济钢高中2015届高三第四次月考理科数学试题

济钢高中2014—2015学年第一学期
高三数学试题（理科） 2015-01
第I卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合等于 （ ） A．{2，3} B．{1，2，3} C．{1，－1，2，3} D．{2，3，x，y}
2.直线的方向向量为，直线的倾角为，则 （ ）
A. B. C. D.
3.已知等差数列前17项和，则　 ( )
A．3 B．6 C．17 D．51
4.已知直线和平面α、β，则α⊥β的充分条件是 （ ）
A． B．
C． D．
5. 为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图像，可以将函数y＝cos 3x的图像(　　)
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位　
6. 设、都是非零向量,下列四个条件中,一定能使成立的是 ( )
A． B． C． D．
7. 给定两个命题 若是的必要不充分条件，则是的 （ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是 (　　)
A．72 B．120 C．144 D．168 　
9.设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是 ( )
A . B. 5 C. D.10
10.已知函数的导函数图象如图所示，若为锐角三角形，则一定成立的是
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11.已知双曲线的一个焦点坐标为，则其渐近线方程为
12.一个儿何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为 m3.
13.在中，依次成等比数列，则B的取值范围是
14．已知满足约束条件，为坐标原点，，则的最大值是 .
15.设函数.若存在的极值点满足，则m的取值范围是
三、解答题：本大题共6小题, 共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16.（本小题满分12分）已知函数　（），且函数的最小正周期为.⑴求函数的解析式；
⑵在△中，角所对的边分别为．若，，且，试求的值.
17.（本小题满分12分）
已知圆C的圆心C在抛物线的第一象限部分上，且经过该抛物线的顶点和焦点F
（1）求圆C的方程
（2）设圆C与抛物线的准线的公共点为A，M是圆C上一动点，求三角形ΔMAF的面积的最大值。
18. （本小题满分12分）如图，在长方体，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为。
（1）求证：D1E⊥A1D；（2）求AB的长度；
（3）在线段AB上是否存在点E，使得二面角。若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由。

19．（本小题满分12分）观察下列三角形数表
1 -----------第一行
2 2 -----------第二行
3 4 3 -----------第三行
4 7 7 4 -----------第四行
5 11 14 11 5
… … 　… 　 …
… … 　… 　… …
假设第行的第二个数为，（Ⅰ）依次写出第六行的所有个数字；
（Ⅱ）归纳出的关系式并求出的通项公式；
（Ⅲ）设求证：
20. （本小题满分13分）函数。
（I）若函数在处取得极值，求的值；
（II）若函数的图象在直线图象的下方，求的取值范围；
（III）求证：。
21. （本小题满分14分）设椭圆C1：的左、右焦点分别是F1、F2，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原点），如图．若抛物线C2：与y轴的交点为B，且经过F1，F2点．
（Ⅰ）求椭圆C1的方程；
（Ⅱ）设M（0，），N为抛物线C2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q两点，求面积的最大值．
高三数学第四次月考试题（理科）（答案）
BCADC AABBD

三、16. 解： ⑴…4分
由，得 ∴…………………………6分
⑵由得 由，得.
∴，…8分 由，得，…10分
再由余弦定理得，…12分
17、解：（1）解法一：设圆的方程为----------1分
由题意可得：又--------3分
解得：---------------5分
所以圆的方程是：-----------------6分
解法二：由题知，圆心在线段OF的中垂线x=1上--------------2分
由----------4分
半径r=-------------5分
所以圆的方程是：-----------------6分
（2）由题知：当点M在AF的中垂线与圆的上交点处时，ΔMAF的面积最大。---------------8分
由抛物线定义知：圆C与抛物线的准线x=-2相切，切点A(-2,),----------9分
，直线AF的方程是：
圆心C到直线AF的距离---------------10分
点M到直线AF的最大距离---------------11分
--------------12分
18.解一：（1）证明：连结AD1，由长方体的性质可知：
AE⊥平面AD1，
又∵AD=AA1=1， ∴AD1⊥A1D
所以，A1D⊥平面AD1E
∴D1E⊥A1D1-----------------------4分
（2）设AB=x，∵四边形ADD1A是正方形，
∴小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到
点C1可能有两种途径，
如图甲的最短路程为
如图乙的最短路程为

………………8分
（3）假设存在连结DE，设EB=y，过点D在平面ABCD内作DH⊥EC，连结D1H，则∠D1HD为二面角的平面角，……………………………………9分
即
--------12分
解法二： （1）如图建立空间坐标系设
AE=a
则E（1,a,0）， D1（0,0,1）]，A1（1，0，1）

………………………4分
（2）同解法一
（3）假设存在，平面DEC的法向量
设平面D1EC的法向量，则
……………………………………10分
由题意得：
解得：（舍去）
………………12分
18． 解：（1）第六行的所有6个数字分别是6，16，25，25，16，6； --------------2分
（2）依题意， -------------------------------4分
------------------------6分
，
所以； -------------------------------------8分
（3）因为所以 -------------10分
---12分
注：20题满分13分，请阅此卷的老师自己调一下评分标准
21.
（Ⅰ）解：由题意可知B（0，-1），则A（0，-2），故b=2．
令y=0得即，则F1(-1，0)，F2（1，0），故c=1．
所以．于是椭圆C1的方程为：．…………4分
（Ⅱ）设N（），由于知直线PQ的方程为：
． 即．……………………………5分
代入椭圆方程整理得：, -------6分
=,
, ,----------------------------------7分
故
．………………………………9分
设点M到直线PQ的距离为d，则．…………………11分
所以，的面积S
…………13分
当时取到“=”，经检验此时，满足题意．
综上可知，的面积的最大值为．…………………………14分