1．设m∈N*，且m<15，则(15－m)(16－m)…(20－m)等于( )
A．A B．A
C．A D．A
答案 C
2．12名选手参加校园歌手大奖赛，比赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，则不同的获奖情况种数为( )
A．123 B．312
C．A D．33
答案 C
3．有3面不同颜色的旗，取1面或多面纵挂表示信号，当3面全部挂出时，红色的旗必须悬挂在最上端，共能代表的信号种数为( )
A．A＋A＋A B．A＋A＋A
C．A·A·A D．A·A·A
答案 B
课件32张PPT。第一章 计数原理课后巩固
1．5名男生和1名女生排成一排，这名女生不在排头也不在排尾的排法种数有( )
A．720种 B．600种
C．480种 D．240种
答案 C
解析 先排女生有A种，再排5名男生有A种，共有A·A＝480种．
2．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三种不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有( )
A．108种 B．186种
C．216种 D．270种
答案 B
解析 可选用间接法解决：A－A＝186(种)，故选B.
3．用1,2,3,4,5这五个数字可以组成比20 000大，且百位数字不是3的没有重复数字的五位数共有( )
A．96个 B．78个
C．72个 D．64个
答案 B
解析 可先考虑特殊位置，分类讨论．
4．由1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列{an}，则a72等于( )
A．1 543 B．2 543
C．3 542 D．4 532
答案 C
解析 千位数为1时组成的四位数有A个，同理，千位数是2,3,4,5时均有A＝24(个)数，而千位数字为1,2,3时，从小到大排成数列的个数为3A＝72，即3 542是第72个(最大)．
5．若把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能出现的错误的种数为( )
A．20 B．19
C．10 D．9
答案 B
解析 五个字母中只要确定e和o的位置，另外三个都是r，故有A＝20种不同排列．其中只有一种是正确的，所以可能出现的错误有20－1＝19种，选B.
6．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有________种．
答案 240
解析 (位置分析法)第一步：从除去甲乙的4人中选1人从事翻译工作，有A种方法；
第二步：从剩余的5人中选3人从事另外三项工作，有A种方法．
∴共有A·A＝240种不同的方案．
课件37张PPT。第一章 计数原理课后巩固
1．4名男歌手和2名女歌手联合进行一场音乐会，出场顺序要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，共有出场方案的种数是( )
A．6A种 B．3A种
C．2A种 D．AAA种
答案 D
2．由1,2,3,4,5组成没有重复数字且1,2都不与5相邻的五位数的个数是( )
A．36个 B．32个
C．28个 D．24个
答案 A
解析 将3、4两个数全排列，有A种排法，当1,2不相邻且不与5相邻时有A方法，当1,2相邻且不与5相邻时有A·A种方法，故满足题意的数有A(A＋A·A)＝36个．
3．某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同排法种数是________．(用数字作答)
思路分析 本题以工程问题为背景，是带有多个限制条件的排列组合混合问题，对题目中的3个条件可以采用直接法与插空法．
解析 依题意可分两类，(1)剩余的两个工程不相邻，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的4个空中(丙、丁之间没有空位，因为工程丁必须在工程丙完成后立即进行)，可得有A种不同排法；(2)剩余的两个工程相邻(捆绑在一起看做一个元素)，有AA种不同排法．综上，符合要求的不同排法有A＋A·A＝20(种)．
点评 对限制条件的理解是解带有多个限制条件的排列组合混合问题的关键，本题中剩余的两项工程，既可以相邻安排，也可以不相邻安排，学生往往将结果写为A而出错：“工程丁必须在工程丙完成后立即进行”这一条件也容易被忽视，而得到错误的结果A＋AA＝30.所以对于这一类排列组合混合问题必须认真阅读题目，理解题意．
4．从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则不同的取法有________种．
答案 2 500种
解析 ∵1＋100＝101＞100,2＋99>100,2＋100>100，
∴1为被加数的有1种，2为被加数的有2种，同理3为被加数的有3种，……，49为被加数的有49种，观察知
(1＋2＋…＋50)＋(49＋48＋…＋1)＝2 500种．
5．参加完国庆阅兵的7名女兵，站成一排合影留念，要求甲、乙两人之间恰好隔一人的站法有多少种？
解析 甲、乙及间隔的1人组成一个“小团体”，这1人可从其余5人中选，有5种选法．这个“小团体”与其余4人共5个元素全排列有A种排法，它的内部甲、乙两人有A种站法，故符合要求的站法共有5A·A＝1 200种．
课件38张PPT。第一章 计数原理课后巩固课件34张PPT。第一章 计数原理
1．从长度分别为1,2,3,4的四条线段中任取三条的不同取法共有n种，在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m，则等于( )
A．0 B.
C. D.
答案 B
解析 n＝C＝4，m＝C＝1.
2．某地为上海“世博会”招募了20名志愿者，他们编号分别为1号，2号，…，19号，20号，如果要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的在另一组，那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是( )
A．16种 B．21种
C．24种 D．90种
答案 B
解析 要确保“5号与14号入选并被分配到同一组”，则另外两人的编号或都小于5或都大于14，于是据分类加法计数原理，得选取种数是C＋C＝6＋15＝21种．
3．从1到9这九个自然数中，任取三个数组成一个数组(a，b，c)，且a
A．21个 B．28个
C．84个 D．343个
答案 C
解析 C＝84.
4．有10个红球，10个黄球，从中取出4个，要求必须包括两种不同颜色的球的抽法种数有( )
A．2C种 B．C·C种
C．CC＋CC种 D．2CC＋CC种
答案 D
5．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )
A．30种 B．35种
C．42种 D．48种
答案 A
解析 方法一 可分以下2种情况：①A类选修课选1门，B类选修课选2门，有CC种不同的选法；②A类选修课选2门，B类选修课选1门，有CC种不同的选法．所以不同的选法共有CC＋CC＝18＋12＝30种．
方法二 ∵事件“两类课程中至少选一门”的对立事件是“全部选修A和全部选修B”，
∴两类课程中各至少选一门种类：C－C－C＝30种．
课件34张PPT。第一章 计数原理课后巩固课件28张PPT。第一章 计数原理课件42张PPT。第一章 计数原理课时作业(十)
1．在3双皮鞋中任意抽取两只，恰为一双鞋的概率为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 ＝＝.
2．某单位要邀请10位教师中的6位参加一个会议，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有( )
A．84种 B．98种
C．112种 D．140种
答案 D
解析 由题意分析不同的邀请方法有：
CC＋C＝112＋28＝140(种)．
3．(2013·四川)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lga－lgb的不同值的个数是( )
A．9 B．10
C．18 D．20
答案 C
解析 从1,3,5,7,9这5个数中依次选出两个数的选法有A种，lga－lgb＝lg，又∵＝，＝，∴选法有A－2＝18种，故选C.
4．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为( )
A．AA B．AC
C．AA D．AC
答案 A
解析 不相邻问题用插空法，先排学生有A种排法，老师插空有A种方法，所以共有AA种排法．
5．某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日(端午节假期)值班，每天安排2人，每人值班1天，若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有( )
A．30种 B．36种
C．42种 D．48种
答案 C
解析 所有的安排方法为C·C·C＝90，
甲值14日的安排方法为C·C＝30，
乙值16日的安排方法为C·C＝30，
甲值14日，乙值16日的安排方法为C·C＝12，
∴共有90－30－30＋12＝42.
6．新学期开始，某校接受6名师大毕业生到校学习．学校要把他们分配到三个年级，每个年级2人，其中甲必须在高一年级，乙和丙均不能在高三年级，则不同的安排种数为( )
A．18 B．15
C．12 D．9
答案 D
解析 先安排高三年级，从除甲、乙、丙外的3人中选2人，有C种选法；再安排高一年级，有C种方法，最后安排高二年级，有C种方法，由分步乘法计数原理，得共有CCC＝9种安排方法．
7．某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开三个班，选课结束后，有4名同学要求改修数学，但每班至多可再接收2名同学，那么不同的分配方案有( )
A．72种 B．54种
C．36种 D．18种
答案 B
解析 依题意，就要求改修数学的4名同学实际到三个班的具体人数分类计数：第一类，其中一个班接收2名、另两个班各接收1名，分配方案共有C·C·A＝36(种)；第二类，其中一个班不接收、另两个班各接收2名，分配方案共有C·C＝18(种)．因此，满足题意的不同的分配方案有36＋18＝54(种)，选B.
8．登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是( )
A．60 B．120
C．240 D．480
答案 A
解析 先将4个熟悉道路的人平均分成两组有种．再将余下的6人平均分成两组有种．然后这四个组自由搭配还有A种，故最终分配方法有C·C＝60(种)．
9．由0,1,2，…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为________个．
答案 210
解析 当个位与百位数字为0,8时，有AA；当个位与百位为1,9时，有AAA，根据分类计数原理，共有AA＋AAA＝210个．
10．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．
答案 1 080
解析 先将6位志愿者分组，共有种方法；再把各组分到不同场馆，共有A种方法．由分步乘法计数原理知，不同的分配方案共有·A＝1 080(种)．
11.
如图所示，有五种不同颜色分别给A、B、C、D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________种．
答案 180
解析 按区域分四步：第一步A区域有5种颜色可选；
第二步B区域有4种颜色可选；
第三步C区域有3种颜色可选；
第四步由于重复使用区域A中已有过的颜色，故也有3种颜色可选用．由分步计数原理，共有5×4×3×3＝180(种)．
12．某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有________种；若进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过2个展台，则不同的展出方法有________种．
答案 60 48
解析 依题意得，某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有A＝60种(注：从六个空展台所形成的五个间隔中任选三个间隔将3件展品进行排列即可)；其中3件展品所选用的展台之间间隔超过两个展位的展出方法有2A＝12种，因此要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位的不同的展出方法有60－12＝48种．
13．2013年世锦赛上，中国乒乓球男队派出张济科及5名年轻队员参加比赛，团体比赛需要3名队员上场，如果最后一个出场比赛的不是张济科，那么不同的出场方式有________种．
答案 100
解析 若张济科不上场，则有A＝60种不同的出场方式；若张济科上场，则有CAA＝40种不同的出场方式，因此一共有100种不同的出场方式．
14．按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？
(1)各组人数分别为2,4,6人；
(2)平均分成3个小组；
(3)平均分成3个小组，进入3个不同车间工作．
答案 (1)CCC＝13 860；(2)＝5 775；
(3)·A＝C·C·C＝34 650.
解析 (3)分两步：第一步平均分三组；第二步让三个小组分别进入三个不同车间，故有·A＝C·C·C＝34 650种不同的分法．
?重点班选做题
15．从集合{1,2,3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，则这样的子集共有________个．
答案 32
解析 因1＋10＝2＋9＝3＋8＝4＋7＝5＋6＝11，
选出的5个数中任何两个数的和不等于11，所以从{1,10}，{2,9}，{3,8}，{4,7}，{5,6}这五组数每组中选1个数．则这样的子集共有：C·C·C·C·C＝32.
16．山东鲁能、上海申花、天津泰达与杭州绿城四家中国足球俱乐部参加了2012年赛季亚洲足球俱乐部冠军联赛，为了打出中国足球的精神面貌，足协想派五名官员给这四支球队做动员工作，每个俱乐部至少派一名官员，且甲、乙两名官名不能到同一家俱乐部，则不同的安排方法共有多少种(用数字作答)?
答案 216
解析 法一：根据题意，可根据甲、乙两人所去俱乐部的情况进行分类：
(1)甲乙两人都单独去一个俱乐部，剩余三人中必有两人去同一家俱乐部，先从三人中选取两个组成一组，与其他三人组成四个小组进行全排列，则不同的安排方法有CA＝3×24＝72(种)；
(2)甲、乙两人去的俱乐部中有一个是两个人，从其剩余三人中选取一人与甲或乙组成一组，和其他三人形成四个小组进行全排列，则不同的安排方法有CCA＝2×3×24＝144(种)．所以不同的安排方法一共有72＋144＝216种．
法二：若甲、乙两人可以去同一家俱乐部，则先从五人中选取两人组成一组，与其他三人形成四个小组进行全排列，则不同的安排方法共有CA＝10×24＝240种；
而甲、乙两人去同一家俱乐部的安排方法有CA＝24种．所以甲、乙两人不能去同一家俱乐部的安排方法共有240－24＝216种．
隔板法
例1 求方程x1＋x2＋x3＋x4＝12的正整数解．
解析 将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个空隙中任选3个插入3块隔板，把球分为四组(如下图1)．每一种分法所得球的数目依次为x1，x2，x3，x4.显然x1＋x2＋x3＋x4＝12，故(x1，x2，x3，x4)是方程的一组解．反之，方程的任何一组解(y1，y2，y3，y4)，对应着唯一的一种在12个球之间插入隔板的方式(如下图2)．
图1
图2
故方程的解和插入隔板的方法一一对应，即方程的解的组数等于插隔板的方法数C.
探究 (1)用“隔板法”来建立组合模型是求不定方程的正整数解的有效途径，如果将本例的“正整数解”改为“自然数解”，情形又如何呢？事实上只要令yi＝xi＋1(i＝1,2,3,4)，就将“自然解”转化为方程y1＋y2＋y3＋y4＝16的正整数解，故有C组解．
(2)不定方程就是未知数的个数大于方程的个数，像方程x1＋x2＋…＋xn＝m就是一个最简单的不定方程，这类问题的解法常用“隔板法”．
例2 把7个大小完全相同的小球，放置在三个盒子中，允许有的盒子一个也不放．
(1)如果三个盒子完全相同，有多少种放置方法？
(2)如果三个盒子各不相同，有多少种放置方法？
解析 (1)∵小球的大小完全相同，三个盒子也完全相同，∴把7个小球分成三份，比如分成3个、2个、2个这样三份放入三个盒子中，不论哪一份小球放入哪一个盒子均是同一种放法，因此，只需将7个小球分成如下三份即可，即(7,0,0)、(6,1,0)、(5,2,0)、(5,1,1)、(4,3,0)、(4,2,1)、(3,3,1)、(3,2,2)．
共计有8种不同的放置方法．
(2)设三个盒子中小球的个数分别为x1，x2，x3，显然有：x1＋x2＋x3＝7，于是，问题就转化为求这个不定方程的非负整数解，若令yi＝xi＋1(i＝1,2,3)由y1＋y2＋y3＝10，问题又成为求不定方程y1＋y2＋y3＝10的正整数解的组数的问题，在10个1中间9个空档中，任取两个空档作记号，即可将10分成三组，∴不定方程的解有C＝36组．
1．(2010·湖南理)在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( )
A．10 B．11
C．12 D．15
答案 B
2．北京市某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望小学，每所小学至少得到2台，共有________种不同送法．
答案 10
3．设集合I＝{1,2,3,4,5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有( )
A．50种 B．49种
C．48种 D．47种
答案 B
4．绍兴臭豆腐名闻天下，一外地学者来绍兴旅游，买了两串臭豆腐，每串3颗(如图)．规定：每串臭豆腐只能自左向右一颗一颗地吃，且两串可以自由交替吃．请问：该学者将这两串臭豆腐吃完，不同的吃法有( )
A．6种 B．12种
C．20种 D．40种
答案 C
解析 方法一 (树形图)
如图所示，先吃A的情况，共有10种，如果先吃D，情况相同，所以不同的吃法有20种．
方法二 依题意；本题属定序问题，所以有＝20种．
课时作业(三)
1．4×5×6×…(n－1)·n等于( )
A．A B．A
C．n！－4! D．A
答案 D
解析 原式可写成n·(n－1)·…×6×5×4，故选D.
2．m(m＋1)(m＋2)…(m＋20)可表示为( )
A．A B．A
C．A D．A
答案 D
解析 m＋20最大，共21个数相乘．
3．5A＋4A等于( )
A．107 B．323
C．320 D．348
答案 D
解析 原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348.
4．A与A的大小关系是( )
A．A>A B．AC．A＝A D．大小关系不确定
答案 D
解析 A－A＝n(n－1)·(n－2)－(n＋1)n
＝n(n2－4n＋1)＝n[(n－2)2－3]．
∵n≥3，∴n＝3时，n[(n－2)2－3]<0.即An≥4时，n[(n－2)2－3]>0，即A>A，因而选D.
5．体操男队共六人参加男团决赛，但在每个项目上，根据规定，只需五人出场，那么在鞍马项目上不同的出场顺序共有( )
A．6种 B．30种
C．360种 D．A种
答案 D
解析 问题为6选5的排列即为A.
6．公共汽车上有4位乘客，其中任何两人都不在同一车站下车，汽车沿途停靠6个站，那么这4位乘客不同的下车方式共有( )
A．15种 B．24种
C．360种 D．480种
答案 C
7．把15人分成前、中、后三排，每排五人，则共有不同的排法种数为( )
A. B．A·A·A·A
C．A D．A·A
答案 C
解析
―→前中后，本质为一排！
8．有4名司机、4名售票员分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方案有( )
A．A B．A
C．AA D．2A
答案 C
9．用数字1,2,3,4,5这五个数字分别作为一个对数的底数和真数，可得到不同的对数值( )
A．20个 B．12个
C．13个 D．25个
答案 C
解析 真数不为1时，有A个，真数为1时，有1个．
10．从单词“windows”中选3个不同的字母排成一排，含有“n”的不同排列的个数为( )
A．21 B．60
C．126 D．210
答案 B
解析 A－A＝60或3×A＝60.
11．某一条铁路线有30个车站、其中大站有5个，如果快车只停靠大站、慢车每站都停，试问铁路局要为这条线路准备________种车票．
答案 890
解析 分两类：A＋A＝20＋30×29＝890.
12．化简：－＋＝________.
答案
13．解下列方程或不等式：
(1)A＝140A； (2)A>6A.
解析 (1)根据原方程，应满足解得x≥3.
根据排列数公式，原方程化为
(2x＋1)·2x·(2x－1)(2x－2)＝140x·(x－1)·(x－2)．
∵x≥3，两边同除以4x(x－1)，
得(2x＋1)(2x－1)＝35(x－2)，
即4x2－35x＋69＝0，解得
x＝3或x＝5(因x为整数，应舍去)．
∴原方程的解为x＝3.
(2)解原不等式即>，
其中2≤x≤9，x∈N*，
即(11－x)(10－x)>6，x2－21x＋104>0，
(x－8)(x－13)>0，∴x<8或x>13.
但2≤x≤9，x∈N*，∴2≤x<8，x∈N*.
故x＝2,3,4,5,6,7.∴原不等式的解集为{2,3,4,5,6,7}．
14.
将6名腰鼓队员排成一个三角形阵，如右图，有多少种不同的排法？
答案 720种
解析 本题实质上相当于6人站成一排，故共有A＝6！＝720种不同站法．
15．一条铁路线原有n个车站，为了适应客运需要，新增加了2个车站，客运车票增加了58种，问原有多少个车站？现有多少车站？
解析 由题意可得A－A＝58，即
(n＋2)(n＋1)－n(n－1)＝58，解得n＝14.
所以原有车站14个，现有车站16个．
?重点班选做题
16．若S＝A＋A＋A＋A＋…＋A，则S的个位数是( )
A．8 B．5
C．3 D．0
答案 C
解析 A(n≥5)的个位数恒为0.
17．下列等式中不正确的是( )
A．n！＝ B．A＝nA
C．A＝ D．A＝
答案 D
解析 由排列数公式，得A＝，选D.
18．由1,4,5，x四个数字组成没有重复数字的四位数，所有这些四位数的各数位上的数字之和为288，则x＝________.
答案 2
解析 (1＋4＋5＋x)·A＝288，解得x＝2.
课时作业(四)
1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又临时增加了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( )
A．42 B．30
C．20 D．12
答案 A
解析 本题相当于7个节目中选定两个节目(位置)排入新节目，另五个节目相对顺序已确定，故排法种数为A＝42种．
2．用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )
A．36 B．30
C．40 D．60
答案 A
3．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有( )
A．300种 B．240种
C．144种 D．96种
答案 B
解析 巴黎是特殊位置，先安排1人去游览巴黎，有4种方法；从剩余5人中选3人分别去三个城市有A种，共有4×A＝240种．
4．用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有( )
A．288个 B．240个
C．144个 D．126个
答案 B
解析 个位上是0时，有A×A＝96(个)；个位上不是0时，有A×A×A＝144(个)．
∴由分类计数原理得，共有96＋144＝240(个)符合要求的五位偶数．
5．将5列火车停在5条不同的轨道上，其中a列火车不停在第一道上，b列火车不停在第二道上，那么不同的停车方法共有( )
A．120种 B．78种
C．96种 D．72种
答案 B
解析 (间接法)A－2A＋A＝78(种)．
6．5名学生站成一排，其中A不能站在两端，B不能站在中间，则不同的排法有( )
A．36种 B．54种
C．60种 D．66种
答案 C
解析 首先排A有三个位置可供选择有A种排法；
第二步，其余四个元素有A种排法．
由分步计数原理，A不在两端的排法有A·A＝72(种)．
这里，包含B在中间时的情形，而B在中间(如下表)，A又不在两端的排法种数为2A＝12(种)，则符合条件的排法种数为72－12＝60(种)．
×
A
B
(或A)
×
7．从1、2、3、4、9、18六个数中任取两个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，得到不同的对数值有( )
A．21 B．20
C．19 D．17
答案 D
解析 把所取的数分两类：一是必须选1时，因为1只能作为真数且对数值恒为0，所以对数值只有1个；二是不选1时，则有选法A种，但由于log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，所以共有1＋A－4＝17个．故选D.
8．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有________种．
答案 252
解析 安排3名主力队员有A种方法；安排另外两名队员有A种方法；共有A×A＝252种．
9．将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球，分别放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小口袋中，若不允许空袋且红口袋中不能装入红球，则有________种不同的放法．
答案 96
解析 (排除法)红球放入红口袋中共有A种放法，则满足条件的放法种数为A－A＝5！－4！＝96(种)．
10．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种．(用数字作答)
答案 36
解析 A·A＝36.
11．由0,1,2,3,4,5共六个数字可组成没有重复数字且能被5整除的六位数的个数为________．
答案 216
解析 组成的六位数与顺序有关，但首位不能排0，个位必须排0或5，因此分两类：第一类：个位数排0，此时前五位数由1,2,3,4,5共五个数字组成，这五个数字的每一个排列对应一个六位数，故此时有A＝120个六位数．第二类：个位数排5，此时为完成这件事(构造出六位数)还应分两步，第一步排首位，有4种排法，第二步排中间四位，有A种排法，故第二类共有4·A＝96种排法，以上两类排法都符合题目要求，所以共可组成120＋96＝216个．
12．用0,1,2,3,4五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们从小到大排列，问23 140是第________个数？
答案 40
解析 分以下几类：
第一类，1××××型的五位数有A＝24个；
第二类，20×××型的五位数有A＝6个；
第三类，21×××型的五位数有A＝6个，
这样，这三类数共有24＋6＋6＝36个，在型如23×××的数中，按从小到大的顺序是：23 014,23 041,23 104，23 140，…可见23 140在这一类中，居第4位．
故从小到大算23 140是第40个数．
13．(1)在n个不同的小球中取m个放入m个有编号的小盒中(m≤n)，每盒只放一个，其中某一个小球必须放在某一个指定的小盒中，问有________种不同的放法？(只需列出式子)
(2)在m个不同的小球中取n个放入n个有编号的小盒中(n答案 (1)A (2)AA
解析 (1)先将某一小球放入指定的小盒中，然后从剩下的n－1个不同的小球中任取m－1个，放入m－1个不同的小盒中，共有A种入法．
(2)某一个指定的小盒为特殊位置，先从其余m－1个小球中选1个放入，有A种放法，再从剩余的m－1个小球中选取n－1个放入其余n－1个小盒中，有A种方法．故共有A·A种放法．
14．某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么课程表共有多少种不同的排法？
解析 方法一 6门课总的排法是A种，其中不符合要求的可分为：体育排在第一节有A种排法，如图中Ⅰ；数学排在最后一节有A种排法，如图中Ⅱ；但这两种方法，都包括体育在第一节，数学排在最后一节，如图中Ⅲ，这种情况有A种排法，因此符合条件的排法应是：A－2A＋A＝504(种)．
方法二 根据要求，课程表安排可分为4种情况：
(1)体育、数学既不排在第一节也不排在最后一节，有
A·A种排法；
(2)数学排在第一节但体育不排在最后一节，有A·A种排法；
(3)体育排在最后一节但数学不排在第一节，有A·A种排法；
(4)数学排在第一节，体育排在最后一节，有A种排法．
这四类排法并列，不重复也不遗漏，故总的排法有：
A·A＋A·A＋A·A＋A＝504(种)．
15．从1到9这9个数字中取出5个进行排列，问：
(1)奇数位置上是奇数的有多少个？
(2)取出的奇数必须排在奇数位置上的有多少个？
思路分析 (1)奇数位置上是奇数就是说个位、百位、万位位置必须排奇数，偶数位置可排奇数也可不排．(2)与(1)有明显区别，奇数一定在奇数位置上，但在奇数位置上的不一定就是奇数．
解析 (1)是讲奇数位置上一定是奇数，而偶数位置上不加限制，至于偶数排列在何处也未加限制，此题中，奇数共有5个，奇数位置共有3个；偶数共有4个，偶数位置有2个，第一步，先在奇数位置上排上奇数有A种排法；第二步，再排偶数位置，4个偶数和余下的2个奇数都可以来排，排法为A种，由分步计数原理，排法共有A·A＝1 800种．
(2)是讲奇数若取出的话只允许排在奇数位置上，不能排在偶数位置上，而对偶数排在何处未加限制，奇数位置上排什么数也未加限制，由于偶数位置上不能排奇数，故先排偶数位，排法种数为A个，余下的2个偶数5个奇数全可排在奇数位置上，排法种数为A种，由分步计数原理，共有A·A＝2 520种排法．
点评 准确理解题意，扣住“题眼”及关键词是正确求解的前提．
?重点班选做题
16．已知集合A＝{0,1,2,3}，B＝{2,3,4,5,6}，f是A到B的映射，且当i，j∈A，i≠j时，f(i)≠f(j)，满足这样条件的影射f的个数是( )
A．120个 B．45个
C．54个 D．100个
答案 A
解析 A＝120.
17．二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c互不相等，它们都在集合{－4，－3，－2，－1,0,1,2,3}中取值．求：
(1)开口向上的抛物线条数；
(2)过原点的抛物线的条数；
(3)原点在抛物线内的抛物线的条数．
解析 (1)抛物线开口向上，则a>0.
∴共有3·A＝126(条)．
(2)过原点的抛物线必须满足c＝0且a≠0.
∴共有A＝42(条)．
(3)原点在抛物线内的抛物线，分为两类：一类是开口向上，此时，a>0且c<0.共有3×4×6＝72(条)；另一类是开口向下，此时，a<0且c>0，故有4×3×6＝72(条)．
∴共有72＋72＝144(条)．
课时作业(五)
1．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有( )
A．1 440种 B．960种
C．720种 D．480种
答案 B
解析 从5名志愿者中选2人排两端有A种，2位老人排列有A种，其余3人和老人排列有A种，故共有A×A×A＝960(种)，选B.
2．A、B、C、D、E五位同学参加速算比赛，若每个同学计算的速度各不相同，则A同学比B同学先算完的比赛结果共有( )
A．260种 B．120种
C．60种 D．30种
答案 C
解析 ＝60.
3．晚会上有8个唱歌节目和3个舞蹈节目，若3个舞蹈在节目单中要隔开，则不同节目单的种数为( )
A．A B．A
C．AA D．AA
答案 C
解析 先排8个唱歌节目共有A种排法，8个节目产生9个空隙，再插入3个舞蹈节目有A种插法，据分步计数原理共有A×A种不同的节目单．
4．七种新产品排成一排参加展览，要求甲、乙两种产品之间恰有两种其他产品，则不同的排列方法共有( )
A．120种 B．240种
C．480种 D．960种
答案 D
解析 分步：第一步：从甲、乙以外的五种产品作任选两种产品放在甲、乙中间，有10种方法；
第二步：把甲、乙与其中间的两种产品看做一个元素与其他三种产品，进行排列有A种方法；
第三步：对甲、乙进行排列有A种方法；
第四步：对甲、乙中间的两种产品进行排列有A种方法．
所以有10AAA＝960种方法．
5．5个人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数为( )
A．18 B．24
C．36 D．48
答案 C
解析 分步：①从甲、乙之外的3人中选1人站甲乙之间A种方法；②甲、乙全排有A种方法；③甲、乙及中间与另外两人排列有A种方法．
∴总的排法A·A·A＝36种．
6．在数字1,2,3与符号“＋，－”五个元素所在的全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列的个数是( )
A．6 B．12
C．18 D．24
答案 B
解析 此题为插空问题，＋，－两个符号形成了3个空，正好可将1,2,3放入3个空中，共有A·A＝12种不同的排列，答案为B.
7．将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为ai(i＝1,2，…，6)．若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1答案 30
解析 由题意a1≠1，a3≠3，a5≠5，且a18．用数字0、1、2、3、4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1、2相邻的偶数有________个(用数字作答)．
答案 24
解析 若末位为0，则有A·A＝12种．
若末位为2，则有A·A＝4种．
若末位为4，则有两种情况：
①1或2在首位有A·A＝4种．
②3在首位有A·A＝4种．
故共有24种．
9．一排有8个座位，有3人入座，每人左右都有空位，则不同的坐法有________种．
答案 24
解析 3人入座，左右都有空位，要分类讨论何处有2个空位情形，思路较复杂，不易讨论清楚，此时不妨优先考虑空位的情形，3人占有3个座位后还有5个空位，把这5个空位记为A、B、C、D、E，则这3个人所占有的座位就排在这5个字母之间的4个空档中某3个空档，有A＝24种排法．
10．有n(n∈N*)件不同的产品排成一排，若其中A、B两件产品排在一起的不同排法有48种，则n＝________.
答案 5
解析 ∵A·A＝48，∴A＝24.
∴n－1＝4，n＝5.
11．用1,2,3,4,5,6,7组成无重复数字的七位数，若1,3,5,7的次序一定，则有多少个这样的七位数？
答案 210
解析 方法一 7个数占7个位置，只需在7个位置中选3个排2,4,6即可，剩下的4个位置便只有一种排法．有A·1＝210(个)．
方法二 1,3,5,7次序不定有A＝24种不同排法，故1,3,5,7次序一定只占排法总数的次机会，故有＝＝210(个)．
12．4名男生、3名女生排成一排，3名女生中恰有两名相邻的排法有多少种？
答案 2 880
解析 4个男生排成一排有A种排法，把3个女生分成两组有3种分法，对于男学生的每一种排法，从5个空中选2个，把两组女生分别插入有A种插法，插入后相邻的2个女学生可以交换位置，有A种方法，共有不同的排法3AAA＝3×24×20×2＝2 880(种)．
13．3名男生、4名女生，按照不同的要求站成一排，求不同的排队方案有多少种？
(1)甲不站中间，也不站两端；
(2)甲、乙两人必须站两端；
(3)甲不站左端，乙不站右端；
(4)甲、乙两人必须相邻；
(5)甲、乙两人不得相邻；
(6)任何两个女生不得相邻．
思路分析 由题目可获取以下主要信息：本题是有限制条件的排列问题．解答本题应优先考虑限制条件，遵循特殊元素特殊位置优先考虑的原则．
解析 (1)分两步，首先考虑两端及中间位置，从除甲外的6人中选3人排列，有A种站法，然后再排其余位置，有A种站法，所以共有A·A＝2 880种不同站法．
(2)甲、乙为特殊元素，先将他们排在两头位置，有A种，其余5人全排列，有A种．∴共有AA＝240种．
(3)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置．
方法一：特殊元素法．
甲在最右边时，其他的可全排，有A种．
甲不在最右边时，可从余下5个位置中任选一个，有A种；而乙可排在除去最右边位置后剩余的5个中的一个上，有A种，其余人全排列，共有AAA种．
由分类计数原理：A＋AAA＝3 720种．
方法二：特殊位置法．
先排最左边，除去甲外，有A种，余下6个位置全排有A种，但应剔除乙在最右边时的排法AA种．
∴共有AA－AA＝3 720种．
方法三：间接法．
7个人全排，共A种，其中，不合条件的有甲在最左边时A种；乙在最右边时A种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有A种．
∴共有A－2A＋A＝3 720种．
(4)(捆绑法)：把甲、乙两人看作一个元素，首先与其余5人相当于六个元素进行全排列，然后甲、乙两人再进行排列，所以共有A·A＝1 440种站法．
(5)方法一(直接法—插空)：先让其余的5人全排列，再让甲、乙两人在每两人之间(含两端)的6个位置插入排列，所以共有A·A＝3 600种不同站法．
方法二(间接法)：不考虑限制条件，共有A种站法，除去甲、乙相邻的排法A·A.所以共有A－AA＝3 600 种站法．
(6)(直接法—插空)：先排男生，男生在3个位置进行全排列，有A种站法，相应地男生之间(含两端)插入女生，女生有A种站法．所以共有A·A＝144种不同站法．
点评 (1)此类“排队”问题和“排数”问题类似，主要是从特殊位置或特殊元素两个方面考虑，当正面考虑情况复杂时，考虑用排除法．
(2)直接法解题一般采用元素分析法和位置分析法，要注意分类时不重不漏，分步要连续、独立；间接法要注意不符合条件的情形，做到不重不漏．
(3)处理元素“相邻”、“不相邻”或“元素定序”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻一般用“捆绑法”，元素不相邻问题一般用“插空法”．
?重点班选做题
14．(2013·成都模拟)甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有( )
A．20种 B．30种
C．40种 D．60种
答案 A
15．一条连椅有7个座位，4人就坐，3个空座位中恰有两个连在一起的坐法有________种．
答案 480
解析 4人排成一排有A种排法，在每一种排法的5个空中选2个，分别插入2个空座位和1个空座位，有A种插法，共有不同就坐方法AA＝24×20＝480种．
课时作业(六)
1．6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，那么不同的排法共有( )
A．30种 B．360种
C．720种 D．1 440种
答案 C
解析 本题表面上看似乎带有附加条件，但实际上这和6个人站成一排照相一共有多少种不同排法的问题完全相同．不同的排法总数为A＝6×5×4×3×2×1＝720种．
2．电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则不同的播放方式共有( )
A．6种 B．24种
C．48种 D．720种
答案 C
解析 据题意知4个不同的商业广告可排在中间的4个位置上共有A种方法，再将2个公益广告排在首末2个不同的位置共有2种方法，根据分步计数原理可得不同的播放方式共有2A＝48种．
3．3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是( )
A．360 B．288
C．216 D．96
答案 B
解析 先排三名男生可分两种情况：
(1)当甲在中间时，满足条件的排列共有AAA＝144种；
(2)当甲在三名男生排列的两边时，满足条件的排列共有2×AAAA＝144种．
综上可知，共有144＋144＝288种情况．
4．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( )
A．33 B．34
C．35 D．36
答案 A
解析 排列总数为1·2·3·A＝36，其中点(5,1,1)，(1,1,5)，(1,5,1)分别重复2次，故共确定不同的点数为36－3＝33(个)．
5．某地奥运会火炬接力赛传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成，如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，那么不同的传递方案共有________种．(用数字作答)
答案 96
解析 先安排最后一棒有A种，再安排第一棒有A种，最后安排中间四棒有A种，所以不同的传递方案有AAA＝96种．
6．某年全国足球甲级(A组)联赛共有16队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛，共进行比赛________场．
答案 240
解析 任意两队进行1次主场比赛与1次客场比赛，因此共进行的比赛场次是：A＝16×15＝240(场)．
7．用1、2、3、4、5这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数的个数为________．
答案 24
解析 方法一 先排个位，有2种排法(即排2或4)；再排十位，有4种排法；再排百位，有3种排法．应用乘法原理，得适合题意的三位数个数为2×4×3＝24.
方法二 由题设知5个数字排成无重复数字的三位数的个数为A，这5个数字中奇数3个，偶数2个，所以在所得三位数中，偶数占，故其个数为·A＝24.
8．由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有多少个？
答案 300
解析 个位数字小于十位数字与个位数字大于十位数字的六位数个数相等，而所有组成的六位数共有A－A＝600个．∴符合条件的六位数是300个．
9．5个人围坐在如图所示的8张椅子上听报告，其中甲、乙两人不能相对而坐，问共有多少种不同的坐法？
答案 5 760
解析 去掉各种表面现象，问题变成甲乙两人不能同时坐在1、8位置或2、7位置或3、6位置或4、5位置问题，用直接法可得共有A·A·A＝5 760(种)不同的坐法．
10．7名班委中有A、B、C三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工．
(1)若正、副班长两职只能从A、B、C三人中选两人担任，有多少种分工方案？
(2)若正、副班长两职至少要选A、B、C三人中的一人担任，有多少种分工方案？
答案 (1)720 (2)3600
解析 (1)先排正、副班长有A种方法，再安排其余职务有A种方法，依分步计数原理，共有AA＝720种分工方案．
(2)7人中任意分工方案有A种，A、B、C三人中无一人任正、副班长的分工方案有AA种，因此A、B、C三人中至少有一个任正、副班长的方案有A－AA＝3 600(种)．
?重点班选做题
11．(2012·大纲全国)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )
A．12种 B．18种
C．24种 D．36种
答案 A
12．停车场划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有( )
A．A种 B．2AA种
C．8A种 D．9A种
答案 D
解析 将4个空车位视为一个元素，与8辆车共9个元素进行全排列，共有A＝9A种．
13．三张卡片的正反两面分别写上数字1和2,3和4,5和6，若用这三张卡片上的数字放在桌面上排成一行组成一个三位数，则可能得到的不同的三位数的个数是( )
A．120 B．36
C．48 D．20
答案 C
解析
百
十
个
确定百位有6种方法；确定十位有4种方法；确定个位有2种方法，共有6×4×2＝48种不同三位数．
1．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )
A．72 B．96
C．108 D．144
答案 C
解析 由于为偶数，故末位共有3种选法，然后分类：①当5在十万位和十位时，共有2AA＝24(种)；②当5在万位、千位、百位时，共有3AA＝12(种)．
2．某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是( )
A．1 205秒 B．1 200秒
C．1 195秒 D．1 190秒
答案 C
解析 由于有5个彩灯，并且每个彩灯能闪亮5种颜色，因此一共有A＝120(个)不同的闪烁．由于相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒，因此所有不同的闪烁的时间间隔共为119×5＝595(秒)．又因为每一个闪烁时，每个彩灯持续时间为1秒，因此有120×5＝600(秒)闪亮彩灯的时间，故满足题意的时间至少为595＋600＝1 195(秒)．
3．如图是一个正方体纸盒的展开图，若把1,2,3,4,5,6分别填入小正方形后，按虚线折成正方体，则所得到的正方体相对面上的两个数的和都相等的概率是________．
答案
课时作业(七)
1．若C＝10，则n的值为( )
A．10 B．5
C．3 D．4
答案 B
2．若C＝C，则x的值为( )
A．2 B．4
C．4或2 D．3
答案 C
3．C＋C＋C＋C＋…＋C的值为( )
A．C B．C
C．C D．C
答案 D
解析 C＋C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝…＝C＝C.
4．下列各式中与组合数C(n≠m)相等的是( )
A.·C B.·C
C．C D.
答案 B
解析 ∵C＝·
＝＝C，故选B.
5．集合A＝{x|x＝C，n是非负整数}，集合B＝{1,2,3,4}，则下列结论正确的是( )
A．A∪B＝{0,1,2,3,4} B．B?A
C．A∩B＝{1,4} D．A?B
答案 C
6．下列各式中正确的个数是( )
①C＝C；②C＋C＝C；
③＝C.
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 C
7．C·A÷A的值是( )
A．1 B．C
C．A D．以上都不对
答案 A
解析 C·A÷A
＝·m！÷[2 014×2 013×…×(2 014－m＋1)]＝1.
8．组合数C(n>r≥1，n、r∈Z)恒等于( )
A.C B．(n＋1)(r＋1)C
C．nrC D.C
答案 D
9．在直角坐标系xOy平面上，平行直线x＝n(n＝0、1、2、3、4、5)与平行直线y＝n(n＝0、1、2、3、4、5)组成的图形中，矩形共有( )
A．25个 B．36个
C．100个 D．225个
答案 D
解析 C·C＝225.
10．平面上有12个点，其中没有3个点在一条直线上，也没有4个点共圆，过这12个点中的每三个共圆，共可作圆( )
A．220个 B．210个
C．200个 D．1 320个
答案 A
解析 不在同一直线上的任意三点可以确定一个圆，因此可以确定C＝＝220个圆．
11．某施工小组有男工7人，女工3人，选出3人中有女工1人，男工2人的不同选法有( )
A．C310种 B．A310种
C．A27A13种 D．C27C13种
答案 D
12．计算C＋C＋C＝________.
答案 120
13．(1)设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有________个．
(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备______种车票．________种票价．
(3)2013年元旦期间，某班10名同学互送贺年卡，表示新年的祝福，则贺年卡共有________张．
答案 (1)C＝10(个)
(2)A＝20(种) C＝10(种)
(3)A＝90(张)
解析 (1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．
(2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．
(3)甲写给乙贺卡，与乙写给甲贺卡是不同的，所以与顺序有关，是排列问题．
14．解不等式：(1)C>C； (2)－<.
解析 (1)∵C>C，
∴?
??
∵n∈N*，∴n＝6、7、8、9，∴n的集合为{6,7,8,9}．
(2)由－<
，
可得n2－11n－12<0，解得－1又n∈N*，且n≥5，∴n∈{5,6,7,8,9,10,11}．
15．平面内有10个点，其中任何3个点不共线，
(1)以其中任意2个点为端点的线段有多少条？
(2)以其中任意两个点为端点的有向线段有多少条？
(3)以其中任意三个点为顶点的三角形有多少个？
答案 (1)45条 (2)90条 (3)120个
?重点班选做题
16．甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有( )
A．36种 B．48种
C．96种 D．192种
答案 C
解析 甲选2门有C种选法，乙选3门有C种选法，丙选3门有C种选法．∴共有C·C·C＝96(种)选法．
17．从6名女生，4名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为( )
A．C·C B．C·C
C．C D．A·A
答案 A
解析 根据分层抽样的概念知，须从6名女生中抽取3名女生，从4名男生中抽取2名男生，则不同的抽取方法种数为CC.
18．编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五位座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有________种．
答案 20
解析 五个人有两个人的编号与座位号相同，此两人的选法共有C，假如编号1、2号人坐的号为1、2，其余三人的编号与座号不同，共有2种坐法．
∴符合题意的坐法有2×C＝2×10＝20(种)．
课时作业(八)
1．设集合A＝{a，b，c，d，e}，B?A，已知a∈B，且B中含有3个元素，则集合B有( )
A．A24个 B．C24个
C．A35个 D．C35个
答案 B
解析 即B＝{a，x，y}．x，y在A中任取，是组合问题．
∴集合B有C24个．
2．已知圆上9个点，每两点连一线段，所有线段在圆内的交点有( )
A．36个 B．72个
C．63个 D．126个
答案 D
解析 此题可化归为：圆上9个点可组成多少个四边形，每个四边形的对角线的交点即为所求，所以，交点有C＝126个．
3．某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有( )
A．120种 B．48种
C．36种 D．18种
答案 C
4．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有( )
A．140种 B．120种
C．35种 D．34种
答案 D
5．某科技小组有六名学生，现从中选出三人去参观展览，至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案 A
解析 设男生人数为x，则女生有(6－x)人．
依题意C－C＝16，
即x(x－1)(x－2)＋16×6＝6×5×4，
∴x(x－1)(x－2)＝2×3×4，∴x＝4.即女生有2人．
6．甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )
A．150种 B．180种
C．300种 D．345种
答案 D
解析 分类：若这名女同学是甲组的，则选法有CCC，若这名女同学是乙组的，则选法有CCC.
∴符合条件的选法共有CCC＋CCC＝345种．
7．从编号为1、2、3、4的四种不同的种子中选出3种，在3块不同的土地上试种，每块土地上试种一种，其中1号种子必须试种，则不同的试种方法有( )
A．24种 B．18种
C．12种 D．96种
答案 B
8．假设在200件产品中，有3件次品，现在从中任意抽出5件，其中至少有2件次品的抽法有( )
A．CC种 B．(CC＋CC)种
C．(C－C)种 D．(C－CC)种
答案 B
思路分析 这是一个抽样问题，200件产品中有3件次品，从中任意抽出5件，而且其中至少有2件次品，由“至少”可知，5件产品中可以有2件次品或3件次品，可以应用“直接法”．
也可以采用“间接法”，先不论次品，抽去5件产品的抽法数除去没有次品和只有1件次品的抽法数之和，即可解决问题．
解析 方法一 (直接法)至少有两件次品的抽法有两种可能，即①2件次品，3件合格品有：CC种；
②3件次品，2件合格品有：CC种．
由分类计数原理得抽法种数为(CC＋CC)种．
所以应选B.
方法二 (间接法)不论次品，抽法有C种，恰有1件次品的抽法数为CC种，没有次品的抽法种数为C种，所以至少有2件次品的抽法种数为(C－C－CC)种．所以应选B.
点评 理解对“至少”“至多”等词的含义，分清事件的类别，用直接法解；或者是反面考虑，用间接法解答．
9.
某城市街道如右图所示，某人要用最短路程从A地前往B地，则不同的走法有( )
A．8种 B．10种
C．12种 D．32种
答案 B
思路分析 根据题意可知①要走的路程最短必须走5步，且不能重复；②向东的走法定出后，向北的走法随之确定，所以我们只要确定出向东的三步或向北的两步走法有多少即可．
解析 不同的走有C＝10(种)，故选B.
点评 因为从A地到B地路程最短，我们可以在地面画出模型，实地实验，探究走法更实际；若东西街道有n条，南北街有m条，则由A到B的最短走法共有C＝C种．
10．从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )
A．85 B．56
C．49 D．28
答案 C
解析 甲、乙、丙都没有入选有C＝35种；只有丙没有入选有C＝84种，故甲、乙至少有1人入选而丙没有入选的不同选法种数有84－35＝49(种)．
11．某校开设9门课程供学生选修，其中A、B、C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有________种不同选修的方案．(用数字作答)
答案 75
解析 本题可分作两类，第一类学生不选A、B、C中的任意一门，有C＝15(种)选法．
第二类学生从A，B，C中选一门，再从其他6门中选3门课程，共有CC＝60(种)选法．
所以共有15＋60＝75(种)选法．
点评 要弄清题目是分类还是分步是关键．
12．从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装与组装计算机各2台，则不同的取法有________种．
答案 350
解析 完成这个问题共有两类办法．第一类办法：第一步在原装计算机中任意选取2台，有C种方法；第二步是在组装计算机中任意选取3台，有C种方法，据乘法原理共有C·C种方法．同理，第二类办法共有C·C种方法．据加法原理完成全部的选取过程共有C·C＋C·C＝350种方法．
13．以正方体的顶点为顶点的四面体个数有________．
答案 58
解析 先从8个顶点中任取4个的取法为C种，其中，共面的4点有12个，则四面体的个数为C－12＝58(个)．
14．现有10名学生，其中男生6名．
(1)从中选2名代表，必须有女生的不同选法有多少种？
(2)从中选出男、女各2名的不同选法有多少种？
(3)从中选4人，若男生中的甲与女生中的乙必须在内，有多少种选法？
(4)从中选4人，若男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内，有多少种选法？
解析 (1)方法一(直接法)：必须有女生可分两类：第一类只有一名女生，共有CC＝24种；第二类有2名女生，共有C＝6种，根据分类计数原理，必须有女生的不同选法有CC＋C＝30种．
方法二(间接法)：C－C＝45－15＝30.
(2)CC＝90.
(3)C＝28.
(4)方法一(直接法)：可分两类解决：第一类甲、乙只有1人被选，共有CC＝112种不同选法；第二类甲、乙两人均被选，有C＝28种不同选法，根据分类计数原理，男生中的甲和女生中的乙至少有1人在内的选法有
CC＋C＝112＋28＝140种．
方法二(间接法)：先不考虑要求，从10名学生中任选4名学生，共有C＝210种，而甲、乙均不被选的方法有C＝70种，所以甲、乙至少有1人被选上的选法种数是C－C＝210－70＝140种．
15．甲、乙、丙三个同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天1人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班．可以排出多少种不同的值班表？
解析 方法一(直接法)由题意可分两类：
(1)甲值周六，另一天从周二至周五4天中再值一天有C种，乙同学任选2天值班，有C种再余2天由丙值班，此时，有CC种．
(2)甲不值周六，可从周二至周五4天中选2天，有C种，乙从周一至周五中甲不值班的3天中选两天值，方法有C种，剩下的2天给丙，此时有CC种，由分类计数原理，共有CC＋CC＝42种．
方法二(间接法)甲值周一或乙值周六是不合题意的，故可列式为CC－2CC＋CC＝42种．
?重点班选做题
16．20个不同的小球平均分装在10个格子中，现从中拿出5个球，要求没有两个球取自同一格中，则不同的拿法一共有( )
A．C种 B．C种
C．CC种 D．C·25种
答案 D
解析 从5个格子中分别取一个球，每个格子共有2种取法，故共有C·25种．
17．n个不同的球放入n个不同的盒子中，若恰好有1个盒子是空的，则共有________种不同的方法．
答案 CA
解析 (先分组，再排列)：将n个不同的球分成(n－1)组，(其中必有一组有2个元素)的分组方法为C，再将这(n－1)组放到n个位去排，有A种排法，故不同的方法为CA(种)．
1．某考生打算从7所重点大学中选3所填在第一档次的3个志愿栏内，其中A校定为第一志愿；再从5所一般大学中选3所填在第二档次的三个志愿栏内，其中B、C两校必选，且B在C前．则此考生不同的填表方法共有________种．
答案 270
解析 选填第一档次的三个志愿栏：因A校定为第一档次的第一志愿，故第一档次的二、三志愿有A种填法；再填第二档次的三个志愿；B、C两校有C种填法，剩余的一个志愿栏有A种填法．由分步计数原理知，此考生不同的填表方法共有ACA＝270(种)．
2．已知集合A＝{x|1≤x≤9，且x∈N}，若p、q∈A，e＝logpq，则以e为离心率的不同形状的椭圆有________个．
答案 26
课时作业(九)
1．2013年全运会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有( )
A．36种 B．12种
C．18种 D．48种
答案 A
解析 分类：若小张、小赵都入选，则选法有AA，
若小张、小赵两人只有一人入选，则选法有CCA，
∴不同的选派方案共有AA＋CCA＝36.
2．从5男4女中选出4位代表，其中至少有两位男同志和至少一位女同志，分别到四个不同的工厂调查，不同的选排方法有( )
A．100种 B．400种
C．480种 D．2 400种
答案 D
3．四个不同的小球全部随意放入三个不同的盒子中，使每个盒子都不空的放法种数为( )
A．AA B．CA
C．CA D．CCC
答案 B
4．每天上午有4节课，下午有2节课，安排5门不同的课程，其中安排一门课两节连在一起上，则一天中不同课程表的种数为( )
A．96 B．120
C．480 D．600
答案 C
5．5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有一个球，若甲球必须放入A盒，则不同的放入种数是( )
A．120 B．72
C．60 D．36
答案 C
解析 ①A盒只放甲球有CA；②A盒放甲球及另一球有CA.∴有CA＋CA＝60种．
6．三名男歌唱家和两名女歌唱家联合举行一场音乐会，演出的出场顺序要求两名女歌唱家之间恰有一名男歌唱家，共有出场方案的种数为( )
A．6A B．3A
C．2A D．A
答案 A
解析 选出两名女歌唱家和一男歌唱家看作一个整体．
7．从单词“eguation”中取5个不同的字母排成一排，含有“gu”(其中“gu”相连且顺序不变)的不同排法共有( )
A．120种 B．480种
C．720种 D．840种
答案 B
解析 先选后排，捆绑C·A.
8．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( )
A．324 B．328
C．360 D．648
答案 B
解析 分两类：①末位为0，共有A个；
②末位不为0，共有C·C·C个．
故共有A＋C·C·C＝328，故选B.
9．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为( )
A．18 B．24
C．30 D．36
答案 C
解析 (C－1)A＝30.
10．实验员从8种化学药品中选出4种，放在4个不同的瓶子里，若甲、乙两种药品不宜放入1号瓶，则不同的方法有________种．
答案 1 260
解析 先选放入1号瓶的．
11．一份试卷有10道考题，分为A，B两组，每组5题，要求考生选答6题，但每组最多选4题，则每位考生有______种选答方案．
答案 200
解析 分三类：A组4题B组2题，A组3题B组3题，A组2题B组4题．
12．从1到9的九个数字中取三个偶数和四个奇数，试问：
(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？
(2)上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？
(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？
(4)在(1)中任意两个偶数都不相邻的七位数有几个？
思路分析 排数问题和站队问题是排列、组合中的两类问题，其解决的思路相似，需考虑特殊元素、特殊位置，相邻问题、不相邻问题等的处理方法．
解析 (1)分步完成：第一步在4个偶数中取3个，可有C种情况；第二步在5个奇数中取4个，可有C种情况；第三步3个偶数，4个奇数进行排列，可有A种情况，所以符合题意的七位数有C·C·A＝100 800(个)．
(2)上述七位数中，三个偶数排在一起的有：
C·C·A·A＝14 400(个)．
(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C·C·A·A·A＝5 760(个)．
(4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空档，共有C·C·A·A＝28 800(个)．
