第四章 指数函数与对数函数 单元卷(含解析） 2023-2024学年高中数学人教A版（2019）必修第一册

第四章 指数函数与对数函数 单元卷
一、单选题
1．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．当时，函数与函数在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．若，则（ ）
A． B． C． D．
4．函数的定义域为，若满足：（1）在内是单调函数：（2）存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“梦想函数”.若函数是“梦想函数”，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数是奇函数且当时是减函数，若，则函数的零点共有
A．个 B．个 C．个 D．个
7．已知函数的定义域为，，当时，有，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x＋1)为奇函数，f(0)＝0，当x∈(0，1]时，f(x)＝log2x，则在区间(8，9)内满足方程f(x)＋2＝的实数x为(　　)
A． B． C． D．
二、多选题
9．某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1％，而这种溶液最初的杂质含量为2％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为（参考数据：，）
A．6 B．9 C．8 D．7
10．已知函数，若函数存在零点，则的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
11．函数与的图像如图所示，则实数的值可能为（ ）
A． B． C． D．3
12．下列命题中的假命题是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
三、填空题
13． .
14．若函数在内恰有一个零点，则实数m的取值范围为 ．
15．计算 .
16．函数零点的个数为 ．
四、解答题
17．化简求值：
(1)
(2)
18．喷绘在商业广告、宣传等领域应用广泛，喷绘画面是使用喷绘机打印出来的，喷绘机工作时相当于一条直线（喷嘴）连续扫过一张画布．一家广告公司在一个等腰梯形OABC的画布上使用喷绘机印刷广告，画布的底角为45°，上底长2米，下底长4米，如图所示，记梯形OABC位于直线左侧的图形（阴影部分）的面积为．
(1)试求的解析式
(2)定义“”为“平均喷绘率”，求的峰值（最大值）
19．已知定义域为R的函数是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）若对在意的，不等式恒成立，求k的取值范围．
20．已知函数的表达式为的图像关于原点成中心对称．
(1)求实数的值；
(2)已知函数是上的严格增函数，当时，函数的值域为，求实数，的值．
21．已知函数，
(1)若方程在上有实数根，求实数的取值范围；
(2)当时，若对任意的总存在使成立，求实数的取值范围.
22．计算：（1）；
（2）.
参考答案
1．C
【解析】A：运用比较法进行判断即可；
B：运用指数函数的单调性进行判断即可；
C：运用比较法进行判断即可；
D：运用比较法进行判断即可.
【详解】A：，
因为，所以，因此，所以本选项结论不正确；
B：因为指数函数是实数集上的增函数，因此当时，有成立，所以本选项结论不正确；
C：，
因为，所以，因此有，即，所以本选项结论是正确的；
D：，
因为，判断不出的正负性，例如当时，
显然，因此本结论不正确，
故选：C
【点睛】方法点睛：本题主要考查了比较两个代数式大小问题，属于基础题.比较两个代数式大小的方法有以下几种：
1、运用作差（商）比较法；
2、运用函数的单调性；
3、特例法；
4、运用不等式的基本性质.
2．A
【分析】根据与的正负判断函数的单调性，从而得出正确结论．.
【详解】，，是减函数，排除CD，
，，是增函数，又排除B，
故选：A．
3．D
【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性，结合作商法求解即可.
【详解】，，则A错误；
，，，则B错误；
，，则C错误；
，，则D正确
故选：D
【点睛】本题主要考查了对数式，指数式的比较大小问题，涉及了作商法的应用，属于中档题.
4．D
【分析】由题意可判断函数为单调递增函数，构造函数，可以求出使得有两解的t的取值范围.
【详解】因为 是单调函数
若 ，则是减函数，所以为增函数；
若，则是增函数，所以为增函数；
由于，
所以
所以
又因为 ，所以满足有两解的t的取值范围为 .
故选：D
5．D
【分析】根据与的取值范围一致，从而得到，进而求得函数的定义域.
【详解】由，得，
所以，所以．
故选：D.
6．D
【详解】根据题意，函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，则f（0）=0，
当x∈（0，+∞）时是减函数，且f（1）=0，则函数在（0，+∞）上只有一个零点，
若函数y=f（x）是奇函数且当x∈（0，+∞）时是减函数，则f（x）在（-∞，0）为减函数，
又由f（1）=0，则f（-1）=-f（1）=0，则函数在（-∞，0）上只有一个零点，
故函数y=f（x）共有3个零点，依次为-1、0、1，
对于函数，
当时，解得，
当时，解得或，
当时，解得或. 故函数的零点共有7个.
故选D
点睛：本题考查函数的零点的判断，涉及函数的奇偶性与单调性的综合运用，关键是分析得到函数y=f（x）的零点，注意计算的准确性.
7．C
【分析】构造函数，可得函数在上单调递减，由题可得，即求.
【详解】∵当时，有，
∴，即，
令，则当时，，
∴函数在上单调递减，
由，知，可得，
又，所以，
∴，
∴，解得.
故选：C.
8．D
【分析】由f(x＋1)为奇函数，得出，从而求得时的解析式，再结合偶函数的性质得出函数是周期函数，周期是4，由此时的解析式可求，代入解方程可得．
【详解】∵f(x＋1)为奇函数，则f(x＋1)＝－f(－x＋1)，即f(x)＝－f(2－x).当x∈(1，2)时，2－x∈(0，1)，
∴f(x)＝－f(2－x)＝－log2(2－x).
又f(x)为偶函数，即f(x)＝f(－x)，
于是f(－x)＝－f(－x＋2)，所以f(x)＝－f(x＋2)＝f(x＋4)，故f(x)是以4为周期的函数.
∵f(1)＝0，
∴当8由，可化为log2(x－8)＋2＝－1，得x＝.
故选：D．
9．BC
【分析】因为每过滤一次杂质含量减少,所以每过滤一次杂志剩余量为原来的,由此列式可解得.
【详解】设经过次过滤，产品达到市场要求，则 ，即，由 ，即 ，得 ，
故选BC．
【点睛】本题考查了指数不等式的解法,属于基础题.
10．CD
【解析】函数的零点等价于方程的根，则可得为函数的零点，所以找到满足的选项即可；
【详解】函数存在零点，有解，
，，
是的可能取值，
故选：CD.
【点睛】本题考查根据函数的零点存在求参数值，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力.
11．AC
【分析】由对数函数、幂函数的性质判断即可.
【详解】由图像结合对数函数的性质可知，则D错误；
由图像可知函数为奇函数，则B错误，AC正确；
故选：AC
12．AB
【分析】根据全称命题和特称命题的定义判断真假后可得结论．
【详解】，因此A假命题；，因此B是假命题；取，，C是真命题；时，，故D真命题.
故选：AB．
13．7
【分析】根据幂的运算法则和对数运算法则、换底公式计算．
【详解】．
故答案为：7．
14．
【分析】当，为一次函数，判断零点是否在上即可；当，应用二次函数根的分布，若求m并确定零点范围，若由求m范围，另外注意时判断是否符合题意，即可确定m的最终范围.
【详解】当时，有，符合题意；
当时，若则对称轴为：
当：，即有，符合题意；
当：，使在内恰有一个零点即有，故或；若有，即对称轴，可知中有两个零点，不合题意；
∴综上可知：.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：讨论参数m，结合一次函数、二次函数的性质判断零点的分布情况是否符合题意，进而确定m的范围.
15．
【分析】根据指数幂运算,即可求得答案.
【详解】
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了指数幂运算,解题关键是掌握指数幂运算的基础知识,考查了计算能力,属于基础题.
16．
【分析】令，转化为两个函数图像交点个数，来判断出零点的个数.
【详解】令得，画出的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有个交点，故函数有个零点.
故答案为：.
【点睛】本小题主要考查函数零点个数的判断，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据根式与指数的运算化简求解即可；
（2）根据对数运算法则与换底公式，结合指数运算求解即可.
【详解】（1）
（2）
18．(1)
(2)
【分析】（1）由题，根据等腰梯形OABC的形状，将t分为，，求即可
（2）由（1）结论得出的解析式，讨论各分段函数的最大值，最后比较得出整体的最大值即可
【详解】（1）由题意知梯形OABC的高为1米，
当时，，
当时，，
当时，，
综上所述，．
（2）设．
当时，单调递增，故；
当时，单调递增，故；
当时，，
因为，所以（当且仅当时取等号），
故．
因为，所以的峰值为．
19．（1）；（2）
【分析】（1）根据，可得，再由即可求解，最后检验即可；
（2）先判断的单调性，利用单调性解不等式 .
【详解】解：（1）∵因为是R上的奇函数，
所以，即，解得.
从而有.
又由，知，解得.
经检验，当，时，，
此时，满足题意.
所以，
（2）由（1）知：.
任取且，则
因为，所以，所以，所以
所以为减函数.
所以对任意的，不等式恒成立等价于对任意的，不等式恒成立，
所以对任意的恒成立，
所以对任意的 恒成立，
因为二次函数性质得函数在区间上的函数值满足，
所以，即k的取值范围为
20．(1)
(2)，
【分析】（1）根据函数为奇函数，得到，求出，检验后得到结果；
（2）根据函数的单调性得到方程组，求出实数，的值．
【详解】（1）的定义域为R，∵的图像关于原点成中心对称，
∴，，
即，解得:，经检验符合题意，
∴；
（2）∵是R上的严格增函数，
∴，解得：，．
21．(1)
(2)
【分析】（1）方程有实数根等价于在上有实数根，求出值域即可得出；
（2）题目等价于函数的值域为函数的值域的子集，分别求出即可得出.
【详解】（1）方程在上有实数根，即在上有实数根，
即函数的图像与直线 在上有交点，
在单调递减，所以，
所以，解得，
故所求实数的取值范围是 .
（2）若对任意的，总存在使成立，
只需函数的值域为函数的值域的子集.
的值域为
下求的值域.
当时，为常数，不符合题意舍去；
当时，需，解得 ，
当时，需，解得 ，
综上，的取值范围为
22．（1）；（2）.
【分析】（1）直接利用对数的运算公式得到答案.
（2）直接利用指数幂的运算得到答案.
【详解】（1）
（2）.
【点睛】本题考查了对数和指数幂的运算，意在考查学生的计算能力.