江苏省苏州市工业园区东湖实验中学2023-2024学年九年级上册数学开学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卷相应位置上．
1．（2023九上·苏州开学考）下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，A不符合题意；
B．原图不是中心对称图形，是轴对称图形，B不符合题意；
C．原图是中心对称图形，不是轴对称图形，C符合题意；
D．原图不是中心对称图形，是轴对称图形，D不符合题意．
故答案为：C.
【分析】根据在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形；进行分析即可得出答案.
2．（2023九上·苏州开学考）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≤3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≠3
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：2x-6≥0，
解得：x≥3，
故答案为：B.
【分析】根据二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数是非负数可得2x-6≥0，再解不等式即可得出答案．
3．（2023九上·苏州开学考）袋子里有8个红球，m个白球，3个黑球，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大（ ）
A．1 B．3 C．5 D．10
【答案】D
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：袋子里有8个红球，m个白球，3个黑球，若摸到红球的可能性最大，则m的值不可能大于8．观察选项，只有选项D符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等进行分析判断即可得出答案.
4．（2023九上·苏州开学考）反比例函数y＝与正比例函数y＝2x一个交点为（1，2），则另一个交点是（ ）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1）
C．（1，2） D．（2，1）
【答案】A
【知识点】反比例函数图象的对称性；关于原点对称的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数与正比例函数y=2x一个交点为（1，2），
∴另一个交点与点（1，2）关于原点对称，
∴另一个交点是（-1，-2）．
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数的关于原点对称的性质知，反比例函数与正比例函数y=2x的另一个交点与点（1，2）关于原点对称，且关于原点对称的两点的横纵坐标互为相反数即可得出答案．
5．（2023九上·苏州开学考）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点．若∠BOC＝66°（ ）
A．66° B．33° C．24° D．30°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，∠BOC=66°，
∵，
故答案为：B.
【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半解答即可．
6．（2023九上·苏州开学考）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为x＝﹣2 B．顶点坐标为（2，3）
C．函数的最大值是﹣3 D．函数的最小值是﹣3
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数的解析式为：y=-3（x-2）2-3，
∴二次函数的图象的开口向下，对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，-3），
当x=2时，y有最大值为-3，
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的性质：形如二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0，a、h、k为常数)，顶点坐标为（h，k) ，对称轴为直线x=h，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下，当x=h时，y最大（小）值=k；即可得出答案．
7．（2023九上·苏州开学考）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、OA为半径的圆弧的弧长l的近似值计算公式：l＝AB+．当OA＝4，则l的值为（ ）
A．11﹣2 B．11﹣4 C．8﹣2 D．8﹣4
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解： 连接ON，如图：
∵OA=OB，
∴△ABO是等腰三角形，
∵N是AB的中点，
∴ON⊥AB，
，
又∵MN⊥AB，
∴M，N，O共线，
又∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=4，
又∵∠AON=30°，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形底边上的中线，顶角的角平分线，底边上的高三线合一可得∠AON=30°；根据有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，等边三角形的三条边都相等可得OA=AB=4，根据直角三角形中，30°所对的边是斜边的一半可得AN=2，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得ON的值，即可求得MN的值，代入弧长的近似值计算公式胡可求解.
8．（2023九上·苏州开学考）如图，在平面直角坐标系中，点A（5，0）（8，4）．若将线段AB绕点O逆时针旋转得到线段A′B′，当点B′恰好落在y轴正半轴上时，点A′的坐标为（ ）（ ）
A．（，） B．（，）
C．（2，） D．（3，5）
【答案】D
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；坐标与图形变化﹣旋转；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点B作BN⊥x轴，过点A作AM⊥OB于M，过点A′作A′M′⊥y轴，
∴∠BNO=90°，
∵点A（5，0），点B（8，4），
∴OA=5，BN=4，ON=8，
在Rt△ABN中，，
∵∠ONB=∠AMO=90°，∠AOM=∠BON，
∴△AOM∽△BON，
∴，
即，
∴，，
∵将线段AB绕点O逆时针旋转得到线段A′B′，
∴OA=OA′，∠AOB=∠A′OB′，
又∵∠AMO=∠A′M′O=90°，
∴△AOM≌△A′OM′（AAS），
∴，，
∴；
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得OB的值，根据 两角分别对应相等的两个三角形相，相似三角形的对应边成比例可求得AM和OM的值，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等，全等三角形的对应边相等可得OM′和A′M′的值，即可求得点A′的坐标.
二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．把答案直接填在答题卷相应位置上．
9．（2023九上·苏州开学考）计算：＝ ．
【答案】
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解： .
故答案为：.
【分析】根据二次根式的乘法运算进行计算即可．
10．（2023九上·苏州开学考）若关于x的方程（a﹣1）x2+4x﹣3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是 ．
【答案】a≠1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵关于x的方程（a-1）x2+4x-3=0是一元二次方程，
∴a-1≠0，
解得：a≠1，
故答案为：a≠1.
【分析】根据一元二次方程的定义，形如ax2+bx+c=0，且a、b、c是常数，a≠0；进行分析求解即可得出答案．
11．（2023九上·苏州开学考）如图，小明用长为2.5m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，使竹竿、旗杆的顶端的影子恰好落在地面的同一点O．此时，竹竿与这一点O相距6m、与旗杆相距12m，则旗杆AB的高为 m．
【答案】7.5
【知识点】平行线的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵竹竿CD和旗杆AB均垂直于地面，
∴CD∥AB，
∴∠OCD=∠OAB，
又∵∠O=∠O，
∴△OCD∽△OAB，
∴，即，
解得：AB=7.5；
故答案为：7.5.
【分析】根据垂直于同一直线的两直线平行可得CD∥AB，根据两直线平行，同位角相等可得∠OCD=∠OAB，根据两角分别对应相等的两个三角形相似，相似三角形任意对应线段的比等于相似比即可求得AB的值．
12．（2023九上·苏州开学考）如果a是方程x2﹣2x﹣2＝0的一个实数根，则2a2﹣4a﹣1的值为 ．
【答案】3
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x=a代入方程x2-2x-2＝0得a2-2a-2=0，则a2-2a=2，
∴2a2-4a-1=2（a2-2a）-1=2×2-1=3．
故答案为：3.
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=a代入方程求得a2-2a=2，然后把2a2-4a变形为2（a2-2a），再利用整体代入的方法计算即可．
13．（2023九上·苏州开学考）已知二次函数y＝﹣ax2+2ax+3（a＞0），若点P（m，3）在该函数的图象上，则m的值为 ．
【答案】2或0
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点P（m，3）在二次函数y=-ax2+2ax+3（a＞0）的图象上，
∴3=-am2+2am+3，
∴-am（m-2）=0，
解得：m=2或m=0，
故答案为：2或0.
【分析】将点P（m，3）代入函数解析式求解即可得出答案．
14．（2023九上·苏州开学考）如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC．若∠A＝30°，∠C＝37°，AB=，则OC的长度是 ．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】
【知识点】切线的性质；解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：连接OB，如图：
∵AC是⊙O的切线，B为切点，
∴OB⊥AC，
∴∠ABO=∠CBO=90°，
∵∠A=30°，∠C=37°，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据圆的切线垂直于过切点的半径可得OB⊥AC，即∠ABO=∠CBO=90°，根据锐角三角形函数的定义和题意可得，，求得OB和OC的值即可．
15．（2023九上·苏州开学考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，N；再分别以M、N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点P，画射线AP，交BC于点D，点E、F分别是AB，AD的中点 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；作图-角的平分线；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H．如图：
∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴，
根据题意可得AD平分∠CAB，
又∵DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DC=DH，
设DC=DH=x，
则S△ABC=S△ADC+S△ABD，
有
解得：，
∴，
∵点E，F分别是AB，AD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴．
故答案为：.
【分析】根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得AB的值，根据题意可得AD平分∠CAB，根据角平分线上的点到两边的距离相等可得DC=DH，设DC=DH=x，根据三角形的面积公式可求得x的值，求得BD的值，根据连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，三角形的中位线平行与第三边且等于第三边的一半即可求解.
16．（2023九上·苏州开学考）如图，矩形ABCD中，，点E在BC边上，且AE=AD，DF⊥AE于点F，连接DE，BF，BF的延长线交DE于点O，交CD于点G，则＝ ．
【答案】
【知识点】平行线分线段成比例；四边形的综合
【解析】【解答】解：∵AE=AD，，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABE=90°，AD∥BC，
在Rt△ABE中，，
即BE=AB，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE=∠BEA=45°，
∴∠DAF=90°-∠BAE=90°-45°=45°，
∴△AFD为等腰直角三角形，
∴AF=DF，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠DEC，
∵AE=AD，
∴∠AED=∠ADE，
∴∠AED=∠DEC，
∵∠DFE=∠DCE=90°，DE=DE，
∴△DFE≌△DCE（AAS），
∴DF=DC，EF=EC，∠CDE=∠FDE，
∴AF=DC，
如图，作FH⊥AD于H，作FR⊥DC于R，，
∴FH⊥AD，△AFD是等腰直角三角形，
∴点H是AD的中点，
∵BA⊥AD，FH⊥AD，
∴AB∥FH，
∴，
∴FG=BF，
故点F是BG的中点，
则在Rt△ADF中，FH是斜边上的中线，
∴，
∵FH⊥AD，FR⊥DC，∠HDC=90°，
∴四边形HDRF是矩形，
又∵FH=HD，
∴四边形HDRF是正方形，
∴，
∴HF是梯形ADGB的中位线，
∴，
∴，
∴，
则 .
故答案为：.
【分析】根据题意可得， 根据矩形的四个角都是直角和矩形的对边平行可得∠ABE=90°，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方推得BE=AB，根据有两条边相等的直角三角形是的等腰直角三角形，等腰直角三角形的两个底角是45°可得∠BAE=∠BEA=45°，求得∠DAF=45°，根据有一个角是45°角的直角三角形是等腰直角三角形；等腰直角三角形底角所对的边相等可得AF=DF，根据两直线平行，内错角相等可得∠ADE=∠DEC，根据有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形的两个底角相等可得∠AED=∠ADE，推得∠AED=∠DEC，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等，全等三角形的对应边相等，对应角相等可得DF=DC，EF=EC，∠CDE=∠FDE，推得AF=DC，根据等腰直角三角形斜边上的中线，底边上的高，顶角的角平分线三线合一可得点H是AD的中点，根据垂直于同一条直线的两直线互相平行可得AB∥FH，根据两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例可求得FG=BF，即点F是BG的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得，根据三个角是直角的四边形是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形，正方形的四条边都相等可得，根据连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线，梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半可求得DG和CG的值，根据三角形的面积公式即可求解.
三、解答题：本大题共11小题，共68分．把解答过程写在答题卷相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．
17．（2023九上·苏州开学考）计算：．
【答案】解：
=3-5
=-2．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】先根据平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差进行变形，再根据二次根式的混合运算进行计算即可．
18．（2023九上·苏州开学考）解下列方程：
（1）（x﹣2）2＝4；
（2）x2﹣3x+2＝0．
【答案】（1）解：（x-2）2＝4，
x-2＝±2，
所以x1＝4，x2＝0；
（2）解：x2-3x+3＝0，
（x-2）（x-1）＝0，
x-2＝0或x-1=0，
所以x1＝2，x2＝1．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可求解；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可求解．
19．（2023九上·苏州开学考）化简求值：，其中a＝﹣2．
【答案】解：原式
，
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先根据分式的混合运算将原式化简，再将a的值代入即可求解.
20．（2023九上·苏州开学考）今年4月23日是第28个“世界读书日”．某校围绕学生日人均阅读时间这一问题，对本校学生进行随机抽样调查，如图是根据调查结果绘制成的统计图（不完整）
（1）本次抽样调查的样本容量是多少？
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，计算出日人均阅读时间在1～1.5小时对应的圆心角度数；
（4）根据本次抽样调查，试估计该校1200名学生中日均阅读时间不少于1小时的有多少人．
【答案】（1）解：30÷20%＝150，
即样本容量是150；
（2）解：150-30-15-60＝45（人），
补全的条形统计图如图所示；
（3）解：人均阅读时间在1～1.8小时对应的圆心角度数是：；
（4）解：（人），
故估计该校1200名学生中日均阅读时间不少于1小时的有840人．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【分析】（1）根据根据0≤t＜0.5中的人数和所占的百分比，可以求得样本容量，
（2）根据（1）中的结果可以求得阅读时间在01～1.5小时的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据可以求得日人均阅读时间在1～1.5小时对应的圆心角度数；
（4）根据统计图中的数据可以估计该校1200名学生中日均阅读时间不少于1小时的有多少人．
21．（2023·苏州）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号，这些小球除编号外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为 ．
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明）
【答案】（1）
（2）解：如图，画树状图如下：
所有可能的结果数为16个，第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的结果数为3个，
∴第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率为：．
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：（1） 搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为：；
故答案为：；
【分析】（1）根据概率公式，用袋子中小球的总个数除以袋子中编号为2的小球的个数即可求出答案；
（2）此题是抽取放回类型，根据题意画出树状图，由图可知：所有可能的结果数为16个，第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的结果数为3个，从而根据概率公式即可算出答案.
22．（2023九上·苏州开学考）如图，四边形ABCD中，对角线AC，点E，F分别在线段OA，且OB＝OD，∠1＝∠2
【答案】证明：∵∠EOB与∠FOD是对顶角，
∴∠EOB＝∠FOD，
在△BEO和△DFO中，
，
∴△BEO≌△DFO（ASA）；
∴OE＝OF，
∵AE＝CF，
∴OA＝OC，
∵OB＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】根据如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，两直线相交，对顶角相等可得∠EOB＝∠FOD，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得OE＝OF，推得OA＝OC，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明.
23．（2023九上·苏州开学考）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数（x＞0）的图象交于点A（2n﹣1，6）（3，3n﹣1），与x轴交于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出关于x的不等式：的解集．
【答案】（1）解：∵反比例函数（x＞0）的图象过点 A（2n-1，6）和点B（3，3n-1），
∴m＝6（2n-1）＝2（3n-1），
∴n＝1，
∴m＝6（2n-1）＝6，
∴ A（1，6），B（3，2），
把A、B的坐标代入y＝kx+b得，
解得：，
∴一次函数为y＝-2x+8，反比例函数为；
（2）解：令y＝0，则-2x+3＝0，
解得：x＝4，
∴C（2，0），
∴；
（3）解：观察图象，结合一次函数与反比例函数的交点坐标可得关于x的不等式的解集为0＜x＜1或x＞3．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）先根据求反比例函数的表达式，求得点A和点B的坐标，再根据待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）由一次函数解析式求得C点的坐标，然后根据三角形的面积和S△AOB=S△AOC-S△BOC即可求解；
（3）根据图象，结合函数的交点坐标即可求解．
24．（2023九上·苏州开学考）已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．
（1）求证：这个方程总有两个实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．
【答案】（1）证明：
＝4k2-12k+9
＝（2k-3）2，
∵无论k取什么实数值，（2k-3）2≥0，
∴△≥0，
∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；
（2）解：∵，
∴x1＝2k-1，x2＝2，
∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，
故设b=2k-1，c＝2，
当a、b为腰， 则a=b=4，即2k-1=4， 解得：，此时三角形的周长＝4+4+2＝10；
当b、c为腰时， b=c=2，此时b+c=a， 故此种情况不存在；
综上所述，△ABC的周长为10．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的方程式求根的判别式，根据当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根即可得出结论；
（2）利用求根公式计算出方程的两根x1=2k-1，x2=2，则可设b=2k-1，c=2，然后分类讨论：当a、b为腰；当b、c为腰，分别求出边长，注意需要满足三角形三边的关系，最后计算周长即可求解．
25．（2023九上·苏州开学考）如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s，动点Q从点B开始沿BC运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？
【答案】解：设经过t秒时，以△QBP与△ABC相似，则AP=2t，BP=AB-AP=8-2t，BQ=4t，
∵∠PBQ＝∠ABC，
∴当∠BPQ=∠BAC时，△BPQ∽△BAC，
∴，
即，
解得：t=2；
当∠BPQ=∠BCA时，△BPQ∽△BCA，
∴，
即，
解得：t=0.8；
即经过2秒或0.8秒时，△QBP与△ABC相似．
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形-动点问题
【解析】【分析】设经过t秒时，以△QBP与△ABC相似，结合题意可得AP=2t，BP=8-2t，BQ=4t，分类讨论：当∠BPQ=∠BAC时，根据两角分别对应相等的两个三角形相似，相似三角形的对应边之比等于相似比即可列方程，求解得到t的值；当∠BPQ=∠BCA时，根据两角分别对应相等的两个三角形相似，相似三角形的对应边之比等于相似比即可列方程，求解得到t的值.
26．（2023九上·苏州开学考）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售2件，如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，设衬衫的单价降了x元．
（1）完成如表（用含x的整式填空）；
每天的销售量 每件衬衫的利润 总利润
降价前 20 40 800
降价后 1250
（2）求衬衫的单价降了多少元？
【答案】（1）20+2x；40-x
（2）解：由题意得：（40-x）（20+5x）＝1250，
整理得：x2-30x+225＝0，
解得：x＝15（负值舍去），
故衬衫的单价降了15元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）衬衫的单价降了x元，
每天的销售量为：20+2x，
每件衬衫的利润为：40-x，
故答案为：20+2x，40-x.
【分析】（1）由衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，即可得出答案；
（2）由总利润=单件利润×销售量，列出一元二次方程，解方程即可，注意方程的解要结合实际问题进行取值．
27．（2023九上·苏州开学考）问题提出
如图（1），E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE=EF，∠AEF＝∠ABC＝α（α≥90°），AF交CD于点G，探究∠GCF与α的数量关系.
（1）问题探究
先将问题特殊化，如图（2），当α=90°，直接写出∠GCF的大小；
（2）再探究一般情形，如图（1），求∠GCF与α的数量关系．
问题拓展
将图（1）特殊化，如图（3），当α=120°，若，求的值．
【答案】（1）解：∠GCF=45°；
（2）解：结论：；
理由：在AB上截取AN，使AN＝EC， 连接NE．
∵∠ABC+∠BAE+∠AEB＝∠AEF+∠FEC+∠AEB＝180°，∠ABC＝∠AEF，
∴∠EAN＝∠FEC．
∵AE＝EF，
∴△ANE≌△ECF（SAS）．
∴∠ANE＝∠ECF．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AB∥CD，
∴AB-AN=BC-EC，
即BN＝BE，
∴∠ENB=∠NEB
∵∠EBN＝α，
∴，
∴，
又∵AB∥CD，
∴∠BCG=180°-∠EBN＝180°-α，
∴；
问题拓展：过点A作CD的垂线交CD的延长线于点P，设菱形的边长为3b．
∵α＝120°，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠ADC=α＝120°，
∴∠PAD＝∠ADC-90°=120°-90°=30°，
∴AD=2PD，
∴，
则，
∵，DC=3b，
∴DG=b，CG=2b，
则，
∵∠AGP＝∠FGC，∠AGP=∠CGF，
∴△APG∽△FCG．
∴，
∴，
∴，
在AB上截取AN，使AN＝EC， 连接NE，过点B作BH⊥NE，
则NH=EH，
∵，
∴BE=2BH，
设BH=x，则BE=2x，，
则，
故，
故，
∴，
∴，
∴．
【知识点】相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）如图（2）中，在BA上截取BJ，使得BJ=BE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠BCD＝90°，BA＝BC，
∵BJ＝BE，
∴AJ＝EC，
在△ABE中，∠AEC＝∠BAE+∠B，
又∵∠AEC＝∠AEF+∠CEF，∠AEF＝∠B＝90°，
∴∠CEF＝∠EAJ，
∵EA＝EF，
∴△EAJ≌△FEC（SAS），
∴∠AJE＝∠ECF，
∵BJ=BE，∠ABC=90°，
∴∠BJE＝45°，
∴∠AJE＝180°-∠BJE＝180°-45°＝135°，
∴∠ECF＝∠AJE＝135°，
∴∠GCF＝∠ECF-∠ECD＝135°-90°＝45°；
【分析】（1）根据正方形的四个角都是直角，四条边都相等可得∠B＝∠BCD＝90°，BA＝BC，推得AJ＝EC，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠AEC＝∠BAE+∠B，推得∠CEF＝∠EAJ，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等可得∠AJE＝∠ECF，根据有两条边相等的直角三角形是等腰直角三角形，等腰直角三角形底角等于45°可得∠BJE＝45°，求得∠ECF＝∠AJE＝135°，即可求解；
（2）根据三角形内角和是180°推得∠EAN＝∠FEC，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等可得∠ANE＝∠ECF，根据菱形的四条边都相等，对边平行可得AB=BC，AB∥CD，推得BN＝BE，根据有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形的两个底角相等，结合三角形内角和是180°求得∠ENB，∠ANE的度数，根据两直线平行，同旁内角互补可求得∠BCG的度数，即可求得∠GCF的度数，即可求解得出答案；
设菱形的边长为3b，根据题意求的∠GCF=90°，根据菱形的对角相等可得∠ADC=120°，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和求得∠PAD=30°，根据直角三角形中，30°所对的边是斜边的一半可求得，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得AP的值，结合题意可得DG=b，CG=2b，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比等于相似比可求得，根据等腰三角形底边上的中线，底边上的高，顶角的角平分线三线合一可得NH=EH，设BH=x，则BE=2x，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得EH的值，推得，即可求得BE，CE的值，即可求解.
1 / 1江苏省苏州市工业园区东湖实验中学2023-2024学年九年级上册数学开学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卷相应位置上．
1．（2023九上·苏州开学考）下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023九上·苏州开学考）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≤3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≠3
3．（2023九上·苏州开学考）袋子里有8个红球，m个白球，3个黑球，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大（ ）
A．1 B．3 C．5 D．10
4．（2023九上·苏州开学考）反比例函数y＝与正比例函数y＝2x一个交点为（1，2），则另一个交点是（ ）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1）
C．（1，2） D．（2，1）
5．（2023九上·苏州开学考）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点．若∠BOC＝66°（ ）
A．66° B．33° C．24° D．30°
6．（2023九上·苏州开学考）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为x＝﹣2 B．顶点坐标为（2，3）
C．函数的最大值是﹣3 D．函数的最小值是﹣3
7．（2023九上·苏州开学考）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、OA为半径的圆弧的弧长l的近似值计算公式：l＝AB+．当OA＝4，则l的值为（ ）
A．11﹣2 B．11﹣4 C．8﹣2 D．8﹣4
8．（2023九上·苏州开学考）如图，在平面直角坐标系中，点A（5，0）（8，4）．若将线段AB绕点O逆时针旋转得到线段A′B′，当点B′恰好落在y轴正半轴上时，点A′的坐标为（ ）（ ）
A．（，） B．（，）
C．（2，） D．（3，5）
二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．把答案直接填在答题卷相应位置上．
9．（2023九上·苏州开学考）计算：＝ ．
10．（2023九上·苏州开学考）若关于x的方程（a﹣1）x2+4x﹣3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是 ．
11．（2023九上·苏州开学考）如图，小明用长为2.5m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，使竹竿、旗杆的顶端的影子恰好落在地面的同一点O．此时，竹竿与这一点O相距6m、与旗杆相距12m，则旗杆AB的高为 m．
12．（2023九上·苏州开学考）如果a是方程x2﹣2x﹣2＝0的一个实数根，则2a2﹣4a﹣1的值为 ．
13．（2023九上·苏州开学考）已知二次函数y＝﹣ax2+2ax+3（a＞0），若点P（m，3）在该函数的图象上，则m的值为 ．
14．（2023九上·苏州开学考）如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC．若∠A＝30°，∠C＝37°，AB=，则OC的长度是 ．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
15．（2023九上·苏州开学考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，N；再分别以M、N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点P，画射线AP，交BC于点D，点E、F分别是AB，AD的中点 ．
16．（2023九上·苏州开学考）如图，矩形ABCD中，，点E在BC边上，且AE=AD，DF⊥AE于点F，连接DE，BF，BF的延长线交DE于点O，交CD于点G，则＝ ．
三、解答题：本大题共11小题，共68分．把解答过程写在答题卷相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．
17．（2023九上·苏州开学考）计算：．
18．（2023九上·苏州开学考）解下列方程：
（1）（x﹣2）2＝4；
（2）x2﹣3x+2＝0．
19．（2023九上·苏州开学考）化简求值：，其中a＝﹣2．
20．（2023九上·苏州开学考）今年4月23日是第28个“世界读书日”．某校围绕学生日人均阅读时间这一问题，对本校学生进行随机抽样调查，如图是根据调查结果绘制成的统计图（不完整）
（1）本次抽样调查的样本容量是多少？
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，计算出日人均阅读时间在1～1.5小时对应的圆心角度数；
（4）根据本次抽样调查，试估计该校1200名学生中日均阅读时间不少于1小时的有多少人．
21．（2023·苏州）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号，这些小球除编号外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为 ．
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明）
22．（2023九上·苏州开学考）如图，四边形ABCD中，对角线AC，点E，F分别在线段OA，且OB＝OD，∠1＝∠2
23．（2023九上·苏州开学考）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数（x＞0）的图象交于点A（2n﹣1，6）（3，3n﹣1），与x轴交于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出关于x的不等式：的解集．
24．（2023九上·苏州开学考）已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．
（1）求证：这个方程总有两个实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．
25．（2023九上·苏州开学考）如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s，动点Q从点B开始沿BC运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？
26．（2023九上·苏州开学考）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售2件，如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，设衬衫的单价降了x元．
（1）完成如表（用含x的整式填空）；
每天的销售量 每件衬衫的利润 总利润
降价前 20 40 800
降价后 1250
（2）求衬衫的单价降了多少元？
27．（2023九上·苏州开学考）问题提出
如图（1），E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE=EF，∠AEF＝∠ABC＝α（α≥90°），AF交CD于点G，探究∠GCF与α的数量关系.
（1）问题探究
先将问题特殊化，如图（2），当α=90°，直接写出∠GCF的大小；
（2）再探究一般情形，如图（1），求∠GCF与α的数量关系．
问题拓展
将图（1）特殊化，如图（3），当α=120°，若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，A不符合题意；
B．原图不是中心对称图形，是轴对称图形，B不符合题意；
C．原图是中心对称图形，不是轴对称图形，C符合题意；
D．原图不是中心对称图形，是轴对称图形，D不符合题意．
故答案为：C.
【分析】根据在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形；进行分析即可得出答案.
2．【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：2x-6≥0，
解得：x≥3，
故答案为：B.
【分析】根据二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数是非负数可得2x-6≥0，再解不等式即可得出答案．
3．【答案】D
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：袋子里有8个红球，m个白球，3个黑球，若摸到红球的可能性最大，则m的值不可能大于8．观察选项，只有选项D符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等进行分析判断即可得出答案.
4．【答案】A
【知识点】反比例函数图象的对称性；关于原点对称的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数与正比例函数y=2x一个交点为（1，2），
∴另一个交点与点（1，2）关于原点对称，
∴另一个交点是（-1，-2）．
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数的关于原点对称的性质知，反比例函数与正比例函数y=2x的另一个交点与点（1，2）关于原点对称，且关于原点对称的两点的横纵坐标互为相反数即可得出答案．
5．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，∠BOC=66°，
∵，
故答案为：B.
【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半解答即可．
6．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数的解析式为：y=-3（x-2）2-3，
∴二次函数的图象的开口向下，对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，-3），
当x=2时，y有最大值为-3，
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的性质：形如二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0，a、h、k为常数)，顶点坐标为（h，k) ，对称轴为直线x=h，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下，当x=h时，y最大（小）值=k；即可得出答案．
7．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解： 连接ON，如图：
∵OA=OB，
∴△ABO是等腰三角形，
∵N是AB的中点，
∴ON⊥AB，
，
又∵MN⊥AB，
∴M，N，O共线，
又∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=4，
又∵∠AON=30°，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形底边上的中线，顶角的角平分线，底边上的高三线合一可得∠AON=30°；根据有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，等边三角形的三条边都相等可得OA=AB=4，根据直角三角形中，30°所对的边是斜边的一半可得AN=2，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得ON的值，即可求得MN的值，代入弧长的近似值计算公式胡可求解.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；坐标与图形变化﹣旋转；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点B作BN⊥x轴，过点A作AM⊥OB于M，过点A′作A′M′⊥y轴，
∴∠BNO=90°，
∵点A（5，0），点B（8，4），
∴OA=5，BN=4，ON=8，
在Rt△ABN中，，
∵∠ONB=∠AMO=90°，∠AOM=∠BON，
∴△AOM∽△BON，
∴，
即，
∴，，
∵将线段AB绕点O逆时针旋转得到线段A′B′，
∴OA=OA′，∠AOB=∠A′OB′，
又∵∠AMO=∠A′M′O=90°，
∴△AOM≌△A′OM′（AAS），
∴，，
∴；
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得OB的值，根据 两角分别对应相等的两个三角形相，相似三角形的对应边成比例可求得AM和OM的值，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等，全等三角形的对应边相等可得OM′和A′M′的值，即可求得点A′的坐标.
9．【答案】
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解： .
故答案为：.
【分析】根据二次根式的乘法运算进行计算即可．
10．【答案】a≠1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵关于x的方程（a-1）x2+4x-3=0是一元二次方程，
∴a-1≠0，
解得：a≠1，
故答案为：a≠1.
【分析】根据一元二次方程的定义，形如ax2+bx+c=0，且a、b、c是常数，a≠0；进行分析求解即可得出答案．
11．【答案】7.5
【知识点】平行线的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵竹竿CD和旗杆AB均垂直于地面，
∴CD∥AB，
∴∠OCD=∠OAB，
又∵∠O=∠O，
∴△OCD∽△OAB，
∴，即，
解得：AB=7.5；
故答案为：7.5.
【分析】根据垂直于同一直线的两直线平行可得CD∥AB，根据两直线平行，同位角相等可得∠OCD=∠OAB，根据两角分别对应相等的两个三角形相似，相似三角形任意对应线段的比等于相似比即可求得AB的值．
12．【答案】3
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x=a代入方程x2-2x-2＝0得a2-2a-2=0，则a2-2a=2，
∴2a2-4a-1=2（a2-2a）-1=2×2-1=3．
故答案为：3.
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=a代入方程求得a2-2a=2，然后把2a2-4a变形为2（a2-2a），再利用整体代入的方法计算即可．
13．【答案】2或0
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点P（m，3）在二次函数y=-ax2+2ax+3（a＞0）的图象上，
∴3=-am2+2am+3，
∴-am（m-2）=0，
解得：m=2或m=0，
故答案为：2或0.
【分析】将点P（m，3）代入函数解析式求解即可得出答案．
14．【答案】
【知识点】切线的性质；解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：连接OB，如图：
∵AC是⊙O的切线，B为切点，
∴OB⊥AC，
∴∠ABO=∠CBO=90°，
∵∠A=30°，∠C=37°，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据圆的切线垂直于过切点的半径可得OB⊥AC，即∠ABO=∠CBO=90°，根据锐角三角形函数的定义和题意可得，，求得OB和OC的值即可．
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；作图-角的平分线；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H．如图：
∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴，
根据题意可得AD平分∠CAB，
又∵DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DC=DH，
设DC=DH=x，
则S△ABC=S△ADC+S△ABD，
有
解得：，
∴，
∵点E，F分别是AB，AD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴．
故答案为：.
【分析】根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得AB的值，根据题意可得AD平分∠CAB，根据角平分线上的点到两边的距离相等可得DC=DH，设DC=DH=x，根据三角形的面积公式可求得x的值，求得BD的值，根据连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，三角形的中位线平行与第三边且等于第三边的一半即可求解.
16．【答案】
【知识点】平行线分线段成比例；四边形的综合
【解析】【解答】解：∵AE=AD，，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABE=90°，AD∥BC，
在Rt△ABE中，，
即BE=AB，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE=∠BEA=45°，
∴∠DAF=90°-∠BAE=90°-45°=45°，
∴△AFD为等腰直角三角形，
∴AF=DF，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠DEC，
∵AE=AD，
∴∠AED=∠ADE，
∴∠AED=∠DEC，
∵∠DFE=∠DCE=90°，DE=DE，
∴△DFE≌△DCE（AAS），
∴DF=DC，EF=EC，∠CDE=∠FDE，
∴AF=DC，
如图，作FH⊥AD于H，作FR⊥DC于R，，
∴FH⊥AD，△AFD是等腰直角三角形，
∴点H是AD的中点，
∵BA⊥AD，FH⊥AD，
∴AB∥FH，
∴，
∴FG=BF，
故点F是BG的中点，
则在Rt△ADF中，FH是斜边上的中线，
∴，
∵FH⊥AD，FR⊥DC，∠HDC=90°，
∴四边形HDRF是矩形，
又∵FH=HD，
∴四边形HDRF是正方形，
∴，
∴HF是梯形ADGB的中位线，
∴，
∴，
∴，
则 .
故答案为：.
【分析】根据题意可得， 根据矩形的四个角都是直角和矩形的对边平行可得∠ABE=90°，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方推得BE=AB，根据有两条边相等的直角三角形是的等腰直角三角形，等腰直角三角形的两个底角是45°可得∠BAE=∠BEA=45°，求得∠DAF=45°，根据有一个角是45°角的直角三角形是等腰直角三角形；等腰直角三角形底角所对的边相等可得AF=DF，根据两直线平行，内错角相等可得∠ADE=∠DEC，根据有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形的两个底角相等可得∠AED=∠ADE，推得∠AED=∠DEC，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等，全等三角形的对应边相等，对应角相等可得DF=DC，EF=EC，∠CDE=∠FDE，推得AF=DC，根据等腰直角三角形斜边上的中线，底边上的高，顶角的角平分线三线合一可得点H是AD的中点，根据垂直于同一条直线的两直线互相平行可得AB∥FH，根据两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例可求得FG=BF，即点F是BG的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得，根据三个角是直角的四边形是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形，正方形的四条边都相等可得，根据连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线，梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半可求得DG和CG的值，根据三角形的面积公式即可求解.
17．【答案】解：
=3-5
=-2．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】先根据平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差进行变形，再根据二次根式的混合运算进行计算即可．
18．【答案】（1）解：（x-2）2＝4，
x-2＝±2，
所以x1＝4，x2＝0；
（2）解：x2-3x+3＝0，
（x-2）（x-1）＝0，
x-2＝0或x-1=0，
所以x1＝2，x2＝1．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可求解；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可求解．
19．【答案】解：原式
，
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先根据分式的混合运算将原式化简，再将a的值代入即可求解.
20．【答案】（1）解：30÷20%＝150，
即样本容量是150；
（2）解：150-30-15-60＝45（人），
补全的条形统计图如图所示；
（3）解：人均阅读时间在1～1.8小时对应的圆心角度数是：；
（4）解：（人），
故估计该校1200名学生中日均阅读时间不少于1小时的有840人．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【分析】（1）根据根据0≤t＜0.5中的人数和所占的百分比，可以求得样本容量，
（2）根据（1）中的结果可以求得阅读时间在01～1.5小时的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据可以求得日人均阅读时间在1～1.5小时对应的圆心角度数；
（4）根据统计图中的数据可以估计该校1200名学生中日均阅读时间不少于1小时的有多少人．
21．【答案】（1）
（2）解：如图，画树状图如下：
所有可能的结果数为16个，第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的结果数为3个，
∴第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率为：．
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：（1） 搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为：；
故答案为：；
【分析】（1）根据概率公式，用袋子中小球的总个数除以袋子中编号为2的小球的个数即可求出答案；
（2）此题是抽取放回类型，根据题意画出树状图，由图可知：所有可能的结果数为16个，第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的结果数为3个，从而根据概率公式即可算出答案.
22．【答案】证明：∵∠EOB与∠FOD是对顶角，
∴∠EOB＝∠FOD，
在△BEO和△DFO中，
，
∴△BEO≌△DFO（ASA）；
∴OE＝OF，
∵AE＝CF，
∴OA＝OC，
∵OB＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】根据如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，两直线相交，对顶角相等可得∠EOB＝∠FOD，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得OE＝OF，推得OA＝OC，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明.
23．【答案】（1）解：∵反比例函数（x＞0）的图象过点 A（2n-1，6）和点B（3，3n-1），
∴m＝6（2n-1）＝2（3n-1），
∴n＝1，
∴m＝6（2n-1）＝6，
∴ A（1，6），B（3，2），
把A、B的坐标代入y＝kx+b得，
解得：，
∴一次函数为y＝-2x+8，反比例函数为；
（2）解：令y＝0，则-2x+3＝0，
解得：x＝4，
∴C（2，0），
∴；
（3）解：观察图象，结合一次函数与反比例函数的交点坐标可得关于x的不等式的解集为0＜x＜1或x＞3．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）先根据求反比例函数的表达式，求得点A和点B的坐标，再根据待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）由一次函数解析式求得C点的坐标，然后根据三角形的面积和S△AOB=S△AOC-S△BOC即可求解；
（3）根据图象，结合函数的交点坐标即可求解．
24．【答案】（1）证明：
＝4k2-12k+9
＝（2k-3）2，
∵无论k取什么实数值，（2k-3）2≥0，
∴△≥0，
∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；
（2）解：∵，
∴x1＝2k-1，x2＝2，
∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，
故设b=2k-1，c＝2，
当a、b为腰， 则a=b=4，即2k-1=4， 解得：，此时三角形的周长＝4+4+2＝10；
当b、c为腰时， b=c=2，此时b+c=a， 故此种情况不存在；
综上所述，△ABC的周长为10．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的方程式求根的判别式，根据当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根即可得出结论；
（2）利用求根公式计算出方程的两根x1=2k-1，x2=2，则可设b=2k-1，c=2，然后分类讨论：当a、b为腰；当b、c为腰，分别求出边长，注意需要满足三角形三边的关系，最后计算周长即可求解．
25．【答案】解：设经过t秒时，以△QBP与△ABC相似，则AP=2t，BP=AB-AP=8-2t，BQ=4t，
∵∠PBQ＝∠ABC，
∴当∠BPQ=∠BAC时，△BPQ∽△BAC，
∴，
即，
解得：t=2；
当∠BPQ=∠BCA时，△BPQ∽△BCA，
∴，
即，
解得：t=0.8；
即经过2秒或0.8秒时，△QBP与△ABC相似．
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形-动点问题
【解析】【分析】设经过t秒时，以△QBP与△ABC相似，结合题意可得AP=2t，BP=8-2t，BQ=4t，分类讨论：当∠BPQ=∠BAC时，根据两角分别对应相等的两个三角形相似，相似三角形的对应边之比等于相似比即可列方程，求解得到t的值；当∠BPQ=∠BCA时，根据两角分别对应相等的两个三角形相似，相似三角形的对应边之比等于相似比即可列方程，求解得到t的值.
26．【答案】（1）20+2x；40-x
（2）解：由题意得：（40-x）（20+5x）＝1250，
整理得：x2-30x+225＝0，
解得：x＝15（负值舍去），
故衬衫的单价降了15元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）衬衫的单价降了x元，
每天的销售量为：20+2x，
每件衬衫的利润为：40-x，
故答案为：20+2x，40-x.
【分析】（1）由衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，即可得出答案；
（2）由总利润=单件利润×销售量，列出一元二次方程，解方程即可，注意方程的解要结合实际问题进行取值．
27．【答案】（1）解：∠GCF=45°；
（2）解：结论：；
理由：在AB上截取AN，使AN＝EC， 连接NE．
∵∠ABC+∠BAE+∠AEB＝∠AEF+∠FEC+∠AEB＝180°，∠ABC＝∠AEF，
∴∠EAN＝∠FEC．
∵AE＝EF，
∴△ANE≌△ECF（SAS）．
∴∠ANE＝∠ECF．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AB∥CD，
∴AB-AN=BC-EC，
即BN＝BE，
∴∠ENB=∠NEB
∵∠EBN＝α，
∴，
∴，
又∵AB∥CD，
∴∠BCG=180°-∠EBN＝180°-α，
∴；
问题拓展：过点A作CD的垂线交CD的延长线于点P，设菱形的边长为3b．
∵α＝120°，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠ADC=α＝120°，
∴∠PAD＝∠ADC-90°=120°-90°=30°，
∴AD=2PD，
∴，
则，
∵，DC=3b，
∴DG=b，CG=2b，
则，
∵∠AGP＝∠FGC，∠AGP=∠CGF，
∴△APG∽△FCG．
∴，
∴，
∴，
在AB上截取AN，使AN＝EC， 连接NE，过点B作BH⊥NE，
则NH=EH，
∵，
∴BE=2BH，
设BH=x，则BE=2x，，
则，
故，
故，
∴，
∴，
∴．
【知识点】相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）如图（2）中，在BA上截取BJ，使得BJ=BE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠BCD＝90°，BA＝BC，
∵BJ＝BE，
∴AJ＝EC，
在△ABE中，∠AEC＝∠BAE+∠B，
又∵∠AEC＝∠AEF+∠CEF，∠AEF＝∠B＝90°，
∴∠CEF＝∠EAJ，
∵EA＝EF，
∴△EAJ≌△FEC（SAS），
∴∠AJE＝∠ECF，
∵BJ=BE，∠ABC=90°，
∴∠BJE＝45°，
∴∠AJE＝180°-∠BJE＝180°-45°＝135°，
∴∠ECF＝∠AJE＝135°，
∴∠GCF＝∠ECF-∠ECD＝135°-90°＝45°；
【分析】（1）根据正方形的四个角都是直角，四条边都相等可得∠B＝∠BCD＝90°，BA＝BC，推得AJ＝EC，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠AEC＝∠BAE+∠B，推得∠CEF＝∠EAJ，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等可得∠AJE＝∠ECF，根据有两条边相等的直角三角形是等腰直角三角形，等腰直角三角形底角等于45°可得∠BJE＝45°，求得∠ECF＝∠AJE＝135°，即可求解；
（2）根据三角形内角和是180°推得∠EAN＝∠FEC，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等可得∠ANE＝∠ECF，根据菱形的四条边都相等，对边平行可得AB=BC，AB∥CD，推得BN＝BE，根据有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形的两个底角相等，结合三角形内角和是180°求得∠ENB，∠ANE的度数，根据两直线平行，同旁内角互补可求得∠BCG的度数，即可求得∠GCF的度数，即可求解得出答案；
设菱形的边长为3b，根据题意求的∠GCF=90°，根据菱形的对角相等可得∠ADC=120°，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和求得∠PAD=30°，根据直角三角形中，30°所对的边是斜边的一半可求得，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得AP的值，结合题意可得DG=b，CG=2b，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比等于相似比可求得，根据等腰三角形底边上的中线，底边上的高，顶角的角平分线三线合一可得NH=EH，设BH=x，则BE=2x，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得EH的值，推得，即可求得BE，CE的值，即可求解.
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