第22章相似形单元复习题（含解析） 2023-2024学年沪科版九年级数学上册
文档属性
| 名称 | 第22章相似形单元复习题（含解析） 2023-2024学年沪科版九年级数学上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 419.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-31 20:58:05 | ||
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文档简介
沪科版九年级数学上册22章相似性单元复习题
一、选择题
1．下列各组图形中，一定是相似图形的是（ ）
A．两个等腰梯形 B．两个矩形
C．两个直角三角形 D．两个等边三角形
2．如图，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是（ ）
A． B．∠B=∠ADE C． D．∠C=∠AED
3．已知△ABC∽△A'B'C' ，BC=3，B'C'=1.8，则△ABC与△A'B'C'的相似比为（ ）．
A．2：3 B．3：2 C．5：3 D．3：5
4．如图，五边形与五边形是位似图形，O为位似中心，，则为（ ）
A．2：3 B．3：2 C．1：2 D．2：1
5．若上，且3a-2b+c=3，则2a+4b-3c的值是（ ）．
A．14 B．42 C．7 D．
6．如图，在中，点Р在边上，则在下列四个条件中：①；②；③；④，能满足与相似的条件以及性质的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
7．下列判断中，正确的是（ ）
A．各有一个角是的两个等腰三角形相似
B．邻边之比为2：1的两个等腰三角形相似
C．各有一个角是的两个等腰三角形相似
D．邻边之比为2：3的两个等腰三角形相似
8．如图，在Rt△ABC中，∠A= Rt∠，AB=3，AC=4．P是BC边上一点，作PE⊥AB于点E，PD⊥AC于点D．设BP=x，则PD+PE=（ ）．
A．+3 B．4-
C． D．
9．如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC．若S△BDC：S△ADC＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（ ）
A． B． C． D．
10．一个面积为的四边形，它的位似图形为四边形，位似中心为，若，则四边形的面积为（ ）
A． B．
C．或 D．以上都不对
二、填空题
11．若两个相似多边形的相似比是2：3，则它们的周长比是 .
12．如图，D是ΔABC边AB延长线上一点，请添加一个条件 ，使ΔACD∽ΔABC．
13．如图，平面直角坐标系中，正方形和正方形是以O为位似中心的位似图形，位似比为1：2，点F，B，C在x轴上，若，则点G的坐标为 .
14．如图，在 中，在上，、交于，若：：，则： ．
三、解答题
15．已知.
判断是否成立，并说明理由.
16．如图，点D为边上一点，连接，，，.
求证：.
17．已知，延长到，使取的中点，连接交于点．
（1）求的值；
（2）若，，求的长．
18．如图，已知 是坐标原点， 、 的坐标分别为 ， ．
（1）在 轴的左侧以 为位似中心作 的位似 ，使新图与原图的相似比为 ；
（2）分别写出 、 的对应点 、 的坐标．
四、综合题
19．如图，已知，与相交于点E，点F在线段上，，．
（1）求证：；
（2）求．
20．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，F为CA延长线上一点，∠F=∠C.
（1）若BC=8，求FD的长；
（2）若AB=AC，求证：△ADE∽△DFE.
21．已知在矩形中，，，点是边上的一个动点，以为边，在的右侧作矩形，且，连接，.
（1）如图1，若，点运动到的中点时，求的长.
（2）如图2，判断与有怎样的数量关系，并说明理由.
（3）当点从点运动到点时，请直接写出点的运动路径长.
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠EAD=∠BAC，
当，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADE，故选项A不符合题意；
当∠B=∠ADE时，△ABC∽△ADE，故选项B不符合题意；
C选项中∠A不是成比例的两边的夹角，故选项C符合题意；
当∠C=∠AED时，△ABC∽△ADE，故选项D不符合题意.
故答案为：C．
【分析】由于两个三角形具有公共角∠EAD=∠BAC，故可以添加∠B=∠ADE或∠C=∠AED，利用有两组角对应相等的两个三角形相似即可判断出△ABC∽△ADE；也可以添加，利用有两组边成比例，且夹角相等的两个三角形相似可判断△ABC∽△ADE，从而一一判断得出答案.
3．【答案】C
4．【答案】D
【解析】【解答】解：五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'是位似图形
即
故答案为：D.
【分析】根据位似图形的位似比等于对应点到位似中心的距离之比可得答案.
5．【答案】D
6．【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵，，
∴，
∴，
∴，不符合题意；
B、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，不符合题意；
C、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，不符合题意；
D、∵，，
∴，
∴，
∴，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用相似三角形的判定方法和性质逐项判断即可。
7．【答案】B
【解析】【解答】A.没有明确指出角是顶角还是底角无法判定，故A选项不符合题意．
B.因为比值为2：1，所以大边一定是腰，所以对边成比例，相似，故B选项符合题意．
C.没有明确指出角是顶角还是底角无法判定，故C选项不符合题意．
D.没有指明谁是底边谁是腰，无法判定，故A选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用相似三角形的判定方法逐项判断即可。
8．【答案】A
9．【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴BD∶AD=1∶3，
∴BD∶AB=1∶4
∵，
∴△BDE∽△BAC，
∴
∵DE∥AC，
∴△DEO∽△CAO，
∴S△DEO∶S△CAO=.
故答案为：D.
【分析】由同高三角形的面积之比就等于底之比可得BD∶AD=1∶3，则BD∶AB=1∶4，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△BDE∽△BAC，由相似三角形对应边成比例得进而根据平行于三角形一边的直线，解其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△DEO∽△CAO，进而根据相似三角形的面积之比等于底之比可得结论.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：由题可知四边形的相似比为1：1或1：3，
四边形的面积之比等于相似比的平方，且四边形的面积为，
四边形 的面积为或．
故答案为：C．
【分析】利用位似图形的性质：相似图形的面积之比等于相似比的平方求解即可。
11．【答案】2：3
【解析】【解答】解：∵ 两个相似多边形的相似比是2：3 ，
∴这两个相似多边形的周长之比是2∶3.
故答案为：2∶3.
【分析】根据相似多边形周长的比等于相似比即可直接得出答案.
12．【答案】AC＝AB AD（答案不唯一）
【解析】【解答】解：添加：AC＝AB AD
∵AC＝AB AD
∴
∵∠A＝∠A
∴ΔACD∽ΔABC．
故答案为：AC＝AB AD（答案不唯一）．
【分析】先求出，再利用相似三角形的判定方法证明即可。
13．【答案】(6，3)
【解析】【解答】解：∵正方形和正方形是以O为位似中心的位似图形，位似比为1：2，
∴，，，
∴，
∴，即，
解得：，，
∴点G的坐标为，
故答案为：.
【分析】根据正方形的性质以及位似图形的性质可得BC=AD=CD=6，BG∥CD，，证明△OBG∽△OCD，根据相似三角形的性质可得OB、BG的值，进而可得点G的坐标.
14．【答案】：
15．【答案】解：比例式成立. 理由如下：
∵ ，∴ ，
∴1－ ＝1－ ，
即
【解析】【分析】利用比例的性质可得到，可得到，再将等式的两边通分即可证得结论.
16．【答案】证明：∵，，
∴，
∴，，即，
又∵，
∴
【解析】【分析】由线段的和差关系可得AB=AD+BD=8，根据已知条件可得，然后根据相似三角形的判定定理进行证明.
17．【答案】（1）解：如图，连接、．
点是的中点，，
是的中位线，
，
∽，
，
；
（2）解：点是的中点，，，
．
由知，，则，故AE，
．
18．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示： ，
【解析】【分析】（1）分别延长AO和BO使得DO=2AO，CO=2BO，连接CD即可得出所得图形。
（2）根据（1）中所做的位似图形，将C和D的坐标写出即可。
19．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）由平行线分线段成比例可得到，结合可得， 利用平行线分线段可证结论；
（2）由平行线分线段成比例可得，，继而得解.
20．【答案】（1）解：∵D、E分别是边AB、AC的中点，
∴ ，DE BC，
又BC=8，
∴DE=4，
∵DE BC，
∴∠AED=∠C，
∵∠F=∠C，
∴∠AED=∠F，
∴DF=DE=4.
（2）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE∥BC，
∴∠AED=∠C，∠ADE=∠B
∵∠AED=∠F，
∴∠ADE=∠F，
又∵∠AED=∠AED，
∴△ADE∽△DFE.
【解析】【分析】（1）易得DE是△ABC的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，可得DE=4，DE∥BC，根据二直线平行，同位角相等得∠AED=∠C，结合已知得∠AED=∠F，最后根据等角对等边可得FD的长；
（2）由据等边对等角得∠B=∠C，由平行线的性质得 ∠AED=∠C，∠ADE=∠B 由（1）知 ∠AED=∠F， 故∠ADE=∠F， 从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似得出结论.
21．【答案】（1）解：矩形中，，，，
∴，则矩形是正方形，
∵点到的中点，
∴，，
在中，，
∴矩形，，
∵，，
∴，
在，中，
∴，
∴，
∵，
∴.
（2）解：，理由如下，
矩形，，，矩形，，
∴，
∴，，即，
∵，，
∴，
∴，
∴.
（3）解：点的运动路径长是2
【解析】【解答】（3）解：点从点运动到点，如图所示，
过点作的延长线于点，的延长线交延长线于点，
∵，
∴，，
∴，
∴，且，
∴，
∵，，
∴，
∴点在定直线上运动，
∴当点与点重合时，，，此时点与点重合；
当点与点重合时，，，点与点重合，
∴点的运动路径长是2.
【分析】（1）由题意可得矩形ABCD为正方形，由中点的概念可得AE=DE=1，BE=CE，利用勾股定理可得CE的值，根据矩形的性质可得CE=CCG，由同角的余角相等可得∠BCE=∠DCG，利用SAS证明△BEC≌△DGC，得到DG=BE，据此求解；
（2）由题意可得AD=BC=2k，证明△BEC∽△DGC，然后根据相似三角形的性质进行解答；
（3）过点G作GM⊥BC的延长线于点M，MG的延长线交AD延长线于点H，证明△ECD∽△CGM，根据相似三角形的性质可得CM，推出点G在定直线GM上运动，当点E与点A重合时，ED=AD，GM=2，此时点G与点H重合；当点E与点D重合时，ED=0，GM=0，点G与点M重合，据此解答.
一、选择题
1．下列各组图形中，一定是相似图形的是（ ）
A．两个等腰梯形 B．两个矩形
C．两个直角三角形 D．两个等边三角形
2．如图，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是（ ）
A． B．∠B=∠ADE C． D．∠C=∠AED
3．已知△ABC∽△A'B'C' ，BC=3，B'C'=1.8，则△ABC与△A'B'C'的相似比为（ ）．
A．2：3 B．3：2 C．5：3 D．3：5
4．如图，五边形与五边形是位似图形，O为位似中心，，则为（ ）
A．2：3 B．3：2 C．1：2 D．2：1
5．若上，且3a-2b+c=3，则2a+4b-3c的值是（ ）．
A．14 B．42 C．7 D．
6．如图，在中，点Р在边上，则在下列四个条件中：①；②；③；④，能满足与相似的条件以及性质的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
7．下列判断中，正确的是（ ）
A．各有一个角是的两个等腰三角形相似
B．邻边之比为2：1的两个等腰三角形相似
C．各有一个角是的两个等腰三角形相似
D．邻边之比为2：3的两个等腰三角形相似
8．如图，在Rt△ABC中，∠A= Rt∠，AB=3，AC=4．P是BC边上一点，作PE⊥AB于点E，PD⊥AC于点D．设BP=x，则PD+PE=（ ）．
A．+3 B．4-
C． D．
9．如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC．若S△BDC：S△ADC＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（ ）
A． B． C． D．
10．一个面积为的四边形，它的位似图形为四边形，位似中心为，若，则四边形的面积为（ ）
A． B．
C．或 D．以上都不对
二、填空题
11．若两个相似多边形的相似比是2：3，则它们的周长比是 .
12．如图，D是ΔABC边AB延长线上一点，请添加一个条件 ，使ΔACD∽ΔABC．
13．如图，平面直角坐标系中，正方形和正方形是以O为位似中心的位似图形，位似比为1：2，点F，B，C在x轴上，若，则点G的坐标为 .
14．如图，在 中，在上，、交于，若：：，则： ．
三、解答题
15．已知.
判断是否成立，并说明理由.
16．如图，点D为边上一点，连接，，，.
求证：.
17．已知，延长到，使取的中点，连接交于点．
（1）求的值；
（2）若，，求的长．
18．如图，已知 是坐标原点， 、 的坐标分别为 ， ．
（1）在 轴的左侧以 为位似中心作 的位似 ，使新图与原图的相似比为 ；
（2）分别写出 、 的对应点 、 的坐标．
四、综合题
19．如图，已知，与相交于点E，点F在线段上，，．
（1）求证：；
（2）求．
20．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，F为CA延长线上一点，∠F=∠C.
（1）若BC=8，求FD的长；
（2）若AB=AC，求证：△ADE∽△DFE.
21．已知在矩形中，，，点是边上的一个动点，以为边，在的右侧作矩形，且，连接，.
（1）如图1，若，点运动到的中点时，求的长.
（2）如图2，判断与有怎样的数量关系，并说明理由.
（3）当点从点运动到点时，请直接写出点的运动路径长.
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠EAD=∠BAC，
当，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADE，故选项A不符合题意；
当∠B=∠ADE时，△ABC∽△ADE，故选项B不符合题意；
C选项中∠A不是成比例的两边的夹角，故选项C符合题意；
当∠C=∠AED时，△ABC∽△ADE，故选项D不符合题意.
故答案为：C．
【分析】由于两个三角形具有公共角∠EAD=∠BAC，故可以添加∠B=∠ADE或∠C=∠AED，利用有两组角对应相等的两个三角形相似即可判断出△ABC∽△ADE；也可以添加，利用有两组边成比例，且夹角相等的两个三角形相似可判断△ABC∽△ADE，从而一一判断得出答案.
3．【答案】C
4．【答案】D
【解析】【解答】解：五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'是位似图形
即
故答案为：D.
【分析】根据位似图形的位似比等于对应点到位似中心的距离之比可得答案.
5．【答案】D
6．【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵，，
∴，
∴，
∴，不符合题意；
B、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，不符合题意；
C、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，不符合题意；
D、∵，，
∴，
∴，
∴，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用相似三角形的判定方法和性质逐项判断即可。
7．【答案】B
【解析】【解答】A.没有明确指出角是顶角还是底角无法判定，故A选项不符合题意．
B.因为比值为2：1，所以大边一定是腰，所以对边成比例，相似，故B选项符合题意．
C.没有明确指出角是顶角还是底角无法判定，故C选项不符合题意．
D.没有指明谁是底边谁是腰，无法判定，故A选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用相似三角形的判定方法逐项判断即可。
8．【答案】A
9．【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴BD∶AD=1∶3，
∴BD∶AB=1∶4
∵，
∴△BDE∽△BAC，
∴
∵DE∥AC，
∴△DEO∽△CAO，
∴S△DEO∶S△CAO=.
故答案为：D.
【分析】由同高三角形的面积之比就等于底之比可得BD∶AD=1∶3，则BD∶AB=1∶4，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△BDE∽△BAC，由相似三角形对应边成比例得进而根据平行于三角形一边的直线，解其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△DEO∽△CAO，进而根据相似三角形的面积之比等于底之比可得结论.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：由题可知四边形的相似比为1：1或1：3，
四边形的面积之比等于相似比的平方，且四边形的面积为，
四边形 的面积为或．
故答案为：C．
【分析】利用位似图形的性质：相似图形的面积之比等于相似比的平方求解即可。
11．【答案】2：3
【解析】【解答】解：∵ 两个相似多边形的相似比是2：3 ，
∴这两个相似多边形的周长之比是2∶3.
故答案为：2∶3.
【分析】根据相似多边形周长的比等于相似比即可直接得出答案.
12．【答案】AC＝AB AD（答案不唯一）
【解析】【解答】解：添加：AC＝AB AD
∵AC＝AB AD
∴
∵∠A＝∠A
∴ΔACD∽ΔABC．
故答案为：AC＝AB AD（答案不唯一）．
【分析】先求出，再利用相似三角形的判定方法证明即可。
13．【答案】(6，3)
【解析】【解答】解：∵正方形和正方形是以O为位似中心的位似图形，位似比为1：2，
∴，，，
∴，
∴，即，
解得：，，
∴点G的坐标为，
故答案为：.
【分析】根据正方形的性质以及位似图形的性质可得BC=AD=CD=6，BG∥CD，，证明△OBG∽△OCD，根据相似三角形的性质可得OB、BG的值，进而可得点G的坐标.
14．【答案】：
15．【答案】解：比例式成立. 理由如下：
∵ ，∴ ，
∴1－ ＝1－ ，
即
【解析】【分析】利用比例的性质可得到，可得到，再将等式的两边通分即可证得结论.
16．【答案】证明：∵，，
∴，
∴，，即，
又∵，
∴
【解析】【分析】由线段的和差关系可得AB=AD+BD=8，根据已知条件可得，然后根据相似三角形的判定定理进行证明.
17．【答案】（1）解：如图，连接、．
点是的中点，，
是的中位线，
，
∽，
，
；
（2）解：点是的中点，，，
．
由知，，则，故AE，
．
18．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示： ，
【解析】【分析】（1）分别延长AO和BO使得DO=2AO，CO=2BO，连接CD即可得出所得图形。
（2）根据（1）中所做的位似图形，将C和D的坐标写出即可。
19．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）由平行线分线段成比例可得到，结合可得， 利用平行线分线段可证结论；
（2）由平行线分线段成比例可得，，继而得解.
20．【答案】（1）解：∵D、E分别是边AB、AC的中点，
∴ ，DE BC，
又BC=8，
∴DE=4，
∵DE BC，
∴∠AED=∠C，
∵∠F=∠C，
∴∠AED=∠F，
∴DF=DE=4.
（2）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE∥BC，
∴∠AED=∠C，∠ADE=∠B
∵∠AED=∠F，
∴∠ADE=∠F，
又∵∠AED=∠AED，
∴△ADE∽△DFE.
【解析】【分析】（1）易得DE是△ABC的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，可得DE=4，DE∥BC，根据二直线平行，同位角相等得∠AED=∠C，结合已知得∠AED=∠F，最后根据等角对等边可得FD的长；
（2）由据等边对等角得∠B=∠C，由平行线的性质得 ∠AED=∠C，∠ADE=∠B 由（1）知 ∠AED=∠F， 故∠ADE=∠F， 从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似得出结论.
21．【答案】（1）解：矩形中，，，，
∴，则矩形是正方形，
∵点到的中点，
∴，，
在中，，
∴矩形，，
∵，，
∴，
在，中，
∴，
∴，
∵，
∴.
（2）解：，理由如下，
矩形，，，矩形，，
∴，
∴，，即，
∵，，
∴，
∴，
∴.
（3）解：点的运动路径长是2
【解析】【解答】（3）解：点从点运动到点，如图所示，
过点作的延长线于点，的延长线交延长线于点，
∵，
∴，，
∴，
∴，且，
∴，
∵，，
∴，
∴点在定直线上运动，
∴当点与点重合时，，，此时点与点重合；
当点与点重合时，，，点与点重合，
∴点的运动路径长是2.
【分析】（1）由题意可得矩形ABCD为正方形，由中点的概念可得AE=DE=1，BE=CE，利用勾股定理可得CE的值，根据矩形的性质可得CE=CCG，由同角的余角相等可得∠BCE=∠DCG，利用SAS证明△BEC≌△DGC，得到DG=BE，据此求解；
（2）由题意可得AD=BC=2k，证明△BEC∽△DGC，然后根据相似三角形的性质进行解答；
（3）过点G作GM⊥BC的延长线于点M，MG的延长线交AD延长线于点H，证明△ECD∽△CGM，根据相似三角形的性质可得CM，推出点G在定直线GM上运动，当点E与点A重合时，ED=AD，GM=2，此时点G与点H重合；当点E与点D重合时，ED=0，GM=0，点G与点M重合，据此解答.