1．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－4，则α等于( )
A．4 B．－4
C．5 D．－5
答案 A
2．曲线y＝x3－2在点(－1，－)处切线的倾斜角为( )
A．30° B．45°
C．135° D．60°
答案 B
3．若y＝10x，则y′|x＝1＝________.
答案 10ln10
4．已知y＝x3－x－1＋1，则其导函数的值域为________．
答案 [2，＋∞)
5．曲线y＝x3－2x2－4x＋2在点(1，－3)处的切线方程是________．
答案 5x＋y－2＝0
解析 ∵y′＝3x2－4x－4，故切线斜率k＝3－4－4＝
－5.故切线方程为y＋3＝－5(x－1)，即5x＋y－2＝0.
6．y＝x3的切线倾斜角的范围为________．
答案 [0，)
解析 k＝y′＝3x2≥0.
课件35张PPT。第一章 导数及其应用课后巩固课时作业（四）
1．y＝sinx(1－cosx)的导数是( )
A．cosx＋cos2x B．cosx－cos2x
C．sinx＋cos2x D．cos2x＋cos2x
答案 B
解析 y′＝(sinx)′·(1－cosx)＋sinx·(1－cosx)′
＝cosx·(1－cosx)＋sinx·sinx
＝cosx－cos2x＋sin2x＝cosx－cos2x.
2．曲线f(x)＝x3＋x－2在点P0的切线平行于直线y＝
4x－1，则P0的坐标为( )
A．(1,0) B．(2,8)
C．(1,0)和(－1，－4) D．(2,8)和(－1，－4)
答案 C
解析 ∵f′(x)＝3x2＋1在点P0处的导数为
f′(x0)＝3x0＋1，∴3x0＋1＝4，∴x0＝±1.
∴P(1,0)和P(－1，－4)．∴应选C.
3．(2010·江西卷)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝( )
A．－1 B．－2
C．2 D．0
答案 B
解析 由f(x)＝ax4＋bx2＋c，得f′(x)＝4ax3＋2bx.又f′(1)＝2，所以4a＋2b＝2，即2a＋b＝1，f′(－1)＝
－4a－2b＝－2(2a＋b)＝－2.故选B.
4．已知f′(x)＝3x2－6x，且f(0)＝4，解不等式f(x)>0.
解析 ∵f′(x)＝3x2－6x，
∴可设f(x)＝x3－3x2＋c.
又f(0)＝4，∴c＝4.
不等式f(x)>0即为x3－3x2＋4>0，
即(x＋1)(x－2)2>0，
∴x>－1且x≠2.
∴原不等式解集为{x|x>－1且x≠2}．
5．求下列函数的导数．
(1)y＝x4－3x2－5x＋6；
(2)y＝x·tanx；
(3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
(4)y＝.
解析 (1)y′＝4x3－6x－5.
(2)y′＝tanx＋x()′
＝tanx＋x×
＝tanx＋x·sec2x.
(3)y′＝(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2＋x＋3)
＝x2＋5x＋6＋2x2＋7x＋5
＝3x2＋12x＋11.
(4)∵y＝1－，∴y′＝.
课件32张PPT。第一章 导数及其应用课后巩固课时作业（五）
1．若可导函数f(x)满足f′(3)＝9，则f(3x2)在x＝1处的导数值为( )
A．1 B．9
C．27 D．54
答案 D
解析 ∵[f(3x2)]′＝f′(3x2)(3x2)′＝6xf′(3x2)，
∴f(3x2)在x＝1处的导数为6×1×f′(3)＝54.
2．求y＝sin2的导数．
解析 解法一 设y＝u2，u＝sinv，v＝2x＋，则
y′x＝y′u·u′v·v′x＝(u2)′u·(sinv)′v·′x
＝2u·cosv·2＝2sin·cos·2
＝2sin.
解法二 ∵y＝sin·sin，
∴y′＝′·sin＋
sin′
＝2sin·′
＝2sin·cos·′x
＝2sin.
解法三 ∵y＝，
∴y′＝′
＝0＋sin·′x
＝2sin.
3．求cos22x的导数．
解析 (cos22x)′
＝2cos2x·(cos2x)′
＝2cos2x·(－sin2x)·(2x)′
＝－4sin2x·cos2x
＝－2sin4x.
(其它方法略)
课件25张PPT。第一章 导数及其应用课后巩固课时作业（六）课时作业(四)
一、选择题
1．下列结论中不正确的是( )
A．若y＝x4，则y′|x＝2＝32
B．若y＝，则y′|x＝2＝－
C．若y＝，则y′|x＝1＝－
D．若y＝cosx，则y′|x＝＝－1
答案 B
解析 ∵y＝＝x－，∴y′＝－·x－＝－.
∴y′|x＝2＝－＝－.
2．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( )
A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0
答案 A
解析 ∵l与直线x＋4y－8＝0垂直，
∴l的斜率为4.∵y′＝4x3，
∴由切线l的斜率是4，得4x3＝4，∴x＝1.
∴切点坐标为(1,1)．
∴切线方程为y－1＝4(x－1)，
即4x－y－3＝0.故选A.
3．已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )
A．3 B．2
C．1 D.
答案 A
解析 y′＝x－3，由x－＝.
得x＝3或x＝－2.由于x>0，所以x＝3.
4．在下列函数中，值域不是[－，]的函数共有( )
①y＝(sinx)′＋(cosx)′ ②y＝(sinx)′＋cosx
③y＝sinx＋(cosx)′ ④y＝(sinx)′·(cosx)′
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案 C
解析 ②、③、④不是．
5．质点沿直线运动的路程和时间的关系是s＝，则质点在t＝4时的速度是( )
A. B.
C. D.
答案 B
6．已知物体的运动方程是s＝t4－4t3＋16t2(t表示时间，s表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( )
A．0秒、2秒或4秒 B．0秒、2秒或16秒
C．2秒、8秒或16秒 D．0秒、4秒或8秒
答案 D
二、填空题
7．下列结论中正确的是________．
①y＝ln2，则y′＝
②y＝，则y′|x＝3＝－
③y＝2x，则y′＝2xln2
④y＝log2x，则y′＝
答案 ②③④
8．设f(x)＝x3－3x2－9x＋1，则不等式f′(x)<0的解集为________．
答案 (－1,3)
9．设直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b的值为________．
答案 ln2－1
10．过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________．
答案 (1，e)，e
11．已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，则与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程是________．
答案 4x－4y－1＝0
解析 k＝＝1，又y′＝2x，
令2x＝1，得x＝，进而y＝，
∴切线方程为y－＝1·(x－)，
即4x－4y－1＝0.
12．已知f(x)＝cosx，g(x)＝x，解不等式f′(x)＋g′(x)≤0的解集为________．
答案 {x|x＝2kπ＋，k∈Z}
解析 f′(x)＝－sinx, g′(x)＝1，
∴不等式f′(x)＋g′(x)≤0，即－sinx＋1≤0.
∴sinx≥1，又sinx≤1，∴sinx＝1.
∴x＝2kπ＋，k∈Z.
三、解答题
13．如果曲线y＝x2＋x－3的某一条切线与直线y＝3x＋4平行，求切点坐标与切线方程．
答案 切点坐标为(1，－1)，切线方程为3x－y－4＝0
14．求曲线y＝sinx在点A(，)处的切线方程．
解析 ∵y＝sinx，∴y′＝cosx.
∴y′|x＝＝cos＝，k＝.
∴切线方程为y－＝(x－)．
化简得6x－12y＋6－π＝0.
15．(1)求过曲线y＝ex上点P(1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程；
(2)曲线y＝x5上一点M处的切线与直线y＝－x＋3垂直，求此切线方程．
解析 (1)∵y′＝ex，
∴曲线在点P(1，e)处的切线斜率是y′|x＝1＝e.
∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为k＝－.
∴所求直线方程为y－e＝－(x－1)，
即x＋ey－e2－1＝0.
(2)∵切线与y＝－x＋3垂直，∴切线斜率为1.
又y′＝x4，令x4＝1，∴x＝±1.
∴切线方程为5x－5y－4＝0或5x－5y＋4＝0.
?重点班·选做题
16．下列命题中正确的是________．
①若f′(x)＝cosx，则f(x)＝sinx
②若f′(x)＝0，则f(x)＝1
③若f(x)＝sinx，则f′(x)＝cosx
答案 ③
解析 当f(x)＝sinx＋1时，f′(x)＝cosx，
当f(x)＝2时，f′(x)＝0.
17．已知曲线方程为y＝x2，求过A(3,5)点且与曲线相切的直线方程．
解析 解法一 设过A(3,5)与曲线y＝x2相切的直线方程为y－5＝k(x－3)，即y＝kx＋5－3k.
由
得x2－kx＋3k－5＝0.
Δ＝k2－4(3k－5)＝0，
整理得(k－2)(k－10)＝0.
∴k＝2或k＝10.
所求的直线方程为
2x－y－1＝0,10x－y－25＝0.
解法二 设切点P的坐标为(x0，y0)，
由y＝x2，得y′＝2x.
∴y′|x＝x0＝2x0.
由已知kPA＝2x0，即＝2x0.
又y0＝2x0，代入上式整理，得x0＝1或x0＝5.
∴切点坐标为(1,1)，(5,25)．
∴所求直线方程为2x－y－1＝0,10x－y－25＝0.
课时作业(五)
一、选择题
1．函数y＝2sinxcosx的导数为( )
A．y′＝cosx B．y′＝2cos2x
C．y′＝2(sin2x－cos2x) D．y′＝－sin2x
答案 B
解析 y′＝(2sinxcosx)′
＝2(sinx)′·cosx＋2sinx(cosx)′
＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x.
2．函数f(x)＝的导数是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 f′(x)＝＝.
3．函数y＝(x－a)(x－b)在x＝a处的导数为( )
A．ab B．－a(a－b)
C．0 D．a－b
答案 D
解析 y′＝(x－a)′(x－b)＋(x－a)·(x－b)′，
∴y′＝2x－(a＋b)，y′|x＝a＝2a－a－b＝a－b.
4．函数y＝x·lnx的导数是( )
A．x B.
C．lnx＋1 D．lnx＋x
答案 C
解析 y′＝x′·lnx＋x·(lnx)′＝lnx＋x·＝lnx＋1.
5．函数y＝的导数是( )
A．－ B．－sinx
C．－ D．－
答案 C
解析 y′＝()′＝
＝.
6．曲线y＝在点(1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝x－2 B．y＝－3x＋2
C．y＝2x－3 D．y＝－2x＋1
答案 D
7．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 f′(x)＝3ax2＋6x，f′(－1)＝3a－6＝4，a＝.
8．设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，点P处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是( )
A. B.
C.∪ D.∪
答案 D
解析 由y′＝3x2－，易知y′≥－，即tanα≥－.
∴0≤α<或π≤α<π.
9．函数y＝的导数是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 y′＝＝.
10．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于( )
A．0 B．－4
C．－2 D．2
答案 B
解析 f′(x)＝2x＋2f′(1)，
令x＝1，得f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2.
∴f′(0)＝2f′(1)＝－4.
11．已知f()＝，则f′(x)＝( )
A. B．－
C. D．－
答案 D
解析 ∵f()＝＝， ∴f(x)＝.
∴f′(x)＝－.
12．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为( )
A．4 B．－
C．2 D．－
答案 A
解析 依题意得f′(x)＝g′(x)＋2x，f′(1)＝g′(1)＋2＝4，选A.
二、填空题
13．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为______________．
答案 3x－y－11＝0
解析 y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3≥3，
当且仅当x＝－1时取等号，当x＝－1，时y＝－14.
∴切线方程为y＋14＝3(x＋1)，即3x－y－11＝0.
14．设f(x)＝ax2－bsinx，且f′(0)＝1，f′()＝，则a＝________，b＝________.
答案 0 －1
解析 f′(x)＝2ax－bcosx，
∴f′(0)＝－b＝1.
f′()＝2a·－b·cos＝，
得a＝0，b＝－1.
三、解答题
15．求下列函数的导数．
(1)f(x)＝(x3＋1)(2x2＋8x－5)；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝.
解析 (1)∵f′(x)＝[2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5]′，
∴f′(x)＝10x4＋32x3－15x2＋4x＋8.
(2)∵f(x)＝＋＝＋
＝＝－2，
∴f′(x)＝(－2)′＝＝.
(3)f′(x)＝(＋)′＝()′＋()′
＝＋
＝
＝.
16．已知函数f(x)＝2x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图像都过点P(2,0)，且在点P处有公共切线，求f(x)、g(x)的表达式．
解析 ∵f(x)＝2x3＋ax的图像过点P(2,0)，
∴a＝－8.∴f(x)＝2x3－8x.∴f′(x)＝6x2－8.
对于g(x)＝bx2＋c的图像过点P(2,0)，则4b＋c＝0.
又g′(x)＝2bx，∴g′(2)＝4b＝f′(2)＝16.
∴b＝4.∴c＝－16. ∴g(x)＝4x2－16.
综上可知，f(x)＝2x3－8x，g(x)＝4x2－16.
17．若直线y＝kx与曲线y＝x3－3x2＋2x相切，求k的值．
解析 设切点坐标为(x0，y0)，y′|x＝x0＝3x－6x0＋2＝k.
若x0＝0，则k＝2.若x0≠0，由y0＝kx0，得k＝.
∴3x－6x0＋2＝，
即3x－6x0＋2＝.解之，得x0＝.
∴k＝3×()2－6×＋2＝－.
综上，k＝2或k＝－.
?重点班·选做题
18．已知曲线S：y＝3x－x3及点P(2,2)，则过点P可向S引切线，其切线条数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 D
解析 显然P不在S上，设切点为(x0，y0)，
由y′＝3－3x2，得y′|x＝x0＝3－3x0.
切线方程为y－(3x0－x0)＝(3－3x0)(x－x0)．
∵P(2,2)在切线上，
∴2－(3x0－x0)＝(3－3x0)(2－x0)，
即x0－3x0＋2＝0.
∴(x0－1)(x0－2x0－2)＝0.
由x0－1＝0，得x0＝1.
由x0－2x0－2＝0，得x0＝1±.
∵有三个切点，∴由P向S作切线可以作3条．
19．曲线y＝x(x＋1)(2－x)有两条平行于y＝x的切线，则两切线之间的距离为________．
答案
解析 y＝x(x＋1)(2－x)＝－x3＋x2＋2x，
y′＝－3x2＋2x＋2，令－3x2＋2x＋2＝1，得
x1＝1或x2＝－.
∴两个切点分别为(1,2)和(－，－)．
切线方程为x－y＋1＝0和x－y－＝0.
∴d＝＝.
1．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
(1)求直线l1，l2的方程；
(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．
分析 (1)求曲线在某点处的切线方程的步骤：先求曲线在这点处的导数，这点对应的导数值即为过此点切线的斜率，再用点斜式写出直线方程；(2)求面积用S＝a·h即可完成．
解析 (1)因为y′＝2x＋1，则直线l1的斜率k1＝2×1＋1＝3，则直线l1的方程为y＝3x－3，设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(b，b2＋b－2)，则l2的方程为
y＝(2b＋1)x－b2－2.
因为l1⊥l2，则有2b＋1＝－，b＝－.
所以直线l2的方程为y＝－x－.
(2)解方程组得
所以直线l1和l2的交点坐标为(，－)，l1，l2与x轴交点的坐标分别为(1,0)，(－，0)．所以所求三角形的面积S＝××|－|＝.
课时作业(六)
一、选择题
1．若f(x)＝(x＋1)4，则f′(0)等于( )
A．0 B．1
C．3 D．4
答案 D
2．若f(x)＝sin(2x＋)，则f′()等于( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 A
3．y＝cos3(2x＋3)的导数是( )
A．y′＝3cos2(2x＋3)
B．y′＝6cos2(2x＋3)
C．y′＝－3cos2(2x＋3)·sin(2x＋3)
D．y′＝－6cos2(2x＋3)·sin(2x＋3)
答案 D
4．函数y＝sin2x的图像在处的切线的斜率是( )
A. B.
C. D.
答案 D
分析 将函数y＝sin2x看作是由函数y＝u2，u＝sinx复合而成的．
解析 ∵y′＝2sinxcosx，
∴y′|x＝＝2sincos＝.
5．y＝sin3的导数是( )
A．－sin2 B．－sin2
C．－cos·sin2 D.sin·sin
答案 C
6．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是( )
A. B．2
C．3 D．0
答案 A
解析 y′＝＝2，∴x＝1.∴切点坐标为(1,0)．
由点到直线的距离公式，得d＝＝.
7．设y＝f(2－x)可导，则y′等于( )
A．f′(2－x)ln2 B．2－x·f′(2－x)ln2
C．－2－x·f′(2－x)ln2 D．－2－x·f′(2－x)log2e
答案 C
8．曲线y＝e x在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
A.e2 B．4e2
C．2e2 D．e2
答案 D
解析 ∵y′＝·e x，
∴切线的斜率k＝y′|x＝4＝e2.
∴切线方程为y－e2＝e2(x－4)．
∴横纵截距分别为2，－e2，∴S＝e2，故选D.
9．若函数f(x)的导函数f′(x)＝x2－4x＋3，则函数f(x＋1)的单调递减区间是( )
A．(2,4) B．(－3，－1)
C．(1,3) D．(0,2)
答案 D
解析 由f′(x)＝x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)知，当x∈(1,3)时，f′(x)<0.函数f(x)在(1,3)上为减函数，函数f(x＋1)的图像是由函数y＝f(x)图像向左平移1个单位长度得到的，所以(0,2)为函数y＝f(x＋1)的单调减区间．
10．函数f(x)＝asinax(a∈R)的图像过点P(2π，0)，并且在点P处的切线斜率为4，则f(x)的最小正周期为( )
A．2π B．π
C. D.
答案 B
解析 f′(x)＝a2cosax，∴f′(2π)＝a2cos2πa.
又asin2πa＝0，∴2πa＝kπ，k∈Z.
∴f′(2π)＝a2coskπ＝4，∴a＝±2.
∴T＝＝π.
二、填空题
11．函数y＝ln(2x2－4)的导函数是y′＝________.
答案
12．设函数f(x)＝(1－2x3)10，则f′(1)＝________.
答案 60
13．若f(x)＝(x－1)·ex－1，则f′(x)＝________.
答案 x·ex－1
14．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.
答案 2
解析 由题意得y′＝aeax，y′|x＝0＝aea×0＝2，a＝2.
15．一物体作阻尼运动，运动规律为x＝e－2tsin(3t＋)，则物体在时刻t＝0时，速度为________，加速度为________．
答案 －1；6－
三、解答题
16．已知f(x)＝(x＋)10，求.
解析 ()′＝[(1＋x2) ]′
＝(1＋x2) ·2x＝x(1＋x2) ，
∴f′(x)＝10(x＋)9·[1＋x(1＋x2) ]
＝10·.
∴f′(0)＝10.又f(0)＝1，∴＝10.
17．求证：双曲线C1：x2－y2＝5与椭圆C2：4x2＋9y2＝72在第一象限交点处的切线互相垂直．
证明 联立两曲线的方程，求得它们在第一象限交点为(3,2)．C1在第一象限的部分对应的函数解析式为y＝，于是有：
y′＝[(x2－5) ]′＝＝，
∴k1＝y′|x＝3＝.
C2在第一象限的部分对应的函数解析式为
y＝.
∴y′＝＝－.
∴k2＝y′|x＝3＝－.
∵k1·k2＝－1，∴两切线互相垂直．
?重点班·选做题
18．曲线y＝e2xcos3x在(0,1)处的切线与l的距离为，求l的方程．
解析 由题意知
y′＝(e2x)′cos3x＋e2x(cos3x)′
＝2e2xcos3x＋3(－sin3x)·e2x
＝2e2xcos3x－3e2xsin3x，
∴曲线在(0,1)处的切线的斜率为k＝y′|x＝0＝2.
∴该切线方程为y－1＝2x?y＝2x＋1.
设l的方程为y＝2x＋m，
则d＝＝.
解得m＝－4或m＝6.
当m＝－4时，l的方程为y＝2x－4；
当m＝6时，l的方程为y＝2x＋6.
综上，可知l的方程为y＝2x－4或y＝2x＋6.
