1．运动物体行驶的路程s与由直线t＝0，t＝1和运动物体的速度v＝－t2＋2表示的曲线所围成的曲边梯形的面积的关系是( )
A．相等 B．不相等
C．大于 D．小于
答案 A
2．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上近似值等于( )
A．只能是左端点的函数值f(xi)
B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)
C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(xi≤ξi≤xi＋1)
D．以上答案均正确
答案 C
3．设f(x)在[a，b]上连续，将[a，b]n等分，在每个小区间上任取ξi，则由直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝( )
A.(ξ1) B.(ξ1)·
C.(ξ1)·ξ1 D.(ξ1)·(ξ1－ξi－1)
答案 B
4．求由抛物线f(x)＝x2，直线x＝1以及x轴所围成的平面图形的面积时，若将区间[0,1]5等分，如图所示，以小区间中点的纵坐标为高，所有小矩形的面积之和为________．
答案 0.33
课件36张PPT。第一章 导数及其应用课后巩固课时作业（十三）
1．由曲线y＝x2与y＝所围成的图形的面积可表示为( )
A. x2dx B. dx
C. (－x2)dx D. (x2－)dx
答案 C
2. dx的值等于( )
A．0 B．1
C. D．2
答案 B
3．已知 [f(x)＋g(x)]dx＝18，g(x)dx＝10，则
f(x)dx等于( )
A．8 B．10
C．18 D．不确定
答案 A
4．下列等式不成立的是( )
A. [mf(x)＋ng(x)]dx＝mf(x)dx＋ng(x)dx
B. [f(x)＋1]dx＝f(x)dx＋b－a
C. f(x)g(x)dx＝f(x)dx·g(x)dx
D.sinxdx＝－2πsinxdx＋sinxdx
答案 C
5．下列结论中成立的个数是( )
①x3dx＝·；
②x3dx＝()3·；
③x3dx＝()3·.
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 C
6．已知a＝()2(n∈N*)，b＝x2dx，则a、b的大小关系是( )
A．a>b
B．a＝b
C．a
D．a，b的大小关系与n的取值有关
答案 A
课件43张PPT。第一章 导数及其应用课后巩固课时作业（十四）课时作业(十二)
一、选择题
1．一周长为l的扇形，当面积达到最大值时，扇形的半径的( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 设半径为r，则弧长为l－2r.
S扇＝·弧长·半径＝(l－2r)·r＝－r2＋r.
令S′扇＝－2r＋＝0，得r＝.
2．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形的面积的最大值为( )
A．10 B．15
C．25 D．50
答案 C
3．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使体积最大，则其高为( )
A. cm B．100 cm
C．20 cm D. cm
答案 A
4．海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30海里/时，当速度为10海里/时时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元．如果甲、乙两地相距800海里，那么要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为( )
A．30海里/时 B．25海里/时
C．20海里/时 D．10海里/时
答案 C
二、填空题
5．如图，两个工厂A、B相距0.6 km，变电站C距A、B都是0.5 km，计划铺设动力线，先由C沿AB的垂线至D，再与A、B相连，D点选在距AB________km处时，动力线最短．
答案
解析 设CD⊥AB，垂足为E，DE的长为x km.
由AB＝0.6，AC＝BC＝0.5，得AE＝EB＝0.3.
∴CE＝＝＝0.4.
∴CD＝0.4－x.
∴AD＝BD＝＝＝.
∴动力线总长l＝AD＋BD＋CD
＝2＋0.4－x.
令l′＝2·－1＝＝0，
即2x－＝0.解得x＝.(∵x＞0)
当x＜时，l′＜0；当x＞时，l′＞0.
∴l在x＝时有最小值．
6．内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高为______．
答案 R
解析 作轴截面如右图，设圆柱高为2h，则底面半径为.
圆柱体体积为V＝π(R2－h2)·2h＝2πR2h－2πh3.
令V′＝0，得2πR2－6πh2＝0.
∴h＝R，即当2h＝R时，圆柱体的体积最大．
三、解答题
7．当圆柱形金属罐的表面积为定值S时，应怎样制作，才能使其容积最大？
解析 设圆柱的高为h，底面半径为R，
则S＝2πRh＋2πR2，∴h＝.①
∴V＝πR2h＝R(S－2πR2)＝RS－πR3.
∴V′(R)＝S－3πR2.
令V′(R)＝0，得S＝6πR2，代入①式中
h＝＝2R.
∴h＝2R时，圆柱的容积最大．
8．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，那么每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)
解析 设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，
则f(x)＝(560＋48x)＋
＝560＋48x＋(x≥10，x∈N*)，
f′(x)＝48－.
令f′(x)＝0，得x＝15.
当x>15时，f′(x)>0；
当10因此，当x＝15时，
f(x)取最小值f(15)＝2 000(元)．
答：为了楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．
9．甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b(b>0)；固定部分为a元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
解析 (1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为，全程运输成本为y＝a·＋bv2·＝s(＋bv)，
∴所求函数及其定义域为y＝s(＋bv)，v∈(0，c]．
(2)由题意s、a、b、v均为正数．
由y′＝s(b－)＝0，得v＝.但v∈(0，c]．
①若≤c，则当v＝时，全程运输成本y最小；
②若>c，则v∈(0，c]，此时y′<0，即y在(0，c]上为减函数．所以当v＝c时，y最小．
综上可知，为使全程运输成本y最小．
当≤c时，行驶速度v＝；
当>c时，行驶速度v＝c.
10．(2010·湖北卷)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
解析 设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝.而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－，令f′(x)＝0，即＝6，
解得x＝5，x＝－(舍去)．
当00，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.
当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元．
课时作业(十三)
一、选择题
1．函数f(x)＝x2在区间上( )
A．f(x)的值变化很小
B．f(x)的值变化很小
C．f(x)的值不变化
D．当n很大时，f(x)的值变化很小
答案 D
2．当n很小时，函数f(x)＝x2在区间上的值可以用( )近似代替( )
A．f() B．f()
C．f() D．f(0)
答案 C
3．在求由x＝a，x＝b(a①n个小曲边梯形的面积和等于S；
②n个小曲边梯形的面积和小于S；
③n个小曲边梯形的面积和大于S；
④n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定．
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 A
4．将区间[a，b]n等分，则自左向右第i(其中i＝1,2，…，n)个区间应该是( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
5．已知自由落体的速度为v＝gt，则落体从t＝0到t＝t0所走过的路程为( )
A.gt B．gt
C.gt D.gt
答案 C
6．直线x＝a，x＝b(a0)所围成的曲边梯形的面积S＝( )
A.(ξi)· B.(ξ1)·
C.(ξi)· D.·f(ξi)
答案 D
7．已知直线l：y＝ax＋b和曲线C：y＝ax2＋b，则由直线l和曲线C所围成的平面图形(图中阴影部分)只可能是( )
答案 A
二、填空题
8．设f(x)的图像在[a，b]上是连续不间断的，若将[a，b]n等分，在第i个小区间上任取ξi，则第i个小曲边形的面积可近似地写为________．
答案 ·f(ξi)
9．计算抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的曲边梯形的面积时，若取f(x)在区间(i＝1,2，…，n)上的值近似地等于右端点处的函数值f()，则曲边梯形的面积S的过剩近似值为________．
答案 (1＋)(1＋)
10．下列图形中，阴影所表示的曲边梯形的面积等于的是________．
答案 ①③④
11．汽车以速度v作匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程s＝vt.如果汽车作匀变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝t2＋2(单位：km/h)．若该汽车在1≤t≤2这段时间行驶的路程可用一个平面图形的面积来表示，则围成该图形的直线和曲线分别是________．
答案 t＝1，t＝2，v＝0，v＝t2＋2
三、解答题
12．求直线x＝2，y＝0和曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积．
解析 (1)分割：把区间[0,2]等分成n个小区间，第i个小区间的长度为，过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分割成n个小曲边梯形．
(2)以直代曲：当n很大时，区间长度很小，小曲边梯形近似于小矩形，第i个小矩形的高度用f()代替(i＝1,2，…，n)．
(3)求和：各矩形面积之和
Sn＝()Δx＝()2
＝(12＋22＋…＋n2)＝·
＝(1＋)(1＋)．
(4)逼近：当n趋向于＋∞时，Sn趋向于，所以曲边梯形的面积S＝.
13．某汽车在公路上变速行驶，行驶的速度与时间t满足v(t)＝t2＋2(km/h)，计算这辆汽车在时间段1≤t≤2内行驶的路程．
解析 将区间[1,2]等分成n个小区间，每i个小区间为，其长度为Δt＝.
当n很大时，以v(1＋)为第i个小区间上的行驶速度，并以各小区间上的路程之和Sn近似代替总路程S.则
Sn＝(1＋)·
＝
＝
＝
＝3＋＋.
S＝Sn＝ ＝.
∴这段时间行驶的路程为 km.
课时作业(十四)
一、选择题
1．定积分f(x)dx的大小是( )
A．与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关
B．与f(x)有关，与区间[a，b]以及ξi的取法无关
C．与f(x)以及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关
D．与f(x)以有ξi的取法和区间[a，b]都有关
答案 A
2．设连续函数f(x)>0，则当aA．一定是正的 B．一定是负的
C．当0答案 A
3．求由曲线y＝ex，直线x＝2，y＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x为积分量，则积分区间为( )
A．[0，e2] B．[0,2]
C．[1,2] D．[0,1]
答案 B
4．下列值等于1的积分是( )
A. xdx B. (x＋1)dx
C. dx D. 1dx
答案 D
5．设f(x)＝x3＋x，则f(x)dx的值等于( )
A．0 B．8
C. f(x)dx D．20f(x)dx
答案 A
6．已知xdx＝2，则－txdx等于( )
A．0 B．2
C．－1 D．－2
答案 D
7. 等于( )
A. (lnx)2dx B．2lnxdx
C．2ln(x＋1)dx D. [ln(1＋x)]2dx
答案 D
8．已知定积分f(x)dx＝8，且f(x)为偶函数，则f(x)dx＝( )
A．0 B．16
C．12 D．8
答案 B
9．下列命题中不正确的是( )
A．若f(x)是连续的奇函数，则f(x)dx＝0
B．若f(x)是连续的偶函数，则f(x)dx＝20f(x)dx
C．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则f(x)dx>0
D．若f(x)在[a，b]上连续，且f(x)dx>0，则f(x)在(a，b)上恒正
答案 D
二、填空题
10．由y＝sinx，x＝0，x＝，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________．
答案 sinxdx
11．由直线y＝x＋1和抛物线y＝x2所围成的图形的面积用定积分表示为________．
答案 (1＋x－x2)dx
12．定积分cdx(c为常数)的几何意义是________．
答案 表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和y＝c所围成的矩形的面积
13．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：
图1 图2 图3
(1)S′＝________(图1)；
(2)S′＝________(图2)；
(2)S′＝________(图3)．
答案 (1)
三、解答题
14．用定积分的意义求下列各式的值．
(1) dx； (2) 2xdx.
分析 由题目可获取以下主要信息：①求定积分；②用定积分的几何意义求．解答本题可先根据被积函数和积分区间画出图像，然后依据定积分的几何意义求解．
解析
(1)由y＝可得
x2＋y2＝4(y≥0)，其图像如图．
dx等于圆心角为的弓形面积CDE与矩形ABCD的面积之和．
S弓形＝××22－×2×2sin＝－，
S矩形＝AB·BC＝2，
∴dx＝2＋－＝＋.
(2)由直线x＝－1，x＝2，y＝0以及y＝2x所围成的图形，如图所示．
2xdx表示由直线x＝－1，x＝2，y＝0以及y＝2x所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积，
∴2xdx＝－＝4－1＝3.
规律方法 (1)正确画出图形是求解的关键．
(2)当平面图形有部分或全部在x轴下方时，要注意定积分的正确表示．
15．已知xdx＝，x3dx＝，求下列定积分：
(1) (2x＋x3)dx； (2) (2x3－x＋1)dx.
解析 (1)0(2x＋x3)dx
＝2xdx＋x3dx＝e2＋.
(2) (2x3－x＋1)dx
＝2x3dx－xdx＋1dx＝－＋e.
?重点班·选做题
16．比较sin5xdx与sinxdx的大小．
解析 因为x∈(0，)，0所以sin5x而且当x＝0与时sin5x＝sinx.
由定积分的几何意义知sin5xdx<sinxdx.
