1．在(x－)10的展开式中，x6的系数是( )
A．－27C B．27C
C．－9C D．9C
答案 D
2．(2012·天津)在(2x2－)5的二项展开式中，x的系数为( )
A．10 B．－10
C．40 D．－40
答案 D
3．若对于任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为( )
A．3 B．6
C．9 D．12
答案 B
解析 x3＝[2＋(x－2)]3，
由二项式定理的通项公式知：
T2＋1＝C·2·(x－2)2＝a2(x－2)2，
得a2＝C·2＝6.
4．(2x＋5y)n展开式中第k项的二项式系数为( )
A．C B．C2n－k5k
C．C D．C2n＋1－k5k－1
答案 C
解析 本题考查二项式系数的概念，第k项二项式系数为C.
5．(2010·辽宁)(1＋x＋x2)(x－)6的展开式中的常数项为________．
答案 －5
解析 (1＋x＋x2)(x－)6＝(1＋x＋x2)[Cx6·(－)0＋Cx5(－)1＋Cx4(－)2＋Cx3(－)3＋Cx2(－)4＋Cx(－)5＋Cx0(－)6]＝(1＋x＋x2)(x6－6x4＋15x2－20＋－＋)．
所以常数项为1×(－20)＋x2·＝－5.
6．对于二项式(x3＋)n(n∈N*)，四位同学作出了四种判断：
①存在n∈N*，使展开式中有常数项；
②对任意n∈N*，展开式中没有常数项；
③对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项；
④存在n∈N*，展开式中有x的一次项．
上述判断中正确的是________．
答案 ①④
7．(2011·山东理)若(x－)6展开式的常数项为60，则常数a的值为________．
答案 4
解析 二项式(x－)6展开式的通项公式是Tr＋1＝Cx6－r(－)rx－2r＝Cx6－3r(－)r，当r＝2时，Tr＋1为常数项，即常数项是Ca，根据已知Ca＝60，解得a＝4.
课件42张PPT。第一章 计数原理课后巩固
1．在(1＋x)n(n∈N*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n＝( )
A．8 B．9
C．10 D．11
答案 C
解析 x5的系数是第6项，它是中间项．∴n＝10，选C.
2．设(5x－)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，M－N＝240，则展开式中x3项的系数为( )
A．500 B．－500
C．150 D．－150
答案 C
解析 N＝2n，令x＝1，则M＝(5－1)n＝4n＝(2n)2.
∴(2n)2－2n＝240，∴2n＝16，n＝4.
展开式中第r＋1项Tr＋1＝C·(5x)4－r·(－)r
＝(－1)r·C·54－r·x4－.
令4－＝3，即r＝2，此时C·52·(－1)2＝150.
3．二项展开式(2x－1)10中x的奇次幂项的系数之和为( )
A. B.
C. D．－
答案 B
解析 设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，令x＝1，得1＝a0＋a1＋a2＋…＋a10，再令x＝－1，得310＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9＋a10，两式相减可得a1＋a3＋…＋a9＝，故选B.
4．若(x＋y)9按x的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x＋y＝1，xy<0，则x的取值范围是( )
A．(－∞，) B．[，＋∞)
C．(－∞，－] D．(1，＋∞)
答案 D
解析 二项式(x＋y)9的展开式的通项是Tr＋1＝C·x9－r·yr.
依题意有由此得
由此解得x>1，即x的取值范围是(1，＋∞)．
5．设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________.
答案 0
解析 (x－1)21的展开式的通项为
Tr＋1＝Cx21－r·(－1)r.由题意知a10，a11分别是含x10和x11项的系数，所以a10＝－C，a11＝C，所以
a10＋a11＝C－C＝0.
课件37张PPT。第一章 计数原理课后巩固课时作业(十一)
1．在二项式(x2－)5的展开式中，含x4的项的系数是( )
A．－10 B．10
C．－5 D．5
答案 B
解析 展开式的通项为Tr＋1＝C(x2)5－r·(－)r＝(－1)r·C·x10－3r，
令10－3r＝4，∴r＝2，则x4的系数是(－1)2·C＝10.故选B.
2．(2x3－)10的展开式中的常数项是( )
A．210 B.
C. D．－105
答案 B
3．(x－y)10的展开式中x6y4项的系数是( )
A．840 B．－840
C．210 D．－210
答案 A
解析 T4＋1＝Cx6(－y)4＝C×4x6y4＝840x6y4.
4．二项式(＋)24展开式中的整数项是( )
A．第15项 B．第14项
C．第13项 D．第12项
答案 A
解析 (＋)24展开式的通项为C()24－r·()r.要使其为整数，应使与都是整数，观察易知r＝14时＝2，＝2皆为整数，因此所求为第r＋1项，即第15项．
5．把(i－x)10(i是虚数单位)按二项式定理展开，展开式的第8项的系数是( )
A．135 B．－135
C．－360i D．360i
答案 D
解析 ∵T7＋1＝C(i)3(－x)7＝－C3i3x7＝C3ix7，所以展开式的第8项的系数为3·Ci，即360i.
6．在(x＋1)(2x＋1)·…·(nx＋1)(n∈N*)的展开式中一次项系数为( )
A．C B．C
C．C D.C
答案 B
解析 1＋2＋3＋…＋n＝＝C.
7．(2011·陕西理)(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是( )
A．－20 B．－15
C．15 D．20
答案 C
解析 Tr＋1＝C(22x)6－r(－2－x)r＝(－1)rC(2x)12－3r，r＝4时，12－3r＝0，故第5项是常数项，T5＝(－1)4C＝15.
8．(2013·安徽)若(x＋)8的展开式中x4的系数为7，则实数a＝________.
答案
解析 由二项式(x＋)8展开式的通项为Tr＋1＝Carx8－r，令8－r＝4，可得r＝3.故Ca3＝7，∴a＝.
9．(x－y)10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于________．
答案 －240
解析 (x－y)10展开式的通项为
Tr＋1＝Cx10－r(－y)r＝(－1)rCx10－ryr，
∴x7y3的系数为－C，x3y7的系数为－C.
∴所求的系数和为－(C＋C)＝－2C＝－240.
10．化简：(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4x－3的值为________．
答案 x4
解析 原式为
(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1
＝[(x－1)＋1]4＝x4.
11．(x－1)－(x－1)2＋(x－1)3－(x－1)4＋(x－1)5的展开式中，x2的系数等于________．
答案 －20
解析 方法一 所给的代数式是五个二项式的代数和．因此所求的x2的系数就应该是这五个二项式的展开式中x2的系数的代数和，即－C－C－C－C＝－20.
方法二 也可以利用等比数列求和公式，将原式化为＝.可以看出，所求的x2的系数就是(x－1)6中x3的系数，即为－C＝－20.
12．在(x－a)10的展开式中，x7的系数是15，则实数a＝________.
答案 －
13．(＋)50的二项展开式中，整数项共有________项．
答案 4
解析 Tk＋1＝C()50－k·()k＝C·2.
由0≤k≤50，且k∈N可知，当k＝2,8,14,20时，
取整数，即展开式中有4项是整数项．
14．求(x＋－1)5展开式中的常数项．
解析 方法一 (x＋－1)5＝(x＋－1)(x＋－1)(x＋－1)(x＋－1)(x＋－1)．
按多项式乘法的规律，常数可从五个因式中都选取－1相乘为(－1)5；若从五个因式中选定一因式取x，一因式取，另三个因式中取(－1)，为CC(－1)3；若从五个因式某两因式中取x，另两因式中取，余下一个因式中取－1，所得式为CC(－1)，所以常数项为
(－1)5＋CC(－1)3＋CC(－1)＝－51.
方法二 由于本题只有5次方，也可以直接展开，即
[(x＋)－1]5＝(x＋)5－5(x＋)4＋10(x＋)3－10(x＋)2＋5(x＋)－1.
由x＋的对称性知，只有在x＋的偶数次幂中的展开式中才会出现常数项且是各自的中间项，
∴常数项为－5C－10C－1＝－51.
方法三 ∵(x＋－1)5＝[(x＋)－1]5，
∴通项为Tr＋1＝C(x＋)5－r·(－1)r(0≤r≤5)．
当r＝5时，T6＝C(－1)5＝－1；
当0≤r<5时，(x＋)5－r的通项为
T′k＋1＝Cx5－r－k·()k
＝Cx5－r－2k(0≤k≤5－r)．
∵0≤r<5，且r∈Z，
∴r只能取1或3相应的k值分别为2或1.
∴常数项为CC(－1)＋CC(－1)3＋(－1)＝－51.
?重点班选做题
15．(2010·全国卷Ⅰ)(1－x)4(1－)3的展开式中x2的系数是( )
A．－6 B．－3
C．0 D．3
答案 A
解析 由于(1－x)4的通项为Tr＋1＝C(－x)r＝(－1)rCxr，(1－)3的通项为Tk＋1＝(－1)kC ，所以乘积中的x2项的系数为(1－x)4中的x2项的系数和x的系数分别乘(1－x)3中的常数项和x的系数再求和得到，即6×1＋(－4)×3＝6－12＝－6.
16．(2011·新课标全国理)(x＋)(2x－)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )
A．－40 B．－20
C．20 D．40
答案 D
解析 对于(x＋)(2x－)5，可令x＝1得1＋a＝2，故a＝1.(2x－)5的展开式的通项Tr＋1＝C(2x)5－r(－)r＝C25－r×(－1)r×x5－2r，要得到展开式的常数项，则x＋的x与(2x－)5展开式的相乘，x＋的与(2x－)5展开式的x相乘，故令5－2r＝－1，得r＝3.令5－2r＝1，得r＝2，从而可得常数项为C×22×(－1)3＋C×23×(－1)2＝40.
17．若(cosφ＋x)5的展开式中x3的系数为2，则sin(2φ＋)＝________.
答案 －
解析 由二项式定理，得x3的系数为Ccos2φ＝2，得cos2φ＝，故sin(2φ＋)＝cos2φ＝2cos2φ－1＝－.
18．(2011·浙江理)设二项式(x－)6(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是________．
答案 2
解析
课时作业(十二)
1．设(1＋x)8＝a0＋a1x＋…＋a8x8，则a0，a1，…，a8中奇数的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案 A
解析 由于(1＋x)8的展开式的通项为Tr＋1＝Cxr，因此ar＝C(其中r＝0,1,2，…，8)，由此可知，其中a0、a8是奇数，其余的系数均为偶数，因此选A.
2．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)n展开式的各项系数和为( )
A．2n＋1 B．2n＋1＋1
C．2n＋1－1 D．2n＋1－2
答案 C
解析 令x＝1得各项系数和为1＋2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－1.
3．在(1＋x)2n(n∈N*)的展开式中，系数最大项是( )
A．第＋1项 B．第n项
C．第n＋1项 D．第n项与第n＋1项
答案 C
4．若(x＋)n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )
A．10 B．20
C．30 D．120
答案 B
5．关于(a－b)10的说法，错误的是( )
A．展开式中的二项式系数之和为1 024
B．展开式中第6项的二项式系数最大
C．展开式中第5项或第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数最小
答案 C
解析 根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质知：二项式系数之和为2n，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数，所以是系数中最小的．
6．在(x＋y)n展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是( )
A．第6项 B．第5项
C．第5、6项 D．第6、7项
答案 A
解析 C＝C，所以n＝10，系数最大的项即为二项式系数最大的项．
7．(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( )
A．n，n＋1 B．n－1，n
C．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3
答案 C
8．若(1＋)5＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝( )
A．45 B．55
C．70 D．80
答案 C
解析 (1＋)5＝C＋C·＋C()2＋C()3＋C()4＋C()5＝41＋29＝a＋b，
∴a＋b＝41＋29＝70.故选C.
9．(a＋)n的展开式中奇数项系数和为512，则展开式的第八项T8＝________.
答案
解析 C＋C＋C＋…＝2n－1，∴2n－1＝512＝29，n＝10，∴T8＝Ca3()7＝.
10．(2x－1)6展开式中各项系数的和为________；各项的二项式系数和为________．
答案 1 64
解析 令展开式左、右两边x＝1，得各项系数和为1.各二项式系数之和为：C＋C＋C＋…＋C＝26＝64.
11．要使组合数C有最大值，则m的值应是________________．
答案 13或14
解析 因C表示(a＋b)27展开式中二项式系数，而二项式系数最大项在中间，所以m＝13或14.
12．已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于________．
答案 －256
解析 令x＝1，得a0＋a1＋…＋a5＝0；令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a5＝25，∴a0＋a2＋a4＝24，a1＋a3＋a5＝－24，∴(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)＝－28＝－256.
13．(x2＋x－1)9(2x＋1)4的展开式中所有x的奇次项的系数之和等于________，所有x的偶次项的系数之和等于________．
答案 41 40
解析 设(x2＋x－1)9(2x＋1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a22x22.令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a22＝81；令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a21＋a22＝－1，∴所有x的奇次项的系数之和等于[81－(－1)]＝41，所有x的偶次项的系数之和等于[81＋(－1)]＝40.
14．证明：C＋2C＋3C＋…＋nC＝n·2n－1.
证明 方法1：∵k·C＝k·
＝n·＝nC，
∴原式＝nC＋nC＋…＋nC
＝n(C＋C＋…＋C)＝n·2n－1.
命题得证．
方法2：(倒序相加)
令S＝C＋2C＋3C＋…＋nC，
∴S＝nC＋(n－1)C＋(n－2)C＋…＋C.
∵C＝C，且C＝C，两等式相加，得
2S＝nC＋nC＋nC＋…＋nC＋nC
＝n(C＋C＋C＋…＋C)＝n·2n.
∴S＝n·2n－1，命题成立．
?重点班选做题
15．若(1－2x)2 013＝a0＋a1x＋…＋a2 013x2 013(x∈R)，则＋＋…＋的值为( )
A．2 B．0
C．－1 D．－2
答案 C
解析 ar＝C(－2)r，r＝0,1,2，…，2 013，
∴＋＋…＋＝－C＋C－C＋…－C.又C－C＋C－…－C＝0.
故原式＝－1.
16．在(1＋x)n(n为正整数)的二项展开式中奇数项的和为A，偶数项的和为B，则(1－x2)n的值为( )
A．0 B．AB
C．A2－B2 D．A2＋B2
答案 C
解析 (1＋x)n＝A＋B，(1－x)n＝A－B，所以(1－x2)n＝A2－B2.
1．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数之和为( )
A．2n－1 B．2n－1
C．2n＋1－1 D．2n
答案 C
2．若n为正奇数，则7n＋C·7n－1＋C·7n－2＋…＋C·7被9除所得的余数是( )
A．0 B．2
C．7 D．8
答案 C
3．试判断7777－1能否被19整除？
答案 能
1．(2012·新课标全国)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )
A．12种 B．10种
C．9种 D．8种
答案 A
解析 将4名学生均分为2个小组共有＝3种方法，
将2个小组的同学分给两名教师带有A＝2种分法，
最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有A＝2种方法，故不同的安排方案共有3×2×2＝12种．
2．(2012·山东)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( )
A．232 B．252
C．472 D．484
答案 C
解析 完成这件事可分为两类：第一类3张卡片颜色各不相同共有CCCC＝256种；第二类3张卡片有两张同色且不是红色卡片共有CCCC＝216种，由分类加法计数原理共有472种，故选C项．
3．(2012·辽宁)一排9个座位坐了3个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )
A．3×3! B．3×(3！)3
C．(3！)4 D．9!
答案 C
解析 完成这件事可以分为两步，第一步排列三个家庭的相对位置，有A种排法；第二步排列每个家庭的三个成员，共有AAA种排法，由乘法原理可得不同的坐法种数有AAAA，故选C项．
4．(2012·陕西)两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )
A．10种 B．15种
C．20种 D．30种
答案 C
解析 甲获胜有三种情况，第一种共打三局，甲全胜，此时，有一种情形；第二种共打四局，甲第四局获胜且前三局中只有两局获胜，此时，共有C＝3种情况；第三种共打五局，甲第五局获胜且前四局只有两局获胜，此时，共有C＝6种情况，所以甲赢共有10种情况，同理乙赢也有10种情形，故选C项．
5．(2012·大纲全国)6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )
A．240种 B．360种
C．480种 D．720种
答案 C
解析 由题意可采用分步乘法计数原理，甲的排法种数为A，剩余5人进行全排列：A，故总的情况有：A·A＝480种．故选C项．
6．(2011·大纲全国)4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有( )
A．12种 B．24种
C．30种 D．36种
答案 B
解析 先从4人中选2人选修甲课程，有C种方法，剩余2人再选修剩下的2门课程，有22种方法，则共有C×22＝24种方法．
7．(2012·安徽)(x2＋2)(－1)5的展开式的常数项是( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
答案 D
解析 (－1)5的通项为Tr＋1＝C()5－r(－1)r＝(－1)rC.要使(x2＋2)(－1)5的展开式为常数，须令10－2r＝2或0，此时r＝4或5.故(x2＋2)(－1)5的展开式的常数项是(－1)4×C＋2×(－1)5×C＝3.
8．(2012·湖北)设a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，则a＝( )
A．0 B．1
C．11 D．12
答案 D
解析 ∵52能被13整除，∴512 012可化为(52－1)2 012，其二项式系数为Tr＋1＝C522 012－r·(－1)r.故(52－1)2 012被13除余数为C·(－1)2 012＝1，则当a＝12时，512 012＋12被13整除．
9．(2012·重庆)(＋)8的展开式中常数项为( )
A. B.
C. D．105
答案 B
解析 二项式(＋)8的通项为Tr＋1＝C()8－r·(2)－r＝2－rCx，令8－2r＝0，得r＝4，所以二项展开式的常数项为T5＝2－4C＝，故选B项．
10．(2011·福建)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于( )
A．80 B．40
C．20 D．10
答案 B
解析 由二项式定理可知(1＋2x)5的展开式的第r＋1项为Tr＋1＝C15－r(2x)r＝C·2r·xr，令r＝2，得T3＝C·22·x2＝40x2.∴x2的系数等于40.
11．(2012·广东)(x2＋)6的展开式中x3的系数为________．(用数字作答)
答案 20
解析 Tr＋1＝C·(x2)6－r·()r＝C·x12－3r，∴要求展开式中x3的系数，即12－3r＝3，∴r＝3，即T4＝C·x3＝20x3.∴x3的系数为20.
12．(2012·大纲全国)若(x＋)n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为______．
答案 56
解析 ∵C＝C，∴n＝8.Tr＋1＝Cx8－r()r＝Cx8－2r.令8－2r＝－2，解得r＝5.∴的系数为C＝56.
