1．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 由题意可知，
n(B)＝C22＝12，n(AB)＝A＝6.
∴P(A|B)＝＝＝.
2．某种电子元件用满3 000小时不坏的概率为，用满8 000小时不坏的概率为.现有一只此种电子元件，已经用满3 000小时不坏，还能用满8 000小时的概率是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 记事件A：“用满3 000小时不坏”，P(A)＝；记事件B：“用满8 000小时不坏”，P(B)＝.因为B?A，所以P(AB)＝P(B)＝，P(B|A)＝＝＝＝＝.
3．有一匹叫Harry的马，参加了100场赛马比赛，赢了20场，输了80场．在这100场比赛中，有30场是下雨天，70场是晴天．在30场下雨天的比赛中，Harry赢了15场．如果明天下雨，Harry参加赛马的赢率是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 此为一个条件概率的问题，由于是在下雨天参加赛马，所以考查的应该是Harry在下雨天的比赛中的胜率，即P＝＝.
4．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 设事件A表示“抽到2张都是假钞”，
事件B为“2张中至少有一张假钞”，所以为P(A|B)．
而P(AB)＝，P(B)＝.
∴P(A|B)＝＝.
5．抛掷一枚骰子，观察出现的点数，若已知出现的点数不超过3，求出现的点数是奇数的概率？
解析 设事件A表示：“点数不超过3”，事件B表示：“点数为奇数”，∴P(A)＝＝，P(AB)＝＝.
∴P(B|A)＝＝.
6．现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．
解析 设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到舞蹈节目”为事件B，则“第1次和第2次都抽到舞蹈节目”为事件AB.
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2次的事件数为n(Ω)＝A＝30，
根据分步计数原理n(A)＝AA＝20，于是
P(A)＝＝＝.
(2)因为n(AB)＝A＝12，于是
P(AB)＝＝＝.
(3)方法一 由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为
P(B|A)＝＝＝.
方法二 因为n(AB)＝12，n(A)＝20，
所以P(B|A)＝＝＝.
课件32张PPT。第二章 随机变量及其分布课后巩固
1．设A与B是相互独立事件，则下列命题中正确的命题是( )
A．A与B是对立事件 B．A与B是互斥事件
C.与不相互独立 D．A与是相互独立事件
答案 D
2．已知P(B)>0，A1A2＝?，则下列成立的是( )
A．P(A1|B)>0
B．P(A1∪A2|B)＝P(A1|B)＋P(A2|B)
C．P(A1)≠0
D．P( )＝1
答案 B
解析 由A1A2＝?，可知A1与A2互斥．
3．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )
A．p1p2 B．p1(1－p2)＋p2(1－p1)
C．1－p1p2 D．1－(1－p1)(1－p2)
答案 B
4．在一个选拔项目中，每个选手都需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响．
(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；
(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率；
(3)该选手在考核过程中回答过的问题的个数记为X，求随机变量X的分布列．
解析 设事件Ai(i＝1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第i轮问题”，
由已知P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝，
(1)设事件B表示“该选手进入第三轮才被淘汰”，
则P(B)＝P(A1A2 )＝P(A1)P(A2)P(3)
＝××(1－)＝.
(2)设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，
则P(C)＝P(＋A1 ＋A1A2 )
＝P()＋P(A1 )＋P(A1A2 )
＝＋×＋××(1－)＝.
(3)X的可能取值为1,2,3,4.
P(X＝1)＝P()＝，
P(X＝2)＝P(A1 )＝×(1－)＝，
P(X＝3)＝P(A1A2)＝××(1－)＝，
P(X＝4)＝P(A1A2A3)＝××＝，
所以，X的分布列为
X
1
2
3
4
P
课件53张PPT。第二章 随机变量及其分布课后巩固
1．若ξ～B(10，)，则P(ξ≥2)＝( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 由ξ～B(10，)可知，P(ξ≥2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)＝1－C()10－C()10＝.
2．有5粒种子，每粒种子发芽的概率均为98%，在这5粒种子中恰有4粒发芽的概率是( )
A．0.984×0.02 B．0.98×0.24
C．C×0.984×0.02 D．C×0.98×0.024
答案 C
解析 由于5粒种子，其发芽是相互独立的，每粒种子相当于一次试验，共做了5次试验，故所求概率为P＝C(0.98)4×0.02.
3．将一枚硬币连掷5次，如果出现k次正面的概率等于出现k＋1次正面的概率，那么k的值等于( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 C
解析 事件A＝“正面向上”发生的次数ξ～B(5，)，由题设C()5＝C·()5，∴k＋k＋1＝5，∴k＝2.
4．某校组织一次冬令营活动，有8名同学参加，其中有5名男同学，3名女同学，为了活动的需要，要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中X名男同学．
(1)求X的分布列；
(2)求去执行任务的同学中有男有女的概率．
思路分析 由题目可知，总的选派人数为3人，但需分男同学与女同学，并且X需按男同学的多少进行计算，故本题为超几何分布．
解析 (1)X的可能取值为0,1,2,3，且X服从超几何分布，因此：P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P
(2)由上面的分布列，可知去执行任务的同学有男有女的概率为P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.
5．一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.
(1)设ξ为这名学生在途中遇到的红灯次数，求ξ的分布列；
(2)设η为这名学生在首次停车前经过的路口数，求η的分布列；
(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
思路分析 正确求得变量取各值的概率是解题的关键，找出(1)、(3)问中概率的区别与联系．
解析 (1)将遇到每个交通岗看做一次试验，遇到红灯的概率都是，且每次试验结果相互独立，故ξ～B(6，)．所以ξ的分布列为P(ξ＝k)＝C6·()k·()6－k(k＝0,1,2，…，6)．
(2)η＝k(k＝0,1,2，…，5)表示前k个路口没有遇上红灯，但在第k＋1个路口遇上红灯，其概率为P(η＝k)＝()k·，η＝6表示一路没有遇上红灯，故其概率为P(η＝6)＝()6.所以η的分布列为
η
0
1
2
3
4
5
6
P
·
·()2
·()3
·()4
·()5
()6
(3)所求概率即P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－()6＝.
课件50张PPT。第二章 随机变量及其分布课后巩固课时作业(十六)
1．下列选项正确的是( )
A．P(A|B)＝P(B|A) B．P(A∩B|A)＝P(B)
C.＝P(B|A) D．P(A|B)＝
答案 D
解析 正确理解好条件概率的公式P(A|B)＝＝是解决本题的关键．
2．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是( )
A. B.
C. D．1
答案 B
解析 因为第一名同学没有抽到中奖券已知，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率，显然是.
3．某地一农业科技实验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为( )
A．0.02 B．0.08
C．0.18 D．0.72
答案 D
解析 设“这粒水稻种子发芽”为事件A，“这粒水稻种子发芽又成长为幼苗(发芽，又成长为幼苗)”为事件AB，“这粒水稻种子能成长为幼苗”为事件B|A，由P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.9，由条件概率计算公式P(AB)＝P(B|A)P(A)＝0.9×0.8＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.
4．盒中装有6件产品，其中4件一等品，2件二等品，从中不放回地取产品，每次1件，取两次，已知第二次取得一等品，则第一次取得的是二等品的概率是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 令第二次取得一等品为事件A，第一次取得二等品为事件B，则P(AB)＝＝，P(A)＝＝.
所以P(B|A)＝＝×＝.
5．把一枚硬币任意抛掷两次，事件B为“第一次出现反面”，事件A为“第二次出现正面”，则P(A|B)为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 事件B包含的基本事件数有1×C＝2个，BA包含的基本事件数为1，由条件概率公式P(A|B)＝＝＝.
6．甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，则P(A|B)和P(B|A)分别等于( )
A.， B.，
C.， D.，
答案 C
解析 P(A|B)＝＝＝，
P(B|A)＝＝＝.
7．盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 A＝{第一次取得新球}，B＝{第二次取到新球}，则
n(A)＝CC，n(AB)＝CC.
∴P(B|A)＝＝＝.
8．在一个口袋里装有大小相同的红色小球3个，蓝色小球5个，从中任取1球观察颜色，不放回，再任取一球，则
(1)在第一次取到红球条件下，第二次取到红球的概率为________；
(2)在第一次取到蓝球的条件下，第二次取到红球的概率为________；
(3)在第一次取到蓝球的条件下，第二次取到蓝球的概率为________．
答案 (1) (2) (3)
9．6位同学参加百米短跑比赛，赛场共有6条跑道，已知甲同学排在第一跑道，则乙同学被排在第二跑道的概率是________．
答案
解析 甲排在第一跑道，其他同学共有A种排法，乙排在第二跑道共有A种排法，所以所求概率为＝.
10．一个袋中装有7个大小完全相同的球，其中4个白球，3个黄球，从中不放回地摸4次，一次摸一球，已知前两次摸得白球，则后两次也摸白球的概率为________．
答案
解析 P＝＝.
11．如下图所示的正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，则P(AB)＝________，P(A|B)＝________.
答案
解析 P(A)＝＝，P(B)＝，P(AB)＝，所以P(A|B)＝＝＝.
12．抛掷红、蓝两颗骰子，若已知蓝骰子的点数为3或6时，则两骰子点数之和大于8的概率为________．
答案
解析 令A＝“抛掷出的红、蓝两颗骰子中蓝骰子的点数为3或6”，B＝“两骰子点数之和大于8”，
则A＝{(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}．
AB＝{(3,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}．
∴P(B|A)＝＝＝.
13．一袋中共有10个大小相同的黑球和白球．若从袋中任意摸出2个球，至少有一白球的概率为，则白球的个数为________．现从中不放回地取球，每次1球，取两次，已知第2次取得白球，则第1次取得黑球的概率为________．
答案 5
14．某班级有学生40人，其中团员15人，全班分四个小组，第一小组10人，其中团员4人，如果要在班内任选一人当学生代表．
(1)求这个代表恰好在第一小组内的概率；
(2)现在要在班内任选一个团员代表，问这个代表恰好在第一小组内的概率是多少？
解析 设A＝{在班内任选一个学生，该学生属于第一小组}，B＝{在班内任选一个学生，该学生是团员}．
(1)由古典概率知P(A)＝＝.
(2)方法一：由古典概型知P(A|B)＝.
方法二：P(AB)＝，P(B)＝，
由条件概率的公式，得P(A|B)＝.
15．一个家庭中有两个小孩，求：
(1)两个小孩中有一个是女孩的概率；
(2)两个都是女孩的概率；
(3)已知其中一个是女孩，另一个也是女孩的概率．
思路分析 “有一个是女孩”记为事件A，“另一个是女孩”记为事件B，则其中一个是女孩，另一个也是女孩的概率就是在A发生的条件下，B发生的概率，利用条件概率解决．
解析 设“家庭中有一个是女孩”为事件A，“另一个也是女孩”为事件B，则“两个都是女孩”为事件AB，
家庭中有两个小孩的情况有：男、男；男、女；女、男；女、女；共4种情况，因此n(Ω)＝4；其中有一个是女孩的情况有3种，因此n(A)＝3；其中两个都是女孩的情况有1种，因此n(AB)＝1.
(1)由P(A)＝＝，可得两个小孩中有一个是女孩的概率为.
(2)由P(AB)＝＝，可得两个都是女孩的概率为.
(3)由条件概率公式，可得
P(B|A)＝＝＝或P(B|A)＝＝.
因此，在已知其中一个是女孩，另一个也是女孩的概率为.
?重点班选做题
16．如图，三行三列的方阵中有9个数aij(i＝1,2,3，j＝1,2,3)，从中任取三个数，已知取到a22的条件下，求至少有两个数位于同行或同列的概率．
解析 令事件A＝{任取的三个数中有a22}．
令事件B＝{三个数至少有两个数位于同行或同列}．则＝{三个数互不同行且互不同列}．
依题意可知n(A)＝C＝28，n(A)＝2，故P(|A)＝＝＝，所以P(B|A)＝1－P(|A)＝1－＝.即已知取到a22的条件下，至少有两个数位于同行或同列的概率为.
17．盒子里装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球，玻璃球中有2个是红球，4个是蓝球；木质球中有3个是红球，7个是蓝球．现从中任取一个(假设每个球被取到是等可能的)是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？
解析 设事件A：“任取一球，是玻璃球”；事件B：“任取一球，是蓝球”．由题中数据可列表如下：
红球
蓝球
小计
玻璃球
2
4
6
木质球
3
7
10
小计
5
11
16
由表知，P(B)＝，P(AB)＝，故所求事件的概率为P(A|B)＝＝＝.
1．从一副扑克的52张(去掉大、小王)随机平均分给赵、钱、孙、李四家，A＝{赵家得到6张梅花}，B＝{孙家得到3张梅花}．
(1)计算P(B|A)； (2)计算P(AB)．
解析 (1)四家各有13张牌，已知A发生后，A的13张牌已固定，余下的39张牌中恰有7张梅花，将这39张牌随机分给钱、孙、李三家，求孙家得到3张梅花的概率．
于是P(B|A)＝＝0.278.
(2)在52张牌中任选13张C种不同的等可能的结果．于是Ω中元素为C，A中元素数为CC，利用条件概率公式得到
P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×0.278≈0.012.
课时作业(十七)
1．已知事件A、B发生的概率都大于零，则( )
A．如果A、B是互斥事件，那么A与也是互斥事件
B．如果A、B不是相互独立事件，那么它们一定是互斥事件
C．如果A、B是相互独立事件，那么它们一定不是互斥事件
D．如果A＋B是必然事件，那么它们一定是对立事件
答案 C
解析 相互独立的两个事件彼此没有影响，可以同时发生，因而它们不可能为互斥事件．
2．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 设“甲射击一次中靶”为事件A，“乙射击一次中靶”为事件B，则P(A)＝＝，P(B)＝.
∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝.
3．种植两株不同的花卉，若它们的成活率分别为p和q，则恰有一株成活的概率为( )
A．p＋q－2pq B．p＋q－pq
C．p＋q D．pq
答案 A
4．甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是，，.现3人各投篮1次，则3人都没有投进的概率为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 记“甲投篮1次投进”为事件A1，“乙投篮1次投进”为事件A2，“丙投篮1次投进”为事件A3，“3人都没有投进”为事件A.
则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，
P(A)＝P(123)＝P(1)P(2)P(3)＝[1－P(A1)][1－P(A2)][1－P(A3)]＝(1－)(1－)(1－)＝，故3人都没有投进的概率为.
5．来成都旅游的外地游客中，若甲、乙、丙三人选择去武侯祠游览的概率均为，且他们的选择互不影响，则这三人中至多有两人选择去武侯祠游览的概率为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 事件A：“至多有两人选择去武侯祠游览”的对立事件为B：“三人均选择去武侯祠游览”，其概率为P(B)＝()3＝，∴P(A)＝1－P(B)＝1－＝.
6．在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为( )
A．0.12 B．0.88
C．0.28 D．0.42
答案 D
解析 P＝(1－0.3)(1－0.4)＝0.42.
7．三个人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译出的概率为( )
A. B.
C. D．不确定
答案 A
解析 P＝1－(1－)(1－)(1－)＝.
8．(2010·湖北)投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＋P(AB)
＝×＋×＋×＝，故选C.
9．一件产品要经过两道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率为b，则产品的正品率为________．
答案 (1－a)(1－b)
10．甲、乙两同学同时解一道数学题．设事件A：“甲同学做对”，事件B：“乙同学做对”，
(1)甲同学做错，乙同学做对，用事件A，B表示为________；
(2)甲、乙两同学同时做错，用事件A，B表示为________；
(3)甲、乙两同学中至少一人做对，用事件A，B表示为________；
(4)甲、乙两同学中至多一人做对，用事件A，B表示为________；
(5)甲、乙两同学中恰有一人做对，用事件A，B表示为________．
答案 (1)·B (2)· (3)A·＋·B＋A·B (4)·＋A·＋·B (5)A·＋·B
解析 由于事件A和事件B是相互独立的，故只须选择适合的形式表示相应事件便可．
11．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A、B相互独立时，P(A∪B)＝________，P(A|B)＝________.
答案 0.65 0.3
12．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为、、，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．
答案
解析 加工出来的零件的正品率为(1－)×(1－)×(1－)＝，所以次品率为1－＝.
13．已知A，B，C为三个独立事件，若事件A发生的概率是，事件B发生的概率是，事件C发生的概率是，求下列事件的概率：
(1)事件A、B、C只发生两个；
(2)事件A、B、C至多发生两个．
解析 (1)记“事件A，B，C只发生两个”为A1，则事件A1包括三种彼此互斥的情况，A·B·；A··C；·B·C，由互斥事件概率的加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所以概率为P(A1)＝P(A·B·)＋P(A··C)＋P(·B·C)＝＋＋＝，∴事件A，B，C只发生两个的概率为.
(2)记“事件A，B，C至多发生两个”为A2，则包括彼此互斥的三种情况：事件A，B，C一个也不发生，记为A3，事件A，B，C只发生一个，记为A4，事件A，B，C只发生两个，记为A5，故P(A2)＝P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝＋＋＝.
∴事件A、B、C至多发生两个的概率为.
14．某零件从毛坯到成品，一共要经过六道自动加工工序，如果各道工序出次品的概率分别为0.01、0.02、0.03、0.03、0.05、0.05，那么这种零件的次品率是多少？
解析 设“第i道工序出次品”为事件Ai，i＝1,2,3,4,5,6，它们相互独立，但不互斥，所以出现次品的概率为
P(A1＋A2＋A3＋A4＋A5＋A6)
＝1－P(1·2·3·4·5·6)
＝1－(1－0.01)·(1－0.02)·(1－0.03)2·(1－0.05)2＝0.176 1.
15．甲、乙2个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：
(1)2个人都译出密码的概率；
(2)2个人都译不出密码的概率；
(3)恰有1个人译出密码的概率；
(4)至多1个人译出密码的概率；
(5)至少1个人译出密码的概率．
解析 记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码”为事件B，A，B为相互独立事件，且
P(A)＝，P(B)＝.
(1)“2 个人都译出密码”的概率为：
P(A·B)＝P(A)×P(B)＝×＝.
(2)“2个人都译不出密码”的概率为：
P(·)＝P()×P()＝[1－P(A)]×[1－P(B)]＝(1－)(1－)＝.
(3)“恰有1个人译出密码”可以分为两类：甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为：
P(A·＋·B)＝P(A·)＋P(·B)
＝P(A)P()＋P()P(B)
＝(1－)＋(1－)×＝.
(4)“至多1个人译出密码”的对立事件为“有2个人译出密码”，所以至多1个人译出密码的概率为：
1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－×＝.
(5)“至少1个人译出密码”的对立事件为“2个都未译出密码”，所以至少有1个人译出密码的概率为：
1－P(·)＝1－P()P()＝1－×＝.
?重点班选做题
16.
荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一个荷叶)，而且顺时针方向跳的概率是逆时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A荷叶上，则跳三次之后停在A荷叶上的概率是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 按A→B→C→A的顺序的概率为××＝，按A→C→B→A的顺序的概率为××＝.
17．在一条马路上的A、B、C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆汽车在这条马路上行驶，那么在这三处都不停车的概率是________．
答案
1．事件A、B、C相互独立，若P(A·B)＝，P(·C)＝，P(A·B·)＝，则P(B)＝________，P(·B)＝________，P(B＋C)＝__________，P(B|C)＝________.
答案
解析 由A、B、C相互独立，则
P(A·B·)＝P(A·B)·P()＝.
∴P()＝，P(C)＝.
又P(·C)＝，∴P()＝，则P(B)＝.
又P(A·B)＝，∴P(A)＝.
∴P(B)＝P()·P(B)＝×＝，
P(B＋C)＝1－P( )＝1－P()·P()＝1－×＝，
P(B|C)＝P(B)＝.
2．有一个数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，2人试图独立地在半小时内解决它，则2人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．
答案
解析 甲、乙两人都未能解决为：
(1－)(1－)＝×＝，
问题得到解决就是至少有1人能解决问题．
∴P＝1－＝.
课时作业(十八)
1．独立重复试验应满足的条件：
①每次试验之间是相互独立的；
②每次试验只有发生与不发生两种结果之一；
③每次试验发生的机会是均等的；
④各次试验发生的事件是互斥的．
其中正确的是( )
A．①② B．②③
C．①②③ D．①②④
答案 C
2．已知随机变量ξ～B(6，)，则P(ξ≥2)＝( )
A. B.
C. D.
答案 C
3．袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 每种颜色的球被抽取的概率为，从而抽取三次，球的颜色全相同的概率为C()3＝3×＝.
4．某一试验中事件A发生的概率为p，则在n次试验中，发生k次的概率为( )
A．1－pk B．(1－p)k·pn－k
C．(1－p)k D．C(1－p)k·pn－k
答案 D
5．若X～B(5,0.1)，则P(X≤2)等于( )
A．0.665 B．0.008 56
C．0.918 54 D．0.991 44
答案 D
6．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是( )
A．()5 B．C()5
C．C()3 D．CC()5
答案 B
解析 由题意可知质点P在5次运动中向右移动2次，向上移动3次，且每次移动是相互独立的，即向右移动的次数ξ～B(5，)，∴P(ξ＝2)＝C()2()3.
7．某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)的值为( )
A．C()2× B．C()2×
C．()2× D．()2×
答案 C
解析 当ξ＝3表示前2次测出的都是次品，第3次为正品，则P(ξ＝3)＝()2×.
8．某种植物的种子发芽率是0.7,4颗种子中恰有3颗发芽的概率是________．
答案 0.411 6
解析 C×0.73×(1－0.7)＝4×0.73×0.3＝1.2×0.73＝0.411 6.
9．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答)．
答案 0.947 7
解析 至少3人被治愈的概率为C(0.9)3·0.1＋(0.9)4＝0.947 7.
10．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(ξ＝4)＝________.
答案
解析 任何一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故ξ～B(5，)，
即有P(ξ＝k)＝C()k×()5－k，k＝0,1,2,3,4,5.
∴P(ξ＝4)＝C()4×()1＝.
11．某单位6个员工借助互联网开展工作，每天每个员工上网的概率是0.5(相互独立)，则一天内至少3人同时上网的概率为________．
答案
解析 记Ar(r＝0,1,2，…，6)为“r个人同时上网”这个事件，则其概率为P(Ar)＝C0.5r(1－0.5)6－r＝C0.56＝C，
“一天内至少有3人同时上网”即为事件A3∪A4∪A5∪A6，因为A3，A4，A5，A6为彼此互斥事件，所以可应用概率加法公式，得“一天内至少有3人同时上网”的概率为
P＝P(A3∪A4∪A5∪A6)＝P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＋P(A6)＝(C＋C＋C＋C)＝×(20＋15＋6＋1)＝.
12．2013年初，一考生参加北京大学的自主招生考试，需进行书面测试，测试题中有4道题，每一道题能否正确做出是相互独立的，并且每一道题被考生正确做出的概率都是.
(1)求该考生首次做错一道题时，已正确做出了两道题的概率；
(2)若该考生至少做出3道题，才能通过书面测试这一关，求这名考生通过书面测试的概率．
解析 (1)记“该考生正确做出第i道题”为事件Ai(i＝1,2,3,4)，则P(Ai)＝，由于每一道题能否被正确做出是相互独立的，所以这名考生首次做错一道题时，已正确做出两道题的概率为
P(A1A2)＝P(A1)·P(A2)·P()＝××＝.
(2)记“这名考生通过书面测试”为事件B，则这名考生至少正确做出3道题，即正确做出3道或4道题，故
P(B)＝C×()3×＋C×()4＝.
13．9粒种子分种在3个坑中，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5.若一个坑内至少有1粒子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种的费用，写出ξ的分布列．
解析 补种费用ξ的分布列为
ξ
0
10
20
30
P
0.670
0.287
0.041
0.002
点评 每个坑内3粒种子都不发芽的概率为(1－0.5)3＝，所以每个坑不需要补种的概率为p＝1－＝.利用3次独立重复试验的公式求解即可．
?重点班选做题
14．一批玉米种子，其发芽率是0.8.问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%？(lg2＝0.301 0)
解析 记事件A＝“种一粒种子，发芽”，
则P(A)＝0.8，P()＝1－0.8＝0.2.
设每穴至少种n粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%.
因为每穴种n粒相当于n次独立重复试验，记事件B＝“每穴至少有一粒发芽”，则P()＝C·0.80·0.2n＝0.2n.
所以P(B)＝1－P()＝1－0.2n.
由题意有1－0.2n>98%，所以0.2n<0.02，两边取对数得nlg0.2
所以n>≈2.43，且n∈N，所以n≥3.
故每穴至少种3粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%.
15．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．
(1)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
(2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种概率；
(3)用ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列．
解析 记A表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，B表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，C表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，D表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种．
(1)C＝A·＋·B.
P(C)＝P(A·＋·B)＝P(A·)＋P(·B)＝P(A)·P()＋P()·P(B)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.
(2)＝·，
P()＝P(·)＝P()·P()＝0.5×0.4＝0.2，
P(D)＝1－P()＝0.8.
(3)ξ～B(3,0.8)，故ξ的分布列为
P(ξ＝0)＝0.23＝0.008，
P(ξ＝1)＝C×0.8×0.22＝0.096，
P(ξ＝2)＝C×0.82×0.2＝0.384，
P(ξ＝3)＝0.83＝0.512.
ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
0.008
0.096
0.384
0.512
1．一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为p1和p2.则( )
A．p1＝p2 B．p1C．p1>p2 D．以上三种情况都有可能
答案 B
解析 ∵p1＝1－()10，p2＝1－()5＝1－()5，
∴p12．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{an}：an＝如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7＝3的概率为( )
A．C×()2×()5 B．C×()2×()5
C．C×()2×()5 D．C×()2×()5
答案 C
3．某厂大量生产某种小零件，经抽样检验知道其次品率是1%，现把这种零件每6件装成一盒，那么每盒中恰好含一件次品的概率是( )
A．()6 B．0.01
C.(1－)5 D．C()2(1－)4
答案 C
4．在4次独立重复试验中，事件A出现的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A在1次试验中出现的概率为( )
A. B.
C. D．都不对
答案 A
5．抛掷三个骰子，当至少有一个5点或一个6点出现时，就说这次试验成功，则在54次试验中成功次数X～( )
A．B(54，) B．B(52，)
C．B(54，) D．B(54，)
答案 C
6．已知随机变量ξ服从二项分布ξ～B(6，)，则P(ξ＝2)＝( )
A. B.
C. D.
答案 D
7．有n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p(0A．(1－p)n B．1－pn
C．pn D．1－(1－p)n
答案 D
8．一个学生通过某种英语听力测试的概率是，他连续测试n次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n的最小值为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
答案 B
9．假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可以成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可以成功飞行，要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则p的取值范围是( )
A．(，1) B．(，1)
C．(0，) D．(0，)
答案 B
10．某处有水龙头5个，调查表明每个水龙头被打开的可能性是，随机变量X表示同时被打开的水龙头的个数，则P(X＝3)＝________.
答案
11．一个袋中有5个白球，3个红球，现从袋中每次取出1个球，取出后记下球的颜色然后放回，直到红球出现10次时停止，停止时取球的次数ξ是一个随机变量，则P(ξ＝12)＝________.(写出表达式不必算出最后结果)
答案 C()9()2·
12．某篮球运动员在三分线投球的命中率是，他投球10次，恰好投进了3球的概率为________．(用数字作答)
答案
13．某射手射击1次，击中目标的概率为0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第三次击中目标的概率为0.9；②他恰好击中目标3次的概率为0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率为1－0.14.
其中正确结论的序号为________．(写出所有正确结论的序号)
答案 ①③
14．A，B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片，若某人已赢得所有卡片，则游戏终止．求掷硬币的次数不大于7次时游戏终止的概率．
解析 P＝()5×2＋2×C()5()2
＝＋2×5×()7＝.
