【高考调研】2015高中数学（人教A版）选修2-3：模块综合测试题

模块综合测试题
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)
1．某校教学大楼共有5层，每层均有2个楼梯，则由一楼至五楼的不同走法共有(　　)
A．24种　　　　　　　　　 B．52种
C．10种 D．7种
答案　A
解析　因为每层均有2个楼梯，所以每层有两种不同的走法，由分步计数原理可知：从一楼至五楼共有24种不同走法．
2．从3名男生和3名女生中，选出3名分别担任语文、数学、英语的课代表，要求至少有1名女生，则选派方案共有(　　)
A．19种 B．54种
C．114种 D．120种
答案　C
解析　A－A＝120－6＝114.
3．若(3－)n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为(　　)
A．－540 B．－162
C．162 D．5 670
答案　D
解析　由题意，不妨令x＝1，则(3－1)n＝64，解得n＝8.
展开式中第r＋1项为Tr＋1＝C·(3)8－r·(－)r＝(－1)r·C·38－r·x4－r，当r＝4时，T5＝(－1)4·C·34＝5 670.
4．已知随机变量ξ只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的范围为(　　)
A．[0，] B．[－，]
C．[－3,3] D．[0,1]
答案　B
解析　不妨设x1，x2，x3发生的概率分别为a，a＋d，a＋2d，则a＋(a＋d)＋(a＋2d)＝1.
可得a＋d＝，即d＝－a.
∵a∈[0,1]，∴－a∈[－，]．
∴－≤d≤.①
又∵∴
∴d≥－.②
由①②可得：－≤d≤.
5．已知随机变量ξ的分布列为ξ＝－1,0,1，对应P＝，，，且设η＝2ξ＋1，则η的期望为(　　)
A．－ B.
C. D．1
答案　B
解析　E(ξ)＝－1×＋0×＋1×＝－，∴E(η)＝E(2ξ＋1)＝2E(ξ)＋1＝－×2＋1＝.
6．(2010·陕西)(x＋)5(x∈R)展开式中x3的系数为10，则实数a等于(　　)
A．－1 B.
C．1 D．2
答案　D
解析　展开式中第r＋1项为Tr＋1＝C·x5－r·()r＝ar·C·x5－2r，当5－2r＝3时，r＝1，所以x3的系数为aC＝10，解得a＝2.
7．某校1 000名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，其密度函数曲线如图所示，则成绩X位于区间(52,68]的人数大约是(　　)
A．997 B．954
C．682 D．341
答案　C
解析　由题图知X～N(μ，σ2)，其中μ＝60，σ＝8，
∴P(μ－σ∴人数为0.682 6×1 000≈682.
8．某商场开展促销抽奖活动，摇奖摇出的一组中奖号码是8,2,5,3,7,1，参加抽奖的每位顾客从0,1,2，…，9这10个号码中任意抽出6个组成一组，如果顾客抽出6个号码中至少有5个与中奖号码相同(不计顺序)就可以得奖，那么得奖的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　设A表示“至少有5个与摇出的号码相同”，A1表示“恰有5个与摇出的号码相同”，A2表示“恰有6个与摇出的号码相同”，得A＝A1＋A2，且A1，A2互斥，P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.
9．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f(x)＝·e－(x∈R)，则下列命题中不正确的是(　　)
A．该市这次考试的数学平均成绩为80分
B．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
C．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
D．该市这次考试的数学成绩标准差为10
答案　C
解析　由题意可得：μ＝80，σ＝10，因此数学平均值μ＝80，分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，且标准差为10.
10．(2011·山东烟台一模、江西吉安质检)下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据：
x
3
4
5
6
y
2.5
t
4
4.5
根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x＋0.35，那么表中t的值为(　　)
A．3 B．3.15
C．3.5 D．4.5
答案　A
11．考查正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　
如图，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，共有C·C＝15×15＝225种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有AC∥DB，AD∥CB，AE∥BF，AF∥BE，CE∥FD，CF∥ED共12对，所以所求概率为p＝＝，选D.
12．考查黄烟经过培养液处理是否跟发生青花病有关系，调查了457株黄烟，得到下表中数据：
培养液处理
未处理
合计
青花病
25
210
235
无青花病
80
142
222
合计
105
352
457
根据表中数据K2＝(　　)
A．40.682 B．31.64
C．45.331 D．41.61
答案　D
解析　代入K2公式得：K2＝41.61.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．小明和小勇在五种课外读物中各自选购两种，则他们两人所选购的课外读物中至少有一种不相同的选法种数为________．
答案　90
解析　小明和小勇都有C种选购方法，根据乘法原理，选购方法总数是CC＝100种．选购的两本读物都相同的方法数是C＝10种．故所求的选法种数为100－10＝90.
14．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为________．
答案　0.4
解析　由表格可知：x＋0.1＋0.3＋y＝1,7x＋8×0.1＋9×0.3＋10×y＝8.9，联合解得y＝0.4.
15．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：
①他第3次击中目标的概率是0.9；
②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；
③他至少击中目标1次的概率是1－0.14.
其中正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)．
答案　①③
解析　①因为各次射击是否击中目标相互之间没有影响，所以第3次击中目标的概率是0.9，正确；
②恰好击中目标3次的概率应为C×0.93×0.1；
③4次射击都未击中的概率为0.14；
所以至少击中目标1次的概率为1－0.14.
16．(2013·福安)某厂生产的零件尺寸服从正态分布N(25，0.032)，为使该厂生产的产品有95%以上的合格率，则该厂生产的零件尺寸允许值范围为________．
答案　(24.94,25.06)
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n(m，n∈N*)展开式中x的系数为19，求f(x)的展开式中x2的系数的最小值．
解析　f(x)＝1＋Cx＋Cx2＋…＋Cxm＋1＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn，
由题意知m＋n＝19，m，n∈N*，
∴x2项的系数为
C＋C＝＋＝(m－)2＋.
∵m，n∈N*，∴根据二次函数的知识知，
当m＝9或10时，上式有最小值，
也就是当m＝9，n＝10或m＝10，n＝9时，x2项的系数取得最小值，最小值为81.
18．(12分)五位师傅和五名徒弟站一排，
(1)五名徒弟必须排在一起共有多少种排法？
(2)五名徒弟不能相邻共有多少种排法？
(3)师傅和徒弟相间共有多少种排法？
解析　(1)先将五名徒弟看作一人与五位师傅排列有A种排法，五名徒弟再内部全排列有A种，据乘法原理共有AA＝86 400种排法．
(2)先将五位师傅全排列有A种排法，再将五名徒弟排在五位师傅产生的六个空位上有A种排法，据乘法原则，共计AA＝86 400种排法．
(3)先将五位师傅排列有A种排法，再将五名徒弟排在五位师傅产生的六个空位中前五位或后五位上有2A种排法，据乘法原理共有2AA＝28 800种排法．
19．(12分)某工厂在试验阶段大量生产一种零件．这种零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若A项技术指标达标的概率为，有且仅有一项技术指标达标的概率为.按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．
(1)求一个零件经过检测为合格品的概率；
(2)任意依次抽出5个零件进行检测，求其中至多3个零件是合格品的概率；
(3)任意依次抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，求E(ξ)与D(ξ)．
解析　(1)设A、B两项技术指标达标的概率分别为P1、P2.
由题意得：
解得P2＝.
∴一个零件经过检测为合格品的概率P＝P1P2＝×＝.
(2)任意抽出5个零件进行检查，其中至多3个零件是合格品的概率为
1－C()5－C()5＝.
(3)依题意知ξ～B(4，)，E(ξ)＝4×＝2，D(ξ)＝4××＝1.
20．(12分)某市去年高考考生成绩服从正态分布N(500,502)，现有25 000名考生，试确定考生成绩在550～600分的人数．
解析　∵考生成绩X～N(500,502)，
∴μ＝500，σ＝50.
∴P＝(550故考生成绩在550～600分的人数约为25 000×0.135 9＝3 397人．
21．(12分)某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
(1)求出散点图；
(2)求回归直线方程；
(3)试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大？
(参考数据：＝5，＝50，＝145，＝13 500，iyi＝1 380)
解析　(1)根据表中所列数据可得散点图如下图：
(2)由题目所提供数据可得：＝5，＝50，＝145，
＝13 500，iyi＝1 380.
于是可得b＝＝＝6.5，
a＝－b ＝50－6.5×5＝17.5.
因此，所求回归直线方程是＝6.5x＋17.5.
(3)据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10百万元时．
＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)，
即这种产品的销售收入大约为82.5百万元．
22．(12分)在一次物理与化学两门功课的联考中，备有6道物理题，4道化学题，共10道题可供选择．要求学生从中任意选取5道作答，答对4道或5道即为良好成绩．设随机变量ξ为所选5道题中化学题的题数．
(1)求ξ的分布列及数学期望与方差；
(2)若学生甲随机选定了5道题，且答对任意一道题的概率均为0.6，求甲没有取得良好成绩的概率．(精确到小数点后两位)
解析　(1)依题意，得ξ＝0,1,2,3,4，
则P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝.
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2.
∴D(ξ)＝(0－2)2×＋(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＋(4－2)2×＝＋＋＋＝.
(2)“甲没有取得良好成绩”的对立事件是“甲取得良好成绩”，即甲答对4道或5道．甲答对4道题的概率为
P1＝C×0.64×(1－0.6)＝0.259 20；
甲答对5道题的概率为
P2＝C×0.65×(1－0.6)0＝0.077 76，
故甲没有取得良好成绩的概率是
P＝1－(P1＋P2)＝1－(0.259 20＋0.077 76)≈0.66.