沪科版九年级数学上册第21章二次函数与反比例函数
一、选择题
1.下列函数中,属于二次函数的是( ).
A. B.
C. D.
2. 把函数y=(x﹣3)2+1的图象向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位后图象的函数解析式为( )
A.y=(x﹣2)2+3 B.y=(x﹣4)2﹣1
C.y=(x﹣2)2﹣1 D.y=(x﹣4)2+3
3.已知二次函数的图象与轴有两个交点,则的取值范围是( )
A. B.
C.且 D.且
4.如图,铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数解析式是,则该运动员此次掷铅球的成绩是( )
A.6m B.12m C.8m D.10m
5. 如图,点P是反比例函数y=图象上一点,过点P作PA⊥y轴,垂足为点A,点B在x轴上,则△PAB的面积是( )
A. B.1 C.2 D.4
6.下列函数关系中,是二次函数的为( )
A.在弹性限度内,弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系.
B.距离一定时,火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C.等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D.圆的面积S与半径之间的关系
7.若点,点,点在二次函数的图象上,则,,的大小关系是( )
A. B. C. D.
8.若ab>0,则一次函数y=ax+2与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是( )
A. B. C. D.
9.已知在直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(1,4)和(4,4) ,抛物线y=a(x-m)2+n的顶点在线段AB上运动,与x轴交于C,D两点(点C在点D的左侧).若点C的横坐标的最小值为-3,则点D的横坐标的最大值为( ).
A.-3 B.1 C.5 D.8
10.“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式,某抖音主播代销某一品牌的电子产品(这里代销指厂家先免费提供货源,待货物销售后再进行结算,未售出的由厂家负责处理).销售中发现每件售价99元时,日销售量为200件,当每件电子产品每下降5元时,日销售量会增加10件.已知每售出1件电子产品,该主播需支付厂家和其他费用共50元,设每件电子产品售价为x(元),主播每天的利润为w(元),则w与x之间的函数解析式为( )
A. B.
C. D.
二、填空题
11.函数是二次函数,则 .
12.一个足球从地面向空中踢出,它距地面的高度h(m).与足球被踢出后经过的时间t(s)之间具有函数关系h=at2+19.6t.已知足球被踢出后经过4s落地,则足球距地面的最大高度是 m.
13.如图1-2所示为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的图象,给出下列判断:①c>0;②a+b+c<0;③2a-b<0;④b2-4ac>0.其中正确的是 .(填序号)
14.如图,在平面直角坐标系中,正方形的边与x轴重合,顶点 A、D在抛物线上.若抛物线的顶点到x轴的距离比长4,则c的值为 .
三、解答题
15.当m为何值时,函数 是二次函数.
16. 已知二次函数的图象经过点、两点,试求、的值.
17.已知抛物线 .求证:无论k为何值,该二次函数的图象与x轴都有交点.
18.调查了某城市近20个月的商品房价格,与上年同期相比,房价增长率y(%)与月份序号x近似地满足二次函数关系y=-0.25x2+3x.
(1)哪个月房价年增长率最高?哪几个月房价年增长率y随x的增加而增加?
(2)第几个月房价相当于上年同期水平?
19.如图,A是反比例函数图象上一点,过点A作轴于点B,点C在x轴上,的面积为2.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)已知,点在该反比例函数的图象上,点Q是x轴上一动点,若最小,求点Q的坐标.
四、综合题
20.如图,已知抛物线与轴交于,两点(点在点的左侧),与轴交于点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上存在一点,使得的值最小,求此时点的坐标;
(3)点是第一象限内抛物线上的一个动点(不与点、重合),过点作轴于点,交直线于点,连接,直线把的面积分成两部分,若,请求出点的坐标.
21.如图,设反比例函数的解析式为y=(k>0).
(1)若反比例函数与正比例函数y=2x的图象有一个交点的纵坐标为2,求k的值;
(2)若反比例函数的图象与过点M(﹣2,0)的直线l:y=kx+b的图象交于A、B两点,如图,当△ABO的面积为12时,求直线l的解析式.
22.二次函数的自变量x与函数值y的对应值如下表,根据下表回答问题.
x … -3 -2 -1 0 …
y … -2 -2 0 4 …
(1)该二次函数与y轴交点是 ,对称轴是 .
(2)求出该二次函数的表达式;
(3)向下平移该二次函数,使其经过原点,求出平移后图像所对应的二次函数表达式.
23.“中国元素”几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落,某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品,深受大家喜爱.自世界杯开赛以来,其销量不断增加,该商品销售第x天(,且x为整数)与该天销售量y(件)之间满足函数关系如下表所示:
第x天 1 2 3 4 5 6 7 …
销售量y(件) 220 240 260 280 300 320 340 …
为回馈项客,该商家将此纪念品的价格不断下调,其销售单价z(元)与第x天(,且x为整数)成一次函数关系,当时,,当时,.已知该纪念品成本价为20元/件.
(1)求y关于x的函数表达式,及z与x之间的函数关系式;
(2)求这28天中第几天销售利润最大,并求出最大利润;
(3)商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前,决定在第20天开始每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价a元销售,销售第x天与该天销售量y(件)仍然满足原来函数关系,问第几天的销售利润取得最大值,若最大利润是20250元,求a的值.
答案解析部分
1.【答案】D
【解析】【解答】解:A、y=3x-6是一次函数,故此选项不符合题意;
B、是反比例函数,故此选项不符合题意;
C、y=(x-1)2-x2=x2-2x+1-x2=-2x+1是一次函数,故此选项不符合题意;
D、y=x(3-x)=-x2+3x是二次函数,故此选项符合题意.
故答案为:D.
【分析】一个函数经过去括号,合并同类项整理成一般形式后,形如y=kx+b(k、b是常数,且k≠0)的函数就是一次函数,形如y=(k为常数,且k≠0)的函数叫做反比例函数,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,且a≠0)的函数就是二次函数,据此逐项判断得出答案.
2.【答案】C
3.【答案】C
【解析】【解答】解:∵二次函数的图象与轴有两个交点,
∴且m≠0,
解得: 且 ,
故答案为:C.
【分析】根据题意先求出且m≠0,再计算求解即可。
4.【答案】D
【解析】【解答】解:令=0,
整理得:x2 8x 20=0,
(x 10)(x+2)=0,
解得x1=10,x2= 2(舍去),
故该运动员此次掷铅球的成绩是10m,
故答案为:D.
【分析】将y=0代入求出x的值即可。
5.【答案】B
【解析】【解答】解:如图所示:连接OP,
,
∵PA⊥y轴,
∴,
故答案为:B.
【分析】先作图,再根据反比例函数k的几何意义计算求解即可。
6.【答案】D
【解析】【解答】解:A、关系式为:y=kx+b,是一次函数,不符合题意;
B、关系式为: ,是反比例函数,不符合题意;
C、关系式为: ,是正比例函数,不符合题意;
D、关系式为: ,是二次函数,符合题意.
故答案为:D.
【分析】一般形如,(其中a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数,根据条件分别列出各项的函数关系式,再根据二次函数的定义,即可作答.
7.【答案】B
【解析】【解答】解:当x=2时,
当x=3时,
当x=-1时,
∵3>-5>-6
故
故答案为:B.
【分析】将点的坐标代入二次函数的解析式可求出,,的值,再进行有理数的比较即可求出答案.
8.【答案】D
【解析】【解答】解:若ab>0
①a>0且b>0时,一次函数图象经过一,二,三象限,反比例函数图象经过一,三象限,
②a<0且b<0时,一次函数图象经过一,二,四象限,反比例函数图象经过二,四象限.
故答案为:D
【分析】根据ab>0,可得①a>0且b>0,②a<0且b<0,再根据函数的系数图与图象之间的关系即可求出答案.
9.【答案】D
10.【答案】D
【解析】【解答】根据题意,
每天销售数量
每件的利润应为售价-成本,即(x-50)元
故
故答案为:D
【分析】分析题意,每天的利润应为每件利润和每天销售数量的乘积,分别写出每件利润和每天销售数量的表达式,对比4个选项,D符合题意。
11.【答案】1
【解析】【解答】解:函数是二次函数,
,
解得:,
故答案为:1.
【分析】二次函数的一般形式为:y=ax2+bx+c(a、b、c为常数且a≠0),则2m=2,求解可得m的值.
12.【答案】19.6
13.【答案】②④
【解析】【解答】解:观察图象,由拋物线与y轴的交点在x轴的下方,可得到c<0 ,所以①错误;
当x=1时,图象在x轴的下方,可得到y=a+b+c<0 所以②正确;
图象开口向上,可得a>0,又对称轴直线在y轴的右侧,可得,即b<0,∵2a>0,∴2a-b>0,故③错误;
∵抛物线与x轴有两个不同的交点,∴b2-4ac>0,故④正确;
综上正确的有:②④.
故答案为:②④.
【分析】观察图象与y轴交点的位置,判断出c的取值范围,从而可判断①;观察图象上x=1的点的位置,可判断出当x=1时对应的函数值的正负,从而可判断②;由对称轴在y轴的右侧,图象开口向上可得a>0,b<0,进而根据有理数的减法法则可判断③;由抛物线与x轴的交点个数可判断b2-4ac的正负,从而可判断④.
14.【答案】6
【解析】【解答】解: 抛物线
∴
∴顶点坐标(0,c)
∵抛物线的顶点到x轴的距离比BC长4 ,ABCD是正方形
∴D的坐标可表示为(,c-4)
把D点坐标代入解析式
∴
解得c=6或c=2(不符题意舍去)
故答案为:6
【分析】根据抛物线上点的坐标性质,正确设出顶点坐标,根据题意表示出D点坐标,代入解析式即可求解。
15.【答案】解:∵函数 是二次函数
∴
解得:m=3
即当m=3时,函数 是二次函数.
【解析】【分析】根据二次函数的定义即可求出结论.
16.【答案】解:二次函数的图象经过,两点,
把,代入,
得,
解得.
【解析】【分析】根据待定系数法将点坐标代入二次函数解析式即可求出答案.
17.【答案】解:令y=0, ,
∵ ,
,
∴二次函数的图象与x轴都有交点.
【解析】【分析】 令y=0, 构造一元二次方程,利用判别式,结合完全平方式的非负性进行判断即可.
18.【答案】(1)解:∵,
∵a=-0.25<0,
∴抛物线的开口向下,函数有最大值,
∴抛物线的对称轴是直线x=6,顶点坐标是(6,9),
则当x=6时,y最大值为9,
当x<6时,y随x的增大而增大,
故第6个月房价年增长率最高,第1~6月房价的年增长率y随x的增加而增加.
(2)解:当y=0时,代入得:-0.25x2+3x=0,
解得:x=0或x=12,
故,第12个月房价相当于上年同期水平.
19.【答案】(1)解:连接,
∵的面积的面积,的面积,
∴,
∴;
又∵反比例函数的图象的一支位于第一象限,
∴,
∴.
∴这个反比例函数的解析式为;
(2)解:∵,
∴设,
∵反比例函数经过点A,
∴,
∴(负值舍去),
∴,
把代入得,
,
∴.
作点P关于x轴的对称点,连接与x轴交于点Q,此时最小,
设过A,的直线表达式为,
∴,
解得,
∴过A,的直线表达式为.
由,得.
∴点Q的坐标为.
【解析】【分析】(1)连接,由的面积的面积,从而得到k的值;
(2)由OB=BA设,代入反比例函数中得A(2,2),把P的坐标代入反比例函数得P(4,1),作点P关于x轴的对称点,连接与x轴交于点Q,此时最小, 利用待定系数法得AP'的解析式,令y=0,解得Q的坐标.
20.【答案】(1)解:∵抛物线与x轴交于,,
∴
解得
∴抛物线的解析式为
(2)解:由(1)可知抛物线的对称轴为x=2
要保证PA+PC最小,则P为直线BC与对称轴的交点
而直线BC的解析式为y=-x+5
当x=2时y=-2+5=3
∴
(3)解:设,则
∴,
∵
∴,即,
∴
化简得,
解得,(舍去)
∴,
∴
【解析】【分析】(1)将点A、B坐标代入函数解析式,利用待定系数法求得解析式.
(2)本题考查的是利用将军饮马模型求线段和的最小值.由抛物线图象的对称性可得点A、B关于对称轴对称,故PA+PC=PB+PC,因而可得PA+PC的最小值为BC的长度,即点P在BC上.通过抛物线解析式求得点C坐标和对称轴,再利用点B、C坐标求得直线BC的解析式,进而得到点P坐标.
(3)由轴可得点E、D的横坐标相等,利用抛物线和直线BC的解析式设点D、E坐标,进而表示出DE、EF,再根据可得DE:EF=3:2,列出方程求得点D坐标.
21.【答案】(1)解:∵反比例函数与正比例函数y=2x的图象有一个交点的纵坐标为2,
把y=2代入y=2x求得x=1,
∴反比例函数与正比例函数y=2x的图象交点的坐标为(1,2),
把(1,2)代入y=(k>0),得到3k=2,
∴k=;
(2)解:把M(﹣2,0)代入y=kx+b,可得b=2k,
∴y=kx+2k,
解,
得或,
∴B(﹣3,﹣k),A(1,3k),
∵△ABO的面积为12,
∴ 2 3k+ 2 k=12,
解得k=3,
∴直线l的解析式为y=3x+6.
【解析】【分析】(1)把y=2代入y=2x求得x的值,从而可得正比例函数与反比例函数交点的坐标,将交点的坐标代入y=(k>0)即可求出k的值;
(2)把M(﹣2,0)代入y=kx+b,可得b=2k,则直线l为y=kx+2k,联立直线l与反比例函数的解析式组成方程组,求解可得A、B的坐标,进而根据三角形面积计算公式,由S△AOB=S△AOM+S△BOM建立方程,求解可得k的值,从而即可得出直线l的解析式.
22.【答案】(1)(0,4);x=-
(2)解:∵二次函数与y轴交点是(0,4),
∴c=4,
又∵(-2,-2),(-1,0),也都在抛物线y=ax2+bx+c上,
∴,
解得,
∴抛物线的解析式为:y=x2+5x+4.
(3)解:∵抛物线向下平移4个单位后经过原点,
∴平移后图象对应的二次函数的表达式是y=x2+5x.
【解析】【解答】解:(1)由表格得:当x=0时,y=4,
∴二次函数与y轴交点是(0,4),
∵x=-3和x=-2时,函数值均为y=-2,
∴抛物线的对称轴是直线x==-.
故答案为:(0,4),x=-.
【分析】(1)根据表格中的数据和二次函数的对称性,即可求得二次函数与y轴交点以及对称轴;
(2)由二次函数与y轴交点是(0,4),所以c=4,再由(-2,-2),(-1,0),也都在抛物线y=ax2+bx+c上,代入列出关于a、b的方程组,求出a、b、c的值,即可得出函数的解析式;
(3)结合(2)中求得的抛物线解析式,再由抛物线向下平移4个单位后经过原点,利用二次函数图形平移规律即可得到平移后图象所对应的二次函数的表达式.
23.【答案】(1)解:由表格信息可得:每增加1天,销量增加20件,可得是的一次函数,
设,把,,,代入可得:
,解得:,
∴y关于x的函数表达式为;
设,当时,,当时,,
∴,解得:,
∴z与x之间的函数关系式为:
(2)解:设总利润为元,则
;
当时,取得最大值,
所以,第15天利润最大,最大值为:(元).
(3)解:由题意可得:第20天开始每件商品的单价为元,每件商品的利润为:元,
设此时利润为:元,则
当时,取得最大值,
最大值为:;
当最大值为时,
∴,
整理得:,
解得:,(不合题意,舍去)
综上:第天时,取得最大值,当利润为元时,.
【解析】【分析】(1)由题意可得y是x的一次函数,设y=kx+b,将x=1、y=220;x=2、y=240代入求出k、b的值,可得y与x的关系式;设z=mx+n,将x=1、z=98;x=2、z=96代入求出m、n的值,可得z与x之间的函数关系式;
(2)设总利润为w元,根据(售价-成本价)×销售量可得w与x的关系式,然后利用二次函数的性质进行解答;
(3)由题意可得:第20天开始每件商品的单价为(-2x+100-a)元,每件商品的利润为(-2x+80-a)元,设此时利润为w1元,根据每件的利润×销售量=总利润可得w1与x的关系式,然后根据二次函数的性质进行解答.