【高考调研】2015高中数学（人教A版）选修2-3：第二章　随机变量及其分布 单元测试题

第二章　综合测试题
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)
1．已知随机变量ξ的概率分布列如下：
ξ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P









m
则P(ξ＝10)等于(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
答案　C
解析　P(ξ＝10)＝1－P(ξ＝1)－P(ξ＝2)－P(ξ＝3)－…－P(ξ＝9)＝1－－－…－＝.
2．某产品40件，其中有次品数3件，现从中任取2件，则其中至少有一件次品的概率是(　　)
A．0.146 2 B．0.153 8
C．0.996 2 D．0.853 8
答案　A
解析　所求的概率为1－＝1－＝0.146 2.
3．已知离散型随机变量ξ的概率分布如下：
ξ
1
3
5
P
0.5
m
0.2
则其数学期望E(ξ)等于(　　)
A．1 B．0.6
C．2＋3m D．2.4
答案　D
解析　∵0.5＋m＋0.2＝1，∴m＝0.3.
∴E(ξ)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4.
4．已知随机变量X服从二项分布X～B(6，)，则P(X＝2)等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　P(X＝2)＝C·()4·()2＝.
5．投掷3枚硬币，至少有一枚出现正面的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　P(至少有一枚正面)＝1－P(三枚均为反面)＝1－()3＝.
6．在比赛中，如果运动员A胜运动员B的概率是，那么在五次比赛中运动员A恰有三次获胜的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　所求概率为C()3×(1－)2＝.
7．如果随机变量ξ表示抛掷一个各面分别有1,2,3,4,5,6的均匀的正方体向上面的数字，那么随机变量ξ的均值为(　　)
A．2.5 B．3
C．3.5 D．4
答案　C
解析　P(ξ＝k)＝(k＝1,2,3，…，6)，
∴E(ξ)＝1×＋2×＋…＋6×＝(1＋2＋…＋6)
＝×[]＝3.5.
8.
某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从口3出来，那么你取胜的概率为(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D．以上都不对
答案　A
解析　由于珠子在每个叉口处有“向左”和“向右”两种走法，因而基本事件个数为25.而从出口出来的每条线路中有2个“向右”和3个“向左”，即共C条路线，故所求的概率为＝.
9．已知离散型随机变量ξ的分布列为
ξ
10
20
30
P
0.6
a
－
则D(3ξ－3)等于(　　)
A．42 B．135
C．402 D．405
答案　D
10．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，P(ξ>1)＝p，则P(－1<ξ<0)等于(　　)
A.p B．1－p
C．1－2p D.－p
答案　D
解析　由于随机变量服从正态分布N(0,1)，由标准正态分布图像可得P(－1<ξ<1)＝1－2P(ξ>1)＝1－2p.
故P(－1<ξ<0)＝P(－1<ξ<1)＝－p.
11．一个电路如图所示，A、B、C、D、E、F为6个开关，其闭合的概率为，且是相互独立的，则灯亮的概率是(　　)
A.　　 B.
C.　　 D.
答案　B
解析　设A与B中至少有一个不闭合的事件为T，E与F至少有一个不闭合的事件为R，则P(T)＝P(R)＝1－×＝，所以灯亮的概率为P＝1－P(T)·P(R)·P()·P()＝.
12．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是(　　)
A.A1 B．A2
C．A3 D．A4
答案　C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．设随机变量ξ只能取5,6,7，…，14这10个值，且取每一个值的概率均相等，则P(ξ≥10)＝______；P(6<ξ≤14)＝________.
答案　，
解析　由题意P(ξ＝k)＝(k＝5,6，…，14)，
P(ξ≥10)＝4×＝.P(6<ξ≤14)＝8×＝.
14．甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为________．
答案　0.8
解析　P(敌机被击中)＝1－P(甲未击中敌机)P(乙未击中敌机)＝1－(1－0.6)(1－0.5)＝1－0.2＝0.8.
15．如果随机变量ξ服从N(μ，σ)，且E(ξ)＝3，D(ξ)＝1，那么μ＝________，σ＝________.
答案　3,1
解析　∵ξ～N(μ，σ)，∴E(ξ)＝μ＝3，D(ξ)＝σ2＝1，∴σ＝1.
16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．
答案　0.128
解析　此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，说明此选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题答对答错都可以．因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为1×0.2×0.82＝0.128.
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)一个口袋中有5个同样大小的球，编号为3,4,5,6,7，从中同时取出3个小球，以ξ表示取出的球的最小号码，求ξ的分布列．
解析　ξ的取值分别为3,4,5，
P(ξ＝5)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，
所以ξ的分布列为
ξ
3
4
5
P



18.(12分)某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加某省举办的“我看中国改革开放三十年”演讲比赛活动．
(1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列；
(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；
(3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B)和P(B|A)．
解析　(1)ξ的所有可能取值为0,1,2，依题意得P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P



(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C，
则P(C)＝＝＝.
∴所求概率为P()＝1－P(C)＝1－＝.
(3)P(B)＝＝＝；P(B|A)＝＝＝.
19．(12分)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为.
(1)记甲击中目标的次数为X，求X的概率分布列及数学期望E(X)；
(2)求乙至多击中目标2次的概率；
(3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．
解析　(1)X的概率分布列为
X
0
1
2
3
P




E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.5或
E(X)＝3×＝1.5.
(2)乙至多击中目标2次的概率为1－C()3＝.
(3)设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B1，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件B2，则A＝B1＋B2，B1、B2为互斥事件，
P(A)＝P(B1)＋P(B2)＝×＋×＝.
20．(12分)老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，某同学只能背诵其中的6篇，试求：
(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；
(2)他能及格的概率．
解析　(1)设抽到他能背诵的课文的数量为X，则X为离散型随机变量，且X服从超几何分布，它的可能取值为0,1,2,3，
当X＝0时，P(X＝0)＝＝，
当X＝1时，P(X＝1)＝＝，
当X＝2时，P(X＝2)＝＝，
当X＝3时，P(X＝3)＝＝，
则可得X的分布列为
X
0
1
2
3
P




(2)他能及格的概率为
P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.
21．(12分)甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员射击的环数X稳定在7,8,9,10环．他们的这次成绩画成频率分布直方图如下图所示：
(1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P(X乙＝8)，并求甲、乙同时击中9环以上(包括9环)的概率；
(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高．
解析　(1)由图可知：
P(X乙＝7)＝0.2，P(X乙＝9)＝0.2，
P(X乙＝10)＝0.35.
所以P(X乙＝8)＝1－0.2－0.2－0.35＝0.25.
同理P(X甲＝7)＝0.2，P(X甲＝8)＝0.15，
P(X甲＝9)＝0.3.
所以P(X甲＝10)＝1－0.2－0.15－0.3＝0.35.
因为P(X甲≥9)＝0.3＋0.35＝0.65，
P(X乙≥9)＝0.2＋0.35＝0.55.
所以甲、乙同时击中9环以上(包含9环)的概率为
P＝P(X甲≥9)·P(X乙≥9)＝0.65×0.55＝0.357 5.
(2)因为E(X甲)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝8.8，
E(X乙)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7，
E(X甲)>E(X乙)，所以估计甲的水平更高．
22．(2012·陕西)某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：
办理业务所需的时间(分)
1
2
3
4
5
频率
0.1
0.4
0.3
0.1
0.1
从第一个顾客开始办理业务时计时．
(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；
(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．
解析　设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：
Y
1
2
3
4
5
P
0.1
0.4
0.3
0.1
0.1
(1)A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．
所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.
(2)方法一　X所有可能的取值为0,1,2.
X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，
所以P(X＝0)＝P(Y>2)＝0.5；
X＝1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y>1)＋P(Y＝2)＝0.1×0.9＋0.4＝0.49；
X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，
所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01.
所以X的分布列为：
X
0
1
2
P
0.5
0.49
0.01
E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.
方法二　X的所有可能取值为0,1,2.
X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y>2)＝0.5；
X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01；
P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝0.49.
所以X的分布列为：
X
0
1
2
P
0.5
0.49
0.01
E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.