1．函数y＝f(x)，当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )
A．在区间[x0，x1]上的平均变化率
B．在x0处的变化率
C．在x1处的变化率
D．在[x0，x1]上的变化率
答案 A
2．已知函数y＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )
A．0.40 B．0.41
C．0.43 D．0.44
答案 B
3．质点运动规律s＝t2＋3，则在时间(3,3＋Δt)中，相应的平均速度等于( )
A．6＋Δt B．6＋Δt＋
C．3＋Δt D．9＋Δt
答案 A
4．已知函数f(x)＝x2＋4上两点A，B，xA＝1，xB＝1.3，则直线AB的斜率为( )
A．2 B．2.3
C．2.09 D．2.1
答案 B
课件26张PPT。第一章 导数及其应用课后巩固课时作业（一）
1．函数在某一点的导数是( )
A．在该点的函数的增量与自变量增量的比
B．一个函数
C．一个常数，不是变数
D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率
答案 C
2．设函数f(x)可导，则 等于( )
A．f′(1) B．3f′(1)
C.f′(1) D．f′(3)
答案 C
解析 ＝· ＝f′(1)．
3．一物体作直线运动，其运动方程为s(t)＝－3t2＋t，则该物体的初速度为( )
A．－3 B．－2
C．0 D．1
答案 D
4．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，那么这个函数的图像是( )
A．圆 B．抛物线
C．椭圆 D．直线
答案 D
课件41张PPT。第一章 导数及其应用课后巩固课时作业（二）
1．下列命题正确的是( )
A．若f(x)＝，则f′(0)＝0
B．已知函数f(x)＝2x2＋1，若(1＋Δx,3＋Δy)为图像上点(1,3)的邻近点，则＝4＋2Δx
C．加速度是动点位移函数s(t)对时间t的导数
D．曲线y＝x3在点(0,0)处没有切线
答案 B
解析 选项C、D显然错误，对于选项A.
∵f′(x)＝li ＝x－，
∴f′(0)不存在．
对于选项B，＝.
2．曲线y＝－2x2＋1在点(0,1)处的切线的斜率是( )
A．－4 B．0
C．4 D．不存在
答案 B
3．曲线y＝x3在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为( )
A．(－2，－8) B．(1,1)，(－1，－1)
C．(2,8) D．(－，－)
答案 B
4．y＝ax2＋1的图像与直线y＝x相切，则a＝( )
A. B.
C. D．1
答案 B
解析 由已知有唯一解，
即x＝ax2＋1，ax2－x＋1＝0有唯一解，
∴Δ＝1－4a＝0，∴a＝.
5．如图是函数f(x)及f(x)在点P处切线的图像，则f(2)＋
f′(2)＝________.
答案
解析 由题图知，切线方程为＋＝1，
f(2)＝4.5·(1－)＝，
f′(2)＝－＝－.
∴f(2)＋f′(2)＝－＝.
课件35张PPT。第一章 导数及其应用课后巩固课时作业（三）课时作业(一)
一、选择题
1．函数y＝x2＋x在x＝1到x＝1＋Δx之间的平均变化率为( )
A．Δx＋2 B．2Δx＋(Δx)2
C．Δx＋3 D．3Δx＋(Δx)2
答案 C
2．物体做直线运动所经过的路程s可表示为时间t的函数s＝s(t)＝2t2＋2，则在一小段时间[2,2＋Δt]上的平均速度为( )
A．8＋2Δt B．4＋2Δt
C．7＋2Δt D．－8＋2Δt
答案 A
3．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为( )
A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx
C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)
答案 D
4．已知函数f(x)＝2x2－4的图像上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则等于( )
A．4 B．4x
C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
答案 C
解析 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝[2(1＋Δx)2－4]－(2·12－4)
＝[2(Δx)2＋4Δx－2]－(－2)
＝2(Δx)2＋4Δx.
∴＝＝2Δx＋4.
5．某质点沿直线运动的方程为y＝－2t2＋1，则该质点从t＝1到t＝2时的平均速度为( )
A．－4 B．－8
C．6 D．－6
答案 D
解析 ＝＝－6.
6．已知函数f(x)＝－x2＋x，则f(x)从－1到－0.9的平均变化率为( )
A．3 B．0.29
C．2.09 D．2.9
答案 D
7．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x、②y＝x2、③y＝x3、④y＝中，平均变化率最大的是( )
A．④ B．③
C．② D．①
答案 B
8．已知曲线y＝x2和这条曲线上的一点P(1，)，Q是曲线上点P附近的一点，则点Q的坐标为( )
A．(1＋Δx，(Δx)2) B．(Δx，(Δx)2)
C．(1＋Δx，(Δx＋1)2) D．(Δx，(1＋Δx)2)
答案 C
二、填空题
9．将半径为R的球加热，若球的半径增加ΔR，则球的表面积增加量ΔS等于________．
答案 8πRΔR＋4π(ΔR)2
10．一质点的运动方程是s＝4－2t2，则在时间段[1,1＋Δt]上相应的平均速度与Δt满足的关系式为________．
答案 ＝－2Δt－4
解析 Δs＝[4－2(1＋Δt)2]－(4－2·12)
＝4－2－4Δt－2(Δt)2－4＋2
＝－4Δt－2(Δt)2，
＝＝＝－4－2Δt.
11．某物体按照s(t)＝3t2＋2t＋4的规律作直线运动，则自运动始到4 s时，物体的平均速度为________．
答案 15
解析 (t)＝＝3t＋2＋，
∴(4)＝3×4＋2＋＝15.
12．已知函数f(x)＝，则此函数在[1,1＋Δx]上的平均变化率为________．
答案 －
解析 ＝
＝＝.
13．已知圆的面积S与其半径r之间的函数关系为S＝πr2，其中r∈(0，＋∞)，则当半径r∈[1,1＋Δr]时，圆面积S的平均变化率为________．
答案 2π＋πΔr
三、解答题
14.
甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大？
解析 由图像可知s1(t0)＝s2(t0)，s1(0)>s2(0)，则<，所以在从0到t0这段时间内乙的平均速度大．
15.
婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，试分别计算第一年与第二年婴儿体重的平均变化率．
解析 第一年婴儿体重平均变化率为
＝0.625(千克/月)；
第二年婴儿体重平均变化率为
＝0.25(千克/月)．
16．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x，分别计算在下列区间上f(x)及g(x)的平均变化率．
(1)[－3，－1]； (2)[0,5]．
答案 (1)f(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为2，g(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为－2.
(2)f(x)在区间[0,5]上的平均变化率为2，g(x)在区间[0,5]上的平均变化率为－2.
?重点班·选做题
17．动点P沿x轴运动，运动方程为x＝10t＋5t2，式中t表示时间(单位：s)，x表示距离(单位：m)，求在20≤t≤20＋Δt时间段内动点的平均速度，
其中(1)Δt＝1， (2)Δt＝0.1； (3)Δt＝0.01.
答案 (1)215 m/s (2)210.5 m/s (3)210.05 m/s
课时作业(二)
一、选择题
1．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则
＝( )
A．11 B．－11
C. D．－
答案 B
2．函数f(x)在x＝0可导，则 ＝( )
A．f(a) B．f′(a)
C．f′(h) D．f(h)
答案 B
3．已知函数y＝x2＋1的图像上一点(1,2)及邻近点(1＋Δx,2＋Δy)，则 ＝( )
A．2 B．2x
C．2＋Δx D．2＋Δx2
答案 A
4．设f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，则f′(1)的值为( )
A．2 B．－1
C．1 D．－2
答案 B
二、填空题
5．一个物体的运动方程为S＝1－t＋t2，其中S的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是________．
答案 5米/秒
6．函数y＝(3x－1)2在x＝x0处的导数为0，则x0＝________.
答案
解析 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(3x0＋3Δx－1)2－(3x0－1)2＝18x0Δx＋9(Δx)2－6Δx，
∴＝18x0＋9Δx－6.
∴li ＝18x0－6＝0，∴x0＝.
7．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.
答案 2
解析 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝a(1＋Δx)＋4－a－4＝aΔx.
∴f′(1)＝li ＝lia＝a.
又f′(1)＝2，∴a＝2.
8．质点M按规律s＝2t2＋3做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，则质点M的瞬时速度等于8 m/s时的时刻t的值为________．
答案 2
解析 设时刻t的值为t0，则
Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝2(t0＋Δt)2＋3－2t－3
＝4t0·Δt＋2·(Δt)2，
＝4t0＋2Δt， ＝4t0＝8，∴t0＝2(s)．
9．已知f(x)＝，则 的值是________．
答案 －
10.
如图，函数f(x)的图像是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则
f(f(0))＝________；
＝______.
答案 2；－2
三、解答题
11．设f(x)＝x2，求f′(x0)，f′(－1)，f′(2)．
答案 f′(x0)＝2x0，f′(－1)＝－2，f′(2)＝4
12．某物体运动规律是S＝t2－4t＋5，问什么时候此物体的瞬时速度为0?
答案 t＝2
解析 ΔS＝(t＋Δt)2－4(t＋Δt)＋5－(t2－4t＋5)
＝2tΔt＋(Δt)2－4Δt，
v＝li ＝2t－4＝0，∴t＝2.
13．若f′(x0)＝2，求li 的值．
解析 令－k＝Δx，∵k→0，∴Δx→0.
则原式可变形为li
＝－li
＝－f′(x0)＝－×2＝－1.
?重点班·选做题
14．若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：s)
s＝
求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．
解析 (1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，
物体在t∈[3,5]内的位移变化量为
Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
∴物体在t∈[3,5]上的平均速度为＝＝24(m/s)．
(2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度．∵物体在t＝0附近的平均变化率为
＝
＝＝3Δt－18，
∴物体在t＝0处的瞬时变化率为 ＝ (3Δt－18)＝－18，即物体的初速度为－18 m/s.
(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．
∵物体在t＝1附近的平均变化率为
＝
＝＝3Δt－12，
∴物体在t＝1处的瞬时变化率为
＝ (3Δt－12)＝－12.
即物体在t＝1时的速度为－12 m/s.
课时作业(三)
一、选择题
1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴斜交
答案 B
2.
已知函数y＝f(x)的图像如右图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
答案 B
3．已知曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，那么( )
A．f′(x0)＝0 B．f′(x0)<0
C．f′(x0)>0 D．f′(x0)不能确定
答案 B
4．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( )
A．1 B.
C．－ D．－1
答案 A
5．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么( )
A．f′(x0)>0 B．f′(x0)<0
C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在
答案 B
6．下列说法正确的是( )
A．曲线的切线和曲线有交点，这点一定是切点
B．过曲线上一点作曲线的切线，这点一定是切点
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)不一定存在
答案 D
7．在曲线y＝x2上切线的倾斜角为的点是( )
A．(0,0) B．(2,4)
C．(，) D．(，)
答案 D
8．设f(x)＝，则 等于( )
A．－ B.
C．－ D.
答案 D
解析 ＝ ＝.
9．若f(x)＝x3＋x－1，f′(x0)＝4，则x0的值为( )
A．1 B．－1
C．±1 D．±3
答案 C
解析 f′(x0)＝
＝
＝[3x0＋1＋3x0·Δx＋(Δx)2]
＝3x0＋1＝4.解得x0＝±1.
10．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于( )
A．2 B．4
C．6＋6·Δx＋2·(Δx)2 D．6
答案 D
二、填空题
11．已知函数y＝f(x)的图像在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.
答案 3
解析 f′(1)＝，f (1)＝×1＋2＝，∴f(1)＋f′(1)＝3.
三、解答题
12．求曲线y＝2x－x3在点(－1，－1)处的切线的方程及此切线与x轴、y轴所围成的平面图形的面积．
答案 x＋y＋2＝0；2
13．若曲线y＝2x3上某点切线的斜率等于6，求此点的坐标．
解析 ∵y′|x＝x0＝ ＝6x0，
∴6x0＝6.∴x0＝±1.故(1,2)，(－1，－2)为所求．
14．已知曲线C：y＝x3，求在曲线C上横坐标为1的点处的切线方程．
解析 将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，
∴切点P(1,1)．
∵y′＝ ＝
＝
＝[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]＝3x2，
∴y′|x＝1＝3.
∴过P点的切线方程为y－1＝3(x－1)，
即3x－y－2＝0.
?重点班·选做题
15．点P在曲线y＝f(x)＝x2＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标．
解析 设P(x0，y0)，则y0＝x＋1.
f′(x0)＝ ＝2x0.
所以过点P的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，
即y＝2x0x＋1－x.
而此直线与曲线y＝－2x2－1相切，
所以切线与曲线y＝－2x2－1只有一个公共点．
由得
2x2＋2x0x＋2－x＝0.
即Δ＝4x－8(2－x)＝0.
解得x0＝，y0＝.
所以点P的坐标为(，)或(－，)．
