1．在下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )
A．y＝sin2x B．y＝xex
C．y＝x3－x D．y＝－x＋ln(1＋x)
答案 B
解析 y＝xex，则y′＝ex＋x·ex＝ex(1＋x)．
又∵x>0，∴y′>0，故选B.
2．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)，则f(x)为增函数的一个充分条件是( )
A．b2－4ac>0 B．b>0，c>0
C．b＝0，c>0 D．b2－3ac>0
答案 C
3．若在区间(a，b)内有f′(x)>0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有( )
A．f(x)>0 B．f(x)<0
C．f(x)＝0 D．不能确定
答案 A
解析 ∵在(a，b)内f′(x)>0，∴f(x)在(a，b)内递增．
又f(a)≥0，∴f(x)>f(a)≥0.∴f(x)>0，选A.
4．若函数f(x)的导函数f′(x)＝x2－4x＋3，则函数f(x＋1)的单调递减区间是( )
A．(2,4) B．(－3，－1)
C．(1,3) D．(0,2)
答案 D
解析 由f′(x)＝x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)知，当x∈(1,3)时，f′(x)<0.函数f(x)在(1,3)上为减函数，函数f(x＋1)的图像是由函数y＝f(x)图像向左平移1个单位长度得到的，所以(0,2)为函数y＝f(x＋1)的单调减区间．
5．设曲线y＝x2＋1在其任一点(x，y)处切线斜率为g(x)，则函数y＝g(x)·cos x的部分图像可以为( )
答案 A
解析 ∵g(x)＝2x，∴y＝2x·cosx为奇函数，故B、D不正确；
取x＝，则y＝2··cos>0.故C不正确．
课件46张PPT。第一章 导数及其应用课后巩固课时作业（七）课时作业（八）
1．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图像如图所示，则函数f(x)( )
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点、两个极小极值点
C．有两个极大值点、两个极小值点
D．有四个极大值点、无极小值点
答案 C
2．f′(x0)＝0是f(x)在点x0处取极值的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 f′(x0)＝0不能保证f′(x)在x0左右两边异号，故不能保证有极值，f(x)在x0处有极值必定f′(x0)＝0.
3．函数y＝ax3＋bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和，则( )
A．a－2b＝0 B．2a－b＝0
C．2a＋b＝0 D．a＋2b＝0
答案 D
解析 y′＝3ax2＋2bx，据题意，
0、是方程3ax2＋2bx＝0的两根，
∴－＝， ∴a＋2b＝0.
4．设a
答案 C
解析 f′(x)＝(x－a)(3x－2b－a)．
令f′(x)＝0?(x－a)(3x－2b－a)＝0，
得x1＝a，x2＝.
∵af′(x)>0?x>或xf′(x)<0?a函数的大致图像如右：
5．设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的减区间是( )
A．(－3,0)和(3，＋∞) B．(－3,0)和(0,3)
C．(－∞，－3)和(3，＋∞) D．(－∞，－3)和(0,3)
答案 D
解析 ∵[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，
∴由题意知，当x<0时，[f(x)g(x)]′>0.
∴f(x)g(x)在(－∞，0)上是增函数．
又g(－3)＝0，∴f(－3)g(－3)＝0.
∴x∈(－∞，－3)时，f(x)g(x)<0；
x∈(－3,0)时，f(x)g(x)>0.
又∵f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
∴f(x)g(x)在R上是奇函数，其图像关于原点对称．
∴当x>0且x∈(0,3)时，f(x)g(x)<0.
6．设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．
解析 (1)由已知可得f′(x)＝3x2－3a.因为曲线y＝
f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，
所以即
解得a＝4，b＝24.
(2)f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)．
当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f(x)没有极值点．
当a>0时，由f′(x)＝0，得x＝±.
当x∈(－∞，－)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
当x∈(－，)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．
此时x＝－是f(x)的极大值点，x＝是f(x)的极小值点．
课件51张PPT。第一章 导数及其应用课后巩固课时作业（九）
1．函数f(x)＝x2－4x＋1在[1,5]上的最大值和最小值是( )
A．f(1)，f(3) B．f(3)，f(5)
C．f(1)，f(5) D．f(5)，f(2)
答案 D
2．函数f(x)＝x＋2cos x在区间[－，0]上的最小值是( )
A．－ B．2
C.＋ D.＋1
答案 A
3．函数f(x)＝x2＋2ax＋1在[0,1]上的最小值为f(1)，则a的取值范围为________．
答案 (－∞，－1]
解析 f′(x)＝2x＋2a，
f(x)在[0,1]上的最小值为f(1)，
说明f(x)在[0,1]上单调递减，
∴x∈[0,1]时f′(x)≤0恒成立，a≤－x，∴a≤－1.
4．函数y＝xex的最小值为________．
答案 －
解析 y′＝ex＋x·ex，令y′＝0，得x＝－1.
∴ymin＝－1·e－1＝－.
5．求函数y＝x4－2x2＋5在区间[－2,2]上的最大值与最小值．
解析 y′＝4x3－4x.令y′＝0即4x3－4x＝0，
解得x1＝－1，x2＝0，x3＝1.
导数y′的正负以及f(－2)、f(2)如下表：
x
－2
(－2，
－1)
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
(1,2)
2
y′
－
0
＋
0
－
0
＋
y
13
↘
4
?
5
↘
4
?
13
从上表知，当x＝±2时，函数有最大值13；
当x＝±1时，函数有最小值4.
课件56张PPT。第一章 导数及其应用课后巩固课时作业（十）课件42张PPT。第一章 导数及其应用课时作业（十一）课时作业(十)
一、选择题
1．函数f(x)＝x3－3x(－1A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，也无最小值 D．无最大值，但有最小值
答案 C
2．函数y＝x2＋x在区间[－1,0]上的最小值是( )
A．0 B．－
C. D．－2
答案 B
解析 y＝(x＋)2－，对称轴x＝－∈[－1,0]，
∴ymin＝－.
3．函数f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 f′(x)＝1－3x2，令f′(x)＝0，得x＝±.
∵f(0)＝0，f(1)＝0，f()＝，f(－)＝－，
∴f(x)max＝.
4．函数y＝＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是( )
A．－ B．－
C．－4 D．－
答案 A
解析 y′＝x2＋2x－3，
令y′＝0，得x＝－3或x＝1，∵x∈[0,2]，∴x＝1.
∵f(0)＝－4，f(1)＝－，f(2)＝－，
∴ymin＝－，选A.
5．已知函数f(x)、g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b)
C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)
答案 A
解析 令h(x)＝f(x)－g(x)，x∈[a，b]，
则h′(x)＝f′(x)－g′(x)<0.
∴h(x)是[a，b]上的减函数．
∴h(x)max＝[f(x)－g(x)]max＝f(a)－g(a)．故选A.
二、填空题
6．函数f(x)＝x＋在[2，＋∞)上的最小值为________．
答案
7．已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调函数，则a的最大值是________．
答案 3
8．函数f(x)＝ax4－4ax3＋b(a>0)(x∈[1,4])的最大值为3，最小值为－6，则ab＝________.
答案 1
9．若不等式x4－4x3>2－a对任意实数x都成立，则a的取值范围是________．
答案 (29，＋∞)
10．f(x)＝2x3－6x2＋m在[－2,2]上有最大值3，则f(x)在[－2,2]上的最小值为________．
答案 －37
解析 f′(x)＝6x2－12x，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2.
∵f(－2)＝m－40，f(0)＝m，f(2)＝m－8，∴m为最大值．
又最大值为3，∴m＝3，∴最小值为f(－2)＝－37.
三、解答题
11．已知函数f(x)＝x2＋lnx.
(1)求函数f(x)在区间[1，e]上的最大、最小值；
(2)求证：在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图像在函数g(x)＝x3图像的下方．
解析 (1)由已知f′(x)＝x＋，
当x∈[1，e]时，f′(x)＞0，
所以函数f(x)在区间[1，e]上单调递增．
所以函数f(x)在区间[1，e]上的最小、最大值分别为f(1)、f(e)．
因为f(1)＝，f(e)＝＋1，所以函数f(x)在区间[1，e]上的最大值为＋1，最小值为.
(2)设F(x)＝x2＋lnx－x3，则F′(x)＝x＋－2x2＝.因为x＞1，所以F′(x)＜0.
所以函数F(x)在区间(1，＋∞)上单调递减，
又F(1)＝－＜0，
所以，在区间(1，＋∞)上F(x)＜0，
即x2＋lnx＜x3.
所以函数f(x)的图像在函数g(x)＝x3图像的下方．
12．已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．
(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值．
解析 (1)f′(x)＝3x2－2ax，
因为f′(1)＝3－2a＝3，所以a＝0.
又当a＝0时，f(1)＝1，f′(1)＝3，
所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为
3x－y－2＝0.
(2)令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.
当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上单调递增，从而
f(x)max＝f(2)＝8－4a.
当≥2，即a≥3时，f(x)在[0,2]上单调递减，从而
f(x)max＝f(0)＝0.
当0<<2，即0在[，2]上单调递增，从而
f(x)max＝
综上所述，f(x)max＝
13．已知函数f(x)＝alnx＋bx的图像在点(1，－3)处的切线的方程为y＝－2x－1.
(1)若对任意x∈[，＋∞)有f(x)≤m恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若函数y＝f(x)＋x2＋2在区间[k，＋∞)内有零点，求实数k的最大值．
解析 (1)∵点(1，－3)在函数f(x)图像上，
∴－3＝aln1＋b，∴b＝－3.
∵f′(x)＝－3，由题意f′(1)＝－2，
即a－3＝－2，∴a＝1.∴f(x)＝lnx－3x.
∴f′(x)＝－3.
当x∈[，＋∞)时，f′(x)≤0，
∴f(x)在[，＋∞)为减函数．
∵fmax(x)＝f()＝ln－1＝－ln3－1.
若任意x∈[，＋∞)，使f(x)≤m恒成立，
∴m≥－ln3－1，即实数m的取值范围为[－ln3－1，＋∞)．
(2)f(x)＝lnx－3x的定义域为(0，＋∞)，
∴y＝lnx－3x＋x2＋2，x∈(0，＋∞)．
∴y′＝－3＋2x＝.
令y′＝0，得x＝1，x＝.
x
(0，)
(，1)
1
(1，＋∞)
y′
＋
0
－
0
＋
y
增
极大
减
极小
增
而y|x＝1＝0，∴x＝1为y＝lnx－3x＋x2＋2，x∈(0，＋∞)的最右侧的一个零点，故k的最大值为1.
14．(2010·江西高考)设函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)＋ax(a>0)．
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为，求a的值．
解析 函数f(x)的定义域为(0,2)，
f′(x)＝－＋a.
(1)当a＝1时，f′(x)＝，所以f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，2)．
(2)当x∈(0,1]时，f′(x)＝＋a>0，
即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝.
1．函数f(x)＝x＋在x>0时有( )
A．极小值
B．极大值
C．既有极大值又有极小值
D．极值不存在
答案 A
2．设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则( )
A．a>－3 B．a<－3
C．a>－ D．a<－
答案 B
3．函数y＝x3－3x2－9x(－2A．极大值5，极小值－27
B．极大值5，极小值－11
C．极大值5，无极小值
D．极小值－27，无极大值
答案 C
4．曲线y＝x2＋4lnx上切线斜率的极小值为________．
答案 4
解析 ∵x>0，y′＝x＋.令g(x)＝x＋，
又∵g′(x)＝1－＝0，得x＝2.
在(0,2)上g(x)＝x＋单调递减，
在(2，＋∞)上g(x)＝x＋单调递增，
∴g(x)的极小值为g(2)＝4.
5．函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是________．
答案 (，＋∞)
解析 ∵f′(x)＝3x2－3a2(a>0)，
∴f′(x)>0时，得x>a或x<－a；f′(x)<0时，得－a∴当x＝a时，f(x)有极小值，x＝－a时，f(x)有极大值．
由题意得：解得a>.
6．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a、b的值分别为________、________.
答案 1 －3
解析 因为f′(x)＝3ax2＋b，
所以f′(1)＝3a＋b＝0.①
又x＝1时有极值－2，所以a＋b＝－2.②
由①②解得a＝1，b＝－3.
7．求下列函数的极值．
(1)f(x)＝x3－12x；
(2)f(x)＝x2e－x.
解析 (1)函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
↘
极小值
?
从表中可以看出，当x＝－2时，函数f(x)有极大值，
且f(－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16；
当x＝2时，函数f(x)有极小值，
且f(2)＝23－12×2＝－16.
(2)函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝2xe－x＋x2e－x(－x)′＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x.
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
极小值
?
极大值
↘
从表中可以看出，当x＝0时，函数f(x)有极小值，且f(0)＝0；
当x＝2时，函数f(x)有极大值，且f(2)＝.
8．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2在x＝－2和x＝处取得极值．
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的单调区间．
解析 (1)f′(x)＝3x2＋2bx＋c.因为在x＝－2和x＝处取得极值，所以－2，为3x2＋2bx＋c＝0的两个根，所以所以
所以f(x)＝x3＋2x2－4x＋2.
(2)f′(x)＝3x2＋4x－4.令f′(x)>0，则x<－2或x>，所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(，＋∞)；令f′(x)<0，则－29．设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.
(1)求f(x)的极值；
(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？
解析 (1)f′(x)＝3x2－2x－1.
令f′(x)＝0，则x＝－或x＝1.
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↘
极大值
?
极小值
↘
所以f(x)的极大值是f(－)＝＋a，极小值是f(1)＝a－1.
(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，
由此可知，x取足够大的正数时，
有f(x)>0，x取足够小的负数时，有f(x)<0，
所以曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．
由(1)知f(x)极大值＝f(－)＝＋a，f(x)极小值＝f(1)＝a－1.
∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，
∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0.
即＋a<0或a－1>0.∴a<－或a>1，
∴当a∈(－∞，－)∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．
10．设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
解析 (1)由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，知f′(x)＝ex－2，x∈R.
令f′(x)＝0，得x＝ln 2.
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，ln 2)
ln 2
(ln 2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减?↘
2(1－ln2＋a)
单调递增??
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝2(1－ln2＋a)．
(2)证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，
于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)知当a>ln2－1时，g′(x)取最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.
于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．
于是当a>ln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．
而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0.
即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.
课时作业(七)
一、选择题
1．函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上( )
A．是增函数 B．是减函数
C．有最大值 D．有最小值
答案 A
2．函数f(x)＝5x2－2x的单调递减区间是( )
A．(，＋∞) B．(－∞，)
C．(－，＋∞) D．(－∞，－)
答案 B
3．函数y＝xlnx在区间(0,1)上是( )
A．单调增函数
B．单调减函数
C．在(0，)上是减函数，在(，1)上是增函数
D．在(0，)上是增函数，在(，1)上是减函数
答案 C
解析 f′(x)＝lnx＋1，当0当0.
4．函数y＝4x2＋的单调增区间为( )
A．(0，＋∞) B．(，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，－)
答案 B
解析 y′＝8x－，令y′＞0，得8x－＞0，
即x3＞， ∴x＞.
5．若函数y＝a(x3－x)的递减区间为(－，)，则a的取值范围是( )
A．a＞0 B．－1＜a＜0
C．a＞1 D．0＜a＜1
答案 A
解析 y′＝a(3x2－1)，解3x2－1＜0，得－＜x＜.
∴f(x)＝x3－x在(－，)上为减函数．
又y＝a·(x3－x)的递减区间为(－，)．
∴a＞0.
6.
已知f′(x)是f(x)的导函数，y＝f′(x)的图像如图所示，则f(x)的图像只可能是( )
答案 D
解析 从y＝f′(x)的图像可以看出，在区间(a，)内，导数值递增；在区(，b)内，导数值递减，即函数f(x)的图像在(a，)内越来越陡峭，在(，b)内越来越平缓．
7．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
答案 D
解析 f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝ex(x－2)，
由f′(x)>0，得x>2.∴f(x)在(2，＋∞)上是增函数．
二、填空题
8．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是________．
答案 (0，＋∞)
解析 若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则其导数y′＝－4x2＋b＝0有两个不相等的实数根，所以b>0.
9．若函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数p的取值范围是________．
答案 [－1，＋∞)
解析 f′(x)＝1＋≥0对x>1恒成立，即x2＋p≥0对x>1恒成立，∴p≥－x2(x>1)．∴p≥－1.
10．若函数y＝ax3－ax2－2ax(a≠0)在[－1,2]上为增函数，则a∈________.
答案 (－∞，0)
解析 y′＝ax2－ax－2a＝a(x＋1)(x－2)>0，
∵当x∈(－1,2)时，(x＋1)(x－2)<0，
∴a<0.
11．f(x)＝(x∈R)在区间[－1,1]上是增函数，则a∈________.
答案 [－1,1]
解析 y′＝2·，
∵f(x)在[－1,1]上是增函数，∴y′在(－1,1)上大于等于0，即2·≥0.
∵(x2＋2)2＞0，
∴x2－ax－2≤0对x∈(－1,1)恒成立．
令g(x)＝x2－ax－2，
则 即 ∴－1≤a≤1.
即a的取值范围是[－1,1]．
三、解答题
12．已知f(x)＝ax3＋3x2－x－1在R上是减函数，求a的取值范围．
解析 ∵f′(x)＝3ax2＋6x－1，又f(x)在R上递减，
∴f′(x)≤0对x∈R恒成立．
即3ax2＋6x－1≤0对x∈R恒成立，显然a≠0.
∴ ∴a≤－3.
即a的取值范围为(－∞，－3]．
13．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．若函数
f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的，求a的取值范围．
解析 f′(x)＝2x－＝，
要使f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的，
则f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立，
即≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立．
∵x>0，∴2x3－a≥0，∴a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立．
∴a≤(2x3)min.
∵x∈[2，＋∞)，y＝2x3是单调递增的，
∴(2x3)min＝16，∴a≤16.
当a＝16时，
f′(x)＝≥0(x∈[2，＋∞))有且只有f′(2)＝0.
∴a的取值范围是a≤16.
14．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋1，a∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调区间；
(2)设函数f(x)在区间(－，－)内是减函数，求a的取值范围．
解析 (1)对f(x)求导，得
f′(x)＝3x2＋2ax＝3x(x＋a)．
①当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0恒成立．
∴f(x)的递增区间是(－∞，＋∞)；
②当a>0时，由于f′(x)分别在(－∞，－α)和(0，＋∞)上都恒为正，所以f(x)的递增区间是(－∞，－a)，(0，＋∞)；由于f′(x)在(－a,0)上恒为负，所以f(x)的递减区间是(－a,0)；
③当a<0时，在x∈(－∞，0)和x∈(－a，＋∞)上均有f′(x)>0，∴f(x)的递增区间是(－∞，0)，(－a，＋∞)；在(0，－a)上，f′(x)<0，f(x)的递减区间是(0，－a)．
(2)由(1)知，(－，－)?(－a,0)，
∴－a≤－.∴a≥1.
15．若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围．
分析 本题主要考查借助函数的单调性来求导的能力及解不等式的能力．
解析 ∵f′(x)＝x2－ax＋a－1，令f′(x)＝0，
解得x＝1或x＝a－1.
当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，不符合题意．
当a－1>1，即a>2时，函数f(x)在(－∞，1)上为增函数，在(1，a－1)上为减函数，在(a－1，＋∞)上为增函数．
而当x∈(1,4)时，f′(x)<0；
当x∈(6，＋∞)时，f′(x)>0.
∴4≤a－1≤6，即5≤a≤7.
∴a的取值范围是[5,7]．
16．已知f(x)＝在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
解析 因为f(x)＝x－＋，所以f′(x)＝1＋.
又f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
所以当x∈[1，＋∞)时，恒有f′(x)＝1＋≥0，
即a≥－x2，x∈[1，＋∞)．所以a≥－1.
故所求a的取值范围是[－1，＋∞)．
17．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx，且f′(－1)＝0.
(1)试用含a 代数式表示b；
(2)求f(x)的单调区间．
分析 可先求f′(x)，再由f′(－1)＝0，可得用含a的代数式表示b，这时f(x)中只含一个参数a，然后令f′(x)＝0，求得两根，通过列表，求得f(x)的单调区间，并注意分类讨论．
解析 (1)依题意，得f′(x)＝x2＋2ax＋b.
由f′(－1)＝0，得1－2a＋b＝0.∴b＝2a－1.
(2)由(1)，得f(x)＝x3＋ax2＋(2a－1)x.
故f′(x)＝x2＋2ax＋2a－1＝(x＋1)(x＋2a－1)．
令f′(x)＝0，则x＝－1或x＝1－2a.
①当a>1时，1－2a<－1.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，1－2a)
(1－2a，－1)
(－1，＋∞)
f′(x)
＋
－
＋
f(x)
单调递增
单调递减
单调递增
由此得，函数f(x)的单调增区间为(－∞，1－2a)和(－1，＋∞)，单调减区间为(1－2a，－1)．
②当a＝1时，1－2a＝－1，此时f′(x)≥0恒成立，且仅在x＝－1处f′(x)＝0，故函数f(x)的单调增区间为R.
③当a<1时，1－2a>－1，同理可得函数f(x)的单调增区间为(－∞，－1)和(1－2a，＋∞)，单调减区间(－1，1－2a)．
综上：当a>1时，函数f(x)的单调增区间为(－∞，1－2a)和(－1，＋∞)，单调减区间为(1－2a，－1)；
当a＝1时，函数f(x)的单调增区间为R；
当a<1时，函数f(x)的单调增区间为(－∞，－1)和(1－2a，＋∞)，单调减区间为(－1,1－2a)．
?重点班·选做题
18．设函数f(x)＝(x>0且x≠1)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)已知2>xa对任意x∈(0,1)成立，求实数a的取值范围．
解析 (1)f′(x)＝－.
若f′(x)＝0，则x＝.
当f′(x)>0，即0当f′(x)<0，即1时，f(x)为减函数．
所以f(x)的单调增区间为(0，)，
单调减区间为[，1)和(1，＋∞)．
(2)在2>xa两边取对数，得ln2>alnx.
由于0.①
由(1)的结果知：当x∈(0,1)时，f(x)≤f()＝－e.
为使①式对所有x∈(0,1)成立，
当且仅当>－e，即a>－eln2.
课时作业(八)
一、选择题
1．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像可能是( )
答案 A
解析 考查导函数的基本概念及导数的几何意义．
∵导函数f′(x)是增函数，
∴切线的斜率随着切点横坐标的增大，逐渐增大，故选A.
2．下面的命题中，正确的是( )
A．可导的奇函数的导函数仍是奇函数
B．可导的偶函数的导函数仍是偶函数
C．可导的周期函数的导函数仍是周期函数
D．可导的单调函数的导函数仍是单调函数
答案 C
解析 排除法．对于A，取y＝x3可验证其错误；对于B，取y＝x2可验证其错误；对于D取y＝x3可验证其错误．
3．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )
A．y＝sinx B．y＝xex
C．y＝x3－x D．y＝lnx－x
答案 B
4．f(x)＝5x2－2x的单调增区间为( )
A．(，＋∞) B．(－∞，)
C．(－，＋∞) D．(－∞，－)
答案 A
5．已知函数y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为( )
A．[－1，＋∞) B．(－∞，2]
C．(－∞，－1)和(1,2) D．[2，＋∞)
答案 B
解析 令k≤0，得x0≤2，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－∞，2]．
6．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
答案 D
解析 f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，
令f′(x)>0，解得x>2.
7．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)－f(x)≤0，对任意正数a，b，若aA．af(b)≤bf(a) B．bf(a)≤af(b)
C．af(a)≤f(b) D．bf(b)≤f(a)
答案 A
解析 构造函数g(x)＝，则g′(x)＝≤0，若g(x)＝不是常数函数，故g(x)＝在(0，＋∞)上递减，因0g(b)，即>，即af(b)若g(x)＝是常数函数，则g′(x)＝0恒成立．
故g(a)＝g(b)，即＝，
即af(b)＝bf(a)，综上af(b)≤bf(a)．
二、填空题
8．函数f(x)＝lg(4x－x2)的增区间是________．
答案 (0,2)
解析 ∵函数的定义域为4x－x2>0，
∴0又∵f′(x)＝lg e，令f′(x)>0，
∴4－2x>0，∴x<2.
∴09．函数y＝ax－lnx在(，＋∞)内单调递增，则a的取值范围为________．
答案 [2，＋∞)
解析 ∵y′＝a－，∴在(，＋∞)上y′≥0，
即a－≥0，∴a≥.由x>，得<2.
要使a≥恒成立，只需a≥2.
10．已知函数f(x)＝在(－2，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是________．
答案 a<
解析 ∵f′(x)＝且函数f(x)在(－2，＋∞)上单调递减，∴f′(x)≤0在(－2，＋∞)上恒成立．
∴a≤.
当a＝时，f′(x)＝0恒成立，不合题意，应舍去．
∴a<.
三、解答题
11．设函数f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0解析 由f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0知f′(x)＝cosx＋sinx＋1.
于是f′(x)＝1＋sin(x＋)．
令f′(x)＝0，从而sin(x＋)＝－，
得x＝π，x＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，π)
π
(π，)
(，2π)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增
π＋2
单调递减
单调递增
因此，由上表知f(x)的单调递增区间是(0，π)和(，2π)，单调递减区间是(π，)．
12．已知函数f(x)＝ax－－2lnx(a≥0)，若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a的取值范围．
解析 f′(x)＝a＋－，
要使函数f(x)在定义域(0，＋∞)内为单调函数，
只需f′(x)在(0，＋∞)内恒大于0或恒小于0.
当a＝0时，f′(x)＝－<0在(0，＋∞)内恒成立；
当a>0时，要使f′(x)＝a(－)2＋a－≥0恒成立，∴a－≥0，解得a≥1.
综上，a的取值范围为a≥1或a＝0.
13．设函数f(x)＝xekx(k≠0)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在区间(－1,1)内单调递增，求k的取值范围．
解析 (1)由f′(x)＝(1＋kx)ekx＝0，得x＝－(k≠0)．
若k>0，则当x∈(－∞，－)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(－，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．
若k<0，则当x∈(－∞，－)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(－，＋∞)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．
(2)由(1)知，若k>0，则当且仅当－≤－1，即k≤1时，函数f(x)在(－1,1)内单调递增；
若k<0，则当且仅当－≥1，即k≥－1时，函数f(x)在(－1,1)内单调递增．
综上可知，函数f(x)在区间(－1,1)内单调递增时，k的取值范围是[－1,0)∪(0,1]．
14．已知函数f(x)＝x3－ax－1，
(1)是否存在a，使f(x)的单调减区间是(－1,1)；
(2)若f(x)在R上是增函数，求a的取值范围．
解析 f′(x)＝3x2－a，
(1)∵f(x)的单调减区间是(－1,1)，
∴－1∴x＝±1是方程3x2－a＝0的两根，所以a＝3.
(2)∵f(x)在R上是增函数，
∴f′(x)＝3x2－a≥0对x∈R恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立．
∵y＝3x2在R上的最小值为0.
∴a≤0.
课时作业(九)
一、选择题
1．函数f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数( )
A．2 B．1
C．0 D．由a确定
答案 C
解析 f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x2＋2x＋1)＝3(x＋1)2≥0恒成立．f(x)单调，故无极值点．
2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导数f′(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案 A
解析 导数的图像看符号，先负后正的分界点为极小值点．
3．若函数y＝ex＋mx有极值，则实数m的取值范围( )
A．m>0 B．m<0
C．m>1 D．m<1
答案 B
解析 y′＝ex＋m，则ex＋m＝0必有根，∴m＝－ex<0.
4．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝( )
A. B．－
C．－ln2 D．ln2
答案 B
解析 由y＝x·2x，得y′＝2x＋x·2x·ln2.
令y′＝0，得2x(1＋x·ln2)＝0.
∵2x＞0，∴x＝－.
5．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则( )
A．0＜b＜1 B．b＜1
C．b＞0 D．b＜
答案 A
解析 f(x)在(0,1)内有极小值，则f′(x)＝3x2－3b在(0,1)上先负后正，∴f′(0)＝－3b＜0.
∴b＞0，f′(1)＝3－3b＞0，∴b＜1.
综上，b的范围为0＜b＜1.
6．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( )
A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜0
C．a＜－1或a＞2 D．a＜－3或a＞6
答案 D
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，
∵f(x)有极大值和极小值，
∴f′(x)＝0有两个不等实根．
∴Δ＝4a2－4·3(a＋6)＞0，即(a－6)(a＋3)＞0，
解得a＞6或a＜－3.
7．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图像与x轴相切于(1,0)，则极小值为( )
A．0 B．－
C．－ D．1
答案 A
解析 f′(x)＝3x2－2px－q，
由题知f′(1)＝3－2p－q＝0.
又f(1)＝1－p－q＝0，
联立方程组，解得p＝2，q＝－1.
∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1.
由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0，
解得x＝1或x＝.
经检验知x＝1是函数的极小值点．
∴f(x)极小值＝f(1)＝0.
8．三次函数当x＝1时，有极大值4，当x＝3时，有极小值0，且函数图像过原点，则此函数可能是( )
A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9x
C．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x
答案 B
解析 三次函数过原点，且四个选项中函数的最高次项系数均为1，
∴此函数可设为f(x)＝x3＋bx2＋cx.
则f′(x)＝3x2＋2bx＋c.
由题设知
解得
∴f(x)＝x3－6x2＋9x.
∴f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)．
可以验证当x＝1时，函数取得极大值4；当x＝3时，函数取得极小值0，满足条件．
9．设f(x)＝x(ax2＋bx＋c)(a≠0)在x＝1和x＝－1处均有极值，则下列点中一定在x轴上的是( )
A．(a，b) B．(a，c)
C．(b，c) D．(a＋b，c)
答案 A
解析 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意知x＝1和x＝－1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根，则1－1＝－，得b＝0.
二、填空题
10．若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________.
答案 3
解析 f′(x)＝
＝＝，
因为函数f(x)在x＝1处取得极值，
所以f′(1)＝＝0，解得a＝3.
11．设函数f(x)＝x·(x－c)2在x＝2处有极大值，则c＝________.
答案 6
解析 f′(x)＝3x2－4cx＋c2，
∵f(x)在x＝2处有极大值，∴f′(2)＝0，即
c2－8c＋12＝0，解得c1＝2，c2＝6.
当c＝2时，则f′(x)＝3x2－8x＋4＝(3x－2)(x－2)．
当x＞2时，f′(x)＞0，f(x)递增不合题意，
∴c≠2，∴c＝6.
12．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图像经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中不正确的编号是________．(写出所有不正确说法的编号)
(1)当x＝时函数取得极小值；
(2)f(x)有两个极值点；
(3)c＝6；
(4)当x＝1时函数取得极大值．
答案 (1)
解析 f′(x)的符号为正→负→正，
则f(x)的单调性为增→减→增．
草图如右图．
三、解答题
13．设x＝1和x＝2是函数f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1的两个极值点．
(1)求a和b的值；
(2)求f(x)的单调区间．
解析 (1)f′(x)＝5x4＋3ax2＋b，
由题意知f′(1)＝5＋3a＋b＝0，
f′(2)＝24×5＋22×3a＋b＝0.
解得a＝－，b＝20.
(2)由(1)知f′(x)＝5x4－25x2＋20＝5(x2－1)(x2－4)＝5(x＋1)(x＋2)(x－1)(x－2)．
当x∈(－∞，－2)∪(－1,1)∪(2，＋∞)时，f′(x)>0，
当x∈(－2，－1)∪(1,2)时，f′(x)<0.
因此，f(x)的单调递增区间是(－∞，－2)，(－1,1)，(2，＋∞)；f(x)的单调递减区间是(－2，－1)，(1,2)．
14．一个三次函数y＝f(x)，当x＝3时取得极小值y＝0，又在此函数的曲线上点(1,8)处的切线经过点(3,0)，求函数f(x)的表达式．
解析 由题意，点(3,0)在曲线上，故可设y＝a(x－3)3＋b(x－3)2＋c(x－3)．
∵当x＝3时，y取得极小值，∴y′|x＝3＝0.
而y′＝3a(x－3)2＋2b(x－3)＋c，把x＝3代入得c＝0.
∴y＝a(x－3)3＋b(x－3)2，
y′＝3a(x－3)2＋2b(x－3)．
∵曲线过点(1,8)，∴－8a＋4b＝8.①
∵曲线在点(1,8)处的切线经过点(3,0)，
∴该切线的斜率k＝＝－4.
另一方面，应有k＝y′|x＝1，
从而12a－4b＝－4.②
由①②两式解得a＝1，b＝4.
∴y＝(x－3)3＋4(x－3)2，即y＝x3－5x2＋3x＋9.
15．已知函数f(x)＝x2－alnx(a∈R)
(1)当a＝1时，求函数f(x)在点x＝1处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值；
(3)若函数f(x)在区间(2，＋∞)上是增函数，试确定a的取值范围．
解析 (1)当a＝1时，f(x)＝x2－lnx，f′(x)＝2x－，
f′(1)＝1，又f(1)＝1，∴切线方程为y＝x.
(2)定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－，当a≤0时，f′(x)>0恒成立，f(x)不存在极值．
当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝，当x>时，f′(x)>0，当x<时，f′(x)<0, ∴当x＝时，f(x)有极小值－ln.
(3)∵f(x)在(2，＋∞)上递增，∴f′(x)＝2x－≥0对x∈(2，＋∞)恒成立，即a≤2x2恒成立．∴a≤8.
16．求函数f(x)＝的极值．
分析 首先确定函数的定义域，然后求出函数的导数，利用函数极值的定义求出函数的极值点，进而求出极值．
解析 函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，
由导数公式表和求导法则，得f′(x)＝.
令f′(x)＝0，解得x＝e.
下面分两种情况讨论：
(1)当f′(x)>0时，0(2)当f′(x)<0时，x>e.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(0，e)
e
(e，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
?
↘?
故当x＝e时函数取得极大值，且极大值为f(e)＝.
17．已知函数f(x)＝3ax4－2(3a＋1)x2＋4x.
(1)当a＝时，求f(x)的极值；
(2)若f(x)在(－1,1)上是增函数，求a的取值范围．
解析 (1)f′(x)＝4(x－1)(3ax2＋3ax－1)．
当a＝时，f′(x)＝2(x＋2)(x－1)2，f(x)在(－∞，－2)内单调减，在(－2，＋∞)内单调增，在x＝－2时，f(x)有极小值．
所以f(－2)＝－12是f(x)的极小值．
(2)在(－1,1)上，f(x)单调增加，当且仅当f′(x)＝4(x－1)(3ax2＋3ax－1)≥0，即3ax2＋3ax－1≤0，①
(ⅰ)当a＝0时①恒成立；
(ⅱ)当a＞0时①成立，当且仅当3a·12＋3a·1－1≤0.
解得a≤.
(ⅲ)当a＜0时①成立，即3a(x＋)2－－1≤0成立，当且仅当－－1≤0.解得a≥－.
综上，a的取值范围是[－，]．
?重点班·选做题
18．已知函数f(x)＝x3－x2＋(a＋1)x＋1，其中a为实数．
(1)已知函数f(x)在x＝1处取得极值，求a的值；
(2)已知不等式f′(x)>x2－x－a＋1对任意a∈(0，＋∞)都成立，求实数x的取值范围．
解析 (1)f′(x)＝ax2－3x＋a＋1，
由于函数f(x)在x＝1时取得极值，所以f′(1)＝0，即a－3＋a＋1＝0，∴a＝1.
(2)方法一 由题设知：ax2－3x＋a＋1>x2－x－a＋1对任意a∈(0，＋∞)都成立，
即a(x2＋2)－x2－2x>0对任意a∈(0，＋∞)都成立．
设g(a)＝a(x2＋2)－x2－2x(a∈R)，则对任意x∈R，g(a)为单调递增函数(a∈R)．
所以对任意a∈(0，＋∞)，g(a)>0恒成立的充分必要条件是g(0)≥0，即－x2－2x≥0，∴－2≤x≤0.
于是x的取值范围是{x|－2≤x≤0}．
方法二 由题设知：ax2－3x＋a＋1>x2－x－a＋1对任意a∈(0，＋∞)都成立，
即a(x2＋2)－x2－2x>0对任意a∈(0，＋∞)都成立．
于是a>对任意a∈(0，＋∞)都成立，即≤0.所以－2≤x≤0.
所以x的取值范围是{x|－2≤x≤0}．
1．已知函数f(x)在点x0处连续，下列命题中，正确的是( )
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在点x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极小值
C．如果在点x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值
D．如果在点x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极大值
答案 C
2．根据图像指出下列函数的极值点．
①y＝x＋(x≠0)；
②y＝|lg|x－1||.
答案 ①(2,4)极小值点，(－2，－4)极大值点．
②(0,0)，(2,0)极小值点．
3．求函数y＝的极值．
解析 ∵函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且y′＝，令y′＝0，得x1＝－1，x2＝2.
∴当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
(1,2)
2
(2，＋∞)
y′
＋
0
－
＋
0
＋
y
?
极大值
↘
?
非极值
?
故当x＝－1时，y有极大值，为－.
