2023—2024学年沪科版八年级数学上册第13章三角形中的边角关系 命题与证明单元复习题（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023—2024学年沪科版八年级数学上册第13章三角形中的边角关系 命题与证明单元复习题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 269.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-31 21:03:09 | ||
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文档简介
沪科版八年级数学上册第13章三角形中的边角关系 命题与证明单元复习题
一、选择题
1．下列每组数分别表示三条线段长度，将它们首尾顺次相接能构成三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
2．如图，中AD为中线，，则与的周长之差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．三个内角的度数之比为3：4：5，那么是（ ）
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
4．下列是命题的是（ ）
A．作两条相交直线 B．∠α和∠β相等吗？
C．全等三角形的对应边相等 D．若，求a的值
5．下列结论正确的是（ ）
A．有理数与数轴上的点一一对应 B．二次根式有意义条件是
C．立方根等于它本身是 D．如果，那么
6． 如图，在△ABC 中，E 是 BC 上的一点，EC＝2BE，点 D 是 AC 的中点，设△ABC，△ADF，△BEF 的面积分别为 S△ABC，S△ADF，S△BEF，且 S△ABC＝18，则 S△ADF﹣S△BEF（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
7．等腰三角形的一个角是，则它的底角是（ ）
A． B． C．或 D．或
8．如图，是的平分线，，，则（ ）
A． B． C． D．
9．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等 B．如果，那么
C．钝角三角形中有两个锐角 D．对顶角相等
10．下列说法正确的个数是（ ）
①函数的图象不经过第三象限
②一组数据5，6，7，6，8，10的众数和中位数都是6
③将的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，图象经过原点
④式子有意义的条件是且
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11． 如图，是的一条中线，若，则 ．
12．将命题“对顶角相等”用“如果…那么…”的形式可以改写为 ．
13．如图，在中，点D、E、F分别是线段BC、AD、CE的中点，且，则 .
14．下列命题：①内错角相等；②平方根等于本身的数是0；③已知点A（2，3），B（2，﹣3），则直线AB∥y轴：④不等式组1＜x＜a的整数解只有1个，则a的取值范围为2＜a≤3；其中是真命题的有： （填序号）．
三、解答题
15． 如图，中，于点E，AF是的平分线，交BE于点F，，，求的度数．
16．如图，在中，，，是的角平分线，求的度数．
17．写出命题“等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题，判断这个命题的真假，并说明理由．
四、综合题
18．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，过点E作EF垂直BC，垂足为点F．
（1）∠ABC＝35°，∠EBD＝18°，∠BAD＝30°，求∠BED的度数；
（2）若△ABC的面积为30，EF＝5，求CD的长度．
19．请判断下列命题的真假性，若是假命题，请举反例说明．
（1）若a＞b，则a2＞b2；
（2）两个无理数的和仍是无理数；
（3）若三条线段a，b，c满足a＋b＞c，则这三条线段a，b，c能够组成三角形．
20．等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.
（1）如图1，在中，，，，，，则的长为： .
（2）如图2，在中，，，则的高与的比是： .
（3）如图3，在中，，点D，P分别在边，上，且，，，垂足分别为点E，F.若，求的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A：1+2<6，不能构成三角形，不符合题意；
B：2+2=4，不能构成三角形，不符合题意；
C：1+2=3，不能构成三角形，不符合题意；
D：2+3>4，能构成三角形，符合题意.
故答案为：D
【分析】根据三角形三边关系即可求出答案.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∴＝（AB+AD+BD）－（AC+AD+DC）＝AB﹣AC＝8﹣6＝2，
故答案为：B.
【分析】根据三角形的中线的定义得到BD＝DC，然后根据三角形的周长公式表示出两三角形的周长之差计算即可．
3．【答案】B
【解析】【解答】解：设这三个内角的度数分别为3x°，4x°，5x°．
则3x+4x+5x＝180，
解得x＝15，
∴5x°＝75°，3x°＝45°，4x°＝60°，
所以这个三角形是锐角三角形，
故答案为：B.
【分析】已知三角形三个内角的度数之比，可以设这三个内角的度数分别为3x°，4x°，5x°，根据三角形的内角和等于180°列方程求解即可求出三个内角的度数，再从角的角度来判断三角形的形状．
4．【答案】C
【解析】【解答】解：A、“作两条相交直线”，它不是命题，所以A选项错误；
B、“∠α和∠β相等吗？”，它不是命题，所以A选项错误；
C、全等三角形对应边相等，它是命题，所以C选项正确；
D、“若a2＝4，求a的值”，它不是命题，所以D选项错误．
故答案为：D.
【分析】根据命题的定义即：判断一件事情的语句叫做命题，逐个判断即可.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：A．实数与数轴上的点一一对应，不符合题意；
B．二次根式有意义条件是全体实数，不符合题意；
C．立方根等于它本身是和0，不符合题意；
D．如果，那么，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据真命题的定义逐项判断即可。
6．【答案】C
7．【答案】D
【解析】【解答】解：当80°的角为顶角时，
底角=（180°-80°）=50°.
情况二：当80°的角为底角时，
80°2=160°，小于180°同样满足
它的底角是或
故答案为：D.
【分析】本题考察了等腰三角形的内角和，底角的知识点。
8．【答案】C
【解析】【解答】∵∠DAE=60°，
∴∠BAD=120°，
∵AD是∠CAE的平分线，
∴∠CAD=∠BAD=60°，
∴∠BAC=180°-∠CAE=180°-120°=60°，
∵∠B=35°，
∴∠D=180°-（∠BAC+∠CAD）-∠B=180°-120°-35°=25°，
∴∠ACB=∠CAD+∠D=60°+25°=85°，
故答案为：C.
【分析】先利用角平分线的定义求出∠CAD=∠BAD=60°，再利用角的运算求出∠D的度数，最后求出∠ACB的度数即可.
9．【答案】A
10．【答案】B
【解析】【解答】解：①∵，∴函数的图象经过一、二、四象限，不过第三象限，原说法符合题意；
②一组数据5，6，7，6，8，10重新排列后为5，6，6，7，8，10，众数是6，中位数是，原说法不符合题意；
③将的图象沿y轴向下平移3个单位长度后的解析式是：，图象不经过原点，原说法不符合题意；
④式子有意义的条件是且，原说法符合题意．
说法正确的有①④，共2个．
故答案为：B．
【分析】根据真命题的定义逐项判断即可。
11．【答案】10
【解析】【解答】解：∵是的一条中线，，
∴BC=2BD=10，
故答案为：10.
【分析】根据三角形的中线求出BC=2BD=10，即可作答。
12．【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【解析】【解答】解：命题“对顶角相等”用“如果…那么…”的形式可以改写为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 ；
故答案为： 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 .
【分析】先找出命题的题设和结论，再写成“如果…那么…”的形式即可.
13．【答案】4
【解析】【解答】∵F为CE中点，
∴，
∵E为AD中点，
∴，
∴，
∵F为CE中点，
∴
故答案为：4.
【分析】由中点可以得到三角形的中线，可得到等底等高的三角形的面积相等，用△ABC的面积表示出△BDE和△CDE的面积，从而得到△BCE的面积，再由BF是△BEC的中线可得到△BEF的面积是△ABC的面积的一半，然后代入数据进行计算即可得解.
14．【答案】②③④
【解析】【解答】解：①两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
②平方根等于本身的数是0，正确，是真命题，符合题意；
③已知点A（2，3），B（2，﹣3），则直线AB∥y轴，正确，是真命题，符合题意；
④不等式组1＜x＜a的整数解只有1个，则a的取值范围为2＜a≤3，正确，是真命题，符合题意.
故答案为：②③④.
【分析】根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可判断①；根据平方根的性质“一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，负数没有平方根，0的平方根是0”可判断②；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同，据此判断③；根据不等式组的整数解可得a的范围，据此判断④.
15．【答案】解：∵，，
∴．
∵AF是的平分线，
∴．
∵，
∴，
∴．
16．【答案】解：在中，
，，
，
是的角平分线，
，
【解析】【分析】从问题入手，要求的度数，根据三角形的外角和等于不相邻的两个内角和，就需要先求，由此要求，是三角形ABC的一个内角，其他2个内角已知，根据内角和是180°的性质可求，至此整理思路即可。
17．【答案】解：命题“等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题是两边上的高相等的三角形为等腰三角形，此逆命题为真命题．
如图，在△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，且CD=BE，
∵BC=BC，
∴△CBD≌△BCE（HL），
∴∠DBC=∠ECB，
∴△ABC为等腰三角形．
【解析】【分析】根据命题与逆命题的性质判断即可.
18．【答案】（1）解：∵∠ABC＝35°，∠EBD＝18°，
∴∠ABE＝35°﹣18°＝17°，
∴∠BED＝∠ABE+∠BAD＝17°+30°＝47°
（2）解：∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD＝S△ABC，
又∵S△ABC＝30，
∴S△ABD＝×30＝15，
又∵BE为△ABD的中线
∴S△BDE＝S△ABD，
∴S△BDE＝×15＝，
∵EF⊥BC，且EF＝5，
∴S△BDE＝ BD EF，
∴ BD×5＝，
∴BD＝3，
∴CD＝BD＝3．
【解析】【分析】（1）由∠ABE=∠ABC-∠EBD求出∠ABE的度数，由外角的性质可得∠BED＝∠ABE+∠BAD，据此计算；
（2）根据等底同高三角形的面积相等得S△ABD＝S△ABC=15，S△BDE＝S△ABD=，根据三角形的面积公式可得BD，据此求解.
19．【答案】（1）解：若a＞b，则a2＞b2，是假命题，例如：0＞﹣1，但02＜（﹣1）2
（2）解：两个无理数的和仍是无理数，是假命题，例如：﹣ + =0，和是有理数
（3）解：若三条线段a，b，c满足a+b＞c，则这三条线段a，b，c能够组成三角形，是假命题，例如：三条线段a=3，b=2，c=1满足a+b＞c，但这三条线段不能够组成三角形。
【解析】【分析】（1）命题的真假，观察是否可以举出反例，使得题设推不出结论部分，当0＞-1时，可证明命题为假。
（2）当两个无理数互为相反数时，两个无理数的和为0，可以证明命题为假命题。
（3）三角形的三边关系为，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，所以命题可以被证明为假命题。
20．【答案】（1）
（2）1：2
（3）解：，，，
，
，
又，
，
即.
【解析】【解答】解：（1）如图1中，
，
，
；
故答案为：；
（2）如图2中，
，
，
；
故答案为：；
【分析】（1）根据即可求解；
（2）根据即可求解；
（3）由，即得，结合BP=AP，代入相应数据即可求解.
一、选择题
1．下列每组数分别表示三条线段长度，将它们首尾顺次相接能构成三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
2．如图，中AD为中线，，则与的周长之差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．三个内角的度数之比为3：4：5，那么是（ ）
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
4．下列是命题的是（ ）
A．作两条相交直线 B．∠α和∠β相等吗？
C．全等三角形的对应边相等 D．若，求a的值
5．下列结论正确的是（ ）
A．有理数与数轴上的点一一对应 B．二次根式有意义条件是
C．立方根等于它本身是 D．如果，那么
6． 如图，在△ABC 中，E 是 BC 上的一点，EC＝2BE，点 D 是 AC 的中点，设△ABC，△ADF，△BEF 的面积分别为 S△ABC，S△ADF，S△BEF，且 S△ABC＝18，则 S△ADF﹣S△BEF（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
7．等腰三角形的一个角是，则它的底角是（ ）
A． B． C．或 D．或
8．如图，是的平分线，，，则（ ）
A． B． C． D．
9．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等 B．如果，那么
C．钝角三角形中有两个锐角 D．对顶角相等
10．下列说法正确的个数是（ ）
①函数的图象不经过第三象限
②一组数据5，6，7，6，8，10的众数和中位数都是6
③将的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，图象经过原点
④式子有意义的条件是且
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11． 如图，是的一条中线，若，则 ．
12．将命题“对顶角相等”用“如果…那么…”的形式可以改写为 ．
13．如图，在中，点D、E、F分别是线段BC、AD、CE的中点，且，则 .
14．下列命题：①内错角相等；②平方根等于本身的数是0；③已知点A（2，3），B（2，﹣3），则直线AB∥y轴：④不等式组1＜x＜a的整数解只有1个，则a的取值范围为2＜a≤3；其中是真命题的有： （填序号）．
三、解答题
15． 如图，中，于点E，AF是的平分线，交BE于点F，，，求的度数．
16．如图，在中，，，是的角平分线，求的度数．
17．写出命题“等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题，判断这个命题的真假，并说明理由．
四、综合题
18．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，过点E作EF垂直BC，垂足为点F．
（1）∠ABC＝35°，∠EBD＝18°，∠BAD＝30°，求∠BED的度数；
（2）若△ABC的面积为30，EF＝5，求CD的长度．
19．请判断下列命题的真假性，若是假命题，请举反例说明．
（1）若a＞b，则a2＞b2；
（2）两个无理数的和仍是无理数；
（3）若三条线段a，b，c满足a＋b＞c，则这三条线段a，b，c能够组成三角形．
20．等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.
（1）如图1，在中，，，，，，则的长为： .
（2）如图2，在中，，，则的高与的比是： .
（3）如图3，在中，，点D，P分别在边，上，且，，，垂足分别为点E，F.若，求的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A：1+2<6，不能构成三角形，不符合题意；
B：2+2=4，不能构成三角形，不符合题意；
C：1+2=3，不能构成三角形，不符合题意；
D：2+3>4，能构成三角形，符合题意.
故答案为：D
【分析】根据三角形三边关系即可求出答案.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∴＝（AB+AD+BD）－（AC+AD+DC）＝AB﹣AC＝8﹣6＝2，
故答案为：B.
【分析】根据三角形的中线的定义得到BD＝DC，然后根据三角形的周长公式表示出两三角形的周长之差计算即可．
3．【答案】B
【解析】【解答】解：设这三个内角的度数分别为3x°，4x°，5x°．
则3x+4x+5x＝180，
解得x＝15，
∴5x°＝75°，3x°＝45°，4x°＝60°，
所以这个三角形是锐角三角形，
故答案为：B.
【分析】已知三角形三个内角的度数之比，可以设这三个内角的度数分别为3x°，4x°，5x°，根据三角形的内角和等于180°列方程求解即可求出三个内角的度数，再从角的角度来判断三角形的形状．
4．【答案】C
【解析】【解答】解：A、“作两条相交直线”，它不是命题，所以A选项错误；
B、“∠α和∠β相等吗？”，它不是命题，所以A选项错误；
C、全等三角形对应边相等，它是命题，所以C选项正确；
D、“若a2＝4，求a的值”，它不是命题，所以D选项错误．
故答案为：D.
【分析】根据命题的定义即：判断一件事情的语句叫做命题，逐个判断即可.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：A．实数与数轴上的点一一对应，不符合题意；
B．二次根式有意义条件是全体实数，不符合题意；
C．立方根等于它本身是和0，不符合题意；
D．如果，那么，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据真命题的定义逐项判断即可。
6．【答案】C
7．【答案】D
【解析】【解答】解：当80°的角为顶角时，
底角=（180°-80°）=50°.
情况二：当80°的角为底角时，
80°2=160°，小于180°同样满足
它的底角是或
故答案为：D.
【分析】本题考察了等腰三角形的内角和，底角的知识点。
8．【答案】C
【解析】【解答】∵∠DAE=60°，
∴∠BAD=120°，
∵AD是∠CAE的平分线，
∴∠CAD=∠BAD=60°，
∴∠BAC=180°-∠CAE=180°-120°=60°，
∵∠B=35°，
∴∠D=180°-（∠BAC+∠CAD）-∠B=180°-120°-35°=25°，
∴∠ACB=∠CAD+∠D=60°+25°=85°，
故答案为：C.
【分析】先利用角平分线的定义求出∠CAD=∠BAD=60°，再利用角的运算求出∠D的度数，最后求出∠ACB的度数即可.
9．【答案】A
10．【答案】B
【解析】【解答】解：①∵，∴函数的图象经过一、二、四象限，不过第三象限，原说法符合题意；
②一组数据5，6，7，6，8，10重新排列后为5，6，6，7，8，10，众数是6，中位数是，原说法不符合题意；
③将的图象沿y轴向下平移3个单位长度后的解析式是：，图象不经过原点，原说法不符合题意；
④式子有意义的条件是且，原说法符合题意．
说法正确的有①④，共2个．
故答案为：B．
【分析】根据真命题的定义逐项判断即可。
11．【答案】10
【解析】【解答】解：∵是的一条中线，，
∴BC=2BD=10，
故答案为：10.
【分析】根据三角形的中线求出BC=2BD=10，即可作答。
12．【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【解析】【解答】解：命题“对顶角相等”用“如果…那么…”的形式可以改写为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 ；
故答案为： 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 .
【分析】先找出命题的题设和结论，再写成“如果…那么…”的形式即可.
13．【答案】4
【解析】【解答】∵F为CE中点，
∴，
∵E为AD中点，
∴，
∴，
∵F为CE中点，
∴
故答案为：4.
【分析】由中点可以得到三角形的中线，可得到等底等高的三角形的面积相等，用△ABC的面积表示出△BDE和△CDE的面积，从而得到△BCE的面积，再由BF是△BEC的中线可得到△BEF的面积是△ABC的面积的一半，然后代入数据进行计算即可得解.
14．【答案】②③④
【解析】【解答】解：①两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
②平方根等于本身的数是0，正确，是真命题，符合题意；
③已知点A（2，3），B（2，﹣3），则直线AB∥y轴，正确，是真命题，符合题意；
④不等式组1＜x＜a的整数解只有1个，则a的取值范围为2＜a≤3，正确，是真命题，符合题意.
故答案为：②③④.
【分析】根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可判断①；根据平方根的性质“一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，负数没有平方根，0的平方根是0”可判断②；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同，据此判断③；根据不等式组的整数解可得a的范围，据此判断④.
15．【答案】解：∵，，
∴．
∵AF是的平分线，
∴．
∵，
∴，
∴．
16．【答案】解：在中，
，，
，
是的角平分线，
，
【解析】【分析】从问题入手，要求的度数，根据三角形的外角和等于不相邻的两个内角和，就需要先求，由此要求，是三角形ABC的一个内角，其他2个内角已知，根据内角和是180°的性质可求，至此整理思路即可。
17．【答案】解：命题“等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题是两边上的高相等的三角形为等腰三角形，此逆命题为真命题．
如图，在△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，且CD=BE，
∵BC=BC，
∴△CBD≌△BCE（HL），
∴∠DBC=∠ECB，
∴△ABC为等腰三角形．
【解析】【分析】根据命题与逆命题的性质判断即可.
18．【答案】（1）解：∵∠ABC＝35°，∠EBD＝18°，
∴∠ABE＝35°﹣18°＝17°，
∴∠BED＝∠ABE+∠BAD＝17°+30°＝47°
（2）解：∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD＝S△ABC，
又∵S△ABC＝30，
∴S△ABD＝×30＝15，
又∵BE为△ABD的中线
∴S△BDE＝S△ABD，
∴S△BDE＝×15＝，
∵EF⊥BC，且EF＝5，
∴S△BDE＝ BD EF，
∴ BD×5＝，
∴BD＝3，
∴CD＝BD＝3．
【解析】【分析】（1）由∠ABE=∠ABC-∠EBD求出∠ABE的度数，由外角的性质可得∠BED＝∠ABE+∠BAD，据此计算；
（2）根据等底同高三角形的面积相等得S△ABD＝S△ABC=15，S△BDE＝S△ABD=，根据三角形的面积公式可得BD，据此求解.
19．【答案】（1）解：若a＞b，则a2＞b2，是假命题，例如：0＞﹣1，但02＜（﹣1）2
（2）解：两个无理数的和仍是无理数，是假命题，例如：﹣ + =0，和是有理数
（3）解：若三条线段a，b，c满足a+b＞c，则这三条线段a，b，c能够组成三角形，是假命题，例如：三条线段a=3，b=2，c=1满足a+b＞c，但这三条线段不能够组成三角形。
【解析】【分析】（1）命题的真假，观察是否可以举出反例，使得题设推不出结论部分，当0＞-1时，可证明命题为假。
（2）当两个无理数互为相反数时，两个无理数的和为0，可以证明命题为假命题。
（3）三角形的三边关系为，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，所以命题可以被证明为假命题。
20．【答案】（1）
（2）1：2
（3）解：，，，
，
，
又，
，
即.
【解析】【解答】解：（1）如图1中，
，
，
；
故答案为：；
（2）如图2中，
，
，
；
故答案为：；
【分析】（1）根据即可求解；
（2）根据即可求解；
（3）由，即得，结合BP=AP，代入相应数据即可求解.