【高考调研】2015高中数学（人教A版）选修2-2：第三章 数系的扩充与复数的引入 单元测试题

第三章　单元测试题
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知a，b∈R，则a＝b是(a－b)＋(a＋b)i为纯虚数的(　　)
A．充要条件　　　　　　 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案　C
2.＝(　　)
A．－2＋4i B．－2－4i
C．2＋4i D．2－4i
答案　A
3．若w＝－＋i，则w4＋w2＋1等于(　　)
A．1 B．0
C．3＋i D．－1＋i
答案　B
4．在(＋i)12的展开式中，所有奇数项的和等于(　　)
A．－1 B．1
C．0 D．i
答案　B
5．已知＝2＋i，则复数z＝(　　)
A．－1＋3i B．1－3i
C．3＋i D．3－i
答案　B
解析　∵＝2＋i，∴＝(2＋i)(1＋i)＝2＋3i＋i2＝1＋3i.∴z＝1－3i.
6．复数2等于(　　)
A．4i B．－4i
C．2i D．－2i
答案　C
7．复数等于(　　)
A．1＋i B．－1＋i
C．1－i D．－1－i
答案　B
8．复数1＋＝(　　)
A．1＋2i B．1－2i
C．－1 D．3
答案　A
解析　1＋＝1＋＝1＋2i，故选A.
9．在复数集C内分解因式2x2－4x＋5等于(　　)
A．(x－1＋i)(x－1－i)
B．(x－＋i)(x－－i)
C．2(x－1＋i)(x－1－i)
D．2(x＋1＋i)(x＋1－i)
答案　B
10．复数i3(1＋i)2＝(　　)
A．2 B．－2
C．2i D．－2i
答案　A
解析　由题意得i3(1＋i)2＝－i·2i＝－2i2＝2，选A.
11．复数z＝的共轭复数是(　　)
A.＋i B.－i
C．1－i D．1＋i
答案　B
解析　z＝＝＝＋i，＝－i，故选B.
12．已知复数z＝1－i，则＝(　　)
A．2i B．－2i
C．2 D．－2
答案　B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知复数z＝2＋i，则z4－4z3＋6z2－4z－1＝________.
答案　－6
解析　z4－4z3＋6z2－4z－1＝(z4－4z3＋6z2－4z＋1)－2＝(z－1)4－2＝(1＋i)4－2＝[(1＋i)2]2－2
＝(2i)2－2＝－4－2＝－6.
14．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝________(n为正整数)．
答案　0
15．已知＝a＋3i，则a＝________.
答案　－2－3i
16．设z∈C，z＋||＝2＋i，则z＝________.
答案　＋i
解析　设z＝a＋bi，则||＝.
∴a＋bi＋＝2＋i.
∴
∴∴z＝＋i.
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)若复数z＝m2＋m－2＋(2m2－m－3)i(m∈R)的共轭复数对应的点在第一象限，求实数m的集合．
解析　由题意得＝m2＋m－2－(2m2－m－3)i.
∴即
解得118．(12分)计算(＋i)3.
解析　方法一　∵(＋i)3＝(＋i)2·(＋i)＝(－＋i)(＋i)＝(i)2－()2＝－－＝－1.
方法二　原式＝()3＋3×()2×i＋3××(i)2＋(i)3＝＋i－－i＝－1.
19．(12分)已知复平面内点A、B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos2θ，其中θ∈(0,2π)，设对应的复数为z.
(1)求复数z；
(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值．
解析　(1)z＝z2－z1＝－cos2θ－sin2θ＋i(cos2θ－1)＝－1－i(2sin2θ)．
(2)点P的坐标为(－1，－2sin2θ)．
由点P在直线y＝x，得－2sin2θ＝－.
∴sin2θ＝，∴sinθ＝±.
又∵θ∈(0,2π)，∴θ＝，π，π，π.
20．(12分)已知复数z＝，若z2＋az＋b＝1－i，试求实数a、b的值．
解析　化简得z＝1＋i代入方程，得
a＋b＋(2＋a)i＝1－i.
∴　∴
21．(12分)设z＝(a2－a－6)＋i(a∈R)，试判断复数z能否为纯虚数？并说明理由．
解析　假设复数z能为纯虚数，则
∴
∴不存在a使复数z为纯虚数．
22．(12分)已知a∈R，问复数z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在第几象限？复数z对应点的轨迹是什么？
解析　由a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，
－(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1，
得z的实部为正数，z的虚部为负数．
∴复数z对应的点在第四象限．
设z＝x＋yi(x，y∈R)，则
消去a2－2a，得y＝－x＋2(x≥3)．
∴复数z对应点的轨迹是一条射线，
其方程为y＝－x＋2(x≥3)．