重庆市开州区文峰初中教育集团2023-0024学年九年级上学期开学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023九上·开州开学考） 下列各式中最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】
A：，可化简，不符合题意；
B：，可化简，不符合题意；
C：，可化简，不符合题意；
D：，不可化简，符合题意；
故答案为D
【分析】本题考查最简二次根式。 满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式： (1)被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即根式无分母，分母无根式，不含能开方的因数或因数。
2．（2023九上·开州开学考）把米长的梯子斜靠在墙上，若梯子底端离墙米，则梯子顶端到离地面（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】如图所示，
依据题意，梯子长AC=5米，梯子底端离墙BC=4米，则梯子顶端到离地面AB=
故答案为B
【分析】本题考查勾股定理的应用。根据题干，理清题意，构造出直角三角形，根据勾股定理求解即可。
3．（2023九上·开州开学考） 下列算式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】 A：，正确，符合题意；
B：不能合并，选项错误，不符合题意；
C：不能合并，选项错误，不符合题意；
D：选项错误，不符合题意；
故答案为A
【分析】本题考查二次根式的化简和计算。二次根式的加减，实质上是同类二次根式的合并，即把二次根式化成最简后，被开方数相同的二次根式的合并。二次根式的化简根据其性质进行：，二次格式的乘除法则，先把被开方数相乘除，再求其结果的算术平方根。
4．（2023九上·开州开学考）将字母“”，“”按照如图所示得规律摆放，依次下去，则第个图形中字母“”的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】
图①a的个数是1，b的个数2+2；
图②a的个数是2，b的个数2×2+2；
图③a的个数是3，b的个数2×3+2；
根据①②③的规律可知：a的个数按照1，2，3···排列；b的个数按照2n+2的顺序排列；
则第④个图形中的字母“b”的个数是2×4+2=10
故答案为A
【分析】本题考查图形找规律。仔细观察每一个图之间的字母变化情况，可找出变化规律。
5．（2023九上·开州开学考）估计的值应该在（ ）
A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】∵
∴
∴
故答案为C
【分析】本题考查无理数的大小，找出无理数中被开方数前后紧邻的平方数，求出无理数的范围，再根据不等式的性质，即可求出所要的结果。
6．（2023九上·开州开学考） 八年级班班主任从全班选出名同学参加合唱训练，已知名同学组成的合唱队成员的身高如下：
身高
人数
则该合唱队名同学的身高的众数和中位数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】合唱队15人中，身高为163cm出现5次，次数最多，则众数是163cm；
本组数据按照从小到大的顺序排列，处于中间位置的身高数是163，则中位数是163cm.
故答案为B
【分析】本题考查中位数和众数的概念。一组数据中，出现次数最多的数据为众数，把这组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，处于中间位置（或中间位置的两个数的平均数）的数为这组数据的中位数。
7．（2023九上·开州开学考）已知，是一次函数图象上的点，若，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】∵ 一次函数y=kx+2中，k＞0
∴ 该一次函数y随着x的增大而增大
且x=0时，y=2
∵
∴
故答案为A
【分析】本题考查一次函数的性质和与y轴的交点。根据一次函数k＞0，可知该函数y随着x的增大而增大，可判断其对应函数值的大小顺序。一次函数y=kx+b，k＞0时，该一次函数y随着x的增大而增大；k＜0时，该一次函数y随着x的增大而减小。
8．（2023九上·开州开学考）如图，四边形是矩形，有一动点从点出发，沿路线绕矩形的边匀速运动，当点到达点时停止运动在点的运动过程中，的面积随时间变化的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】P在BC上运动时，随着P的运动逐渐变大；P在DC上运动时，随着P的运动保持不变，且此时段面积最大；P在AD上运动时，随着P的运动逐渐变小；
故答案为B
【分析】本题考查函数图象。根据题目叙述，找出三角形面积与P的运动轨迹的关系，分别讨论P在BC、CD、AD边上时，三角形ABP的面积变化情况即可找出正确的图象。
9．（2023九上·开州开学考）如图，在正方形中，点在上，点在的延长线上满足，连接，取的中点，连接，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理
【解析】【解答】∵ 四边形ABCD为正方形
∴ AB=AD
∠ABC=∠BAD=∠ADF=90°
∵ BE=DF
∴（SAS）
∴ ∠BAE=∠DAF，AE=AF
∴∠BAE+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=90°
∵ G为AE的中点，BG=2
∴ AG=BG=2，AF=AE=4
∴ FG=
故答案为B
【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理、三角形全等的判定与性质和直角三角形斜边上的中线性质。根据正方形的性质，判定，根据其全等的性质，得出∠EAF=90°，AE=AF，根据直角三角形斜边上的中线性质，可得AG长，根据勾股定理求出FG即可。
10．（2023九上·开州开学考）有个依次排列的整式：第项是，用第项乘，所得之积记为，将第项加上得到第项，再将第项乘得到，将第项加上得到第项以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，得到下列个结论：
第项为；
；
若第项的值为，则．
以上结论正确的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【知识点】整式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】根据题意，可知：
第1项是：x+1，
第2项是：x +x+1，
第3项是：x +x +x+1，
第4项是：x4+x +x +x+1，①正确；
第5项是：x5+x4+x +x +x+1，，②错误；
若第2023项的值为0，即x2023+x2022+x2021+···+x4+x +x +x+1=0
则=0
∴ x2024=1，③正确；
故答案为C
【分析】本题考查整式的运算和找规律问题。根据题干的运算方法，分别计算出第2项，的值，第3项，的值，第4项，的值，第5项，的值等等，找出整式之间的运算规律是解题关键。
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11．（2022八下·合阳期末）若二次根式有意义，则x的取值范围为 ．
【答案】x≥1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：2x-2≥0，∴x≥1.
故答案为：x≥1
【分析】根据被开方数是非负数即可得到x的取值范围.
12．（2023九上·开州开学考） 如图，是菱形的对角线、的交点，是的中点，连接若，则 ．
【答案】2
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵ 四边形ACBD为菱形
∴ CO=AO
∵ E为BC的中点
∴ OE为的中位线
∴ OE=
∵ OE=1
∴ AB=2
【分析】本题考查菱形的性质和三角形的中位线。根据菱形的性质，得出O为AC的中点，结合E为BC的中点，可知OE为三角形ABC的中位线，则可知AB长。
13．（2023九上·开州开学考） 若是关于的一次函数，则实数 ．
【答案】-1
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】∵是关于的一次函数
∴
∴ m=-1
【分析】本题考查一次函数的定义：形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数是一次函数，要求同时满足系数k≠0，自变量x的指数是1这两个条件。
14．（2023九上·开州开学考） 某校招募校园活动主持人，甲候选人的综合素质、普通话、才艺展示成绩如表所示．
测试项目 综合素质 普通话 才艺展示
测试成绩
根据实际需求，该校规定综合素质、普通话和才艺展示三项测试得分按：：的比例确定最终成绩，则甲候选人的最终成绩为 分
【答案】89
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：甲候选人的最终成绩为：
【分析】本题考查加权平均数的计算。 通过相乘各个数据点的值与权重值，并将结果求和后再除以所有权重值的总和，就可以得到加权平均值。若n个数的权分别是，则这组数据的加权平均数.
15．（2023九上·开州开学考）如图，在四边形中，于点，且点为的中点若，，，，则四边形的面积为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接DB
∵ AB=8，E为AB的中点，
∴ BE=4，
∵ DE⊥AB，DE=
∴ DB=
∵ CD=5，BC=1
∴ CD =BC +DB
∴ DB⊥BC
∴
【分析】本题考查勾股定理和逆定理及四边形面积的计算。根据DE⊥AB和E为AB的中点可知DB长，结合DC、BC可判断为直角三角形，则四边形面积可分成两个三角形的面积计算即可。
16．（2023九上·开州开学考） 已知关于的分式方程有整数解，且一次函数图象经过第一、二、三象限，则整数的值为 ．
【答案】3
【知识点】解分式方程；一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】
解分式方程
解：两边同时乘（2-x），得：1-ax+1+2-x=0
得：
∵ 此分式方程有整数解，且x=2，
∴ a+1的值可以是
则a的值可以是：0，-2，-3，3，-5
∵ 一次函数图象经过第一、二、三象限，
∴ a＞0
∴ a的值是3
【分析】本题考查解分式方程和一次函数的图象性质。解分式方程时，先去分母，变成整式方程，再求解，注意最后要验根，可得出a的值，根据一次函数的性质，可知a的范围，综合考虑，得出符合的a的值。
17．（2023九上·开州开学考）如图，，四边形是正方形，若，，则的面积等于 ．
【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质
【解析】【解答】如图所示：延长BA，过点E作EF⊥BA延长线于F，则∠EFA=90°
∵ AB=1，BC=2，∠ABC=90°
∴ AC=，∠BAC+∠BCA=90°
∵ 四边形ACDE为正方形
∴ AE=AC=，∠EAC=90°
∴ ∠FAE+∠BAC=90°，
∴ ∠FAE=∠BCA
∵ ∠EFA=∠ABC=90°
∴
∴ AF=CB=2，
∴
则的面积等于3
【分析】本题考查正方形的性质和三角形全等的一线三等角模型。求的面积，即求的高，求出高是解题的关键。根据正方形ACDE和∠ABE90°，可确定，延长BA，过E作BA的垂线，构造一线三等角模型，证，可得EF=BC，即可求出高，则可知面积。
18．（2023九上·开州开学考）一个四位正整数满足百位上的数字比千位上的数字小，个位上的数字比十位上的数字小则称为“三五律数”，将“三五律数”的千位和十位数字组成的两位数与百位和个位数字组成的两位数的和记为，将“三五律数”的千位和百位数字组成的两位数与十位和个位数字组成的两位数的差记为例如：四位正整数，，，是“三五律数”，此时，．
（1）四位正整数是“三五律数”，则 ．
（2）若是“三五律数”，且满足是一个正整数的次方，则符合条件的为 ．
【答案】73,6163
（1）73
（2）6163
【知识点】实数的运算；定义新运算
【解析】【解答】（1）根据题意可知：
∵ 四位正整数6130是“三五律数”，
∴ F（6130）=63+10=73
（2）设A的千位数字为x，百位数字是x-5，十位数字是y，个位数字是y-3，其中5≤x≤9，3≤y≤9，x，y均为正整数.
∵ A是“三五律数”
∴ F（A）=10x+y+10（x-5）+y-3=20x+2y-53
G（A）=10x+x-5-（10y+y-3）=11x-11y-2
∴ F（A）- G（A）=20x+2y-53-（11x-11y-2）=9x+13y-51
∵ 5≤x≤9，3≤y≤9，x，y均为正整数.
∴ 33≤9x+13y-51≤147，
∵ F（A）- G（A）是一个正整数的次方，24=16，34=81，44=256，
∴ F（A）- G（A）是3的次方
∴ 9x+13y-51=81
整理得：9x+13y=132
解得：x=6，y=6，x-5=1，y-3=3
则千位数字为6，百位数字是1，十位数字是6，个位数字是3
则A是6163.
【分析】本题考查新定义下的实数运算和二元一次方程，正确理解题意是关键。（1）根据新定义列式求解即可；（2）可直接设A的千位数字x和十位数字y，根据数量关系，可表示出其百位数字和各位数字，并表示出x，y各自的取值范围，根据定义，表示出 F（A）- G（A），可得其取值范围，根据 F（A）- G（A）是 一个正整数的次方，可知是3的4次方，可得x和y的二元一次方程，求解即可。
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（2023九上·开州开学考）（1）计算；
（2）化简
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】实数的运算；平方差公式及应用；整式的混合运算；二次根式的性质与化简；偶次方的非负性
【解析】【分析】本题考查实数的运算。熟悉负因数的偶次幂、根式的性质化简、完全平方公式等知识，是解题关键。
20．（2023九上·开州开学考）如图，在平行四边形中，．
.
（1）用尺规完成以下基本作图：作的平分线交于点，在上截取，使保留作图痕迹，不写作法；
（2）在所作的图形中，连接，求证：四边形是菱形请补全下面的证明过程．
证明：四边形为平行四边形，
且 ，
，，
．
四边形是平行四边形，
，
．
平分，
，
．
，
四边形是菱形．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）BC；BE=AF；∠AEB=∠EAD；∠EAB=∠EAD；BA=BE
【知识点】菱形的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】本题考查角平分线的作图和菱形的判定。熟悉角平分线的作图过程，注意痕迹保留，根据 四边形为平行四边形得出，，结合得，则四边形是平行四边形得∠AEB=∠EAD，根据平分得∠EAB=∠EAD，可知得BA=BE，则四边形是菱形．
21．（2023九上·开州开学考）海军陆战队分蓝队、红队进行专业科目比赛现从两队中各随机抽取名队员的比赛成绩百分制作样本进行整理和分析用表示成绩得分，并分成四组：，，，，得到如图统计图，还知道两队的平均数都是，红队的众数是，蓝队成绩在组中的数据：，，，，，；红队成绩在组中的数据是：，，．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求的值，并写出蓝队样本的众数和红队样本的中位数；
（2）你认为该蓝队、红队哪一个比赛成绩较更好？请说明理由一条理由即可；
（3）若该陆战队的蓝队、红队共人参加了此次比赛活动，估计参加此次比赛活动成绩优秀的人数是多少？
【答案】（1）解：，
则，
蓝队样本的众数为，
红队样本的中位数为
（2）我认为蓝队比赛成绩好些一条合理即得分，
因为蓝队的中位数大于红队的中位数：
（3）两队抽取的人中此次比赛活动成绩优秀的有人，
占样本的，该陆战队的蓝队、红队共人参加了此次比赛，
所以估计成绩为优秀的军人有人．
故估计参加此次比赛活动成绩优秀的人数是人．
【知识点】扇形统计图；利用统计图表分析实际问题；中位数；众数
【解析】【分析】本题考查扇形统计图的中位数、众数的计算和意义，正确获取统计图的信息，解决问题是关键。（1）根据C组3个数，除以样本总数10，可得C的占比，用1减去分别减去其他三组的占比，可得a值；（2）根据中位数的意义可解答；（3）利用样本估算整体，计算出样本中优秀的人数占比，乘以总人数即可。
22．（2023九上·开州开学考）某中学计划购买某种品牌的、两种型号的盲盒作为学生参加活动的奖励若购买盒种型号的盲盒和盒种型号的盲盒需用元；若购买盒种型号的盲盒和盒种型号的盲盒需用元．
（1）求每盒种型号的盲盒和每盒种型号的盲盒各多少元；
（2）学校决定购买以上两种型号的盲盒共盒，总费用不超过元，那么该中学最多可以购买多少盒种型号的盲盒？
【答案】（1）解：设每盒种型号的盲盒元，每盒种型号的盲盒元，
根据题意得：，
解得：．
答：每盒种型号的盲盒元，每盒种型号的盲盒元；
（2）解：设该中学购买盒种型号的盲盒，则购买盒种型号的盲盒，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为．
答：该中学最多可以购买盒种型号的盲盒．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确理解题意是关键。（1）根据A型、B型两种盲盒的购买形式，列出关于单价的方程组，求解即可；（2）根据两种型号的盲盒总数100盒，总费用不超过2240圆，可列出关于A型号数量的不等式，求出范围即可。
23．（2023九上·开州开学考）在海平面上有，，三个标记点，其中在的北偏西方向上，与的距离是海里，在的南偏西方向上，与的距离是海里．
（1）求点与点之间的距离；
（2）若在点处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点处有一艘轮船准备沿直线向点处航行，轮船航行的速度为每小时海里轮船在驶向处的过程中，最多能收到多少次信号？信号传播的时间忽略不计．
【答案】（1）解：依题意有：，，，，
，
在中，由勾股定理得：，
米，
答：点与点之间的距离为米；
（2）解：过作于，
，
米，
，
故分别在和上找点和点使，
在中，由勾股定理得：，
米，
同理得：米，
当无人机处在段时能收到信号，由无人机的速度为，
则无人机飞过此段的时间为：秒，
无人机收到信号次数最多为次．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的性质
【解析】【分析】本题考查勾股定理的应用、直角三角形的判定等知识，理解路程、速度、时间的数量关系，准确计算是解题关键。（1）根据题意，得出已知条件，可得∠ACB是90°，用勾股定理求出AB长；（2）过C作CD⊥AB，根据等面积法，计算出CD=480，由CD＜500米可知，则以CD为高，C为顶点，作等腰CF=CE=500，根据勾股定理得DE=DF=140，则无人机在EF段可接收信号，根据速度，即可算出接收信号的次数。
24．（2023九上·开州开学考）如图，中，，，，动点从点出发，沿着折线匀速运动，到达点时停止，设点运动路程为，的面积为动点在点和点时，的面积记为．
（1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
（2）在平面直角坐标系中画出与的函数图象，并写出它的一条性质；
（3）根据图象直接写出当时的取值范围．
【答案】（1）解：，，，
，
当在边上，即时，如图：
；
当在边不含上，即时，如图：
；
；
（2）当时，当时，当时，
画出函数图象如下：
由图象可知，当时，随的增大而增大；的最大值为写出一条即可；
（3）解：根据函数图象可得，当时的取值范围是或．
【知识点】一次函数的实际应用；勾股定理；一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】本题考查一次函数的解析式、图象和性质。（1）根据勾股定理，计算出BC长，分别讨论P在AB和CB时的面积，可得出y关于x的函数关系式；（2）画函数图象，根据x和y的对应取值即可；（3）当y≤2时，对应自变量有两个范围，不可漏写。
25．（2023九上·开州开学考）如图，一次函数的图象交轴于点，，与正比例函数的图象交于点，点的横坐标为．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若点在轴上，且满足，求点的坐标；
（3）一次函数有一点，点的纵坐标为，点为坐标轴上一动点，在函数上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一个情况的过程．
【答案】（1）解：，
，
直线经过点，且点的横坐标为，
，
把，代入，得，
解得：，
一次函数的解析式为；
（2）设，则，
，
，
即，
解得：，
点的坐标为或；
（3）由知，
一次函数有一点，点的纵坐标为，
，
点在直线上，
设，
当点在轴上时，设，
若、为对角线，则、的中点重合，
，
解得：，
；
若、为对角线，则、的中点重合，
，
解得：，
；
若、为对角线，则、的中点重合，
，
解得：，
；
当点在轴上时，设，
若、为对角线，则、的中点重合，
，
解得：，
；
若、为对角线，则、的中点重合，
，
解得：，
；
若、为对角线，则、的中点重合，
，
解得：，
；
综上所述，点的坐标为或或或或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，根据面积求坐标和一次函数与四边形的几何问题，熟悉平行四边形的性质是关键。（1）根据B的横坐标和y=-3x，可得B坐标，结合A的坐标，可得一次函数解析式；（2）根据 ，设C（0，y），得y值，得C坐标；（3）根据D在一次函数y=x+4，得D（-3，1），根据N在y=-3x上得N（n，-3n）， 要使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，分类讨论M在x轴上BM、DN和BD、MN和BN、DM分别为对角线和y轴上BM、DN和 、 分别为对角线的情况，根据平行四边形的性质，列出对应的方程组，求解可得N坐标。
26．（2023九上·开州开学考）已知，在中，，．
（1）如图，点、点分别是线段上两点，连接、，若，且，求的度数；
（2）如图，点、点分别是线段上两点，连接、，过点作交延长线于，连接，若，求证：；
（3）如图，为射线上一点，为射线上一点，且始终满足，过点作的垂线交的延长线于点，连接，猜想：、、之间的数量关系并证明你的结论．
【答案】（1）解：，，
，
又，，
≌，
，
，，
；
（2）证明：延长至，使，连接，
，
，
，，
，
又，，
≌，
，，
，
，
，
又，，
≌，
，
；
（3）解：，理由如下：
过点作交的延长线于．
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】本题考查三角形全等的判定和性质。根据题意，构造三角形，利用全等的性质，得出结论。（1）根据 ，得，根据，得≌，则，根据，，得；（2） 延长至，使，连接， 根据得，
根据，得，根据，证≌，则，，得，再证≌，得，则；
（3） 过点作交的延长线于．根据，和得，证≌，得，，结合得，再证≌，得，根据，得．
1 / 1重庆市开州区文峰初中教育集团2023-0024学年九年级上学期开学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023九上·开州开学考） 下列各式中最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·开州开学考）把米长的梯子斜靠在墙上，若梯子底端离墙米，则梯子顶端到离地面（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
3．（2023九上·开州开学考） 下列算式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·开州开学考）将字母“”，“”按照如图所示得规律摆放，依次下去，则第个图形中字母“”的个数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九上·开州开学考）估计的值应该在（ ）
A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间
6．（2023九上·开州开学考） 八年级班班主任从全班选出名同学参加合唱训练，已知名同学组成的合唱队成员的身高如下：
身高
人数
则该合唱队名同学的身高的众数和中位数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
7．（2023九上·开州开学考）已知，是一次函数图象上的点，若，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·开州开学考）如图，四边形是矩形，有一动点从点出发，沿路线绕矩形的边匀速运动，当点到达点时停止运动在点的运动过程中，的面积随时间变化的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023九上·开州开学考）如图，在正方形中，点在上，点在的延长线上满足，连接，取的中点，连接，，若，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2023九上·开州开学考）有个依次排列的整式：第项是，用第项乘，所得之积记为，将第项加上得到第项，再将第项乘得到，将第项加上得到第项以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，得到下列个结论：
第项为；
；
若第项的值为，则．
以上结论正确的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11．（2022八下·合阳期末）若二次根式有意义，则x的取值范围为 ．
12．（2023九上·开州开学考） 如图，是菱形的对角线、的交点，是的中点，连接若，则 ．
13．（2023九上·开州开学考） 若是关于的一次函数，则实数 ．
14．（2023九上·开州开学考） 某校招募校园活动主持人，甲候选人的综合素质、普通话、才艺展示成绩如表所示．
测试项目 综合素质 普通话 才艺展示
测试成绩
根据实际需求，该校规定综合素质、普通话和才艺展示三项测试得分按：：的比例确定最终成绩，则甲候选人的最终成绩为 分
15．（2023九上·开州开学考）如图，在四边形中，于点，且点为的中点若，，，，则四边形的面积为 ．
16．（2023九上·开州开学考） 已知关于的分式方程有整数解，且一次函数图象经过第一、二、三象限，则整数的值为 ．
17．（2023九上·开州开学考）如图，，四边形是正方形，若，，则的面积等于 ．
18．（2023九上·开州开学考）一个四位正整数满足百位上的数字比千位上的数字小，个位上的数字比十位上的数字小则称为“三五律数”，将“三五律数”的千位和十位数字组成的两位数与百位和个位数字组成的两位数的和记为，将“三五律数”的千位和百位数字组成的两位数与十位和个位数字组成的两位数的差记为例如：四位正整数，，，是“三五律数”，此时，．
（1）四位正整数是“三五律数”，则 ．
（2）若是“三五律数”，且满足是一个正整数的次方，则符合条件的为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（2023九上·开州开学考）（1）计算；
（2）化简
20．（2023九上·开州开学考）如图，在平行四边形中，．
.
（1）用尺规完成以下基本作图：作的平分线交于点，在上截取，使保留作图痕迹，不写作法；
（2）在所作的图形中，连接，求证：四边形是菱形请补全下面的证明过程．
证明：四边形为平行四边形，
且 ，
，，
．
四边形是平行四边形，
，
．
平分，
，
．
，
四边形是菱形．
21．（2023九上·开州开学考）海军陆战队分蓝队、红队进行专业科目比赛现从两队中各随机抽取名队员的比赛成绩百分制作样本进行整理和分析用表示成绩得分，并分成四组：，，，，得到如图统计图，还知道两队的平均数都是，红队的众数是，蓝队成绩在组中的数据：，，，，，；红队成绩在组中的数据是：，，．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求的值，并写出蓝队样本的众数和红队样本的中位数；
（2）你认为该蓝队、红队哪一个比赛成绩较更好？请说明理由一条理由即可；
（3）若该陆战队的蓝队、红队共人参加了此次比赛活动，估计参加此次比赛活动成绩优秀的人数是多少？
22．（2023九上·开州开学考）某中学计划购买某种品牌的、两种型号的盲盒作为学生参加活动的奖励若购买盒种型号的盲盒和盒种型号的盲盒需用元；若购买盒种型号的盲盒和盒种型号的盲盒需用元．
（1）求每盒种型号的盲盒和每盒种型号的盲盒各多少元；
（2）学校决定购买以上两种型号的盲盒共盒，总费用不超过元，那么该中学最多可以购买多少盒种型号的盲盒？
23．（2023九上·开州开学考）在海平面上有，，三个标记点，其中在的北偏西方向上，与的距离是海里，在的南偏西方向上，与的距离是海里．
（1）求点与点之间的距离；
（2）若在点处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点处有一艘轮船准备沿直线向点处航行，轮船航行的速度为每小时海里轮船在驶向处的过程中，最多能收到多少次信号？信号传播的时间忽略不计．
24．（2023九上·开州开学考）如图，中，，，，动点从点出发，沿着折线匀速运动，到达点时停止，设点运动路程为，的面积为动点在点和点时，的面积记为．
（1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
（2）在平面直角坐标系中画出与的函数图象，并写出它的一条性质；
（3）根据图象直接写出当时的取值范围．
25．（2023九上·开州开学考）如图，一次函数的图象交轴于点，，与正比例函数的图象交于点，点的横坐标为．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若点在轴上，且满足，求点的坐标；
（3）一次函数有一点，点的纵坐标为，点为坐标轴上一动点，在函数上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一个情况的过程．
26．（2023九上·开州开学考）已知，在中，，．
（1）如图，点、点分别是线段上两点，连接、，若，且，求的度数；
（2）如图，点、点分别是线段上两点，连接、，过点作交延长线于，连接，若，求证：；
（3）如图，为射线上一点，为射线上一点，且始终满足，过点作的垂线交的延长线于点，连接，猜想：、、之间的数量关系并证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】
A：，可化简，不符合题意；
B：，可化简，不符合题意；
C：，可化简，不符合题意；
D：，不可化简，符合题意；
故答案为D
【分析】本题考查最简二次根式。 满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式： (1)被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即根式无分母，分母无根式，不含能开方的因数或因数。
2．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】如图所示，
依据题意，梯子长AC=5米，梯子底端离墙BC=4米，则梯子顶端到离地面AB=
故答案为B
【分析】本题考查勾股定理的应用。根据题干，理清题意，构造出直角三角形，根据勾股定理求解即可。
3．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】 A：，正确，符合题意；
B：不能合并，选项错误，不符合题意；
C：不能合并，选项错误，不符合题意；
D：选项错误，不符合题意；
故答案为A
【分析】本题考查二次根式的化简和计算。二次根式的加减，实质上是同类二次根式的合并，即把二次根式化成最简后，被开方数相同的二次根式的合并。二次根式的化简根据其性质进行：，二次格式的乘除法则，先把被开方数相乘除，再求其结果的算术平方根。
4．【答案】A
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】
图①a的个数是1，b的个数2+2；
图②a的个数是2，b的个数2×2+2；
图③a的个数是3，b的个数2×3+2；
根据①②③的规律可知：a的个数按照1，2，3···排列；b的个数按照2n+2的顺序排列；
则第④个图形中的字母“b”的个数是2×4+2=10
故答案为A
【分析】本题考查图形找规律。仔细观察每一个图之间的字母变化情况，可找出变化规律。
5．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】∵
∴
∴
故答案为C
【分析】本题考查无理数的大小，找出无理数中被开方数前后紧邻的平方数，求出无理数的范围，再根据不等式的性质，即可求出所要的结果。
6．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】合唱队15人中，身高为163cm出现5次，次数最多，则众数是163cm；
本组数据按照从小到大的顺序排列，处于中间位置的身高数是163，则中位数是163cm.
故答案为B
【分析】本题考查中位数和众数的概念。一组数据中，出现次数最多的数据为众数，把这组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，处于中间位置（或中间位置的两个数的平均数）的数为这组数据的中位数。
7．【答案】A
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】∵ 一次函数y=kx+2中，k＞0
∴ 该一次函数y随着x的增大而增大
且x=0时，y=2
∵
∴
故答案为A
【分析】本题考查一次函数的性质和与y轴的交点。根据一次函数k＞0，可知该函数y随着x的增大而增大，可判断其对应函数值的大小顺序。一次函数y=kx+b，k＞0时，该一次函数y随着x的增大而增大；k＜0时，该一次函数y随着x的增大而减小。
8．【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】P在BC上运动时，随着P的运动逐渐变大；P在DC上运动时，随着P的运动保持不变，且此时段面积最大；P在AD上运动时，随着P的运动逐渐变小；
故答案为B
【分析】本题考查函数图象。根据题目叙述，找出三角形面积与P的运动轨迹的关系，分别讨论P在BC、CD、AD边上时，三角形ABP的面积变化情况即可找出正确的图象。
9．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理
【解析】【解答】∵ 四边形ABCD为正方形
∴ AB=AD
∠ABC=∠BAD=∠ADF=90°
∵ BE=DF
∴（SAS）
∴ ∠BAE=∠DAF，AE=AF
∴∠BAE+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=90°
∵ G为AE的中点，BG=2
∴ AG=BG=2，AF=AE=4
∴ FG=
故答案为B
【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理、三角形全等的判定与性质和直角三角形斜边上的中线性质。根据正方形的性质，判定，根据其全等的性质，得出∠EAF=90°，AE=AF，根据直角三角形斜边上的中线性质，可得AG长，根据勾股定理求出FG即可。
10．【答案】C
【知识点】整式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】根据题意，可知：
第1项是：x+1，
第2项是：x +x+1，
第3项是：x +x +x+1，
第4项是：x4+x +x +x+1，①正确；
第5项是：x5+x4+x +x +x+1，，②错误；
若第2023项的值为0，即x2023+x2022+x2021+···+x4+x +x +x+1=0
则=0
∴ x2024=1，③正确；
故答案为C
【分析】本题考查整式的运算和找规律问题。根据题干的运算方法，分别计算出第2项，的值，第3项，的值，第4项，的值，第5项，的值等等，找出整式之间的运算规律是解题关键。
11．【答案】x≥1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：2x-2≥0，∴x≥1.
故答案为：x≥1
【分析】根据被开方数是非负数即可得到x的取值范围.
12．【答案】2
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵ 四边形ACBD为菱形
∴ CO=AO
∵ E为BC的中点
∴ OE为的中位线
∴ OE=
∵ OE=1
∴ AB=2
【分析】本题考查菱形的性质和三角形的中位线。根据菱形的性质，得出O为AC的中点，结合E为BC的中点，可知OE为三角形ABC的中位线，则可知AB长。
13．【答案】-1
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】∵是关于的一次函数
∴
∴ m=-1
【分析】本题考查一次函数的定义：形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数是一次函数，要求同时满足系数k≠0，自变量x的指数是1这两个条件。
14．【答案】89
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：甲候选人的最终成绩为：
【分析】本题考查加权平均数的计算。 通过相乘各个数据点的值与权重值，并将结果求和后再除以所有权重值的总和，就可以得到加权平均值。若n个数的权分别是，则这组数据的加权平均数.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接DB
∵ AB=8，E为AB的中点，
∴ BE=4，
∵ DE⊥AB，DE=
∴ DB=
∵ CD=5，BC=1
∴ CD =BC +DB
∴ DB⊥BC
∴
【分析】本题考查勾股定理和逆定理及四边形面积的计算。根据DE⊥AB和E为AB的中点可知DB长，结合DC、BC可判断为直角三角形，则四边形面积可分成两个三角形的面积计算即可。
16．【答案】3
【知识点】解分式方程；一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】
解分式方程
解：两边同时乘（2-x），得：1-ax+1+2-x=0
得：
∵ 此分式方程有整数解，且x=2，
∴ a+1的值可以是
则a的值可以是：0，-2，-3，3，-5
∵ 一次函数图象经过第一、二、三象限，
∴ a＞0
∴ a的值是3
【分析】本题考查解分式方程和一次函数的图象性质。解分式方程时，先去分母，变成整式方程，再求解，注意最后要验根，可得出a的值，根据一次函数的性质，可知a的范围，综合考虑，得出符合的a的值。
17．【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质
【解析】【解答】如图所示：延长BA，过点E作EF⊥BA延长线于F，则∠EFA=90°
∵ AB=1，BC=2，∠ABC=90°
∴ AC=，∠BAC+∠BCA=90°
∵ 四边形ACDE为正方形
∴ AE=AC=，∠EAC=90°
∴ ∠FAE+∠BAC=90°，
∴ ∠FAE=∠BCA
∵ ∠EFA=∠ABC=90°
∴
∴ AF=CB=2，
∴
则的面积等于3
【分析】本题考查正方形的性质和三角形全等的一线三等角模型。求的面积，即求的高，求出高是解题的关键。根据正方形ACDE和∠ABE90°，可确定，延长BA，过E作BA的垂线，构造一线三等角模型，证，可得EF=BC，即可求出高，则可知面积。
18．【答案】73,6163
（1）73
（2）6163
【知识点】实数的运算；定义新运算
【解析】【解答】（1）根据题意可知：
∵ 四位正整数6130是“三五律数”，
∴ F（6130）=63+10=73
（2）设A的千位数字为x，百位数字是x-5，十位数字是y，个位数字是y-3，其中5≤x≤9，3≤y≤9，x，y均为正整数.
∵ A是“三五律数”
∴ F（A）=10x+y+10（x-5）+y-3=20x+2y-53
G（A）=10x+x-5-（10y+y-3）=11x-11y-2
∴ F（A）- G（A）=20x+2y-53-（11x-11y-2）=9x+13y-51
∵ 5≤x≤9，3≤y≤9，x，y均为正整数.
∴ 33≤9x+13y-51≤147，
∵ F（A）- G（A）是一个正整数的次方，24=16，34=81，44=256，
∴ F（A）- G（A）是3的次方
∴ 9x+13y-51=81
整理得：9x+13y=132
解得：x=6，y=6，x-5=1，y-3=3
则千位数字为6，百位数字是1，十位数字是6，个位数字是3
则A是6163.
【分析】本题考查新定义下的实数运算和二元一次方程，正确理解题意是关键。（1）根据新定义列式求解即可；（2）可直接设A的千位数字x和十位数字y，根据数量关系，可表示出其百位数字和各位数字，并表示出x，y各自的取值范围，根据定义，表示出 F（A）- G（A），可得其取值范围，根据 F（A）- G（A）是 一个正整数的次方，可知是3的4次方，可得x和y的二元一次方程，求解即可。
19．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】实数的运算；平方差公式及应用；整式的混合运算；二次根式的性质与化简；偶次方的非负性
【解析】【分析】本题考查实数的运算。熟悉负因数的偶次幂、根式的性质化简、完全平方公式等知识，是解题关键。
20．【答案】（1）解：如图所示：
（2）BC；BE=AF；∠AEB=∠EAD；∠EAB=∠EAD；BA=BE
【知识点】菱形的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】本题考查角平分线的作图和菱形的判定。熟悉角平分线的作图过程，注意痕迹保留，根据 四边形为平行四边形得出，，结合得，则四边形是平行四边形得∠AEB=∠EAD，根据平分得∠EAB=∠EAD，可知得BA=BE，则四边形是菱形．
21．【答案】（1）解：，
则，
蓝队样本的众数为，
红队样本的中位数为
（2）我认为蓝队比赛成绩好些一条合理即得分，
因为蓝队的中位数大于红队的中位数：
（3）两队抽取的人中此次比赛活动成绩优秀的有人，
占样本的，该陆战队的蓝队、红队共人参加了此次比赛，
所以估计成绩为优秀的军人有人．
故估计参加此次比赛活动成绩优秀的人数是人．
【知识点】扇形统计图；利用统计图表分析实际问题；中位数；众数
【解析】【分析】本题考查扇形统计图的中位数、众数的计算和意义，正确获取统计图的信息，解决问题是关键。（1）根据C组3个数，除以样本总数10，可得C的占比，用1减去分别减去其他三组的占比，可得a值；（2）根据中位数的意义可解答；（3）利用样本估算整体，计算出样本中优秀的人数占比，乘以总人数即可。
22．【答案】（1）解：设每盒种型号的盲盒元，每盒种型号的盲盒元，
根据题意得：，
解得：．
答：每盒种型号的盲盒元，每盒种型号的盲盒元；
（2）解：设该中学购买盒种型号的盲盒，则购买盒种型号的盲盒，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为．
答：该中学最多可以购买盒种型号的盲盒．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确理解题意是关键。（1）根据A型、B型两种盲盒的购买形式，列出关于单价的方程组，求解即可；（2）根据两种型号的盲盒总数100盒，总费用不超过2240圆，可列出关于A型号数量的不等式，求出范围即可。
23．【答案】（1）解：依题意有：，，，，
，
在中，由勾股定理得：，
米，
答：点与点之间的距离为米；
（2）解：过作于，
，
米，
，
故分别在和上找点和点使，
在中，由勾股定理得：，
米，
同理得：米，
当无人机处在段时能收到信号，由无人机的速度为，
则无人机飞过此段的时间为：秒，
无人机收到信号次数最多为次．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的性质
【解析】【分析】本题考查勾股定理的应用、直角三角形的判定等知识，理解路程、速度、时间的数量关系，准确计算是解题关键。（1）根据题意，得出已知条件，可得∠ACB是90°，用勾股定理求出AB长；（2）过C作CD⊥AB，根据等面积法，计算出CD=480，由CD＜500米可知，则以CD为高，C为顶点，作等腰CF=CE=500，根据勾股定理得DE=DF=140，则无人机在EF段可接收信号，根据速度，即可算出接收信号的次数。
24．【答案】（1）解：，，，
，
当在边上，即时，如图：
；
当在边不含上，即时，如图：
；
；
（2）当时，当时，当时，
画出函数图象如下：
由图象可知，当时，随的增大而增大；的最大值为写出一条即可；
（3）解：根据函数图象可得，当时的取值范围是或．
【知识点】一次函数的实际应用；勾股定理；一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】本题考查一次函数的解析式、图象和性质。（1）根据勾股定理，计算出BC长，分别讨论P在AB和CB时的面积，可得出y关于x的函数关系式；（2）画函数图象，根据x和y的对应取值即可；（3）当y≤2时，对应自变量有两个范围，不可漏写。
25．【答案】（1）解：，
，
直线经过点，且点的横坐标为，
，
把，代入，得，
解得：，
一次函数的解析式为；
（2）设，则，
，
，
即，
解得：，
点的坐标为或；
（3）由知，
一次函数有一点，点的纵坐标为，
，
点在直线上，
设，
当点在轴上时，设，
若、为对角线，则、的中点重合，
，
解得：，
；
若、为对角线，则、的中点重合，
，
解得：，
；
若、为对角线，则、的中点重合，
，
解得：，
；
当点在轴上时，设，
若、为对角线，则、的中点重合，
，
解得：，
；
若、为对角线，则、的中点重合，
，
解得：，
；
若、为对角线，则、的中点重合，
，
解得：，
；
综上所述，点的坐标为或或或或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，根据面积求坐标和一次函数与四边形的几何问题，熟悉平行四边形的性质是关键。（1）根据B的横坐标和y=-3x，可得B坐标，结合A的坐标，可得一次函数解析式；（2）根据 ，设C（0，y），得y值，得C坐标；（3）根据D在一次函数y=x+4，得D（-3，1），根据N在y=-3x上得N（n，-3n）， 要使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，分类讨论M在x轴上BM、DN和BD、MN和BN、DM分别为对角线和y轴上BM、DN和 、 分别为对角线的情况，根据平行四边形的性质，列出对应的方程组，求解可得N坐标。
26．【答案】（1）解：，，
，
又，，
≌，
，
，，
；
（2）证明：延长至，使，连接，
，
，
，，
，
又，，
≌，
，，
，
，
，
又，，
≌，
，
；
（3）解：，理由如下：
过点作交的延长线于．
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】本题考查三角形全等的判定和性质。根据题意，构造三角形，利用全等的性质，得出结论。（1）根据 ，得，根据，得≌，则，根据，，得；（2） 延长至，使，连接， 根据得，
根据，得，根据，证≌，则，，得，再证≌，得，则；
（3） 过点作交的延长线于．根据，和得，证≌，得，，结合得，再证≌，得，根据，得．
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