第三章 函数的概念与性质 单元卷(含解析） 2023-2024学年高中数学人教A版（2019）必修第一册

第三章 函数的概念与性质 单元卷
一、单选题
1．若函数的图象与函数的图象关于坐标原点对称，则的表达式为（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（ ）
A．y＝x＋1 B．y＝－x3 C． D．y＝x
3．已知，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．已知两个函数和的定义域和值域都是集合，其定义如下表：
x 1 2 3
2 3 1
x 1 2 3
3 2 1
则方程的解集是（ ）
A． B． C． D．
5．已知定义在上的三个函数，其中为偶函数，是奇函数，且在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，则（ ）
A．是奇函数，且在上单调递增
B．是偶函数，且在上单调递减
C．是奇函数，且在上单调递减
D．是偶函数，且在上单调递增
6．已知函数，若，则
A． B． C． D．
7．下列函数在区间上为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数f（x）的定义域为R，且对任意的x1，x2且x1≠x2都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0成立，若f（x2+1）＞f（m2﹣m﹣1）对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣1，2） B．[﹣1，2]
C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）
二、多选题
9．设，若对任意的，都有恒成立，则的值可以为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．5
10．已知函数（指不超过的最大整数），下列说法正确的是（ ）
A． B．为增函数
C．为奇函数 D．的值域为
11．下列命题中的真命题有（ ）
A．若正实数，满足，则的最小值为8
B．的最小值为2
C．当时，的最大值是5
D．若正数x，y为实数，若，则的最大值为3
12．设，则下列结论错误的有
A． B．
C． D．
三、填空题
13．下列说法正确的为
①函数与直线的交点个数为0或1；
②集合A=，B={}，若BA，则-33；
③函数与函数的图象关于直线对称；
④函数的值域为R的充要条件是：；
⑤与函数关于点（1，-1）对称的函数为．
14．已知，且，那么 ．
15．已知，则 .
16．若函数与在区间[1，2]上都是减函数，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
17．判断下列函数的奇偶性:
(1);
(2);
(3);
(4).
18．设.
(1)用表示的最大值；
(2)当时，求的值.
19．已知函数，a为常数．
(1)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)当时，函数在区间上的最大值为3，求实数m的值；
(3)当时，函数在区间上的最大值为M，最小值为N，记，写出的表达式．（直接写出答案，无需解答过程）
20．已知二次函数，若且函数的图象关于直线对称.
（1）求值；
（2）若函数在上的最大值为8，求实数k的值.
21．已知定义在R上的函数，满足对任意的实数，总有，若时，且.
（1）求的值；
（2）求证在定义域R上单调递减；
（3）若时，求实数的取值范围.
22．已知函数图象经过点．
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数的奇偶性并说明理由．
参考答案
1．A
【分析】先假设函数上的点，由关于原点对称的点为在函数上代入，即可求解.
【详解】设为函数上的点，则关于原点对称的点为在函数上，
可得，整理得，
即函数的表达式为.
故选：A.
【点睛】本题主要考查根据函数的对称性求函数的解析式问题，其中解答中设函数上的点，根据对称性找出关系式解答的关键，着重考查推理与运算能力.
2．D
【分析】根据函数奇偶性定义及单调性判断即可判断选项.
【详解】对于A,不是奇函数,所以A错误;
对于B,是奇函数,在R上单调递减,所以B错误;
对于C,是奇函数,在为单调递减函数,所以C错误;
对于D,是奇函数,且在R上单调递增,所以D正确;
综上可知,D为正确选项
故选:D
【点睛】本题考查了函数奇偶性及单调性的判断,属于基础题.
3．A
【分析】求出函数的定义域为，然后解不等式可得出函数的定义域.
【详解】对于函数，，即，解得，所以，函数的定义域为.
对于函数，，解得.
因此，函数的定义域为.
故选A.
【点睛】本题考查具体函数以及复合函数定义域的求解，解题时要注意以下两个问题：定义域为自变量的取值范围、中间变量的取值范围一致，考查计算能力，属于中等题.
4．A
【详解】试题分析：根据题意，通过逐一排查，可有，则满足题意.故选A
考点：1.函数表示法；2.复合函数.
5．D
【分析】根据奇偶性和单调性的定义判断即可，其中两个函数相乘的单调性与这两个函数的单调性、符号有关.
【详解】令，，
因为为偶函数，是奇函数，
所以，
，
即是奇函数，是偶函数，
因为是奇函数，在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，单调递增，单调递减，且、，
任取，设，
则，，
所以
所以
所以，
所以在上单调递增，
在上的单调性无法判断，因为不知道在上的符号，
故选：D
6．D
【解析】利用奇偶性的定义可判断出为偶函数，利用导数可求得在上单调递增，由此可得在上单调递减，根据单调性和函数值的大小关系可得到结果.
【详解】 为偶函数
当时，，
在上单调递增
又为偶函数 在上单调递减

本题正确选项：
【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的应用，涉及到利用导数判断函数的单调性，关键是将函数值的比较通过单调性进行转化，变为自变量的关系.
7．B
【分析】根据给定条件，逐项判断函数在上的单调性作答.
【详解】对于A，函数在上单调递减，A不是；
对于B，函数在上单调递增，B是；
对于C，函数在上单调递减，C不是；
对于D，函数在上不单调，D不是.
故选：B
8．A
【分析】由对任意的x1，x2且x1≠x2都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0成立，可知函数f（x）在定义域R上为增函数，然后利用增函数的性质得x2+1＞m2﹣m﹣1恒成立，则1＞m2﹣m﹣1，从而可求出m的取值范围
【详解】解：由题意，可知：
∵对任意的x1，x2且x1≠x2都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0成立，
∴函数f（x）在定义域R上为增函数．
又∵f（x2+1）＞f（m2﹣m﹣1）对x∈R恒成立，
∴x2+1＞m2﹣m﹣1，
∴m2﹣m﹣1＜1，
即：m2﹣m﹣2＜0．
解得﹣1＜m＜2．
故选：A．
【点睛】此题考查了增函数的性质，利用增函数的性质解不等式，考查了不等式恒成立问题，属于中档题.
9．CD
【分析】根据给定条件可得，再分析函数式与的值的正负情况即可作答.
【详解】显然，因对任意的不恒成立，
因对任意的，都有恒成立，则当时，，
当时，，必有，若，则，矛盾，若，当时，，矛盾，
因此，，当时，，当时，，
当时，若，则，此时，不符合题意，
因此，，当时，，当时，，
要恒成立，当且仅当，即，而，
从而得或，解得或，
所以或.
故选：CD
10．AD
【解析】AD项可用指不超过的最大整数的定义解释.可分析为整数时和不为整数时的情况得到答案，BC两项可用取特值的方法否定
【详解】A. ①因为指不超过的最大整数，故，当且仅当为整数的时候取等号.
② 当为整数时，成立.
当不为整数时，设，则由指不超过的最大整数可知，
故，故A对
B. ，，故不是增函数，B错
C. ，，不是互为相反数，C错
D. 由A项分析可知，设，则
故，故D对
故选：AD
【点睛】本题是考查新定义的函数性质. “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
11．AC
【分析】对于A、C、D利用基本不等式分析判断；对于B由对勾函数的性质分析判断，
【详解】对于选项A：因为正实数，满足，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，故选项A正确；
对于选项B：令，则，
且在上单调递增，
所以当时，取到最小值，
即当时，取到最小值，故选项B错误；
对于选项C：因为，则
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故选项C正确；
对于选项D：因为正数x，y为实数，，可得，
故，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为3，故选项D错误.
故选：AC.
12．AC
【分析】根据题意，分别求出，整理化简可得结果.
【详解】因为，
所以，D正确，A错误；
，B正确；
，C错误，
故选AC.
【点睛】本题考查函数的解析式，关键是掌握函数解析式的求法，属于基础题．
13．①,③,④,⑤
【分析】根据相关知识逐个分析
【详解】根据函数定义得定义域内自变量所对应函数值只有一个，定义域外不对应，所以①正确；
当，即时也满足，所以②错；
函数与函数的图象关于直线对称，所以③正确；
因为值域为R，所以，所以④正确；
与函数关于点（1，-1）对称的函数为，所以⑤正确，
填①,③,④,⑤
【点睛】本题考查函数定义、集合包含关系以及函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题.
14．
【分析】构造函数，判断的奇偶性，解出即可求出答案.
【详解】令，，是奇函数.
,,.
.
故答案为：
15．3
【详解】由函数的解析式有：，
则.
16．
【详解】试题分析：函数的图像的对称轴是直线，且在单调递减，又因为函数在区间[1，2]上是减函数，所以，函数在区间[1，2]上是减函数，所以，综上
考点：函数的单调性
17．(1)偶函数.(2)奇函数.(3)奇函数.(4)偶函数.
【解析】利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性得解.
【详解】解:(1)函数的定义域为R.
因为,都有,且,
所以函数为偶函数.
(2)函数的定义域为R.因为,都有,
且,
所以函数为奇函数.
(3)函数的定义域为.因为,都有,且,
所以函数为奇函数.
(4)函数的定义域为.因为,都有,
且,
所以函数为偶函数.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判断，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
18．（1）（2）或
【分析】（1）化f（x）为sinx的二次函数，根据二次函数的性质，对a讨论求出函数最大值；
（2）由M（a）＝2求出对应的a值即可．
【详解】(1)
，
∵，∴.
①当，即时，；
②当，即时，；
③当，即时，.
∴
(2)当时，(舍)或－2(舍)；
当时，；
当时，.
综上或.
【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用和二次函数的性质问题，考查了分段函数求值问题，是中档题．
19．(1)
(2)-1
(3)
【分析】(1)去掉绝对值，写出f(x)的解析式，分类讨论a＞0和a≤0即可得答案；
(2)代入a＝2求的函数解析式，当时，由知，则或，分类讨论即可；
(3)数形结合，当2a≤5时，讨论f(a)和f(5)的大小关系，当2a＞5时，讨论f(1)和f(5)的大小关系，从而可知需分段：，，，求解.
(1)
．
当时，函数在递增，在递减，故不符合题意；
当时，函数在上单调递增；
所以实数a的取值范围为．
(2)
当时，∵，所以，则或．
1°当时，函数在区间上单调递增，
所以．
即，解得：或（舍去）．
2°当时，函数在区间上“先递减后递增”或“单调递增”，
所以．
①令，解得：（舍去）或．
当时，，所以不符合题意．
②令，解得：（舍去）或．
当时，，所以不符合题意．
综上可知，实数的值为－1．
(3)
．
20．（1），（2）
【解析】（1）由题知：，解方程组即可求出值.
（2）根据函数的单调性，求出在上的最大值，再解方程即可.
【详解】（1）由题意可得：
，解得，.
（2）由（1）得，
因为，所以在上单调递增，
所以，
解得.又，所以.
【点睛】本题第一问主要考查二次函数的性质，第二问考查根据二次函数的单调性求最值，属于中档题.
21．（1）0；（2）证明见解析；（3）.
【解析】（1）令可得，再令运算即可得解；
（2）结合函数单调性的定义任取，，证明即可得证；
（3）由函数的性质转化条件为，先后令、即可得，结合函数单调性即可得解.
【详解】（1）令，则，所以，
令，则，
所以；
（2）证明：任取，，设，
则，
因为，所以，，
所以即，
所以在定义域R上单调递减；
（3）由题意，，，
所以原不等式可化为即，
令，则，所以，
令，则，
所以，
又函数在定义域R上单调递减，所以.
【点睛】解决本题的关键是结合抽象函数的性质合理赋值，使其与所求产生联系，细心计算即可得解.
22．(1)；
(2)奇函数，理由见详解.
【分析】（1）把点代入解析式求出后可得答案；
（2）利用奇偶性的定义判断即可.
【详解】（1）由题意知，函数的定义域为，
因为函数的图象经过点，
所以，解得，
所以；
（2）函数为上的奇函数.
由（1），
由于，其定义域关于原点对称，
，
所以为奇函数.