1．(2010·广东卷)“x>0”是“>0”成立的( )
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．非充分非必要条件 D．充要条件
答案 A
解析 当x>0时，>0成立；但当>0时，得x2>0，则x>0或x<0，此时不能得到x>0.
2．(2010·陕西卷)“a>0”是“|a|>0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 因为|a|>0?a>0或a<0，所以a>0?|a|>0，但|a|>0?a>0，所以a>0是|a|>0的充分不必要条件，故选A.
3．要证明＋<2可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( )
A．综合法 B．分析法
C．类比法 D．归纳法
答案 B
4．设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有( )
A．1≤ab≤ B．ab<1<
C．ab<<1 D.<1
答案 B
解析 ab<()2<(a≠b)．
5．在△ABC中，已知sin Acos A＝sin Bcos B，则该三角形是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
答案 D
课件33张PPT。第二章 推理与证明课后巩固课时作业（二十二）
1．(2013·启东中学月考)命题“若x2<1，则－1A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1
B．若－1C．若x>1或x<－1，则x2>1
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
答案 D
2．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( )
A．假设三内角都不大于60°
B．假设三内角都大于60°
C．假设三内角至多有一个大于60°
D．假设三内角至多有两个大于60°
答案 B
3．设x、y、z∈R＋，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a、b、c三数( )
A．至少有一个不大于2
B．都小于2
C．至少有一个不小于2
D．都大于2
答案 C
4．设a、b、c是正数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P，Q，R同时大于零”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分且必要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 C
课件38张PPT。第二章 推理与证明课后巩固课时作业（二十三）课时作业(二十二)
一、选择题
1．(2010·全国卷Ⅰ)设a＝log32，b＝ln 2，c＝5－，则( )
A．a＜b＜c B．b＜c＜a
C．c＜a＜b D．c＜b＜a
答案 C
解析 a＝log32＝＜ln 2＝b，又c＝5－＝＜，a＝log32＞log3＝，因此c＜a＜b，故选C.
2．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( )
A．ab≤ B．ab≥
C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3
答案 C
解析 由a＋b＝2，可得ab≤1.
又a2＋b2＝4－2ab，∴a2＋b2≥2.
3．(2010·福建卷)若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案 A
解析 当x＝4时，a＝(4,3)，则|a|＝5；若|a|＝5，则x＝±4.故“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要条件．
4．a>0，b>0，则下列不等式中不成立的是( )
A．a＋b＋≥2
B．(a＋b)(＋)≥4
C.≥a＋b
D.≥
答案 D
解析 ∵a>0，b>0，∴≤.
二、填空题
5．设a>0，b>0，c>0，若a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________．
答案 9
解析 ∵a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝1，
∴＋＋＝＋＋
＝3＋＋＋＋＋＋
≥3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．
6．函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，y＝f(x＋2)是偶函数，则f(1)，f(2.5)，f(3.5)的大小关系是________．
答案 f(3.5)解析 y＝f(x＋2)是偶函数，则x＝2是f(x)的对称轴．
又f(x)在(0,2)上为增函数，
∴f(1)∴f(3.5)7．已知a、b、u∈R＋，且＋＝1，则使得a＋b≥u恒成立的u的取值范围是________．
答案 (－∞，16]
8．(2010·山东卷)已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．
答案 3
解析 因为1＝＋≥2＝2＝，所以xy≤3.当且仅当＝，即x＝，y＝2时取等号，故xy的最大值为3.
9．(2010·浙江卷)若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．
答案 18
解析 由基本不等式，得xy≥2＋6，令＝t，得不等式t2－2t－6≥0，解得t≤－(舍去)或者t≥3，故xy的最小值为18.
10．(2010·安徽卷)若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．
①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤＋≥2.
答案 ①③⑤
解析 两个正数，和为定值，积有最大值，即ab≤＝1，当且仅当a＝b时取等号，故①正确；(＋)2＝a＋b＋2＝2＋2≤4，当且仅当a＝b时取等号，得＋≤2，故②错误；由于≥＝1，故a2＋b2≥2成立，故③正确；a3＋b3＝(a＋b)(a2＋b2－ab)＝2(a2＋b2－ab)，∵ab≤1，∴－ab≥－1.又a2＋b2≥2，∴a2＋b2－ab≥1，∴a3＋b3≥2，故④错误；＋＝(＋)＝1＋＋≥1＋1＝2，当且仅当a＝b时取等号，故⑤正确．
三、解答题
11．已知a、b、c∈R＋，求证： ≥.
证明 要证 ≥，
只需证≥()2，
只需证3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca，
只需证2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ca，
只需证(c－a)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，而这是显然成立的，
所以 ≥成立．
12．当a≥2时，求证：－<－.
证明 方法一(分析法)：
要证：－<－，
只需证＋<＋，
只需证(＋)2<(＋)2，
只需证a＋1＋a－2＋2只需证<，
只需证(a＋1)(a－2)即证－2<0，而－2<0显然成立，
所以－<－成立．
方法二(综合法)：
∵－＝，
－＝，
又∵<，
∴－<＋.
13．已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：＋≥4.
证明 方法一：∵a，b是正数且a＋b＝1，
∴a＋b≥2，∴≤，∴ab≤，∴≥4.
∴＋＝＝≥4.
方法二：∵a，b是正数，
∴a＋b≥2>0，＋≥2>0.
∴(a＋b)(＋)≥4.
又a＋b＝1，∴＋≥4.
方法三：＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2＝4.
当且仅当a＝b时，取“＝”号．
14.
用向量法证明：已知四面体A－BCD，若AB⊥CD，AD⊥BC，则AC⊥BD.
证明 取向量、、为基向量．
则＝－，＝－，
＝－，
∵AB⊥CD，AD⊥BC，
∴·＝0，·＝0.
∴·(－)＝0，·(－)＝0.
∴·＝·，·＝·.
∴·＝·(－)
＝·－·
＝·－·＝0.
∴⊥，∴AC⊥BD.
?重点班·选做题
15．已知a>0，b>0，且a＋b＝1.
求证：(a＋)2＋(b＋)2≥.
证明 要证(a＋)2＋(b＋)2≥，
只需证(a2＋b2)＋(＋)＋4≥，
只需证(a2＋b2)＋(＋)≥.
∵a>0，b>0，且ab≤()2＝，∴≥4.
∴＋≥≥8.
又∵a2＋b2≥＝，
∴(a2＋b2)＋(＋)≥(当且仅当a＝b＝时等号成立)．
∴(a＋)2＋(b＋)2≥.
16．已知a＋b＝1，求证：(a＋)(b＋)≥.
证明 ∵a＋b＝1，a>0，b>0，∴a＋b≥2.
∴ab≤.
∴(a＋)(b＋)－＝·－
＝＝≥0.
∴(a＋)(b＋)≥.
1．设α，β，γ为平面，a，b为直线，给出下列条件：
①a?α，b?β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；
④a⊥α，b⊥β，a∥b.
其中能使α∥β一定成立的条件是( )
A．①② B．②③
C．②④ D．③④
答案 C
解析 ①若α∩β＝l，a∥l，b∥l亦满足，③α可与β相交，④??α∥β.故选C.
2．p＝＋，q＝·(m、n、a、b、c、d均为正数)，则p、q的大小为( )
A．p≥q B．p≤q
C．p>q D．不确定
答案 B
解析 q＝≥＝＋＝p.
3．已知a、b、c、d∈R＋，且<，则( )
A.<< B.<<
C.<< D．以上均可能
答案 A
4．若实数a，b满足0A. B．2ab
C．a2＋b2 D．a
答案 C
5．已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，abc>0，则＋＋的值( )
A．一定是正数 B．一定是负数
C．可能是零 D．正、负不能确定
答案 B
6．已知a>0，b>0，m＝lg，n＝lg，则m与n的大小关系为________．
答案 m>n
解析 因为(＋)2＝a＋b＋2>a＋b>0，所以>，所以m>n.
7．设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系是________．
答案 a>c>b
8．已知a，b，c都是正实数，且ab＋bc＋ca＝1.
求证：a＋b＋c≥.
证明 考虑特征的结论“a＋b＋c≥”，
因为a＋b＋c>0，
所以只需证明(a＋b＋c)2≥3，
即a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3.
又ab＋bc＋ca＝1，
所以只需证明a2＋b2＋c2≥1，即a2＋b2＋c2－1≥0.因为ab＋bc＋ca＝1，
所以只需证明a2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca)≥0，
只需证明2a2＋2b2＋2c2－2(ab＋bc＋ca)≥0，
即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0.
由于任意实数的平方都非负，故上式成立．
所以a＋b＋c≥.
9．已知a>b>c，求证：＋≥.
证明 a>b>c?a－b>0，b－c>0?
?(a－c)(＋)≥2·
2＝4?＋≥.
10．已知a>b>0，求证：<－<.
证明 为了证明<－<，
只需证即证()2<(－)2<()2.
∵a>b>0，∴a－b>0，－>0.
只需证<－<，
即证<1<，
只需证1＋<2<1＋，
即证<1<，即证<1<.
∵a>b>0，∴<1<，∴原命题成立．
课时作业(二十三)
一、选择题
1．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是( )
A．三角形中有两个内角是直角
B．三角形中有三个内角是直角
C．三角形中至少有两个内角是直角
D．三角形中没有一个内角是直角
答案 C
2．设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a，b，c中至少有一个数不小于( )
A．0 B.
C. D．1
答案 B
3．a＋b>c＋d的一个必要不充分条件是( )
A．a>c B．b>c
C．a>c且b>d D．a>c或b>d
答案 D
4．实数a、b、c不全为0等价于( )
A．a、b、c均不为0
B．a、b、c中至多有一个为0
C．a、b、c中至少有一个为0
D．a、b、c中至少有一个不为0
答案 D
5．设a、b、c都是正数，则三个数a＋，b＋，c＋( )
A．都大于2
B．至少有一个大于2
C．至少有一个不小于2
D．至少有一个不大于2
答案 C
6．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定为( )
A．自然数a，b，c都是奇数
B．自然数a，b，c都是偶数
C．自然数a，b，c中至少有两个偶数
D．自然数a，b，c都是奇数或至少有两个偶数
答案 D
解析 恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数，其二是至少有两个偶数．
7．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于60°”，反证假设正确的是( )
A．假设三内角都大于60°
B．假设三内角都不大于60°
C．假设三内角至多有一个大于60°
D．假设三内角至多有两个大于60°
答案 B
8．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为( )
A．一定是异面直线
B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线
D．不可能是相交直线
答案 C
二、填空题
9．“x＝0且y＝0”的否定形式为________．
答案 x≠0或y≠0
10．在空间中有下列命题：①空间四点中有三点共线，则这四点必共面；②空间四点，其中任何三点不共线，则这四点不共面；③垂直于同一直线的两直线平行；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中真命题是________．
答案 ①
11．用反证法证明：“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定为________．
答案 a≤b
12．用反证法证明命题“x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时应假设为________．
答案 x＝a或x＝b
解析 否定结论时，一定要全面否定，x≠a且x≠b的否定为x＝a或x＝b.
13．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是________．
答案 a≤－2或a≥－1
解析 若两方程均无实根，则
Δ1＝(a－1)2－4a2＝(3a－1)(－a－1)<0.
∴a<－1或a>.
Δ2＝(2a)2＋8a＝4a(a＋2)<0，
∴－2若两个方程至少有一个方程有实根，
则a≤－2或a≥－1.
14．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.
正确顺序的序号排列为________．
答案 ③①②
三、解答题
15．求证：1、、2不能为同一等差数列的三项．
证明 假设1，，2是数列{an}(n∈N＋)中某三项，
不妨设为an＝1，am＝，ap＝2，(n，m，p互不相等)
由等差数列定义可有＝，
即＝，则－1＝.
由于m，n，p是互不相等的正整数，
∴必为有理数，而－1是无理数，二者不会相等．
∴假设不成立，结论正确．
16．实数a、b、c、d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1.
求证：a、b、c、d中至少有一个是负数．
证明 假设a，b，c，d中没有负数，
即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，
∵1＝(a＋b)(c＋d)
＝(ac＋bd)＋(bc＋ad)>1＋(bc＋ad)，
即bc＋ad<0.
这与假设a，b，c，d中没有负数矛盾，
∴a，b，c，d中至少有一个负数．
17．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R.
(1)若a＋b≥0，求证：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；
(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论．
解析 (1)∵a＋b≥0，∴a≥－b.
由已知f(x)的单调性，得f(a)≥f(－b)．
又a＋b≥0?b≥－a，得f(b)≥f(－a)．
两式相加，得f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
(2)逆命题：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(b)?a＋b≥0.
下面用反证法证明：
假设a＋b<0，那么
?f(a)＋f(b)这与已知矛盾，故只有a＋b≥0逆命题得证．
?重点班·选做题
18．已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1，求证：a，b，c中至少有一个大于.
证明 假设a，b，c都小于或等于，
即a≤，b≤，c≤.
∵abc＝1，∴a、b、c三数同为正或一正两负．
又a＋b＋c＝0，∴a、b、c只能是一正两负．
不妨设a>0，b<0，c<0，则b＋c＝－a，bc＝.
∴b、c为方程x2＋ax＋＝0有两根．
∴Δ＝a2－≥0，即a3≥4.
∴a≥>＝，这与a≤矛盾．
∴a、b、c中至少有一个大于.
