【高考调研】2015高中数学（人教A版）选修2-2：第二章 推理与证明 单元测试题

第二章　单元测试题
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知扇形的孤长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝，可知扇形面积公式(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D．不可类比
答案　C
解析　可以将扇形看作曲边三角形，所以选C.
2．我们把1,4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正方形(如下图)．试求第n个正方形数是(　　)
A．n(n－1) B．n(n＋1)
C．n2 D．(n＋1)2
答案　C
3．(2013·海口高二检测)已知f(x＋1)＝，f(1)＝1(x∈N*)，猜想f(x)的表达式为(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝
答案　B
4．三角形的面积为S＝(a＋b＋c)·r，(a，b，c为三角形的边长，r为三角形的内切圆的半径)利用类比推理，可以得出四面体的体积为(　　)
A．V＝abc(a，b，c，为底面边长)
B．V＝Sh(S为底面面积，h为四面体的高)
C．V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r(S1，S2，S3，S4分别为四面体四个面的面积，r为四面体内切球的半径)
D．V＝(ab＋bc＋ac)h(a，b，c为底面边长，h为四面体的高)
答案　C
5．(2013·鞍山高二检测)单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n幅图的蜂巢总数．则f(4)＝________；f(n)＝________(　　)
A．37　3n2－3n＋1 B．38　3n2－3n＋2
C．36　3n2－3n D．35　3n2－3n－1
答案　A
6．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)时，从n＝k到n＝k＋1时左边需增乘的代数式是(　　)
A．2k＋1 B．2(2k＋1)
C. D.
答案　B
7．设M＝(－1)(－1)(－1)，且a＋b＋c＝1(a，b，c均为正数)，由综合法得M的取值范围是(　　)
A. B.
C．[1,8] D．[8，＋∞)
答案　D
8．若x，y是正数，则(x＋)2＋(y＋)2的最小值是(　　)
A．3 B.
C．4 D.
答案　C
9．设a，b，c∈(－∞，0)，则a＋，b＋，a＋(　　)
A．都不大于－2 B．都不小于－2
C．至少有一个不大于－2 D．至少有一个不小于－2
答案　D
解析　a＋＋b＋＋c＋≤－6，三者不能都小于－2.故选D.
10．数列{an}中，若a1＝，an＝，(n≥2，n∈N)，则a11的值为(　　)
A．－1 B.
C．1 D．2
答案　D
解析　a1＝，a2＝2，a3＝－1，a4＝，…三项为一个循环．
11．在平面直角坐标系内，方程＋＝1表示在x、y轴上的截距分别为a、b的直线，拓展到空间直角坐标系内，在x、y、z轴上的截距分别为a、b、c(abc≠0)的平面方程为(　　)
A.＋＋＝1 B.＋＋＝1
C.＋＋＝1 D．ax＋by＋cz＝1
答案　A
12．若a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则(　　)
A．a1a8>a4a5 B．a1a8C．a1＋a8>a4＋a5 D．a1a8＝a4a5
答案　B
解析　由a1＋a8＝a4＋a5知道C不对，举例an＝n，a1＝1，a8＝8，a4＝4，a5＝5，可知A、D不对．故选B.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．观察下列不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2,1＋＋＋…＋>，…
由此猜测第n个不等式为________(n∈N*)
答案　1＋＋＋…＋>(n∈N*)
解析　32＝22－1,72＝23－1,152＝24－1，猜测1＋＋＋…＋>.
14．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；
②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；
③“t≠0，mt＝nt?m＝n”类比得到“c≠0，a·c＝b·c?a＝b”；
④“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；
⑤“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a(b·c)”；
⑥“＝”类比得到＝.以上的式子中，类比得到的结论正确的是________．
答案　①②
15．f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，经计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)<，推测当n≥2时，有________．
答案　f(2n)>
解析　观察f(2)，f(4)，f(8)，…可得．
16．若数列{an}的通项公式an＝(n∈N*)，记f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(n)＝________.
答案　f(n)＝
解析　f(n)＝…
＝…
＝×××××…××＝.
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知x>0，y>0用分析法证明：(x2＋y2)>(x3＋y3).
证明　∵x>0，y>0，
∴要证(x2＋y2)>(x3＋y3).
只要证(x2＋y2)3>(x3＋y3)2，
即证3x2＋3y2>2xy.(*)
∵3x2＋3y2－2xy＝2(x2＋y2)＋(x－y)2>0，
∴(*)成立．故原不等式成立．
18．(12分)观察(1)tan10°tan20°＋tan20°·tan60°＋tan60°·tan10°＝1；
(2)tan5°tan10°＋tan10°tan75°＋tan75°·tan5°＝1.
由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论．
解析　若α，β，γ都不是90°，且α＋β＋γ＝90°，
则tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanαtanγ＝1.
19．(12分)已知f(x)＝－x3－x＋1，(x∈R)
求证：满足f(x)＝0的实数值至多只有1个．
证明　∵f′(x)＝－3x2－1<0在x∈R上恒成立．
∴f(x)是R上的减函数．
假设f(x)＝0的实数根x至少有二个，
不妨设x1≠x2且f(x1)＝f(x2)＝0.
∵y＝f(x)在R单调递减，
∴当x1f(x2)；
当x1>x2时，f(x1)这与f(x1)＝f(x2)＝0矛盾．
故假设不成立，所以f(x)＝0至多只有一个实数根．
20．(12分)△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，求证：＋＝.
解析　证明：要证原式，只要证＋＝3，
即＋＝1
即只要证＝1，而A＋C＝2B，B＝60°，b2＝a2＋c2－ac，
∴＝
＝＝1.
21．(12分)数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}的各项按如下规律排列：，，，，，，，，，，…，，…，…
(1)若数列{bn}满足b1＝a1，b2＝a2＋a3，b3＝a4＋a5＋a6，…，写出数列{bn}的前三项；
(2)猜想数列{bn}的通项并证明，并且求出{bn}的前n项和Tn.
解析　(1)b1＝，b2＝1，b3＝.
(2)猜想bn＝，依题意
bn＝＝＝.
∵bn＋1－bn＝－＝，
∴{bn}为公差的等差数列．
故Tn＝＝.
22．(12分)已知函数f(x)＝ax－－2lnx，f(1)＝0.
(1)若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求实数a的取值范围？
(2)若函数f(x)的图像在x＝1处的切线的斜率为0，且an＋1＝f′－nan＋1，若a1≥3，求证：an≥n＋2.
解析　(1)x>0，∵f(1)＝a－b，∴a＝b，f′(x)＝a＋－＝a2＋a－≠0.
①当a>0时，则有f′(x)＝a2＋a－≥0恒成立，即a－≥0，即a≥1.
②当a<0时，由x>0，知f′(x)<0恒成立．
③当a＝0时，f′(x)＝－，x>0，f′(x)<0恒成立．
∴若f(x)在定义域内为单调函数，
则a的取值范围是(－∞，0]∪[1，＋∞)．
(2)∵函数f(x)的图像在x＝1处的切线斜率为0，
∴f′(1)＝0，即a＋a－2＝0，解得a＝1.
∴f′(x)＝2，∴an＋1＝a－nan＋1.
用数学归纳法证明：
①当n＝1时，a1≥3＝1＋2，不等式成立；
②假设当n＝k时，不等式成立，即ak≥k＋2，
则ak－k≥2>0，∴ak＋1＝ak(ak－k)＋1≥2(k＋2)＋1＝(k＋3)＋k＋2>k＋3，
也就是说，当n＝k＋1时，ak＋1≥(k＋1)＋2.
根据①②对于所有n≥1有an≥n＋2.