浙江省金华市金东区2023-2024学年八年级上册数学开学试卷
一、仔细选一选（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不得分．）
1．要调查某校七年级学生周日的睡眠时间，选取调查对象最合适的是（ ）
A．选取七年级一个班级的学生 B．选取50名七年级男生
C．选取50名七年级女生 D．随机选取50名七年级学生
【答案】D
【知识点】收集数据的过程与方法
【解析】【解答】解：因为要调查某校七年级学生周日的睡眠时间，所以选取调查对象是随机选取50名七年级学生，
故选：D．
【分析】抽样要具有随机性和代表性，比每个层次都要考虑到，并且每个被调查的对象被抽到的机会相同．
2．（2023八上·金东开学考）航空工业作为“现代工业之花”，对航空材料的选取有极高的要求．我国科研人员攻克技术难题，已经能将航空发动机风扇叶片关键曲面轮廓误差控制在0.000007m以内.0.000007用科学记数法表示为（ ）
A．7×10﹣6 B．7×10﹣5 C．0.7×10﹣6 D．0.7×10﹣5
【答案】A
【知识点】科学记数法—记绝对值小于1的数
【解析】【解答】解：根据题意可知， 0.000007 =7×10﹣6.
故答案为： 7×10﹣6 .
【分析】本题用科学记数法a×10-n（1≤|a|<10，n为负整数）表示，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
3．（2019七上·海南月考）计算a2+3a2的结果是 （ ）
A．3a2 B．4a2 C．3a4 D．4a4
【答案】B
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【分析】本题考查整式的加法运算，实质上就是合并同类项，根据运算法则字母部分不变，系数相加减．
【解答】a2+3a2=4a2．
故选B．
4．（2023八上·金东开学考）是下面哪个二元一次方程的解（ ）
A．y＝﹣x+2 B．x﹣2y＝1 C．x＝y﹣2 D．2x﹣3y＝1
【答案】D
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：把代入 y＝﹣x+2 ，得y=-5+2=-3≠3，等式不成立，故A错误；
把代入 x﹣2y＝1 ，得5-2×3=-1≠1，等式不成立，故B错误；
把代入 x＝y﹣2 ，得x=3-2=1≠5，等式不成立，故C错误；
把代入 2x﹣3y＝1 ，得2×5-3×3=1，等式成立，故D正确；
故答案为：D.
【分析】把 代入各个选项中，使得方程成立的便是正确选项.
5．若a＞b，则下列式子中一定成立的是（ ）
A．a﹣2＜b﹣2 B． ＞ C．2a＞b D．3﹣a＞3﹣b
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、由不等式的性质1可知A错误；
B、由不等式的性质2可知B正确；
C、不符合不等式的基本性质，故C错误；
D、先由不等式的性质3得到﹣a＜﹣b，然后由不等式的性质1可知3﹣a＜2﹣b，故D错误．
故选：B．
【分析】依据不等式的基本性质解答即可．
6．（2023八上·金东开学考）一个直尺和一个含45°的直角三角板按如图方式叠合在一起（三角板的两个顶点分别在直尺的边上），若∠1＝20°，则∠2的度数是（ ）
A．20° B．65° C．70° D．75°
【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示.
根据直尺中的平行线的性质可知，∠3=∠1=20° .
根据直角三角板中的直角可知，∠3+∠2= 90°.
∴∠2=70°.
故答案为：C．
【分析】根据直尺中的平行线的性质和直角三角板中余角的关系即可求得答案.
7．（2023八上·金东开学考）下列多项式中能用完全平方公式分解的是（ ）
A．x2﹣x+1 B．1﹣2x+x2 C．a2+a+ D．﹣a2+b2﹣2ab
【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： A、 x2﹣x+1中的一次项的系数不合题意，A错误；
B、 1﹣2x+x2合题意，B正确；
C、 a2+a+中的一次项的系数不合题意，C错误；
D 、-a2+b2﹣2ab中的 a2和b2的系数不同号，D错误；
故答案为：B.
【分析】 根据完全平方公式（a±b）2 = a2 ± 2ab+b2的特征即可判断.
8．（2023七下·宁河月考）如图，以每秒的速度沿着射线向右平移，平移2秒后所得图形是，如果，那么的长是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵以每秒的速度沿着射线向右平移，平移2秒后所得图形是，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】连接，由平移的性质可得，从而得出CE=AD=2cm，利用BC=BE+CE即得结论.
9．（2023八上·金东开学考）如图，点B，F，E，D共线，∠B＝∠D，BE＝DF，添加一个条件，不能判定△ABF≌△CDE的是（ ）
A．AF∥CE B．∠A＝∠C C．AF＝CE D．AB＝CD
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、若AF∥CE，可用ASA证明△ABF≌△CDE，A错误；
B、若∠A=∠C，可用AAS证明△ABF≌△CDE，B错误；
C、若 AF＝CE ，根据SSA不能判定三角形全等，C正确；
D、若AB=CD，也可用SAS证明△ABF≌△CDE，D错误；
故答案为：C.
【分析】根据三角形全等的判定定理依次判断即可.
10．（2023八上·金东开学考）为迎接亚运，某校购买了一批篮球和足球，已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元，设足球的单价为x元，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设足球的单价为x元 ，则篮球的单价是（30+x）元.
根据题意，得 .
故答案为：A.
【分析】找出题干中的数量关系，然后列分式方程即可.
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2017·房山模拟）分解因式：2m2﹣18= ．
【答案】2（m+3）（m﹣3）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=2（m2﹣9）
=2（m+3）（m﹣3）．
故答案为：2（m+3）（m﹣3）．
【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
12．（2023八上·金东开学考）计算：+的结果是 ．
【答案】2
【知识点】分式的通分；分式的加减法
【解析】【解答】解： + = - == ==2.
故答案为：2
【分析】先进行通分，再根据分式的加减法进行运算，注意符号的变化.
13．（2023八上·金东开学考）为推广全民健身运动，某单位组织员工进行爬山比赛，其中青年组有20人，中年组有17人，老年组有13人，则中年组的频率是 ．
【答案】0.34
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：已知三组员工的人数，可以求出该单位的总人数：20+17+13=50（人）；要求该单位中年组的频率，其实就是求中年组占总人数的比例，所以中年组的频率为17÷50=0.34.
故答案为：0.34
【分析】根据频率的定义即可得到答案.
14．（2022七下·灌阳期中）满足方程组 的x，y互为相反数，则m = .
【答案】1
【知识点】相反数及有理数的相反数；二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：由题意得x=-y，将其代入方程组得： ，
即 ，
∴3m=m+2，
解得：m=1.
故答案为：1.
【分析】根据方程组的解互为相反数，可得x=-y，将其代入方程组可得，消去y可得3m=m+2，解之即可.
15．（2021七下·五常期中）如图，将长方形沿翻折，点的对应点恰好落在边上，若，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据翻折的性质可得：
，
，且
，
，
，
，
又
四边形
是长方形，
，
，
，
故答案是：
．
【分析】根据翻折的性质可得
，由平角的定义可求出
，从而求出
，根据长方形的性质可得AD∥BC，利用平行线的性质可得
，继而得解.
16．（2023八上·金东开学考）在△ABC中，AB＝AC，且过△ABC某一顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角形，则∠BAC的度数为 ．
【答案】90°或108°或36°或
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：分两种情况：（1）当以点A为顶点时，如图1，AD = BD = CD.
∴∠BAD = ∠ABD.∵AB =AC，∴AD⊥BC，∠BAC = 2∠ABD.∴∠ABD = 45°.∴∠BAC = 90°；
如图2，AD = BD，AC = CD.
∴∠BAD = ∠ABD，∠CAD = ∠CDA.∵AB = AC，∴∠ABD = ∠ACD.
∵∠CDA = ∠BAD + ∠ABD = 2∠ABD，∴∠CDA =2∠ACD.
∵∠CDA + ∠CAD + ∠ACD = 180°，∴5∠ACD = 180°.∴∠ACD = 36°.
∴∠BAC = ∠BAD + ∠CAD = 3∠ACD = 108°；
（2）当以点B为顶点时，如图3，AD = BD = BC.
∴∠BAD = ∠ABD，∠BCD = ∠BDC.∵AB = AC，∴∠ABC = ∠ACB.
∵∠BDC = ∠BAD + ∠ABD = 2∠BAD，∴∠ABC = ∠ACB =2∠BAD.
∵∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°，∴5∠BAC= 180°.∴∠BAC = 36°；
如图4，AD = BD，BC = CD.
∴∠BAD = ∠ABD，∠CBD = ∠CDB.∵AB = AC，∴∠ABC = ∠ACB.
∵∠BDC = ∠BAD + ∠ABD = 2∠BAD，∴∠ABC = ∠ABD + ∠CBD = 3∠BAD.
∵∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°，∴7∠BAC= 180°.∴∠BAC = .
综上所述，∠BAC的度数为90°或108°或36°或.
【分析】 分类讨论以点A或点B为顶点，然后根据等腰三角形的性质找出角的关系，最后根据三角形外角性质以及三角形内角和定理即可求解．
三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．（2023八上·金东开学考）计算：
（1）（16xy2﹣4xy）÷4xy；
（2）（a+3）（a﹣3）+a（1﹣a）．
【答案】（1）解：原式＝16xy2÷4xy﹣4xy÷4xy
＝4y﹣1.
（2）解：原式＝a2﹣9+a﹣a2
＝a﹣9．
【知识点】整式的混合运算；多项式除以单项式
【解析】【分析】（1）题中（A-B)÷C可以用A÷C-B÷C来进行计算.
（2）题中根据完全平方公式和多项式乘法进行计算，最后再进行合并同类项即可.
18．（2023八上·金东开学考）解方程（组）：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
②×2﹣①，得5x＝10.
解得x＝2.
将x＝2代入①，得2+2y＝8.
解得y＝3.
故原方程组的解为
（2）解：原方程两边同乘（x2﹣1），去分母，得2x（x﹣1）﹣2（x2﹣1）＝3.
去括号，得2x2﹣2x﹣2x2+2＝3.
移项、合并同类项，得﹣2x＝1.
系数化为1，得x＝.
检验：把x＝代入（x2﹣1），得﹣1＝≠0.
则原方程的解为x＝．
【知识点】解分式方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组，最后再把二元一次方程组的解代入检验即可.
（2）按照解分式方程的步骤：去分母，去括号，移项、合并同类项和系数化为1进行求解.
19．（2023八上·金东开学考）解不等式（组）：
（1）5x﹣2＞x+1；
（2）．
【答案】（1）解：移项，得5x﹣x＞1+2.
合并同类项，得4x＞3.
系数化为1，得x＞.
（2）解：
解不等式①，得x＞﹣3.
解不等式②，得x＜.
∴原不等式组的解集为-3＜x＜．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）根据解一元一次不等式的一般步骤求解即可.
（2）根据解不等式组的步骤分别求解两个不等式，即可得到不等式组的解集.
20．（2023八上·金东开学考）在6×5的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点都在格点上）．
⑴在图1中画出将△ABC向右平移3个单位后得到的△A1B1C1；
⑵在图2中画出△ABC关于直线MN成轴对称的△A2B2C2．
【答案】解：⑴如图1，△A1B1C1即为所求.
⑵如图2，△A2B2C2即为所求．
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣平移
【解析】【分析】1）根据平移规则，进行作图即可.
（2）根据轴对称的性质，进行作图即可.
21．（2023七上·西安期末）学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术，科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图.请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了多少名同学；
（2）求条形统计图中m，n的值；
（3）扇形统计图中，求艺术类读物所在扇形的圆心角的度数.
【答案】（1）解：，
∴一共调查了200名同学；
（2）解：最喜爱科普类读物的人数为，
∴，
∴；
（3）解：艺术类读物所在扇形的圆心角的度数为.
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图
【解析】【分析】（1）根据条形图和扇形图可知文学的频数和百分数，然后由样本容量=频数÷百分数可求解；
（2）根据频数=样本容量×百分数可求得最喜爱科普类读物的人数n的值；然后根据样本容量等于各小组频数之和可求得m的值；
（3）根据圆心角的度数=360°×相应的百分数可求得艺术类读物所在扇形的圆心角的度数.
22．（2023七下·和平期末）如图，点、、、在同一条直线上，与相交于点，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴∠ACB =∠F =36°，
∵，
∴．
∵，
∴
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】(1)先利用平行线的性质通过ASA判定，再由全等三角形的性质得到AC=DF.
(2)先利用平行线的性质得到的度数，再通过三角形的内角和定理求得的度数，进而得到的度数．
23．（2023八上·金东开学考）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计板材裁切方案？
素材1 图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为40cm×15cm，座垫尺寸为40cm×35cm．图2是靠背与座垫的尺寸示意图．
素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为240cm，宽为40cm．（裁切时不计损耗）
我是板材裁切师
（1）任务一：拟定裁切方案
若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法．
方法一：裁切靠背16张和座垫0张．
方法二：裁切靠背 张和坐垫 张．
方法三：裁切靠背 张和坐垫 张．
（2）任务二：确定搭配数量
若该工厂购进50张该型号板材，能制作成多少张学生椅？
（3）任务三：解决实际问题
现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有1张座垫和11张靠背，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案．
【答案】（1）9；3；2；6
（2）解：根据题意，得＝240（张）.
答：该工厂购进50张该型号板材，能制作成240张学生椅.
（3）解：设用x张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用y张板材裁切靠背2张和坐垫6张.
根据题意，得解得∴57+88＝145（张）.
答：需要购买该型号板材145张，用其中57张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用88张板材裁切靠背2张和坐垫6张．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【解答】：(1)设裁切靠背m张，坐垫n张.根据题意，15m+35n=240，∴n=，然后求出非负整数解，
，m=9，n=3.m=2，n=6符合题意.
【分析】 任务一：设裁切靠背x张，坐垫y张.根据题意，得15x + 35y = 240. 然后求出非负整数解即可；
任务二：根据题意，列式计算即可；
任务三：设用x张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用y张板材裁切靠背2张和坐垫6张，根据题意列方程组求解即可.
24．（2023八上·金东开学考）在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，BP是AC边上的高线，将一块三角板的直角顶点放在点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AB、BC于D、E两点．图1和图2是旋转三角板得到的图形中的两种情况．
（1）求证：BP＝CP；
（2）猜想线段PD与PE之间的数量关系，并结合图1证明你的结论；
（3）在三角板绕点P旋转的整个过程中，当△PEC为等腰三角形时，求BE的长．
【答案】（1）证明：∵AB＝BC，∠ABC＝90°，BP是AC边上的高线，
∴AP＝CP，
∴BP＝CP；
（2）解：PD＝PE，
证明：∵△ABC是等腰直角三角形，P是AC的中点，
∴CP＝PB，∠ABP＝∠ABC＝45°，
∴∠ABP＝∠C＝45°．
又∵∠DPB+∠BPE＝∠CPE+∠BPE＝90°，
∴∠DPB＝∠CPE．
∴△PBD≌△PCE（ASA）．
∴PD＝PE；
（3）解：当BE＝0时，即点B和点E重合，故可知△PEC是等腰三角形，如图，
当BE＝时，即E是BC的中点，可得△PEC是等腰三角形，如图，
∵AB＝BC＝2，P是AC的中点，
∴PC＝，
当CP＝CE时，△PEC是等腰三角形，如图，
∴BE＝2﹣；
当E在BC的延长线上时，CE＝CP，△PEC是等腰三角形，BE＝2+，如图，
综上所述，当△PEC为等腰三角形时，BE的长为0、、2﹣或2+．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得出结论；
（2）根据ASA证明△PBD≌△PCE，再根据全等三角形的性质可得出结论；
（3）根据△PEC为等腰三角形，分四种情况讨论：当BE＝0时，当BE＝时，当CP＝CE时，当E在BC的延长线上时，CE＝CP，即可可得出答案．
1 / 1浙江省金华市金东区2023-2024学年八年级上册数学开学试卷
一、仔细选一选（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不得分．）
1．要调查某校七年级学生周日的睡眠时间，选取调查对象最合适的是（ ）
A．选取七年级一个班级的学生 B．选取50名七年级男生
C．选取50名七年级女生 D．随机选取50名七年级学生
2．（2023八上·金东开学考）航空工业作为“现代工业之花”，对航空材料的选取有极高的要求．我国科研人员攻克技术难题，已经能将航空发动机风扇叶片关键曲面轮廓误差控制在0.000007m以内.0.000007用科学记数法表示为（ ）
A．7×10﹣6 B．7×10﹣5 C．0.7×10﹣6 D．0.7×10﹣5
3．（2019七上·海南月考）计算a2+3a2的结果是 （ ）
A．3a2 B．4a2 C．3a4 D．4a4
4．（2023八上·金东开学考）是下面哪个二元一次方程的解（ ）
A．y＝﹣x+2 B．x﹣2y＝1 C．x＝y﹣2 D．2x﹣3y＝1
5．若a＞b，则下列式子中一定成立的是（ ）
A．a﹣2＜b﹣2 B． ＞ C．2a＞b D．3﹣a＞3﹣b
6．（2023八上·金东开学考）一个直尺和一个含45°的直角三角板按如图方式叠合在一起（三角板的两个顶点分别在直尺的边上），若∠1＝20°，则∠2的度数是（ ）
A．20° B．65° C．70° D．75°
7．（2023八上·金东开学考）下列多项式中能用完全平方公式分解的是（ ）
A．x2﹣x+1 B．1﹣2x+x2 C．a2+a+ D．﹣a2+b2﹣2ab
8．（2023七下·宁河月考）如图，以每秒的速度沿着射线向右平移，平移2秒后所得图形是，如果，那么的长是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
9．（2023八上·金东开学考）如图，点B，F，E，D共线，∠B＝∠D，BE＝DF，添加一个条件，不能判定△ABF≌△CDE的是（ ）
A．AF∥CE B．∠A＝∠C C．AF＝CE D．AB＝CD
10．（2023八上·金东开学考）为迎接亚运，某校购买了一批篮球和足球，已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元，设足球的单价为x元，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2017·房山模拟）分解因式：2m2﹣18= ．
12．（2023八上·金东开学考）计算：+的结果是 ．
13．（2023八上·金东开学考）为推广全民健身运动，某单位组织员工进行爬山比赛，其中青年组有20人，中年组有17人，老年组有13人，则中年组的频率是 ．
14．（2022七下·灌阳期中）满足方程组 的x，y互为相反数，则m = .
15．（2021七下·五常期中）如图，将长方形沿翻折，点的对应点恰好落在边上，若，则的度数为 ．
16．（2023八上·金东开学考）在△ABC中，AB＝AC，且过△ABC某一顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角形，则∠BAC的度数为 ．
三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．（2023八上·金东开学考）计算：
（1）（16xy2﹣4xy）÷4xy；
（2）（a+3）（a﹣3）+a（1﹣a）．
18．（2023八上·金东开学考）解方程（组）：
（1）；
（2）．
19．（2023八上·金东开学考）解不等式（组）：
（1）5x﹣2＞x+1；
（2）．
20．（2023八上·金东开学考）在6×5的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点都在格点上）．
⑴在图1中画出将△ABC向右平移3个单位后得到的△A1B1C1；
⑵在图2中画出△ABC关于直线MN成轴对称的△A2B2C2．
21．（2023七上·西安期末）学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术，科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图.请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了多少名同学；
（2）求条形统计图中m，n的值；
（3）扇形统计图中，求艺术类读物所在扇形的圆心角的度数.
22．（2023七下·和平期末）如图，点、、、在同一条直线上，与相交于点，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
23．（2023八上·金东开学考）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计板材裁切方案？
素材1 图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为40cm×15cm，座垫尺寸为40cm×35cm．图2是靠背与座垫的尺寸示意图．
素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为240cm，宽为40cm．（裁切时不计损耗）
我是板材裁切师
（1）任务一：拟定裁切方案
若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法．
方法一：裁切靠背16张和座垫0张．
方法二：裁切靠背 张和坐垫 张．
方法三：裁切靠背 张和坐垫 张．
（2）任务二：确定搭配数量
若该工厂购进50张该型号板材，能制作成多少张学生椅？
（3）任务三：解决实际问题
现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有1张座垫和11张靠背，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案．
24．（2023八上·金东开学考）在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，BP是AC边上的高线，将一块三角板的直角顶点放在点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AB、BC于D、E两点．图1和图2是旋转三角板得到的图形中的两种情况．
（1）求证：BP＝CP；
（2）猜想线段PD与PE之间的数量关系，并结合图1证明你的结论；
（3）在三角板绕点P旋转的整个过程中，当△PEC为等腰三角形时，求BE的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】收集数据的过程与方法
【解析】【解答】解：因为要调查某校七年级学生周日的睡眠时间，所以选取调查对象是随机选取50名七年级学生，
故选：D．
【分析】抽样要具有随机性和代表性，比每个层次都要考虑到，并且每个被调查的对象被抽到的机会相同．
2．【答案】A
【知识点】科学记数法—记绝对值小于1的数
【解析】【解答】解：根据题意可知， 0.000007 =7×10﹣6.
故答案为： 7×10﹣6 .
【分析】本题用科学记数法a×10-n（1≤|a|<10，n为负整数）表示，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
3．【答案】B
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【分析】本题考查整式的加法运算，实质上就是合并同类项，根据运算法则字母部分不变，系数相加减．
【解答】a2+3a2=4a2．
故选B．
4．【答案】D
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：把代入 y＝﹣x+2 ，得y=-5+2=-3≠3，等式不成立，故A错误；
把代入 x﹣2y＝1 ，得5-2×3=-1≠1，等式不成立，故B错误；
把代入 x＝y﹣2 ，得x=3-2=1≠5，等式不成立，故C错误；
把代入 2x﹣3y＝1 ，得2×5-3×3=1，等式成立，故D正确；
故答案为：D.
【分析】把 代入各个选项中，使得方程成立的便是正确选项.
5．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、由不等式的性质1可知A错误；
B、由不等式的性质2可知B正确；
C、不符合不等式的基本性质，故C错误；
D、先由不等式的性质3得到﹣a＜﹣b，然后由不等式的性质1可知3﹣a＜2﹣b，故D错误．
故选：B．
【分析】依据不等式的基本性质解答即可．
6．【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示.
根据直尺中的平行线的性质可知，∠3=∠1=20° .
根据直角三角板中的直角可知，∠3+∠2= 90°.
∴∠2=70°.
故答案为：C．
【分析】根据直尺中的平行线的性质和直角三角板中余角的关系即可求得答案.
7．【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： A、 x2﹣x+1中的一次项的系数不合题意，A错误；
B、 1﹣2x+x2合题意，B正确；
C、 a2+a+中的一次项的系数不合题意，C错误；
D 、-a2+b2﹣2ab中的 a2和b2的系数不同号，D错误；
故答案为：B.
【分析】 根据完全平方公式（a±b）2 = a2 ± 2ab+b2的特征即可判断.
8．【答案】B
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵以每秒的速度沿着射线向右平移，平移2秒后所得图形是，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】连接，由平移的性质可得，从而得出CE=AD=2cm，利用BC=BE+CE即得结论.
9．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、若AF∥CE，可用ASA证明△ABF≌△CDE，A错误；
B、若∠A=∠C，可用AAS证明△ABF≌△CDE，B错误；
C、若 AF＝CE ，根据SSA不能判定三角形全等，C正确；
D、若AB=CD，也可用SAS证明△ABF≌△CDE，D错误；
故答案为：C.
【分析】根据三角形全等的判定定理依次判断即可.
10．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设足球的单价为x元 ，则篮球的单价是（30+x）元.
根据题意，得 .
故答案为：A.
【分析】找出题干中的数量关系，然后列分式方程即可.
11．【答案】2（m+3）（m﹣3）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=2（m2﹣9）
=2（m+3）（m﹣3）．
故答案为：2（m+3）（m﹣3）．
【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
12．【答案】2
【知识点】分式的通分；分式的加减法
【解析】【解答】解： + = - == ==2.
故答案为：2
【分析】先进行通分，再根据分式的加减法进行运算，注意符号的变化.
13．【答案】0.34
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：已知三组员工的人数，可以求出该单位的总人数：20+17+13=50（人）；要求该单位中年组的频率，其实就是求中年组占总人数的比例，所以中年组的频率为17÷50=0.34.
故答案为：0.34
【分析】根据频率的定义即可得到答案.
14．【答案】1
【知识点】相反数及有理数的相反数；二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：由题意得x=-y，将其代入方程组得： ，
即 ，
∴3m=m+2，
解得：m=1.
故答案为：1.
【分析】根据方程组的解互为相反数，可得x=-y，将其代入方程组可得，消去y可得3m=m+2，解之即可.
15．【答案】
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据翻折的性质可得：
，
，且
，
，
，
，
又
四边形
是长方形，
，
，
，
故答案是：
．
【分析】根据翻折的性质可得
，由平角的定义可求出
，从而求出
，根据长方形的性质可得AD∥BC，利用平行线的性质可得
，继而得解.
16．【答案】90°或108°或36°或
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：分两种情况：（1）当以点A为顶点时，如图1，AD = BD = CD.
∴∠BAD = ∠ABD.∵AB =AC，∴AD⊥BC，∠BAC = 2∠ABD.∴∠ABD = 45°.∴∠BAC = 90°；
如图2，AD = BD，AC = CD.
∴∠BAD = ∠ABD，∠CAD = ∠CDA.∵AB = AC，∴∠ABD = ∠ACD.
∵∠CDA = ∠BAD + ∠ABD = 2∠ABD，∴∠CDA =2∠ACD.
∵∠CDA + ∠CAD + ∠ACD = 180°，∴5∠ACD = 180°.∴∠ACD = 36°.
∴∠BAC = ∠BAD + ∠CAD = 3∠ACD = 108°；
（2）当以点B为顶点时，如图3，AD = BD = BC.
∴∠BAD = ∠ABD，∠BCD = ∠BDC.∵AB = AC，∴∠ABC = ∠ACB.
∵∠BDC = ∠BAD + ∠ABD = 2∠BAD，∴∠ABC = ∠ACB =2∠BAD.
∵∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°，∴5∠BAC= 180°.∴∠BAC = 36°；
如图4，AD = BD，BC = CD.
∴∠BAD = ∠ABD，∠CBD = ∠CDB.∵AB = AC，∴∠ABC = ∠ACB.
∵∠BDC = ∠BAD + ∠ABD = 2∠BAD，∴∠ABC = ∠ABD + ∠CBD = 3∠BAD.
∵∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°，∴7∠BAC= 180°.∴∠BAC = .
综上所述，∠BAC的度数为90°或108°或36°或.
【分析】 分类讨论以点A或点B为顶点，然后根据等腰三角形的性质找出角的关系，最后根据三角形外角性质以及三角形内角和定理即可求解．
17．【答案】（1）解：原式＝16xy2÷4xy﹣4xy÷4xy
＝4y﹣1.
（2）解：原式＝a2﹣9+a﹣a2
＝a﹣9．
【知识点】整式的混合运算；多项式除以单项式
【解析】【分析】（1）题中（A-B)÷C可以用A÷C-B÷C来进行计算.
（2）题中根据完全平方公式和多项式乘法进行计算，最后再进行合并同类项即可.
18．【答案】（1）解：
②×2﹣①，得5x＝10.
解得x＝2.
将x＝2代入①，得2+2y＝8.
解得y＝3.
故原方程组的解为
（2）解：原方程两边同乘（x2﹣1），去分母，得2x（x﹣1）﹣2（x2﹣1）＝3.
去括号，得2x2﹣2x﹣2x2+2＝3.
移项、合并同类项，得﹣2x＝1.
系数化为1，得x＝.
检验：把x＝代入（x2﹣1），得﹣1＝≠0.
则原方程的解为x＝．
【知识点】解分式方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组，最后再把二元一次方程组的解代入检验即可.
（2）按照解分式方程的步骤：去分母，去括号，移项、合并同类项和系数化为1进行求解.
19．【答案】（1）解：移项，得5x﹣x＞1+2.
合并同类项，得4x＞3.
系数化为1，得x＞.
（2）解：
解不等式①，得x＞﹣3.
解不等式②，得x＜.
∴原不等式组的解集为-3＜x＜．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）根据解一元一次不等式的一般步骤求解即可.
（2）根据解不等式组的步骤分别求解两个不等式，即可得到不等式组的解集.
20．【答案】解：⑴如图1，△A1B1C1即为所求.
⑵如图2，△A2B2C2即为所求．
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣平移
【解析】【分析】1）根据平移规则，进行作图即可.
（2）根据轴对称的性质，进行作图即可.
21．【答案】（1）解：，
∴一共调查了200名同学；
（2）解：最喜爱科普类读物的人数为，
∴，
∴；
（3）解：艺术类读物所在扇形的圆心角的度数为.
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图
【解析】【分析】（1）根据条形图和扇形图可知文学的频数和百分数，然后由样本容量=频数÷百分数可求解；
（2）根据频数=样本容量×百分数可求得最喜爱科普类读物的人数n的值；然后根据样本容量等于各小组频数之和可求得m的值；
（3）根据圆心角的度数=360°×相应的百分数可求得艺术类读物所在扇形的圆心角的度数.
22．【答案】（1）证明：∵，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴∠ACB =∠F =36°，
∵，
∴．
∵，
∴
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】(1)先利用平行线的性质通过ASA判定，再由全等三角形的性质得到AC=DF.
(2)先利用平行线的性质得到的度数，再通过三角形的内角和定理求得的度数，进而得到的度数．
23．【答案】（1）9；3；2；6
（2）解：根据题意，得＝240（张）.
答：该工厂购进50张该型号板材，能制作成240张学生椅.
（3）解：设用x张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用y张板材裁切靠背2张和坐垫6张.
根据题意，得解得∴57+88＝145（张）.
答：需要购买该型号板材145张，用其中57张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用88张板材裁切靠背2张和坐垫6张．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【解答】：(1)设裁切靠背m张，坐垫n张.根据题意，15m+35n=240，∴n=，然后求出非负整数解，
，m=9，n=3.m=2，n=6符合题意.
【分析】 任务一：设裁切靠背x张，坐垫y张.根据题意，得15x + 35y = 240. 然后求出非负整数解即可；
任务二：根据题意，列式计算即可；
任务三：设用x张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用y张板材裁切靠背2张和坐垫6张，根据题意列方程组求解即可.
24．【答案】（1）证明：∵AB＝BC，∠ABC＝90°，BP是AC边上的高线，
∴AP＝CP，
∴BP＝CP；
（2）解：PD＝PE，
证明：∵△ABC是等腰直角三角形，P是AC的中点，
∴CP＝PB，∠ABP＝∠ABC＝45°，
∴∠ABP＝∠C＝45°．
又∵∠DPB+∠BPE＝∠CPE+∠BPE＝90°，
∴∠DPB＝∠CPE．
∴△PBD≌△PCE（ASA）．
∴PD＝PE；
（3）解：当BE＝0时，即点B和点E重合，故可知△PEC是等腰三角形，如图，
当BE＝时，即E是BC的中点，可得△PEC是等腰三角形，如图，
∵AB＝BC＝2，P是AC的中点，
∴PC＝，
当CP＝CE时，△PEC是等腰三角形，如图，
∴BE＝2﹣；
当E在BC的延长线上时，CE＝CP，△PEC是等腰三角形，BE＝2+，如图，
综上所述，当△PEC为等腰三角形时，BE的长为0、、2﹣或2+．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得出结论；
（2）根据ASA证明△PBD≌△PCE，再根据全等三角形的性质可得出结论；
（3）根据△PEC为等腰三角形，分四种情况讨论：当BE＝0时，当BE＝时，当CP＝CE时，当E在BC的延长线上时，CE＝CP，即可可得出答案．
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