数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.1椭圆及其标准方程 课件（共24张ppt）
文档属性
| 名称 | 数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.1椭圆及其标准方程 课件（共24张ppt） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-31 08:09:13 | ||
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文档简介
(共24张PPT)
3.1.1 椭圆及其标准方程
数学实验
取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.（符合圆的定义）
如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点，(如图)（定点），套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，我们发现，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个椭圆.
数学实验
如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点，(如图)（定点），套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，我们发现，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个椭圆.
问题1 在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？细绳的长度是否改变？若改变，如何变化？若不改变，如何描述这个细绳的长度不变？
笔尖移动的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离的和等于常数.
数学实验
如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点，(如图)（定点），套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，我们发现，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个椭圆.
问题2 如何用数学的符号表示”笔尖到两个定点的距离的和等于常数”？
笔尖移动的过程中，细绳的长度保持不变，
即笔尖到两个定点的距离的和等于常数.
新课讲授
我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.
问题3 在上面椭圆的定义中， 为什么要强调这个常数大于？
新课讲授
我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.
（1）当动点到两定点、间距离之和等于两定点间的距离时，动点的轨迹是什么？（即）
（2）当动点到两定点、间距离之和小于两定点间的距离时，动点的轨迹是什么？（即）
线段AB
点轨迹不存在
新课讲授
问题4 观察椭圆的形状，怎样建立平面直角坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？
利用椭圆的对称性，我们可以经过椭圆两焦点，的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示.
新课讲授
设是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为，则焦点的坐标分别为．
根据椭圆的定义，设点与焦点的距离的和等于
所以+= .
椭圆定义：我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．
请完成后面的化简！
新课讲授
.由椭圆的定义可知,，所以>0.
由上面化简得：
设2 那么方程成：.
新课讲授
①
由上面的推导过程知，椭圆上任意一点的坐标(x，y)都满足方程①;反之，以方程①的解为坐标的点(x，y)与椭圆的两个焦点(c，0)，(一c，0)的距离之和为 2a，即以方程①的解为坐标的点都在椭圆上.这时，我们称方程①是椭圆的方程 这个方程叫做椭圆的标准方程.
它表示焦点在x轴上，两个焦点分别是F1(一c，0)，F2(c，0) 的椭圆，这里c2=a -b2.
新课讲授
问题5 你能在右图中找出表示a,b,c的线段吗？
问题6 在图3.1-4中, 如果焦点F1, F2在y轴上,
且F1, F2的坐标分别为(0,－c), (0, c),
a, b的意义同上, 那么椭圆的方程是什么
新课讲授
焦点在轴上 焦点在轴上
判断焦点位置：看，的分母大小，哪个分母大， 焦点就在哪个坐标轴上 已知椭圆的标准方程，如何判断焦点在哪个坐标轴？
典型例题
例1.已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程.
解：由于椭圆的焦点在轴上，设椭圆的标准方程为.
由椭圆的定义知
所以
所求椭圆的标准方程为
定义法求椭圆的方程！
新课讲授
例1.已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程.
问题7 本题中，已知椭圆上点的坐标，能否用待定系数法求出它的标准方程？试试吧.完成后请思考，什么情况下可用待定系数法求曲线的方程？
课堂练习
1.如果椭圆上一点P与焦点的距离等于6，那么点P与另一个焦点的距离是_________.（书本P109）
2.设是椭圆上的任意一点，若，是椭圆的两个焦点，则等于( ).
A.10 B.8 C.5 D.4
课堂练习P109
3.经过椭圆的右焦点作垂直于轴的直线AB，交椭圆于A，B两点，是椭圆的左焦点.
(1)求△AF1B的周长;
(2)如果AB不垂直于轴， △AF1B的周长有变化吗？为什么？
课堂练习P109
当焦点位置不确定时,可设椭圆方程为：
它包括焦点在轴上或焦点在轴上两类情况
典型例题
例2 如图，在圆上任取一点P，过点作轴的垂线段，为垂足.当点P在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？为什么？
解：设点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为.由点是线段的中点，得.
因为点在圆上，所以.①
把，代入方程①，得，即.
所以点的轨迹是椭圆.
代入法求轨迹方程！
典型例题
问题8 由例2我们发现，可以由圆通过“压缩”得到椭圆．你能由圆通过“拉伸”得到椭圆吗？如何“拉伸”？由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗？
例2 如图，在圆上任取一点P，过点作轴的垂线段，为垂足，P为MD的中点，当点P在圆上运动时，点的轨迹是什么？为什么？
典型例题
例3.如图，在，两点的坐标分别为，.直线相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程.
解：设点的坐标为，因为点的坐标为，
所以直线的斜率为
同理，直线的斜率为
由已知，有，
得点的轨迹方程为.
点的轨迹是除去两点的椭圆.
典型例题
问题8 通过本例，你有什么发现？
例3.如图，在，两点的坐标分别为，.直线相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程.
得的轨迹方程为.
点的轨迹是除去两点的椭圆.
补充练习
椭圆中的焦点三角形,椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的,称为焦点三角形.解关于椭圆的焦点三角形的问题,通常要利用椭圆的定义,结合正弦定理、余弦定理等知识求解.
补充练习
求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10；
(2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,3)；
(3)经过两点(2，－)，.
课堂小结
标准方程
图示
焦点位置 轴 轴
焦点坐标
焦距 关系
3.1.1 椭圆及其标准方程
数学实验
取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.（符合圆的定义）
如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点，(如图)（定点），套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，我们发现，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个椭圆.
数学实验
如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点，(如图)（定点），套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，我们发现，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个椭圆.
问题1 在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？细绳的长度是否改变？若改变，如何变化？若不改变，如何描述这个细绳的长度不变？
笔尖移动的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离的和等于常数.
数学实验
如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点，(如图)（定点），套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，我们发现，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个椭圆.
问题2 如何用数学的符号表示”笔尖到两个定点的距离的和等于常数”？
笔尖移动的过程中，细绳的长度保持不变，
即笔尖到两个定点的距离的和等于常数.
新课讲授
我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.
问题3 在上面椭圆的定义中， 为什么要强调这个常数大于？
新课讲授
我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.
（1）当动点到两定点、间距离之和等于两定点间的距离时，动点的轨迹是什么？（即）
（2）当动点到两定点、间距离之和小于两定点间的距离时，动点的轨迹是什么？（即）
线段AB
点轨迹不存在
新课讲授
问题4 观察椭圆的形状，怎样建立平面直角坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？
利用椭圆的对称性，我们可以经过椭圆两焦点，的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示.
新课讲授
设是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为，则焦点的坐标分别为．
根据椭圆的定义，设点与焦点的距离的和等于
所以+= .
椭圆定义：我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．
请完成后面的化简！
新课讲授
.由椭圆的定义可知,，所以>0.
由上面化简得：
设2 那么方程成：.
新课讲授
①
由上面的推导过程知，椭圆上任意一点的坐标(x，y)都满足方程①;反之，以方程①的解为坐标的点(x，y)与椭圆的两个焦点(c，0)，(一c，0)的距离之和为 2a，即以方程①的解为坐标的点都在椭圆上.这时，我们称方程①是椭圆的方程 这个方程叫做椭圆的标准方程.
它表示焦点在x轴上，两个焦点分别是F1(一c，0)，F2(c，0) 的椭圆，这里c2=a -b2.
新课讲授
问题5 你能在右图中找出表示a,b,c的线段吗？
问题6 在图3.1-4中, 如果焦点F1, F2在y轴上,
且F1, F2的坐标分别为(0,－c), (0, c),
a, b的意义同上, 那么椭圆的方程是什么
新课讲授
焦点在轴上 焦点在轴上
判断焦点位置：看，的分母大小，哪个分母大， 焦点就在哪个坐标轴上 已知椭圆的标准方程，如何判断焦点在哪个坐标轴？
典型例题
例1.已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程.
解：由于椭圆的焦点在轴上，设椭圆的标准方程为.
由椭圆的定义知
所以
所求椭圆的标准方程为
定义法求椭圆的方程！
新课讲授
例1.已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程.
问题7 本题中，已知椭圆上点的坐标，能否用待定系数法求出它的标准方程？试试吧.完成后请思考，什么情况下可用待定系数法求曲线的方程？
课堂练习
1.如果椭圆上一点P与焦点的距离等于6，那么点P与另一个焦点的距离是_________.（书本P109）
2.设是椭圆上的任意一点，若，是椭圆的两个焦点，则等于( ).
A.10 B.8 C.5 D.4
课堂练习P109
3.经过椭圆的右焦点作垂直于轴的直线AB，交椭圆于A，B两点，是椭圆的左焦点.
(1)求△AF1B的周长;
(2)如果AB不垂直于轴， △AF1B的周长有变化吗？为什么？
课堂练习P109
当焦点位置不确定时,可设椭圆方程为：
它包括焦点在轴上或焦点在轴上两类情况
典型例题
例2 如图，在圆上任取一点P，过点作轴的垂线段，为垂足.当点P在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？为什么？
解：设点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为.由点是线段的中点，得.
因为点在圆上，所以.①
把，代入方程①，得，即.
所以点的轨迹是椭圆.
代入法求轨迹方程！
典型例题
问题8 由例2我们发现，可以由圆通过“压缩”得到椭圆．你能由圆通过“拉伸”得到椭圆吗？如何“拉伸”？由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗？
例2 如图，在圆上任取一点P，过点作轴的垂线段，为垂足，P为MD的中点，当点P在圆上运动时，点的轨迹是什么？为什么？
典型例题
例3.如图，在，两点的坐标分别为，.直线相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程.
解：设点的坐标为，因为点的坐标为，
所以直线的斜率为
同理，直线的斜率为
由已知，有，
得点的轨迹方程为.
点的轨迹是除去两点的椭圆.
典型例题
问题8 通过本例，你有什么发现？
例3.如图，在，两点的坐标分别为，.直线相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程.
得的轨迹方程为.
点的轨迹是除去两点的椭圆.
补充练习
椭圆中的焦点三角形,椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的,称为焦点三角形.解关于椭圆的焦点三角形的问题,通常要利用椭圆的定义,结合正弦定理、余弦定理等知识求解.
补充练习
求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10；
(2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,3)；
(3)经过两点(2，－)，.
课堂小结
标准方程
图示
焦点位置 轴 轴
焦点坐标
焦距 关系