1．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为( )
A. B.
C. D．2
答案 C
解析 设底面边长为x，则表面积
S＝x2＋(x＞0)，S′＝(x3－4V)．
令S′＝0，得唯一极值点x＝.
2．用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( )
A．6 B．8
C．10 D．12
答案 B
3．用长度为l的铁丝围成长方形，则围成的长方形的最大面积为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 设长方形一边为x，则另一边为.
S＝x·＝－x2＋x.
S′＝－2x＋. 令S′＝0，得x＝.
∴S最大＝－()2＋·＝.
4．设函数f(x)＝－x(x－a)2(x∈R，其中a∈R)．
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)当a≠0求函数f(x)的极大值和极小值；
(3)当a＞3时，证明存在k∈ [－1,0]，使得不等式
f(k－cosx)≥f(k2－cos2x)对任意的x∈R恒成立．
解析 (1)当a＝1时，
f(x)＝－x(x－1)2＝－x3＋2x2－x，得f(2)＝－2，
f′(x)＝－3x2＋4x－1，f′(2)＝－12＋8－1＝－5，
∴当a＝1时，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为5x＋y－8＝0.
(2)f(x)＝－x(x－a)2＝－x3＋2ax2－a2x，
f′(x)＝－3x2＋4ax－a2＝－(3x－a)(x－a)，
令f′(x)＝0，解得x＝或x＝a.
由于a≠0，以下分两种情况讨论．
①若a＞0，当x变化时，f′(x)的正负如下表：
x
(－∞，)
(，a)
a
(a，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
因此，函数f(x)在x＝处取得极小值f()，且f()＝－a3.
函数f(x)在x＝a处取得极大值f(a)，且f(a)＝0.
②若a＜0，当x变化时，f′(x)正负如下表：
x
(－∞，a)
a
(a，)
(，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
因此函数f(x)在x＝a处取得极小值f(a)，且f(a)＝0；
函数f(x)在x＝处取得极大值f()，且f()＝
－a3.
(3)证明：由a>3，得到＞1，当k∈ [－1,0]时，k－cosx≤1，k2－cosx≤1.
由(2)知f(x)在(－∞，1]上是减函数，要使f(k－cosx)≥f(k2－cos2x)(x∈R)，只要
k－cosx≤k2－cos2x(x∈R)．
即cos2x－cosx≤k2－k(x∈R)．○*
设g(x)＝cos2x－cosx＝(cosx－)2－，
则函数g(x)在R上的最大值为2.
要使○*式恒成立必须k2－k≥2，即k≥2或k≤－1.
所以，在区间[－1,0]上存在k＝－1，使得f(k－cosx)≥
f(k2－cos2x)对任意的x∈R恒成立．
5．设A、B两地相距30千米，如下图所示在它们之间铺设一条铁道，由于地质条件不同，在y>0地区铺设费用为105元/千米，而在y≤0地区铺设费用为6×104元/千米，求最经济的铺设线路．
解析 设∠ADx＝θ，由图形的对称性可知，研究y轴的一侧即可．由点A向x轴作垂线，设垂足为C，则CD＝5cotθ，AD＝.∴DO＝15－DC＝15－5cotθ.
设铺设铁道的费用为P，则
P＝(15－5cotθ)×6×104＋×105.
P′＝3×105·－5×105.
令P′＝0，得＝.
∴cosθ＝，此时sinθ＝，cotθ＝.
∴OD＝.
在x轴上取点D(，0)，E(－，0)，则AD→DE→EB为最佳经济铺设线路．
课件48张PPT。第一章 导数及其应用课后巩固课时作业（十二）课时作业(十一)
一、选择题
1．函数f(x)＝x＋2cosx在区间[－，0]上的最小值是( )
A．－ B．2
C.＋ D.＋1
答案 A
2．函数f(x)＝x3－3x2＋3x(－1
A．有最大值，但无最小值
B．有最大值，也无最小值
C．无最大值，也无最小值
D．无最大值，但有最小值
答案 C
3．函数f(x)＝lnx－x在(0，e]上的最大值为( )
A．－1 B．1
C．0 D．e
答案 A
4．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图像如下图，则导数y＝f′(x)的图像可能为下图中的( )
答案 D
5．已知对任意实数x有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时( )
A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0
C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0
答案 B
6．函数f(x)＝xcosx的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图像大致是( )
答案 A
解析 ∵f(x)＝xcosx，∴f′(x)＝cosx－xsinx.
∴f′(－x)＝f′(x)，∴f′(x)为偶函数．
∴函数图像关于y轴对称．
由f′(0)＝1可排除C、D选项．
而f′(1)＝cos1－sin1<0，
从而观察图像即可得到答案为A.
二、填空题
7．函数f(x)＝x2－(x<0)的最小值是________．
答案
8．函数f(x)＝x2＋2ax＋1在[0,1]上的最小值为f(1)，则a的取值范围为________．
答案 (－∞，－1]
解析 f′(x)＝2x＋2a，
f(x)在[0,1]上的最小值为f(1)，说明f(x)在[0,1]上单调递减，
∴x∈[0,1]时f′(x)≤0恒成立．
∴a≤－x，∴a≤－1.
9．函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)在区间[0，]上的值域为________．
答案 [，e]
解析 ∵x∈[0，]，∴f′(x)＝excosx≥0，∴f(0)≤f(x)≤f()．即≤f(x)≤e.
10．直线y＝a与函数y＝x3－3x的图像有三个相异的交点，则a的取值范围是________．
答案 (－2,2)
解析 f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，可以得x＝1或－1.
∵f(1)＝－2，f(－1)＝2，∴－211．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________．
答案 [－4，－2]
解析 f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，得x＝.
由题设得∈[－2，－1]，故m∈[－4，－2]．
三、解答题
12．求下列各函数的最值：
(1)f(x)＝sin2x－x，x∈[－，]；
(2)f(x)＝e－x－ex，x∈[0，a]，a为正常数．
解析 (1)因为f(x)＝sin2x－x，所以f′(x)＝2cos2x－1.
又x∈[－，]，令f′(x)＝0，
解得x＝－或x＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－
(－，
由上表可得函数f(x)的最大值为，最小值为－.
(2)f′(x)＝()′－(ex)′＝－－ex＝－.
当x∈[0，a]时，f′(x)<0恒成立，
即f(x)在[0，a]上是减函数．
故当x＝a时，f(x)有最小值f(a)＝e－a－ea；
当x＝0时，f′(x)有最大值f(0)＝e－0－e0＝0.
13．已知f(x)＝x3－x2－x＋3，x∈[－1,2]，f(x)－m<0恒成立，求实数m的取值范围．
解析 由f(x)－m<0，即m>f(x)恒成立，
知m>f(x)max.
f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(x)＝0，
解得x＝－或x＝1.
因为f(－)＝，f(1)＝2，f(－1)＝2，f(2)＝5，
所以f(x)的最大值为5，故m的取值范围为(5，＋∞)．
14．设函数f(x)＝x2ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)>m恒成立，求实数m的取值范围．
解析 (1)f′(x)＝xex＋x2ex＝x(x＋2)．
由x(x＋2)>0，解得x>0或x<－2.
∴(－∞，－2)，(0，＋∞)为f(x)的增区间．
由x(x＋2)<0，得－2∴(－2,0)为f(x)的减区间．
∴f(x)的单调增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)；
单调减区间为(－2,0)．
(2)令f′(x)＝x(x＋2)＝0，得x＝0或x＝－2.
∵f(－2)＝，f(2)＝2e2，f(0)＝0，
∴f(x)∈[0,2e2]．
又∵f(x)>m恒成立，∴m<0.
故m的取值范围为(－∞，0)．
15．设函数f(x)定义在(0，＋∞)上，f(1)＝0，导函数f′(x)＝，g(x)＝f(x)＋f′(x)．
(1)求g(x)的单调区间和最小值；
(2)讨论g(x)与g()的大小关系．
解析 (1)由题设易知f(x)＝lnx，g(x)＝lnx＋，
∴g′(x)＝.令g′(x)＝0，得x＝1.
当x∈(0,1)时，g′(x)<0，故(0,1)是g(x)的单调减区间．
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，故(1，＋∞)是g(x)的单调增区间．
∴x＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而也是最小值点，∴最小值为g(1)＝1.
(2)g()＝－lnx＋x，
设h(x)＝g(x)－g()＝2lnx－x＋，
则h′(x)＝－.
当x＝1时，h(1)＝0，即g(x)＝g()．
当x∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h′(x)<0，h′(1)＝0，
∴h(x)在(0，＋∞)内单调递减．
当0h(1)＝0，即g(x)>g()；
当x＝1时，g(x)＝g()；
当x>1时，h(x)16．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在点x0处取得极小值－4，使其导函数f′(x)>0的x的取值范围为(1,3)．
(1)求f(x)的解析式及f(x)的极大值；
(2)当x∈[2,3]时，求g(x)＝f′(x)＋6(m－2)x的最大值．
解析 (1)由题意知f′(x)＝3ax2＋2bx＋c
＝3a(x－1)(x－3)(a<0)，
∴在(－∞，1)上f′(x)<0，f(x)是减函数，在(1,3)上f′(x)>0，f(x)是增函数，在(3，＋∞)上f′(x)<0，f(x)是减函数．
因此f(x)在x0＝1处取得极小值－4，在x＝3处取得极大值．
∴
解得a＝－1，b＝6，c＝－9.
∴f(x)＝－x3＋6x2－9x.
∴f(x)在x＝3处取得极大值f(3)＝0.
(2)g(x)＝－3(x－1)(x－3)＋6(m－2)x＝－3(x2－2mx＋3)，
g′(x)＝－6x＋6m＝0，得x＝m.
①当2≤m≤3时，g(x)max＝g(m)＝3m2－9；
②当m<2时，g(x)在[2,3]上是递减的，g(x)max＝g(2)＝12m－21；
③当m>3时，g(x)在[2,3]上是递增的，g(x)max＝g(3)＝18m－36.
因此g(x)max＝
17．设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)．
(1)求f(x)的最小值h(t)；
(2)若h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．
解析 (1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，
∴当x＝－t时，
f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，
即h(t)＝－t3＋t－1.
(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m.
由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(舍去)．
当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：
t
(0,1)
1
(1,2)
g′(t)
＋
0
－
g(t)
?
极大值1－m
↘
∴g(t)在(0,2)内有最大值g(1)＝1－m，h(t)<－2t＋m在(0,2)内恒成立，即g(t)<0在(0,2)内恒成立，
即1－m<0，解得m>1，所以m的取值范围为(1，＋∞)．
18．已知函数f(x)＝ax2－blnx＋在x＝x0处取得极小值1＋ln2，其导函数f′(x)的图像如图所示．求x0，a，b的值．
解析 由图可知x0＝.
∴当x＝时，f(x)极小值为1＋ln2.
∴a－bln＋＝1＋ln2.
∴a＋4bln2＝2＋4ln2.①
又∵f′(x)＝2ax－，
∴f()＝2a×－2a＝0.
∴a＝2b.②
由①②解得b＝1，a＝2.
