等腰三角形
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文档简介
教学设计
等腰三角形（1）
一、教学内容分析
“等腰三角形”是华东师大版七年级下册第10章第3节内容，等腰三角形是常见的、特殊的三角形，小学已有初步的认识，现阶段借助轴对称的知识，进行合情推理，准确感知等腰三角形是轴对称图形，掌握等腰三角形两底角相等，以及 “三线合一”的性质。这些性质在以后学习研究四边形及圆等几何图形中线段和角的关系上，为推证两条线段相等、角相等、两条直线互相垂直的提供了方法和途径。同时本节课所倡导的直观感知、操作确认，合情推理这种探究性学习活动，为今后的学习探索奠定了基础，也为学生主动学习和合作交流提供了机会。
教学重点：等腰三角形“等边对等角”、“三线合一”特征的探索过程。
教学难点：等腰三角形“三线合一”特征的探索过程。
(由本节课在教材中的地位和作用，结合初一学生对事物认知偏重形象，在空间与图形方面探索、分析水平所限）
二、教学目标：
（1）知识与技能：
①使学生掌握等腰三角形的有关概念、特征。
②运用等腰三角形的特征进行计算与说理。
③进一步培养学生的合情推理与演绎推理的能力。
（2）过程与方法：
经历观察、实验、推理、归纳等活动，探索等腰三角形的特征。
（3）情感、态度与价值观:
通过观察、实验等活动，探索数学知识，获得问题解决，增强学生在学习中获取数学知识的能力，培养学生的合作、探索意识和学习兴趣。
三、学情分析与教法
针对初一学生的偏重形象思维的特点，对事物具有一定的归纳、概括能力，有一定的思辨能力，但尚未经过严密的逻辑思维训练，同时认知水平所限，分析问题不全面、归纳不完整，运用数学语言说理表达尚在起步阶段；还有学生之间存在着思维水平和学习能力的差异。
基于以上认识和新课程倡导的理念，体现学生是学习的主体。教学中采取问题引路，引导学生动手操作，认真观察，在自主探索与合作交流中形成认知。同时教学中一方面通过对文字结论的数学表达和例题引路，加强学生对几何语言的掌握和数学演绎推理能力的培养；另一方面，通过对等腰三角形的特征内涵和外延的分析，使学生准确把握，同时培养学生的数学思维。
四、教学策略
本着“以学生发展为本”的教育理念，同时也为了使学生都能积极地参与到课堂教学中，发挥学生的主观能动性，本节课主要采用了动手操作、自主探究、合作交流的教学方法，按照“实践——认识——实践”的认知规律设计，以增加学生参与教学过程的机会和体验获取知识过程的时间，从而有效地调动了学生学习数学的积极性。具体如下：
序号 教师 学生
1 创设情境、揭示课题 产生兴趣，欲探新知
2 师生互动，合作探究 观察分析、得出结论
3 揭示定理内涵 加深认识理解
4 应用定理，解决问题 巩固应用，形成技能
5 变式训练 提升思维
6 归纳小结 整体把握
7 布置作业 巩固提高
五、教学流程
（一）创设情境、揭示课题
1、多媒体展示有等腰三角形形状的图片。
（设计意图：目的是使学生从这些图片中回顾感知等腰三角形的特点。调动学生参与意识。）
2、从现实生活中举出含有等腰三角形形状的事物。
3、让学生在半透明的纸上画等腰三角形，并标上字母。
4、对照图形学习等腰三角形的有关概念。（强调等腰三角形边和角与一般三角形的不同）
问题1：等腰三角形除了具备一般三角形的性质和两腰相等外，还有其它特殊的性质吗？引出本节课研究的内容——等腰三角形的性质。
（二）师生互动，合作探究
问题2：前面我们刚学过轴对称的知识，那么等腰三角形是否轴对称性呢？
（部分学生可能有一定的感知，但没有切身的体验。让学生将已画出等腰三角形剪下，动手操作。老师也进行演示。为探索其它性质指明方向，这样也符合学生认识事物先感性后理性的特点。）
教师巡回指导，将两腰AB、AC重叠在一起把纸片对折。
得出：（1）等腰三角形是轴对称图形。
问题3：等腰三角形还有其它的特殊性质吗？
有前面的铺垫，学生会联系轴对称的知识进行分析，展开合情推理，形成一些不完整的感知，这里需引导再次审视轴对称对折后重合的特点，在合作交流中丰富认知。
得出：（2）等腰三角形的两个底角相等。（简写成：等边对等角）
数学语言表达：在△ABC中，∵AB=AC ∴∠B=∠C
探究 “三线合一”的性质问题是本节难点，部分学生能有所感知，但表述不清，在此让学生等腰三角形中将折痕画出，记为AD。学生自主探究，合作交流，老师记下学生发现的结论并用多媒体展示重合中关注的重点。
①BD=CD 即AD为底边上的中线
② ∠ADB=∠ADC=90° 即 AD为底边上的高线
③∠BAD=∠CAD 即AD为角平分线
得出：（3）等腰三角形的顶角平分线，底边上的高和中线互相重合，简称“三线合一”。再用几何画板演示。
（三）揭示定理内涵
问题4：等腰三角形的底角平分线、腰上的高、腰上的中线是否互相重合？
让学生动手画图进行观察，教师再用几何画板演示。这里对等腰三角形换个角度画出，克服学生思维定势。
问题5：一般三角形是否存在角平分线、高、中线互相重合的性质？
教师用几何画板演示。
（意图：强调等腰三角形中“三线合一”成立的条件，使学生正确掌握。）
老师充分利用几何画板的度量功能，展示三角形形状与三线位置关系的变化情况，加深印象。
（四）应用定理，解决问题
例1 已知:ΔABC中,AB=AC,∠B=80°. 求∠C和 ∠A的度数。
(设计意图：此题主要是加深学生对性质1的理解,以及通过教师详细的板书进行必要的解题示范，让学生了解解题的过程，增强分析解决问题的能力和熟练数学说理的表达。)
变式练习：1.那么改为∠A =80°，又怎样呢？
2.如果改为“有一个角等于80°”，应该怎么解答呢？
（设计变式练习，培养学生发散思维和分类讨论的数学思想，呼应等腰三角形边、角方面的特殊性。）
例2如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，∠B=30。求∠１和∠ADC的度数
(设计意图：运用等腰三角形“三线合一”的性质及有关结论解题。通过例题的引导，让学生逐步学会分析问题，尤其是运用数学语言进行表述。不断提高学生解决问题的能力，培养学生对数学推理的兴趣和信心，使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。）
（五）变式练习
1、填空：
（1）如果等腰三角形的一个底角为50°，那么其余两个角为________。
（2）如果等腰三角形的顶角为80°，那么它的一个底角为_______。
（3）如果等腰三角形的一个内角为50°则另外两个内角为_______。
2、下面说理是否正确？
如图，在△ABC中，∵ AC＝BC，
∴ ∠ADC＝∠BEC
（设计意图）：使学生明确“等边对等角”的使用范围，在同一个三角形中适用．
3、如图，1）在△ABC中，AB=AC，
如果AD⊥BC，那么∠BAD=_______，BD=_______。
如果∠BAD=∠CAD，那么AD⊥_____，BD=________。
如果BD=CD，那么∠BAD=_______，AD⊥_______。
2）在△ABC中，如果________，AD⊥BC，那么________，BD=CD。
(设计意图：巩固等腰三角形所具备的“三线合一”的性质，同时引导学生学习使用较规范的数学语言进行表述，理解推理的基本要求，推理必须有依据，过程的表述必须条理清楚，使他们在以后的严格证明中，清晰而有条理地表达自己的观点并理解他人的思想。)
（六）归纳小结
本节课学习哪些知识，有什么收获？（先由学生归纳，互相补充，教师根据情况再进行小结。）
（设计意图：让学生谈收获，反映的不仅有知识与技能的达成情况，还有过程的体验、方法的获得以及数学思想方法和情感价值观的形成情况。促进学生自主评价，获得成功体验，激发学生学习兴趣和信心。）
（七）布置作业
1、教科书第99页，习题10.3，1、2、3、4
（作业选自书中习题，第1题考查等腰三角形的边的分类思想及三边关系；第2题考查等腰三角形两底角相等及三角形的内角和；第3题同样是考查从边的角度判定等腰三角形及等腰三角形两底角相等的特征；第4题难度稍大，考查运用等腰三角形的特征及三角形中角的关系，进行计算说理。通过练习，内化知识，提高学生分析问题、数学说理表达的能力。）
2、阅读：“三线合一”在实践中的应用
建筑工人在盖房子时，要看房梁是否水平，可以用一块等腰三角形木块放在梁上，从顶点系一重物，如果系的绳子正好经过三角板底边的中点，那么房梁就是水平的。你知道为什么吗？
（通过链接生活，激发学生学习数学的兴趣，同时符合课标所倡导理念，内容素材的选取，贴近生活，学习有用的数学，学习有价值的数学。）
（七）板书设计
等腰三角形的性质
等腰三角形的定义
相关概念 ：………… 练习题： 1. …………
等腰三角形的性质： 2. …………等边对等角 3. …………
三线合一: ………… 例题部分
1、……………
2、……………
3、……………
六、教学设计说明
教材中等腰三角形的内容是一个课时，在此我把它分为两个课时，本节是第一课时，后面等边三角形的内容作为下一课时。我认为，首先等腰三角形的特征的重要性，它直接影响到等边三角形的学习。（也就是一般与特殊的关系）其次，在空间与图形中运用合情推理这种方法对今后学习探索的指导意义。再者，由于初一学生认知现状在对“三线合一”这一特征的探索中的学习困难，还有现阶段对数学语言的掌握和对学生初步进行数学说理的要求。本节内容掌握好后，后续内容也易于接受，这也符合学习中循序渐进的原则。
本节课的设计，开始利用生活中的图片创设情境引入新课，教学中链接生活体验 “三线合一”在实践中的应用，增强对数学知识的理解掌握和数学实用价值的认识，提高学生学习数学的兴趣。在对难点的突破上，步步推进，基本使数学活动处在学生思维的“最近发展区”内 ，还有通过问题引路，使学生思维“动”起来，在学习中发现，在发现中学习。
七、评价方式
教师在教学中关注的是学生的合作交流是否真正落实，关注的是学生参与是否积极，关注的是学生能否从数学的角度思考问题并得出结论，既关注过程，又关注结果。新知获取过程中，让学生在小组中交流看法和大胆表达合作的成果，使学生的主体性得到发挥，获得成功的体验；小结阶段让学生谈收获，促进学生的自主评价，整个教学中实现评价主体和形式的多样化，树立积极进取的信心。
A
B D C
等腰三角形（1）
一、教学内容分析
“等腰三角形”是华东师大版七年级下册第10章第3节内容，等腰三角形是常见的、特殊的三角形，小学已有初步的认识，现阶段借助轴对称的知识，进行合情推理，准确感知等腰三角形是轴对称图形，掌握等腰三角形两底角相等，以及 “三线合一”的性质。这些性质在以后学习研究四边形及圆等几何图形中线段和角的关系上，为推证两条线段相等、角相等、两条直线互相垂直的提供了方法和途径。同时本节课所倡导的直观感知、操作确认，合情推理这种探究性学习活动，为今后的学习探索奠定了基础，也为学生主动学习和合作交流提供了机会。
教学重点：等腰三角形“等边对等角”、“三线合一”特征的探索过程。
教学难点：等腰三角形“三线合一”特征的探索过程。
(由本节课在教材中的地位和作用，结合初一学生对事物认知偏重形象，在空间与图形方面探索、分析水平所限）
二、教学目标：
（1）知识与技能：
①使学生掌握等腰三角形的有关概念、特征。
②运用等腰三角形的特征进行计算与说理。
③进一步培养学生的合情推理与演绎推理的能力。
（2）过程与方法：
经历观察、实验、推理、归纳等活动，探索等腰三角形的特征。
（3）情感、态度与价值观:
通过观察、实验等活动，探索数学知识，获得问题解决，增强学生在学习中获取数学知识的能力，培养学生的合作、探索意识和学习兴趣。
三、学情分析与教法
针对初一学生的偏重形象思维的特点，对事物具有一定的归纳、概括能力，有一定的思辨能力，但尚未经过严密的逻辑思维训练，同时认知水平所限，分析问题不全面、归纳不完整，运用数学语言说理表达尚在起步阶段；还有学生之间存在着思维水平和学习能力的差异。
基于以上认识和新课程倡导的理念，体现学生是学习的主体。教学中采取问题引路，引导学生动手操作，认真观察，在自主探索与合作交流中形成认知。同时教学中一方面通过对文字结论的数学表达和例题引路，加强学生对几何语言的掌握和数学演绎推理能力的培养；另一方面，通过对等腰三角形的特征内涵和外延的分析，使学生准确把握，同时培养学生的数学思维。
四、教学策略
本着“以学生发展为本”的教育理念，同时也为了使学生都能积极地参与到课堂教学中，发挥学生的主观能动性，本节课主要采用了动手操作、自主探究、合作交流的教学方法，按照“实践——认识——实践”的认知规律设计，以增加学生参与教学过程的机会和体验获取知识过程的时间，从而有效地调动了学生学习数学的积极性。具体如下：
序号 教师 学生
1 创设情境、揭示课题 产生兴趣，欲探新知
2 师生互动，合作探究 观察分析、得出结论
3 揭示定理内涵 加深认识理解
4 应用定理，解决问题 巩固应用，形成技能
5 变式训练 提升思维
6 归纳小结 整体把握
7 布置作业 巩固提高
五、教学流程
（一）创设情境、揭示课题
1、多媒体展示有等腰三角形形状的图片。
（设计意图：目的是使学生从这些图片中回顾感知等腰三角形的特点。调动学生参与意识。）
2、从现实生活中举出含有等腰三角形形状的事物。
3、让学生在半透明的纸上画等腰三角形，并标上字母。
4、对照图形学习等腰三角形的有关概念。（强调等腰三角形边和角与一般三角形的不同）
问题1：等腰三角形除了具备一般三角形的性质和两腰相等外，还有其它特殊的性质吗？引出本节课研究的内容——等腰三角形的性质。
（二）师生互动，合作探究
问题2：前面我们刚学过轴对称的知识，那么等腰三角形是否轴对称性呢？
（部分学生可能有一定的感知，但没有切身的体验。让学生将已画出等腰三角形剪下，动手操作。老师也进行演示。为探索其它性质指明方向，这样也符合学生认识事物先感性后理性的特点。）
教师巡回指导，将两腰AB、AC重叠在一起把纸片对折。
得出：（1）等腰三角形是轴对称图形。
问题3：等腰三角形还有其它的特殊性质吗？
有前面的铺垫，学生会联系轴对称的知识进行分析，展开合情推理，形成一些不完整的感知，这里需引导再次审视轴对称对折后重合的特点，在合作交流中丰富认知。
得出：（2）等腰三角形的两个底角相等。（简写成：等边对等角）
数学语言表达：在△ABC中，∵AB=AC ∴∠B=∠C
探究 “三线合一”的性质问题是本节难点，部分学生能有所感知，但表述不清，在此让学生等腰三角形中将折痕画出，记为AD。学生自主探究，合作交流，老师记下学生发现的结论并用多媒体展示重合中关注的重点。
①BD=CD 即AD为底边上的中线
② ∠ADB=∠ADC=90° 即 AD为底边上的高线
③∠BAD=∠CAD 即AD为角平分线
得出：（3）等腰三角形的顶角平分线，底边上的高和中线互相重合，简称“三线合一”。再用几何画板演示。
（三）揭示定理内涵
问题4：等腰三角形的底角平分线、腰上的高、腰上的中线是否互相重合？
让学生动手画图进行观察，教师再用几何画板演示。这里对等腰三角形换个角度画出，克服学生思维定势。
问题5：一般三角形是否存在角平分线、高、中线互相重合的性质？
教师用几何画板演示。
（意图：强调等腰三角形中“三线合一”成立的条件，使学生正确掌握。）
老师充分利用几何画板的度量功能，展示三角形形状与三线位置关系的变化情况，加深印象。
（四）应用定理，解决问题
例1 已知:ΔABC中,AB=AC,∠B=80°. 求∠C和 ∠A的度数。
(设计意图：此题主要是加深学生对性质1的理解,以及通过教师详细的板书进行必要的解题示范，让学生了解解题的过程，增强分析解决问题的能力和熟练数学说理的表达。)
变式练习：1.那么改为∠A =80°，又怎样呢？
2.如果改为“有一个角等于80°”，应该怎么解答呢？
（设计变式练习，培养学生发散思维和分类讨论的数学思想，呼应等腰三角形边、角方面的特殊性。）
例2如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，∠B=30。求∠１和∠ADC的度数
(设计意图：运用等腰三角形“三线合一”的性质及有关结论解题。通过例题的引导，让学生逐步学会分析问题，尤其是运用数学语言进行表述。不断提高学生解决问题的能力，培养学生对数学推理的兴趣和信心，使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。）
（五）变式练习
1、填空：
（1）如果等腰三角形的一个底角为50°，那么其余两个角为________。
（2）如果等腰三角形的顶角为80°，那么它的一个底角为_______。
（3）如果等腰三角形的一个内角为50°则另外两个内角为_______。
2、下面说理是否正确？
如图，在△ABC中，∵ AC＝BC，
∴ ∠ADC＝∠BEC
（设计意图）：使学生明确“等边对等角”的使用范围，在同一个三角形中适用．
3、如图，1）在△ABC中，AB=AC，
如果AD⊥BC，那么∠BAD=_______，BD=_______。
如果∠BAD=∠CAD，那么AD⊥_____，BD=________。
如果BD=CD，那么∠BAD=_______，AD⊥_______。
2）在△ABC中，如果________，AD⊥BC，那么________，BD=CD。
(设计意图：巩固等腰三角形所具备的“三线合一”的性质，同时引导学生学习使用较规范的数学语言进行表述，理解推理的基本要求，推理必须有依据，过程的表述必须条理清楚，使他们在以后的严格证明中，清晰而有条理地表达自己的观点并理解他人的思想。)
（六）归纳小结
本节课学习哪些知识，有什么收获？（先由学生归纳，互相补充，教师根据情况再进行小结。）
（设计意图：让学生谈收获，反映的不仅有知识与技能的达成情况，还有过程的体验、方法的获得以及数学思想方法和情感价值观的形成情况。促进学生自主评价，获得成功体验，激发学生学习兴趣和信心。）
（七）布置作业
1、教科书第99页，习题10.3，1、2、3、4
（作业选自书中习题，第1题考查等腰三角形的边的分类思想及三边关系；第2题考查等腰三角形两底角相等及三角形的内角和；第3题同样是考查从边的角度判定等腰三角形及等腰三角形两底角相等的特征；第4题难度稍大，考查运用等腰三角形的特征及三角形中角的关系，进行计算说理。通过练习，内化知识，提高学生分析问题、数学说理表达的能力。）
2、阅读：“三线合一”在实践中的应用
建筑工人在盖房子时，要看房梁是否水平，可以用一块等腰三角形木块放在梁上，从顶点系一重物，如果系的绳子正好经过三角板底边的中点，那么房梁就是水平的。你知道为什么吗？
（通过链接生活，激发学生学习数学的兴趣，同时符合课标所倡导理念，内容素材的选取，贴近生活，学习有用的数学，学习有价值的数学。）
（七）板书设计
等腰三角形的性质
等腰三角形的定义
相关概念 ：………… 练习题： 1. …………
等腰三角形的性质： 2. …………等边对等角 3. …………
三线合一: ………… 例题部分
1、……………
2、……………
3、……………
六、教学设计说明
教材中等腰三角形的内容是一个课时，在此我把它分为两个课时，本节是第一课时，后面等边三角形的内容作为下一课时。我认为，首先等腰三角形的特征的重要性，它直接影响到等边三角形的学习。（也就是一般与特殊的关系）其次，在空间与图形中运用合情推理这种方法对今后学习探索的指导意义。再者，由于初一学生认知现状在对“三线合一”这一特征的探索中的学习困难，还有现阶段对数学语言的掌握和对学生初步进行数学说理的要求。本节内容掌握好后，后续内容也易于接受，这也符合学习中循序渐进的原则。
本节课的设计，开始利用生活中的图片创设情境引入新课，教学中链接生活体验 “三线合一”在实践中的应用，增强对数学知识的理解掌握和数学实用价值的认识，提高学生学习数学的兴趣。在对难点的突破上，步步推进，基本使数学活动处在学生思维的“最近发展区”内 ，还有通过问题引路，使学生思维“动”起来，在学习中发现，在发现中学习。
七、评价方式
教师在教学中关注的是学生的合作交流是否真正落实，关注的是学生参与是否积极，关注的是学生能否从数学的角度思考问题并得出结论，既关注过程，又关注结果。新知获取过程中，让学生在小组中交流看法和大胆表达合作的成果，使学生的主体性得到发挥，获得成功的体验；小结阶段让学生谈收获，促进学生的自主评价，整个教学中实现评价主体和形式的多样化，树立积极进取的信心。
A
B D C