4.3《比的应用》（教案）-六年级上册数学人教版

《比的应用》教学设计
备教材内容
1．本课时学习的是教材54页的内容及相关习题。
2．例2教学比的应用，教材创设了一个日常生活中比较常见的稀释清洁剂浓缩液的问题情境，介绍了两种解法：一种是先求出每份是多少，再求出几份是多少，即转化为整数乘除法来解决；另一种是用分数乘法来解决，即转化为求一个数的几分之几是多少。
3．这样安排符合学生的思维，注重了知识的迁移，既加深了对分数应用题的理解，又加强了知识间横向和纵向的联系，为今后学习比例知识做好铺垫。
备教法学法
学生已经掌握了“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”，教师在此基础上可以引导学生探究用比的知识解决实际问题的方法，掌握按比分配问题的不同解法，使学生体会解题策略的多样性，提高学生发散思维的能力及解决实际问题的能力。
教学目标
1.借助实例分析理解按比分配的实际意义，并能解决按比分配的实际问题。
2.在观察、研讨、交流中探索解决按比分配实际问题的策略，能运用不同的方法多角度解决
按比分配的实际问题。
3.感受数学知识在日常生活中的应用价值。
教学重难点
教学重点：
解决按比分配的实际问题。
教学难点：
能运用不同的方法多角度解决按比分配的实际问题。
备已学知识
求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。
备知识讲解
知识点一　按比分配问题的解题方法
问题导入　这是某种清洁剂浓缩液的稀释瓶，瓶子上标明的比表示浓缩液和水的体积之比。按照这些比，可以配制出不同浓度的稀释液。(教材54页例2)
过程讲解
1．阅读与理解
(1)稀释液是由浓缩液加入水或其他液体配制而成的。本题中的稀释液是用浓缩液和水配制的。
(2)按1∶4的比配制了一瓶500 mL的稀释液，500 mL是配制好的稀释液的体积，也就是浓缩液和水的体积之和，1∶4表示浓缩液和水的体积之比。
(3)所求问题：其中浓缩液和水的体积分别是多少？
[重点提示：在工农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比进行分配。这种分配方法通常叫做按比分配。]
2．分析与解答
难点点拨 按比分配问题是平均分问题的发展，可以把按比分配问题转化成平均分问题来解答。
方法一　平均分法。
(1)解题思路。
稀释液中浓缩液和水的体积之比是1∶4，说明在500 mL稀释液中，浓缩液占1份，水占4份，一共是5份。先把稀释液的总体积平均分成5份，求出每份是多少毫升，再分别求出1份的浓缩液和4份的水各有多少毫升。
(2)解答过程。
总份数：1＋4＝5(份)
每份是：500÷5＝100(mL)
浓缩液有：100×1＝100(mL)
水有：100×4＝400(mL)
方法二　转化法。
(1)解题思路。
稀释液按1∶4的比配制，把稀释液的总体积看作单位“1”，浓缩液占单位“1”的，水占单位“1”的。根据分数乘法的意义，用乘法可以求出稀释液中浓缩液和水分别有多少毫升。数量关系如图所示：
[方法提示：把按比分配问题转化成分数问题是最常用的方法。]
(2)解答过程。
总份数：1＋4＝5(份)
浓缩液有：500×＝100(mL)
水有：500×＝400(mL)
答：浓缩液有100 mL，水有400 mL。
[德育建议：引导学生运用不同的方法解决按比分配问题，使学生感受到按比分配问题与整数、分数乘除法的联系，进而向学生渗透事物之间普遍联系的辩证唯物主义观点，培养学生灵活的思维能力。]
重点提示 检验时，要看清楚1∶4是哪两个量之间的比，不要颠倒顺序。
3．回顾与反思——检验计算结果是否正确
(1)检验方法。
①把浓缩液和水的体积相加，看是否等于500 mL。
②把浓缩液和水的体积比化简，看是否等于1∶4。
(2)检验过程。
①浓缩液的体积＋水的体积＝100＋400＝500(mL)
②浓缩液的体积∶水的体积＝100 mL∶400 mL＝1∶4
(3)得出结论：计算结果正确。
归纳总结
按比分配问题的解题方法：(1)把比的各项之和看作平均分的份数，先求出每份是多少，再解答。解题步骤：求出总份数。→求出每份是多少。→求出各部分量。
(2)转化成分数乘法来解答。解题步骤：
求出总份数。→求出各部分量占总量的几分之几。→求出各部分量。
知识点二　按比分配问题的应用
应用一　已知各部分量的比和其中一个部分量，求另外几个部分量。
典型例题　学校新进一批图书，按3∶4∶5的比分配给四、五、六年级。五年级分得120本图书，四年级和六年级各分得多少本图书？
方法一　转化法。
思路分析　把这批图书的总本数按3∶4∶5的比分配给四、五、六年级，可以把这批图书的总本数看作单位“1”，其中四年级分得的图书本数占这批图书总本数的＝，五年级分得的图书本数占这批图书总本数的＝，六年级分得的图书本数占这批图书总本数的＝。根据五年级分得120本图书和对应这批图书总本数的几分之几，可以求出这批图书的总本数，进而求出四年级和六年级各分得的图书本数。
正确解答　3＋4＋5＝12(份)
总本数：120÷＝360(本)
方法提示 已知量÷已知量对应的份数＝每份的量；每份的量×对应的份数＝对应的量。
四年级：360×＝90(本)
六年级：360×＝150(本)
方法二　平均分法。
思路分析　把这批图书的总本数按3∶4∶5的比分配给四、五、六年级，可以把四、五、六年级分得的图书本数分别看作3份、4份、5份。已知五年级分得120本图书，分得4份，可以求出1份是多少本图书，进而求出四年级分得的3份和六年级分得的5份各是多少本图书。
正确解答　120÷4＝30(本)
四年级：30×3＝90(本)
六年级：30×5＝150(本)
答：四年级分得90本图书，六年级分得150本图书。
应用二　已知两个量的比和它们的差，求总量。
典型例题　小华和爷爷的年龄比是1∶6，已知小华比爷爷小50岁，小华和爷爷的年龄和是多少？
方法一　平均分法。
思路分析　已知小华和爷爷的年龄比是1∶6，可以把小华的年龄看作1份，爷爷的年龄看作6份。又已知小华比爷爷小50岁，可以先求出1份是多少岁，再乘总份数，就可以求出小华和爷爷的年龄和。
[方法提示：两个量的差÷两个量对应的份数差＝每份的量，每份的量×总份数＝总数量。]
正确解答　　50÷(6－1)×(6＋1)
＝50÷5×7
＝70(岁)
方法二　分率对应法。
思路分析　可以把小华和爷爷的年龄和看作单位“1”，爷爷的年龄占单位“1”的，小华的年龄占单位“1”的，50岁占单位“1”的，根据“已知量÷已知量占单位‘1’的分率＝单位‘1’的量”，可以求出小华和爷爷的年龄和。
正确解答　
　50÷
＝50÷
＝70(岁)
答：小华和爷爷的年龄和是70岁。
归纳总结
此类按比分配问题，既可以用转化法解答，也可以用平均分法解答，还可以用分率对应法解答。
知识巧记
按比分配很重要，生活应用不可少。
各项相加求总数，部分占总份数标。
分数乘法来帮忙，各量依次求得了。
也可先求一份量，部分与总乘法找。
备易错易混
误区一　甲、乙两数的比是5∶3，甲数比乙数大16，甲、乙两数分别是多少？
16÷(5＋3)＝2　甲数：2×5＝10　乙数：2×3＝6
答：甲数是10，乙数是6。
错解分析　(5＋3)是甲、乙两数的份数和，16是甲、乙两数的差，两者不对应，相除没有意义。16对应的份数是甲、乙两数的份数差，应该先用16÷(5－3)求出每份的量，再分别求出甲数和乙数。
错解改正　16÷(5－3)＝8
甲数：8×5＝40　乙数：8×3＝24
答：甲数是40，乙数是24。
温馨提示
解决按比分配问题时，要找准已知量对应的份数是多少，已知量÷已知量对应的份数＝每份的量。
误区二　赵老师用60 cm长的铁丝围成一个长方形教具，围成的长方形教具的长和宽的比是3∶2。求这个长方形教具的长和宽分别是多少厘米。(铁丝无剩余。)
60×＝36(cm)　60×＝24(cm)
答：这个长方形教具的长是36 cm，宽是24 cm。
错解分析　此题错在对应关系不正确，3∶2是长方形教具一个长和一个宽的长度比，因此对应的单位“1”是一个长和一个宽的长度和，而60 cm是两个长和两个宽的长度和。
错解改正　60÷2＝30(cm)　30×＝18(cm)
30×＝12(cm)
答：这个长方形教具的长是18 cm，宽是12 cm。
温馨提示
解决按比分配问题时，要注意找准被分配的量。
备综合能力
方法运用　运用画示意图法解决复杂的按比分配问题
典型例题　聪聪和笑笑共收集邮票171枚。已知聪聪收集邮票数的和笑笑收集邮票数的相等。求聪聪和笑笑分别收集邮票多少枚。
思路分析　先求出聪聪和笑笑收集邮票数的比，再根据按比分配问题的解题方法进行解答。根据“聪聪收集邮票数的和笑笑收集邮票数的相等”可知，聪聪收集邮票数的3份与笑笑收集邮票数的3份一样多，聪聪收集了这样的4份邮票，笑笑收集了这样的5份邮票。两人收集的邮票数可以用下面的示意图表示：
由示意图可知，聪聪和笑笑收集邮票数的比是4∶5。
正确解答　聪聪：171×＝76(枚)
笑笑：171×＝95(枚)
答：聪聪收集邮票76枚，笑笑收集邮票95枚。
方法总结　已知甲、乙两个量的和，且甲×＝乙×(a、b、n均不为0)，通过画示意图可以明确甲、乙两个量的比是a∶b。
综合运用　运用路程和比的知识解决实际问题
典型例题　一条路全长12 km，分成上坡、平路、下坡三段，三段路程之比是1∶2∶3，王强走完三段路程所用的时间之比是4∶5∶6，已知他上坡每小时走5 km，王强走完全程用了多长时间？
思路分析　要求王强走完全程用了多长时间，就要先根据已知条件求出王强走完上坡的路程用了多长时间，再根据走完三段路程所用的时间之比求出总时间。
正确解答　上坡的路程：12×＝2(km)
走完上坡的路程用的时间：2÷5＝(时)
走完上坡的路程用的时间占走完全程用的时间的分率：＝
走完全程用的时间：÷＝(时)
答：王强走完全程用了小时。
方法提示　先根据“路程÷速度＝时间”求出走完上坡的路程用的时间，再根据走完上坡的路程用的时间占走完全程用的时间的分率求出走完全程用的时间。
备教学资源
最完美的身材——九头身
九头身顾名思义，就是头和身高的比为1∶9，男性拥有九头身，除了个别脸部特别小的，通常身高最少也要有186 cm。女性除了个别脸部特别小的，通常身高最少也要有172 cm。世界名模大多是这样的比例，九头身会显得人身材颀长。
人体中的黄金分割定律
关于人体美的规律最伟大的发现是“黄金分割定律”。所谓黄金分割定律，是指把一定长度的线段分为两部分，如果较短部分与较长部分长度之比等于较长部分与整体长度之比，我们把这个比称为黄金比(约为0.618∶1)。据研究，就人体结构的整体而言，每个部位的分割无一不是遵循黄金分割定律的。如肚脐，这是身体上下部位的黄金分割点，肚脐以上的身体长度与肚脐以下的身体长度的比是0.618∶1。人体的局部也有许多黄金分割点。喉结，它所分割的咽喉至头顶与咽喉至肚脐的比是0.618∶1；肘关节，它到肩关节与它到中指尖的比也是0.618∶1；此外，手的中指长度与手掌长度之比，手掌的宽度与手掌的长度之比，也是0.618∶1；牙齿的冠长与冠宽的比值也与黄金分割的比值十分接近。因此有人提出，如果人体符合以上的比，就算得上是一个标准的帅哥或美女。造型艺术按照黄金分割定律来安排各个部位，确实能给人以和谐的美感。更为有趣的是，人们发现按照黄金分割定律来安排作息时间，即每天活动15小时，睡眠9小时，是最科学的生活方式。9小时的睡眠既有利于机体细胞、组织和器官的活动，又有利于机体各系统的协调，从而有利于机体的新陈代谢，恢复体力和精力。这样的时间比值(9∶15)大约是0.618。