为( )
A. B. C. D.
4.已知两个函数和的定义域和值域都是集合,其定义如下表:
x 1 2 3
2 3 1
x 1 2 3
3 2 1
则方程的解集是( )
A. B. C. D.
5.已知定义在上的三个函数,其中为偶函数,是奇函数,且在上单调递增,在上单调递增,在上单调递减,则( )
A.是奇函数,且在上单调递增
B.是偶函数,且在上单调递减
C.是奇函数,且在上单调递减
D.是偶函数,且在上单调递增
6.已知函数,若,则
A. B. C. D.
7.下列函数在区间上为增函数的是( )
A. B.
C. D.
8.已知函数f(x)的定义域为R,且对任意的x1,x2且x1≠x2都有[f(x1)﹣f(x2)](x1﹣x2)>0成立,若f(x2+1)>f(m2﹣m﹣1)对x∈R恒成立,则实数m的取值范围是(  )
A.(﹣1,2) B.[﹣1,2]
C.(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞) D.(﹣∞,﹣1]∪[2,+∞)
二、多选题
9.设,若对任意的,都有恒成立,则的值可以为( )
A.0 B.1 C.3 D.5
10.已知函数(指不超过的最大整数),下列说法正确的是( )
A. B.为增函数
C.为奇函数 D.的值域为
11.下列命题中的真命题有( )
A.若正实数,满足,则的最小值为8
B.的最小值为2
C.当时,的最大值是5
D.若正数x,y为实数,若,则的最大值为3
12.设,则下列结论错误的有
A. B.
C. D.
三、填空题
13.下列说法正确的为
①函数与直线的交点个数为0或1;
②集合A=,B={},若BA,则-33;
③函数与函数的图象关于直线对称;
④函数的值域为R的充要条件是:;
⑤与函数关于点(1,-1)对称的函数为.
14.已知,且,那么 .
15.已知,则 .
16.若函数与在区间[1,2]上都是减函数,则实数的取值范围是 .
四、解答题
17.判断下列函数的奇偶性:
(1);
(2);
(3);
(4).
18.设.
(1)用表示的最大值;
(2)当时,求的值.
19.已知函数,a为常数.
(1)若函数在上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)当时,函数在区间上的最大值为3,求实数m的值;
(3)当时,函数在区间上的最大值为M,最小值为N,记,写出的表达式.(直接写出答案,无需解答过程)
20.已知二次函数,若且函数的图象关于直线对称.
(1)求值;
(2)若函数在上的最大值为8,求实数k的值.
21.已知定义在R上的函数,满足对任意的实数,总有,若时,且.
(1)求的值;
(2)求证在定义域R上单调递减;
(3)若时,求实数的取值范围.
22.已知函数图象经过点.
(1)求函数的解析式;
(2)判断函数的奇偶性并说明理由.
参考答案
1.A
【分析】先假设函数上的点,由关于原点对称的点为在函数上代入,即可求解.
【详解】设为函数上的点,则关于原点对称的点为在函数上,
可得,整理得,
即函数的表达式为.
故选:A.
【点睛】本题主要考查根据函数的对称性求函数的解析式问题,其中解答中设函数上的点,根据对称性找出关系式解答的关键,着重考查推理与运算能力.
2.D
【分析】根据函数奇偶性定义及单调性判断即可判断选项.
【详解】对于A,不是奇函数,所以A错误;
对于B,是奇函数,在R上单调递减,所以B错误;
对于C,是奇函数,在为单调递减函数,所以C错误;
对于D,是奇函数,且在R上单调递增,所以D正确;
综上可知,D为正确选项
故选:D
【点睛】本题考查了函数奇偶性及单调性的判断,属于基础题.
3.A
【分析】求出函数的定义域为,然后解不等式可得出函数的定义域.
【详解】对于函数,,即,解得,所以,函数的定义域为.
对于函数,,解得.
因此,函数的定义域为.
故选A.
【点睛】本题考查具体函数以及复合函数定义域的求解,解题时要注意以下两个问题:定义域为自变量的取值范围、中间变量的取值范围一致,考查计算能力,属于中等题.
4.A
【详解】试题分析:根据题意,通过逐一排查,可有,则满足题意.故选A
考点:1.函数表示法;2.复合函数.
5.D
【分析】根据奇偶性和单调性的定义判断即可,其中两个函数相乘的单调性与这两个函数的单调性、符号有关.
【详解】令,,
因为为偶函数,是奇函数,
所以,

即是奇函数,是偶函数,
因为是奇函数,在上单调递增,在上单调递减,
所以当时,单调递增,单调递减,且、,
任取,设,
则,,
所以
所以
所以,
所以在上单调递增,
在上的单调性无法判断,因为不知道在上的符号,
故选:D
6.D
【解析】利用奇偶性的定义可判断出为偶函数,利用导数可求得在上单调递增,由此可得在上单调递减,根据单调性和函数值的大小关系可得到结果.
【详解】 为偶函数
当时,,
在上单调递增
又为偶函数 在上单调递减

本题正确选项:
【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的应用,涉及到利用导数判断函数的单调性,关键是将函数值的比较通过单调性进行转化,变为自变量的关系.
7.B
【分析】根据给定条件,逐项判断函数在上的单调性作答.
【详解】对于A,函数在上单调递减,A不是;
对于B,函数在上单调递增,B是;
对于C,函数在上单调递减,C不是;
对于D,函数在上不单调,D不是.
故选:B
8.A
【分析】由对任意的x1,x2且x1≠x2都有[f(x1)﹣f(x2)](x1﹣x2)>0成立,可知函数f(x)在定义域R上为增函数,然后利用增函数的性质得x2+1>m2﹣m﹣1恒成立,则1>m2﹣m﹣1,从而可求出m的取值范围
【详解】解:由题意,可知:
∵对任意的x1,x2且x1≠x2都有[f(x1)﹣f(x2)](x1﹣x2)>0成立,
∴函数f(x)在定义域R上为增函数.
又∵f(x2+1)>f(m2﹣m﹣1)对x∈R恒成立,
∴x2+1>m2﹣m﹣1,
∴m2﹣m﹣1<1,
即:m2﹣m﹣2<0.
解得﹣1<m<2.
故选:A.
【点睛】此题考查了增函数的性质,利用增函数的性质解不等式,考查了不等式恒成立问题,属于中档题.
9.CD
【分析】根据给定条件可得,再分析函数式与的值的正负情况即可作答.
【详解】显然,因对任意的不恒成立,
因对任意的,都有恒成立,则当时,,
当时,,必有,若,则,矛盾,若,当时,,矛盾,
因此,,当时,,当时,,
当时,若,则,此时,不符合题意,
因此,,当时,,当时,,
要恒成立,当且仅当,即,而,
从而得或,解得或,
所以或.
故选:CD
10.AD
【解析】AD项可用指不超过的最大整数的定义解释.可分析为整数时和不为整数时的情况得到答案,BC两项可用取特值的方法否定
【详解】A. ①因为指不超过的最大整数,故,当且仅当为整数的时候取等号.
② 当为整数时,成立.
当不为整数时,设,则由指不超过的最大整数可知,
故,故A对
B. ,,故不是增函数,B错
C. ,,不是互为相反数,C错
D. 由A项分析可知,设,则
故,故D对
故选:AD
【点睛】本题是考查新定义的函数性质. “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解.但是,透过现象看本质,它们考查的还是基础数学知识,所以说“新题”不一定是“难题”,掌握好三基,以不变应万变才是制胜法宝.
11.AC
【分析】对于A、C、D利用基本不等式分析判断;对于B由对勾函数的性质分析判断,
【详解】对于选项A:因为正实数,满足,
可得,
当且仅当,即时,等号成立,故选项A正确;
对于选项B:令,则,
且在上单调递增,
所以当时,取到最小值,
即当时,取到最小值,故选项B错误;
对于选项C:因为,则
所以,
当且仅当,即时,等号成立,故选项C正确;
对于选项D:因为正数x,y为实数,,可得,
故,
当且仅当,即时取等号,
所以的最小值为3,故选项D错误.
故选:AC.
12.AC
【分析】根据题意,分别求出,整理化简可得结果.
【详解】因为,
所以,D正确,A错误;
,B正确;
,C错误,
故选AC.
【点睛】本题考查函数的解析式,关键是掌握函数解析式的求法,属于基础题.
13.①,③,④,⑤
【分析】根据相关知识逐个分析
【详解】根据函数定义得定义域内自变量所对应函数值只有一个,定义域外不对应,所以①正确;
当,即时也满足,所以②错;
函数与函数的图象关于直线对称,所以③正确;
因为值域为R,所以,所以④正确;
与函数关于点(1,-1)对称的函数为,所以⑤正确,
填①,③,④,⑤
【点睛】本题考查函数定义、集合包含关系以及函数性质,考查综合分析求解能力,属中档题.
14.
【分析】构造函数,判断的奇偶性,解出即可求出答案.
【详解】令,,是奇函数.
,,.
.
故答案为:
15.3
【详解】由函数的解析式有:,
则.
16.
【详解】试题分析:函数的图像的对称轴是直线,且在单调递减,又因为函数在区间[1,2]上是减函数,所以,函数在区间[1,2]上是减函数,所以,综上
考点:函数的单调性
17.(1)偶函数.(2)奇函数.(3)奇函数.(4)偶函数.
【解析】利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性得解.
【详解】解:(1)函数的定义域为R.
因为,都有,且,
所以函数为偶函数.
(2)函数的定义域为R.因为,都有,
且,
所以函数为奇函数.
(3)函数的定义域为.因为,都有,且,
所以函数为奇函数.
(4)函数的定义域为.因为,都有,
且,
所以函数为偶函数.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判断,意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
18.(1)(2)或
【分析】(1)化f(x)为sinx的二次函数,根据二次函数的性质,对a讨论求出函数最大值;
(2)由M(a)=2求出对应的a值即可.
【详解】(1)

∵,∴.
①当,即时,;
②当,即时,;
③当,即时,.

(2)当时,(舍)或-2(舍);
当时,;
当时,.
综上或.
【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用和二次函数的性质问题,考查了分段函数求值问题,是中档题.
19.(1)
(2)-1
(3)
【分析】(1)去掉绝对值,写出f(x)的解析式,分类讨论a>0和a≤0即可得答案;
(2)代入a=2求的函数解析式,当时,由知,则或,分类讨论即可;
(3)数形结合,当2a≤5时,讨论f(a)和f(5)的大小关系,当2a>5时,讨论f(1)和f(5)的大小关系,从而可知需分段:,,,求解.
(1)

当时,函数在递增,在递减,故不符合题意;
当时,函数在上单调递增;
所以实数a的取值范围为.
(2)
当时,∵,所以,则或.
1°当时,函数在区间上单调递增,
所以.
即,解得:或(舍去).
2°当时,函数在区间上“先递减后递增”或“单调递增”,
所以.
①令,解得:(舍去)或.
当时,,所以不符合题意.
②令,解得:(舍去)或.
当时,,所以不符合题意.
综上可知,实数的值为-1.
(3)

20.(1),(2)
【解析】(1)由题知:,解方程组即可求出值.
(2)根据函数的单调性,求出在上的最大值,再解方程即可.
【详解】(1)由题意可得:
,解得,.
(2)由(1)得,
因为,所以在上单调递增,
所以,
解得.又,所以.
【点睛】本题第一问主要考查二次函数的性质,第二问考查根据二次函数的单调性求最值,属于中档题.
21.(1)0;(2)证明见解析;(3).
【解析】(1)令可得,再令运算即可得解;
(2)结合函数单调性的定义任取,,证明即可得证;
(3)由函数的性质转化条件为,先后令、即可得,结合函数单调性即可得解.
【详解】(1)令,则,所以,
令,则,
所以;
(2)证明:任取,,设,
则,
因为,所以,,
所以即,
所以在定义域R上单调递减;
(3)由题意,,,
所以原不等式可化为即,
令,则,所以,
令,则,
所以,
又函数在定义域R上单调递减,所以.
【点睛】解决本题的关键是结合抽象函数的性质合理赋值,使其与所求产生联系,细心计算即可得解.
22.(1);
(2)奇函数,理由见详解.
【分析】(1)把点代入解析式求出后可得答案;
(2)利用奇偶性的定义判断即可.
【详解】(1)由题意知,函数的定义域为,
因为函数的图象经过点,
所以,解得,
所以;
(2)函数为上的奇函数.
由(1),
由于,其定义域关于原点对称,

所以为奇函数.