1．抛物线y＝x2－x与x轴围成的平面图形的面积为( )
A. B．1 C. D.
答案 C
2．曲线y＝x3与直线y＝x所围成的图形的面积等于( )
A.(x－x3)dx B.(x3－x)dx
C．2(x－x3)dx D．2(x－x3)dx
答案 C
3．曲线y＝与直线y＝x，x＝3所围成的图形的面积为______．
答案 ＋ln3
4．求由曲线y＝x2与直线x＋y＝2围成的图形的面积．
解析
如图所示，先求出抛物线与直线的交点，解方程组
得或
即两个交点为(1,1)，(－2,4)，则所求面积为
S＝[(2－x)－x2]dx
＝(2x－x2－x3)|＝.
课件36张PPT。第一章 导数及其应用课后巩固课时作业（十六）
1．已知物体速度为v＝v0＋at(v0，a为常数)，则物体在[0，t0]时间内的位移为( )
A．s＝at B．s＝v0t0＋at
C．s＝v0t0－at D．s＝at－v0t0
答案 B
2．如果1 N能拉长弹簧1 cm，为了能将弹簧拉长6 m，那么所耗费的功为( )
A．0.18 J B．0.26 J
C．0.12 J D．0.28 J
答案 A
3．质点运动的速度是(18t－3t2) m/s，质点在[0,8]时间段内所通过的路程为________．
答案 152 m
4．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度为v(t)＝30－t，则列车刹车后前进________米才能停车．
答案 450
课件33张PPT。第一章 导数及其应用课后巩固课时作业（十七）课时作业（十八）课时作业(十六)
一、选择题
1．由y＝，x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积为( )
A．ln2 B．ln2－1
C．1＋ln2 D．2ln2
答案 A
解析 画出曲线y＝(x>0)及直线x＝1，x＝2，y＝0，则所求面积S为如图所示的阴影部分面积．
∴S＝dx＝lnx＝ln2－ln1＝ln2.故选A.
2．若两曲线y＝x2与y＝cx3(c>0)围成的图形面积是，则c＝( )
A．1 B.
C. D．2
答案 B
3．由曲线y＝ex，x＝2，x＝4，y＝0所围成的图形的面积等于( )
A．e4－e2 B．e4
C．e3－e2 D．e2
答案 A
4．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为( )
A. B.
C. D.
答案 A
5．由直线x＝－2，x＝2，y＝0及曲线y＝x2－x所围成的平面图形的面积为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 画出直线x＝－2，x＝2，y＝0和曲边y＝x2－x，则所求面积S为图中阴影部分的面积．
∴S＝－2(x2－x)dx＋＋(x2－x)dx＝＋＋＝0－＋＋－＝＋＋＝.故选B.
6. |x2－4|dx＝( )
A. B.
C. D.
答案 C
7．若 (2x－3x2)dx＝0，则k＝( )
A．0 B．1
C．0或1 D．以上都不对
答案 B
8．设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则
f(－x)dx的值等于( )
A. B.
C. D.
答案 A
二、填空题
9. dx＝________.
答案 πa2
10．由曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围成图形的面积等于________．
答案
11.
(2010·陕西)从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________．
答案
12．由y＝cosx，x＝0，x＝，y＝0所围成的图形的面积表示为定积分的形式是________．
答案 cosxdx
解析 由定积分的定义和几何意义可知S＝cosxdx.
三、解答题
13.
求曲线y＝sinx与直线x＝－，x＝π，y＝0所围图形的面积(如右图)．
解析 S＝
＝1＋2＋1－
＝3－.
?重点班·选做题
14．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2.
(1)求y＝f(x)的表达式；
(2)求y＝f(x)的图像与两坐标轴所围成图形的面积．
解析 (1)∵y＝f(x)是二次函数且f′(x)＝2x＋2，
∴设f(x)＝x2＋2x＋c.
又f(x)＝0有两个等根，
∴4－4c＝0，∴c＝1，∴f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)y＝f(x)的图像与两坐标所围成的图形的面积S＝－1(x2＋2x＋1)dx＝.
15．已知f(a)＝ (2ax2－a2x)dx，求f(a)的最大值．
解析 f(a)＝(x3－a2x2)|，
∴f(a)＝－a2＝－(a－)2＋.
∴当a＝时，f(a)的最大值是.
1．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，f(x)dx＝－2，求a、b、c的值．
解析 f′(x)＝2ax＋b，∴f′(0)＝0＝b，a＋c＝2.
又f(x)dx＝－2，
∴ (ax2＋c)dx＝(ax3＋cx)|＝a＋c＝－2.
∴有求得a＝6，b＝0，c＝－4.
课时作业(十七)
一、选择题
1．一物体沿直线以v＝3t＋2(t单位：s，v单位：m/s)的速度运动，则该物体在3 s～6 s间的运动路程为( )
A．46 m B．46.5 m
C．87 m D．47 m
答案 B
解析 s＝(3t＋2)dt＝
＝(54＋12)－＝46.5 (m)．故选B.
2．以初速40 m/s竖直向上抛一物体，t s时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为( )
A. m B. m
C. m D.m
答案 A
解析 由v＝40－10t2＝0，得t2＝4，t＝2.
∴h＝(40－10t2)dt＝
＝80－＝(m)．故选A.
3．一物体在力F(x)＝3x2－2x＋5(力单位：N，位移单位：m)作用力下，沿与力F(x)相同的方向由x＝5 m直线运动到x＝10 m处做的功是( )
A．925 J B．850 J
C．825 J D．800 J
答案 C
解析 W＝∫F(x)dx＝∫(3x2－2x＋5)dx
＝(x3－x2＋5x)
＝(1 000－100＋50)－(125－25＋25)＝825(J)．故选C.
4．若某质点的初速度v(0)＝1，其加速度a(t)＝6t，做直线运动，则质点在t＝2 s时的瞬时速度为( )
A．5 B．7
C．9 D．13
答案 D
解析 v(2)－v(0)＝a(t)dt＝6tdt＝3t2＝12，
所以v(2)＝v(0)＋3×22＝1＋12＝13.故选D.
5．已知物体自由下落的速率为v＝gt，则某物体做自由落体从t＝0到t＝t0所走的路程为( )
A.gt B．gt
C.gt D.gt
答案 C
二、填空题
6．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度为v(t)＝27－0.9t，则列车刹车后前进________米才能停车．
答案 405
7.
右图中阴影部分的面积S＝______.
答案
解析 由图知，S＝[(5－x2)－1]dx＝(4x－)＝(8－)－0＝.
8．由曲线y＝x2＋4与直线y＝5x，x＝0，x＝4所围成平面图形的面积是________．
答案
9．椭圆＋＝1所围区域的面积为________．
答案 12π
三、解答题
10．某物体做直线运动，速度为v＝(m/s)，求该物体自运动开始到10 s末所经过的路程，并求物体前10 s内的平均速度．
解析 dt＝(1＋t)|＝(11－1)，平均速度＝(11－1)．
11．设有一长25 cm的弹簧，若加以100 N的力，则弹簧伸长到30 cm，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm伸长到40 cm所作的功．
解析 设x表示弹簧伸长的量(单位：m)，
F(x)表示加在弹簧上的力(单位：N)．
由题意F(x)＝kx，
且当x＝0.05 m时，F(0.05)＝100 N，即0.05k＝100.
∴k＝2 000，∴F(x)＝2 000x.
∴将弹簧由25 cm伸长到40 cm时所作的功为
W＝∫2 000xdx＝1 000x2＝22.5(J)．
?重点班·选做题
12．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如右图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是( )
A．在t1时刻，甲车在乙车前面
B．t1时刻后，甲车在乙车后面
C．在t0时刻，两车的位置相同
D．t0时刻后，乙车在甲车前面
答案 B
13．一物体A以速度v＝3t2＋2(t的单位：s，v的单位：m/s)，在一条直线上运动，在此直线上在物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方8 m处以v＝8t的速度与A同向运动，设n s后两物体相遇，则n的值为________．
答案 4 s
1．一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向做直线运动，则由x＝1 m运动到x＝2 m时F(x)做的功为( )
A. J B. J
C. J D．2 J
答案 C
解析 W＝F(x)cos30°dx＝(5－x2)dx
＝(5x－x3)＝(5－)＝(J)．故选C.
2．若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t的函数，如果已知产量的变化率a＝，那么从3小时到6小时这段时间内的产量为( )
A.百件 B．(3－)百件
C．(6＋3)百件 D．(6－3)百件
答案 D
课时作业(十八)
一、选择题
1.
下列表示图中f(x)在区间[a，b]的图像与x轴围成的面积总和的式子中，正确的是( )
A.f(x)dx
B.
C.f(x)dx＋f(x)dx＋f(x)dx
D.f(x)dx－f(x)dx＋f(x)dx
答案 D
2．若(2x＋)dx＝3＋ln2，则a的值是( )
A．6 B．4
C．3 D．2
答案 D
3． (1＋cosx)dx等于( )
A．π B．2
C．π－2 D．π＋2
答案 D
4．f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，那么f(x)的解析式是( )
A．4x＋3 B．3x＋4
C．－4x＋2 D．－3x＋4
答案 A
解析 设y＝kx＋b(k≠0)，(kx＋b)dx＝(kx2＋bx)|＝k＋b＝5，①
x(kx＋b)dx＝(kx3＋bx2)|＝，
得k＋b＝.②
解①②得
5．下列各式中正确的是( )
A.<x2dx<1
B.<dx<1
C.<x3dx<1
D．0<dx<
答案 B
解析 图解如图由几何性可知选B.
6．由曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝t2，t∈(0,1)所围成的图形的面积的最小值为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 如图S＝t2·t－x2dx＋x2dx－(1－t)t2，
得S＝f(t)＝t3－t2＋.
∵f′(t)＝4t2－2t，
令4t2－2t＝0.得t＝(t＝0(舍))．
可知当t＝时，S最小．最小值为S＝，选A.
7.
如图，阴影部分的面积是( )
A．2 B．－2
C. D.
答案 C
8．由直线x＝，x＝2，曲线y＝及x轴所围图形的面积为( )
A. B.
C.ln2 D．2ln2
答案 D
9．在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有( )
S＝[g(x)－f(x)]dx S＝(2x－2x＋8)dx
① ②
S＝f(x)dx－f(x)dx S＝[g(x)－f(x)]dx＋
[f(x)－g(x)]dx
③ ④
A．①③ B．②③
C．①④ D．③④
答案 D
解析 ①应是S＝[f(x)－g(x)]dx，
②应是S＝2dx－(2x－8)dx，
③和④正确．故选D.
二、填空题
10．若x(a－x)dx＝2，则实数a＝________.
答案
11．设f(x)是连续函数，且f(x)＝x＋2f(t)dt，则f(x)＝________.
答案 x－2
12．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x0)，(0≤x0≤1)，则x0的值为________．
答案
三、解答题
13.(|2－x|＋|sinx)|dx.
解析 原式＝(|x－2|)dx＋(|sinx|)dx
＝＋2＋sinxdx＋(－sinx)dx
＝＋2＋2＋cos5＋1＝＋cos5.
14．已知f(x)是一个一次函数，其图像过(3,4)，且f(x)dx＝1，求f(x)的解析式．
解析 设f(x)＝kx＋b(k≠0)，其图像过点(3,4)，
∴4＝3k＋b.
1＝(kx＋b)dx＝(kx2＋bx)|＝k＋b.
从而有解得
∴f(x)＝x＋.
?重点班·选做题
15．求c的值，使(x2＋cx＋c)2dx最小．
解析 令y＝(x2＋cx＋c)2dx
＝(x4＋2cx3＋c2x2＋2cx2＋2c2x＋c2)dx
＝(x5＋cx4＋c2x3＋cx3＋c2x2＋c2x)
＝＋c＋c2，令y′＝c＋＝0，
得c＝－，所以当c＝－时，y最小．
1．从空中自由下落的物体，在第一秒时刻恰经过电视塔顶，在第2秒时刻物体落地，已知自由落体的运动速度为v＝gt(g为常数)，则电视塔高为________．
答案 g
2．在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线与曲线及坐标轴所围成图形的面积为，试求：
(1)过点A的坐标；
(2)过切点A的切线方程．
解析 如图所示，设切点A(x0，y0)．
由y′＝2x知过A点切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)且y0＝x，
即y＝2x0x－x.
令y＝0，得C(，0)．
设由曲线与过A点的切线及x轴围成的面积为S，则S＝S曲线OAB－S△ABC＝.
∵S曲边AOB＝x2dx＝x3＝x，
S△ABC＝BC·AB＝(x0－)·x＝x，
∴＝x－x＝.
解得x0＝1，从而A(1,1)切线方程为y＝2x－1.
3．(2013·广州质检)A，B两站相距7.2 km，一辆电车从A站开往B站，电车开出t s后到达途中C点，这一段速度为1.2t(m/s)，到达C的速度达24 m/s，从C点到B点前的D点匀速行驶，从D点开始刹车，经t s后，速度为(24－1.2t)m/s，在B处恰好停车，试求：
(1)A，C间的距离；
(2)B，D间的距离；
(3)从A到B的时间．
解析 (1)设A到C点经过t1s，
由1.2t1＝24，得t1＝20(s)．
∴AC＝1.2tdt＝0.6t2＝240 (m)．
(2)设从D→B经过t2s，
由24－1.2t2＝0，得t2＝20(s)．
∴DB＝(24－1.2t)dt＝(24t－0.6t2)＝240(m)．
从C到D的时间t3＝＝280(s)，
所求A到B的时间为20＋280＋20＝320(s)．
1．(2012·福建)如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 利用积分求出阴影部分的面积，应用几何概型的概率计算公式求解．
∵S阴影＝(－x)dx＝(x－x2)＝－＝，又S正方形OABC＝1，∴由几何概型知，P恰好取自阴影部分的概率为＝.
2．(2011·湖南)曲线y＝－在点M(，0)处的切线的斜率为( )
A．－ B.
C．－ D.
答案 B
解析 y′＝
＝，故y′x＝＝，
∴曲线在点M(，0)处的切线的斜率为.
3．(2011·江西)若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)>0的解集为( )
A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－1,0)
答案 C
解析 由题意知x>0，且f′(x)＝2x－2－，
即f′(x)＝>0，∴x2－x－2>0，
解得x<－1或x>2.又∵x>0，∴x>2.
4．(2011·新课标全国)由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为( )
A. B．4
C. D．6
答案 C
解析 由得其交点坐标为(4,2)．
因此y＝与y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为
[－(x－2)]dx＝(－x＋2)dx
＝(x－x2＋2x)＝×8－×16＋2×4＝.
5．(2011·山东)函数y＝－2sinx的图像大致是( )
答案 C
解析 因为y＝－2sinx是奇函数，所以其图像关于原点对称，因此可排除A.为求解本题，应先研究＝2sinx，即sinx＝x，在同一坐标系内作出y1＝sinx与y2＝x的图像，如下图，可知，当x>0时，y1＝sinx与y2＝x只有一个交点，设其交点坐标为(x0，y0)，则当x∈(0，x0)时，sinx>x，即2sinx>x，此时，y＝x－2sinx<0.又f′(x)＝－2cosx，因此当x>0时，可以有f′(x)>0，也可以有f′(x)<0，即函数有增有减，有多个极值点，且极值点呈周期性，因此可排除B、D，故选C.
6．(2010·山东)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A．13万件 B．11万件
C．9万件 D．7万件
答案 C
解析 ∵y＝f(x)＝－x3＋81x－234，
∴y′＝－x2＋81.
令y′＝0，得x＝9，x＝－9(舍去)．
当00，函数f(x)单调递增；
当x>9时，y′<0，函数f(x)单调递减．
故当x＝9时，y取最大值．
7．(2010·辽宁)已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )
A．[0，) B．[，)
C．(，] D．[，π)
答案 D
解析 ∵y＝，∴y′＝.
令ex＋1＝t，则ex＝t－1且t>1.
∴y′＝＝－.
再令＝m，则0∴y′＝4m2－4m＝4(m－)2－1，m∈(0,1)．
容易求得－1≤y′<0，∴－1≤tanα<0，得π≤α<π.
8．(2012·新课标全国)曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．
答案 y＝4x－3
解析 利用导数的几何意义先求得切线斜率．
∵y＝x(3lnx＋1)，∴y′＝3lnx＋1＋x·＝3lnx＋4.
∴k＝y′|x＝1＝4.
∴所求切线的方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.
9．(2012·山东)设a>0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.
答案
解析 利用定积分的几何意义求解．
S＝dx＝x＝a＝a2，∴a＝.
10．(2011·广东)函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．
答案 2
解析 由f(x)＝x3－3x2＋1，可得f′(x)＝3x2－6x＝
3x(x－2)．
当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，当x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，故当x＝2时，函数f(x)取得极小值．
11．(2011·北京)已知函数f(x)＝(x－k)2e.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若对于任意的x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤，求k的取值范围．
解析 (1)f′(x)＝(x2－k2)e.
令f′(x)＝0，得x＝±k.
当k>0时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：
x
(－∞，－k)
－k
(－k，k)
k
(k，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
4k2e－1
↘
0
?
所以，f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)和(k，＋∞)；单调递减区间是(－k，k)．
当k<0时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：
x
(－∞，k)
k
(k，－k)
－k
(－k，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
0
?
4k2e－1
↘
所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k)和(－k，＋∞)；单调递增区间是(k，－k)．
(2)当k>0时，因为f(k＋1)＝e>，所以不会有
?x∈(0，＋∞)，f(x)≤.
当k<0时，由①知f(x)在(0，＋∞)上的最大值是
f(－k)＝.
所以?x∈(0，＋∞)，f(x)≤等价于f(－k)＝≤.解得－≤k<0.
故当?x∈(0，＋∞)，f(x)≤时，k的取值范围是[－，0)．
1．(2012·辽宁)设f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在(0,0)点相切．
(1)求a，b的值；
(2)证明：当0解析 (1)由y＝f(x)过(0,0)点，得b＝－1.
由y＝f(x)在(0,0)点的切线斜率为，
又y′|x＝0＝(＋＋a)|x＝0＝＋a，
得a＝0.
(2)证法一 由均值不等式，当x>0时，2记h(x)＝f(x)－，则
h′(x)＝＋－
＝－
<－
＝.
令g(x)＝(x＋6)3－216(x＋1)，则当0g′(x)＝3(x＋6)2－216<0.
因此g(x)在(0,2)内是递减函数，又由g(0)＝0，得
g(x)<0，所以h′(x)<0.
因此h(x)在(0,2)内是递减函数，
又h(0)＝0，得h(x)<0.于是
当0证法二 由(1)知f(x)＝ln(x＋1)＋－1.
由均值不等式，当x>0时，
2令k(x)＝ln(x＋1)－x，则k(0)＝0，k′(x)＝－1＝<0.
故k(x)<0，即ln(x＋1)由①②，得当x>0时，f(x)<x.
记h(x)＝(x＋6)f(x)－9x，则当0h′(x)＝f(x)＋(x＋6)f′(x)－9
<x＋(x＋6)(＋)－9
＝[3x(x＋1)＋(x＋6)(2＋)－18(x＋1)]
<[3x(x＋1)＋(x＋6)(3＋)－18(x＋1)]
＝(7x－18)<0.
因此h(x)在(0,2)内单调递减，又h(0)＝0，
所以h(x)<0，即f(x)<.
