2023-2024学年人教版九年级数学上册 第22章 二次函数 全章复习讲义 (无答案）

第22章 二次函数 全章复习
【学习目标】
　1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；
　2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；
　3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；
　4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
【要点梳理】
要点一、二次函数的定义
一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.
[注意] (1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当b＝0，c＝0时，y＝ax2是特殊的二次函数．
例1下列函数中哪些是二次函数（）。
A y=ax2+bx+c B y=x2+x3+12 C y=(x+3)2-x2 D y=8-2x
例2 若函数 是二次函数， 求m的值.
函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值
当时
开口向上
当时
开口向下 (轴) (0，0) 当时最小值 或者 当时最大值 或者
(轴) (0，)
(，0)
(，)
()
要点二、二次函数的图象与性质
1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
例3抛物线y＝x2－2x＋3的顶点坐标为________.
例4已知二次函数y＝-x2+5,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________.
例5已知点都在二次函数的图象上，则（ ）
A. B. C. D.
例6 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是(　　)
二次函数图象的平移变换：上加下减，左加右减。
例7 将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移 2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是(　　)
例8若抛物线 y=－7(x+4)2－1平移得到 y=－7x2，则可能（ ）
A.先向左平移4个单位，再向上平移1个单位
B.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位
C.先向左平移1个单位，再向下平移4个单位
D.先向右平移1个单位，再向下平移4个单位
要点三 用待定系数法求二次函数表达式
　　(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.
　　(2)顶点式：（a≠0）.已知抛物线顶点坐标、或者是对称轴、或者是最值时，优先选择顶点式，通常选择顶点式.
　　(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：
　 　　（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).
例9已知二次函数图象经过三点（-1，-5）,（0,4）和（1,1）, 求该函数的解析式。
例10已知抛物线的顶点坐标为（2,3）,且抛物线经过点（3,1）,求抛物线的解析式。
例11二次函数图象经过（-4,0）,（2,0）和（0,6）,求二次函数解析式。
要点四、二次函数与一元二次方程的关系
我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c深入讨论一元二次方程ax2+bx+c=0. 函数，当时，得到一元二次方程.如果抛物线 y=ax2+bx+c与x轴有公共点,公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时,函数值是0,因此x=x0 是方程 ax2+bx+c=0的一个根．二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点. 这对应着一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的三种情况：
　　(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.
例12 如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有关系：h=20t-5t2
考虑以下问题：
球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要多少飞行时间？
球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？
要点五、利用二次函数解决实际问题
利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
　　利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：
　　(1)建立适当的平面直角坐标系；
　　(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；
　　(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；
　　(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.
例13 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y＝kx＋b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45.
(1)求一次函数的表达式；
(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
例14 图中是抛物线形拱桥，当水面在AB时，拱顶离水面2 ，水面宽4 .由于干旱，水面下降，当水面下降1 时，水面宽度增加多少？
例15张大伯准备用40m长的木栏围一个矩形的羊圈，为了节约材料同时要使矩形的面积最大，他利用了自家房屋一面长25m的墙，设计了如图一个矩形的羊圈.
(1)请你求出张大伯矩形羊圈的面积；
(2)请你判断他的设计方案是否合理？如果合理，直接答合理；如果不合理又该如何设计？并说明理由.