第五章 三角函数 单元卷（含解析）2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章 三角函数 单元卷
一、单选题
1．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（ ）.
A． B． C． D．
2．在中，若，则下列等式中一定成立的是
A． B． C． D．
3．（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数的一个周期的图象如图所示，其中，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，两个等式，，对任意实数x均成立，在上单调，则的最大值为（ ）
A．17 B．16 C．15 D．13
6．已知函数（为常数）满足，，若 在上的最大值和最小值分别为，，则的值为（ ）
A．或15 B．或11 C．或9 D．5或
7．在中，已知，给出以下四个论断
①
②
③
④
其中正确的是（ ）
A．②④ B．①③ C．①④ D．②③
8．已知，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．函数图象的一个对称中心坐标为
C．在区间上，函数与都单调递减
D．，，使得
10．已知函数，在上的最大值为M，则下面给出的四个判断中，正确的有（ ）
A．最小正周期为 B．M有最大值
C．M有最小值 D．图象的对称轴是直线：
11．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为R的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时60秒，当，盛水筒M位于点，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是（ ）
A．筒车转动的角速度
B．当筒车旋转50秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为
C．当筒车旋转50秒时，盛水筒M和初始点的水平距离为
D．盛水筒M第一次到达最高点需要的时间是25秒
12．关于函数的下列说法正确的是（ ）
A．定义域是
B．图像关于点对称
C．图像关于直线对称
D．在区间上单调递增
三、填空题
13．化简： .
14．角的终边与单位圆的交点坐标为 ．
15．已知函数在上单调函数，则的最大值是 .
16．函数的最小值为 .
四、解答题
17．已知函数，.
(1)运用五点作图法在所给坐标系内作出在内的图像（画在答题卡上）；
(2)求函数的对称轴，对称中心和单调递增区间.
18．已知．
(1)求的值；
(2)若，求．
19．已知函数
（Ⅰ）用“五点法”画出它在一个周期内的闭区间上的图象（完成横、纵坐标列表）；
（Ⅱ）写出函数图象的单调递增区间与最值.
20．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如表：
0
0 2 0 0
（1）根据表中数据求函数的解析式；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值．
21．的内角、、的对边分别是、、，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，面积为，求的值.
22．已知函数.
(1)求的值及的单调递增区间；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
参考答案
1．C
【分析】根据基本初等函数函数的奇偶性与单调性判断即可；
【详解】解：对于A：定义域为，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，故A错误；
对于B：为奇函数，但是在和上单调递减，在定义域上不具有单调性，故B错误；
对于C：定义域为，且，
该函数为奇函数，
又在定义域上单调递减，在定义域上单调递增，所以在定义域上单调递减，故C正确；
对于D：为奇函数，但是函数在定义域上不单调，故D错误；
故选：C
2．A
【分析】利用降次公式得到，展开得到，得到
【详解】∵，
∴.
∵.
故选A.
【点睛】本题考查了三角恒等变换，也可以利用特殊值法排除选项得到答案.
3．C
【分析】由诱导公式化简后计算．
【详解】．
故选：C．
【点睛】本题考查诱导公式，掌握诱导公式是解题关键，属于基础题．
4．A
【分析】根据求得函数解析式，由知关于直线x=4对称，从而设交点到对称轴的距离，则两个交点的距离为，求得，从而求得.
【详解】由，
由，
又因为周期，
所以.
因为，所以.
因为在图示周期里，，
则点关于直线x=4对称，
所以设，
则，
又，
所以
.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：从图像中的函数值求得函数解析式，找到的关系，代入函数解析式，即可求得.
5．C
【分析】根据题意中的两个等式可得的一个对称中心和对称轴方程，利用正弦函数的周期性和单调性求得且，依次分析选项求出得出相应的解析式，依次验证函数的单调性即可.
【详解】，，的一个对称中心为，
，，的对称轴方程，
有，解得，
又，所以，，为奇数，
在上单调，则，得，
由选项知，需要依次验证，直至符合题意为止，
当时，，有，
得，由得，
此时，可以验证在上不单调，不符合题意；
当时，，有，
得，由得，
此时，可以验证在上单调，符合题意；
综上，的最大值为15.
故选：C．
6．A
【解析】根据正弦型函数的性质，求得函数的值域为，令，列出方程组，求得，分和两种情况讨论，即可求解.
【详解】由题意，函数，
因为，可得，
故的最大值为，最小值为，即的值域为．
令，因为，可得，
故，解得．
①当时，，
可得在上单调递减，在上单调递增，
所以的最大值为，最小值为，
即；
②当时，，
同理可得．
综上或11，所以或15.
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次函数的图象与性质，以及正弦型函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的性质，以及二次函数的图象与性质，合理分类讨论是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.
7．A
【分析】先利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式化简整理题设等式求得进而求得进而求得①等式不一定成立，排除①；利用两角和公式化简，利用正弦函数的性质求得其范围符合，得②正确；不一定等于1，排除③；利用同角三角函数的基本关系可知，进而根据可知，进而可知二者相等，得④正确．
【详解】解：，，
，
则：，即：，
整理求得，
，
不一定成立，①不正确；
，
由于，则：，
，
，所以②正确；
，
，
所以，所以④正确；
而不一定成立，故③不正确；
综上知②④正确.
故选：A．
【点睛】本题考查了三角函数的化简求值，涉及同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和公式、正弦函数的性质、三角形的内角关系等知识的应用，考查了学生综合分析问题和推理运算能力．
8．B
【分析】由诱导公式知，再结合已知及二倍角余弦公式求，即可知的值.
【详解】由，则，
又，
∴.
故选：B
9．ABD
【分析】由平移变换写出表达式，然后由对称性求得，直接判断A，再根据正弦函数的性质判断BCD．
【详解】对于A，的图象向左平移个单位得，
因为的图象与的图象关于轴对称，所以，A正确；
对于B，，令，，得其对称中心为，，B正确；
对于C，当，在此区间上单调递减，在此区间上单调递增，C错误；
对于D，当时，，的值域为，的值域为，
因此，，使得，正确．
故选：ABD．
10．CD
【解析】根据函数的解析式和性质，对选项一一判断即可.
【详解】函数，
对于A：，，
当，，当，与不一定相同，故A错误；
对于B和C：在上递增，则，
当，即，则在上的最大值为，在上递减，则；
当，即，则在上的最大值为，在上递增，则；
当，即，
当，即，则在上的最大值为；
当，即，则在上的最大值为，在上递增，则；
当，即，则在上的最大值为，在上递减，则；
综上：M有最小值为，无最大值，故C正确；
对于D：，，
则，图象的对称轴是直线，故D正确.
故选：CD
【点睛】本题考查了三角函数的对称性和周期性及最值等问题，掌握三角函数的性质是关键，属于中档题.
11．ABD
【分析】根据题意，结合正弦型函数的性质逐一判断即可.
【详解】A：因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时秒，
所以，因此A正确；
B：因为当时，盛水筒位于点，所以，
所以有，因为，所以，
即，
所以，因此B正确；
C：由B可知：盛水筒的纵坐标为，设它的横坐标为，
所以有，因为筒车旋转秒时，所以此时盛水筒在第三象限，故，盛水筒和初始点的水平距离为，因此C错误；
D：因为，所以筒车在秒的旋转过程中，
盛水筒第一次到达最高点所需要的时间是，因此D正确.
故选：ABD.
12．AB
【分析】利用“整体代换”以及正切函数的图像与性质进行求解.
【详解】对于选项A，因为函数，所以，得，，故A正确；
对于选项B，因为函数，所以，故B正确；
对于选项C，因为函数，所以函数不存在对称轴，故C错误；
对于选项D，因为函数，所以当，，又区间不是函数的单调递增区间，故D错误．
故选：AB.
13．
【分析】逆用两角差的余弦公式化简即可求解.
【详解】，
故答案为：.
14．
【分析】根据三角函数对于解决即可.
【详解】由题知，，单位圆半径为1，
设角与单位圆的交点坐标为
因为由三角函数定义知，
所以，
所以交点坐标为，
故答案为：
15．4
【分析】化简函数得到，然后由余弦函数的单调性求得的范围，得最大值．
【详解】由题可得，
由，得，
令，得，
故在单调，于是，得，
所以的最大值是4，
故答案为：4．
16．
【分析】根据余弦型函数的图象与性质即可求解.
【详解】，
，
，
所以函数的最小值为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了余弦型函数的图象与性质，由定义域求函数的值域是常见题型，需要熟练掌握，属于容易题.
17．(1)详见解析
(2)函数 的对称轴为；
对称中心为；
单调递增区间为：
【分析】(1)五点法作图；
(2)整体代入求对称轴，对称中心，单调递增区间.
【详解】（1）列表：
0
0 1 0 -1 0
0 2 0 -2 0
描点画图：

（2）求对称轴：
，
故函数 的对称轴为
求对称中心：
，
故函数 的对称中心为
求单调递增区间：
，
故函数 的单调递增区间为：
18．(1)
(2)
【分析】（1）先根据两角差的余弦公式及辅助角公式将已知化简，再将根据诱导公式结合二倍角的余弦公式即可得解；
（2）先根据平方关系求出，再根据结合两角差的余弦公式即可得解.
【详解】（1）由，可得，
则，
所以，则；
（2）因为，所以，
又，则，
所以，
．
19．（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ），最大值3；最小值1.
【分析】（Ⅰ）根据五点法作图的规则，列表、描点、连线，即可求解；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中函数的图象，可直接观察图象，即可求解.
【详解】（Ⅰ）列表：
x 0
y 1 3 1 1
图象如图所示：
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的函数图象，观察图象可得出，
函数的单调递增区间为，
当时，取最大值3；当时，取最小值1.
20．（1）；（2）最小值为；最大值为1．
【分析】（1）由函数的最值求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式；
（2）由，可得，则，从而求得函数在区间上的最大值和最小值.
【详解】（1）根据表格可得，
根据表格可得，∴，
再根据五点法作图可得，∴，
故解析式为：．
（2）因为，所以，
得，
所以，当，即时，在区间上的最小值为，
当，即时，在区间上的最大值为1．
21．（1）；（2）.
【解析】（1）由诱导公式以及辅助角公式可得出，结合角的取值范围，可得出角的值；
（2）利用三角形的面积公式可求出的值，再利用余弦定理即可求出的值.
【详解】（1），，，
，，即，
化简得.
，，，解得；
（2）由已知得，，
.
【点睛】本题考查利用二倍角公式以及辅助角公式求角，同时也考查了利用三角形的面积公式和余弦定理解三角形，要结合三角形已知条件类型选择正弦、余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.
22．(1)，单调增区间为，
(2)最大值为，最小值为
【分析】（1）化简得到，代入计算得到函数值，解不等式得到单调区间.
（2）计算，根据三角函数图像得到最值.
【详解】（1），
故，
，解得，，
故单调增区间为，
（2）当时，，在的最大值为1，最小值为，
故在区间上的最大值为，最小值为.