4.2立方根 课件(共28张PPT)八年级数学上册苏科版

(共28张PPT)
第4章 · 平方根
4.2　立方根
学习目标
1. 了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根；
2. 了解开立方与立方是互逆的运算，会用立方运算求一些数的立方根；
3. 能运用立方根解决一些简单的实际问题.
传说中，公元前429年，一场瘟疫袭击了希腊第罗斯岛(Delos)，造成四分之一的人口死亡.岛民们推派一些代表去神庙请示阿波罗的旨意，神指示说：要想遏止瘟疫，得将阿波罗神殿中那正立方的祭坛加大一倍.人们便把每边增长一倍送到神那儿，于是神更加发火，他说，你们竟敢愚弄我！我要加倍惩罚你们！第罗斯岛人只好去求救于当时著名的学者柏拉图.
数学小故事
倍立方问题
开始，柏拉图和他的学生认为这个问题很容易,试图用尺规作图作出它，均告失败，最后才发现这是一个尺规作图不能成功的问题.
探索与交流
想一想, 要做一个体积是原来祭坛的2倍的新祭坛,它的边长应是原来的多少倍？
体积为1
体积为2
体积 = 边长3
1
1
2
？
设体积为2的正方体的边长为x.
x3 =2，x=？
类比平方根的定义，说说你的猜想？
就是研究当x3=a时，x是什么数？
一般地，如果 x3＝a ，那么x叫做a的立方根，也称为三次方根．
立方根的定义：
概念学习
23=8
____是8的立方根
2
33=27
____是27的立方根
3
立方根用什么符号表示呢？
8的立方根是2
27的立方根是3
3
读作：
三次根号
记作：
记作：
x3 =2，x=
定义：求一个数的立方根的运算叫做开立方.
概念学习
开立方与立方互为逆运算，所以可以通过立方运算来求一个数的立方根.
x3 ＝ a
x
立方
a
开立方
立方根
幂
a
x
检验x是不是a的立方根，只要看x3是不是等于a即可.
(1) ∵ 43=64， ∴ 64的立方根是4，即=4.
(2)∵(-)3 = -，∴-的立方根是-，即 = -.
(3) 9的立方根是.
(4) ∵ 0.63=0.216， ∴ 0.216的立方根是0.6，即=0.6.
(5) ∵(-3)3=-27，所以-27的立方根是-3，即= -3.
例题讲解
例1 求下列各数的立方根：
（1）64； （2）- ； （3）9 （4）0.216 （5）(-3)3
解：
新知巩固
-27，0.008，，-1，0.064，4.
1.写出下列各数的立方根：
= -3，
= 0.2，
= ，
=-1，
= 0.4，
.
解：
(1);　 (2)±; 　(3); 　(4).
2.求下列各式的值.
新知巩固
= ，
(2)± =± 0.6，
(3)= 10，
==.
解：
新知巩固
(3)(x-1)3=125.
3.求下列各式中的x:
(1)8x3=27；
(2)-27x3=64；
(3) ∵ 53=125，
∴ x-1=5，
∴ x=6.
解：
(1)两边同时除以8，得
x3= .
∵()3= ，
∴x= .
(2)两边同时除以-27，得
x3=-.
∵ = -，
∴ x= -.
立方根与平方根的区别与联系：
平方根 立方根
区 别
联系 关 系
名 称
概念不同
如果x2＝a (a≥0)，那么x叫做a的平方根，也称为二次方根．
如果 x3＝a ，那么x叫做a的立方根，也称为三次方根．
个数不同
一个正数有两个平方根，它们互为相反数.
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根
表示方法不同
±
被开方数的取值范围不同
被开方数是非负数，即 a≥0
被开方数是任意数
运算关系
开方运算与相应的乘方运算互为逆运算
转化条件
都可以转化为非负数的非负方根来研究
类比归纳
0
0的平方根和立方根都是0
例2 把一个长12 cm，宽9 cm，高2 cm的长方体铁坯加工成一个正方体铁锭后，表面积有什么变化？(加工过程中无损失)
解：长方体的表面积为(12×9+9×2+12×2)×2=300(cm2).
设正方体的棱长为x cm，则
x3=12×9×2，解得x=6 .
∴正方体的表面积为6×62=216(cm2) .
300-216=84(cm2)，
∴表面积减少了84 cm2.
例题讲解
新知巩固
1.两个球形探空气球的体积分别约为5 120 m3和80 m3，试计算它们的半径比（球的体积公式：V球=R3，R为球的半径).
解：由球的体积公式可知：
2. 已知a+1的算术平方根是3，﹣27的立方根是b-12，c-3的平方根是±2.
求：(1)a，b，c的值；(2)a+4b﹣4c的立方根．
解：(1)∵a+1的算术平方根是3，
∴a+1=9，a=8；
∵-27的立方根是b-12，
∴b-12=-3，b=9；
∵c-3的平方根是±2，
∴c-3=4，c=7；
即a，b，c的值分别为8，9，7；
新知巩固
(2)由(1)知，a+4b-4c=8+4×9-4×7=16，
∴a+4b-4c的立方根是．
=
探索与交流
下列各数有立方根吗？如果有，请写出来；如果没有，请说明理由.
, 0.001, 9,－3,－64,－ , 0.
= 0. 1
=-4
=
= 0
=
=
=
=
这几个式子有什么共同特征？
新知归纳
正数的立方根是正数；
0的立方根是0.
负数的立方根是负数；
立方根的性质：
= a
a的取值范围是什么？
①，-； ②，-； ③，-.
拓展延伸
1. 求下列各式的值：
通过上述计算，你能发现什么规律？
①= -，-= -；
②= -4，-= -4；
③=-，-=-.
解：
=-
拓展延伸
2. 填空：
①=__________； ② =__________；
③ =___________； ④ =__________.
27
-8
∵x3＝a ，x=
∴()3＝a
2
-3
通过以上计算，你发现了什么规律？
()3＝a
新知归纳
立方根的三个性质：
= a
()3＝a
=-
课堂小结
立方根
概念与表示方法
性质
运算
正数的立方根是正数
负数的立方根是负数
0的立方根是0
开立方
1.－27的立方根为( )
A.±3 B.±9 C.－3 D.－9
当堂检测
C
2.下列语句中，正确的是( )
A.的立方根是±2 B.±是1的立方根
C.－3是27的负立方根 D.(－2)3的立方根是－2
D
当堂检测
3.下列说法正确的是 (　　)
A.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0
B.一个数的立方根不是正数就是负数
C.负数没有立方根
D.一个数的立方根与这个数同号，0的立方根是0
D
4.下列各式错误的是( )
A. ＝0.2 B. ＝- C. ＝± D. ＝－102
C
当堂检测
5. 平方根等于它本身的数有_____，立方根等于它本身的数有________；
0
6. 体积是125 dm3的正方体的棱长是________dm.
5.5
7.如果的平方根是±3，则=_______.
解：∵的平方根是，
∴，
∴，
∴.
4
－1、0、1
当堂检测
a 0.000001 0.001 1 1000 1000000

(2)根据你发现的规律填空：
已知≈1.442，则≈________， ≈__________.
8. (1)填表：
0.01
0.1
1
10
100
14.42
-0.1442
=-144.2，则x= ___________．
-3 000 000
当堂检测
9.求下列各式中的x：
解：x3－64＝0，
移项，得x3＝64，
解得x＝4.
(2)(x＋1)3＝－8.
(1) x3－64＝0；
(x＋1)3＝－8，
可得x＋1＝－2，
解得x＝－3.
10. 某校在开展劳动教育剪纸课的时候，问同学们，你能用正方形纸片制作长方体纸盒吗？如图，在正方形的四个角剪下同样大小的四个小正方形，把剩下的纸片折叠成一个无盖的纸盒，然后把剪下的四个小正方形纸片拼起来作为纸盒的盖．如果我们希望做成的长方体的体积为32cm2，那么整张大正方形纸片的边长应是多少？
解：设小正方形的边长为x，
则由小正方形拼接成的大正方形边长为 ，
作原料的大正方形的边长为，
根据题意可得：，
解得：，
∴，
答：作原料的大正方形的边长为．
当堂检测
当堂检测
11. 已知与的值互为相反数，求代数式的值.
解：由题意，得(1-2x)+(3y-2)=0，
整理，得2x+1=3y，
所以==1.
当堂检测
12. 已知2a－1的平方根是±3，3a＋b＋1的立方根是3.
(1)求a，b的值；
(2)求a＋b的算术平方根.
(2)由(1)可得a＋b＝16，
∴a＋b的算术平方根为4.
解：
(1)由题意得：