4.2《比的基本性质》（教学设计）-六年级上册数学人教版
文档属性
| 名称 | 4.2《比的基本性质》（教学设计）-六年级上册数学人教版 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 433.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-31 13:31:22 | ||
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文档简介
《比的基本性质》教学设计
备教材内容
1．本节课学习的是教材50～51页的内容及相关习题。
2．教材首先让学生回忆商不变的规律和分数的基本性质，然后启发学生思考：在比中有什么样的规律？进而按照比、除法、分数类比的思路，举出例子，并利用比、除法、分数三者之间的关系对实例加以研究。在此基础上，概括出比的基本性质。作为比的基本性质的直接运用，例1学习了怎样运用比的基本性质化简比。
3．通过本节课的学习，不但能加深对商不变的规律，分数的基本性质，比的意义，比、除法、分数三者之间的关系等知识的理解与掌握，而且为以后学习比的应用，比例的知识，正、反比例打好基础。
备教法学法
学生已经掌握了商不变的规律和分数的基本性质，积累了求最大公因数和最小公倍数的经验。在此基础上，可以先运用已有知识推导比的基本性质，再通过迁移类推，培养学生的归纳概括能力，渗透类比的数学思想，提高学生的思维能力。
教学目标
1. 结合已有知识经验，理解比的基本性质，并初步尝试运用比的基本性质把比化成最简
单的整数比。
2. 通过观察、对比、交流等学习活动，经历知识迁移的过程，提高建立联系、质疑辨析、
猜想推理的学习能力。
3. 体会知识之间的内在联系，提高学生独立思考和互动交流的学习习惯，建立学好数学
的信心。
教学重难点
学习重点：理解、掌握比的基本性质。
学习难点：选择恰当的方法进行化简比。
备已学知识
1．商不变的规律：被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外)，商不变。
2．分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外)，分数的大小不变。
3．最大公因数：几个自然数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。
4．最小公倍数：几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
5．比、除法、分数之间的关系。
比 前项 ∶(比号) 后项 比值
除法 被除数 ÷ (除号) 除数 商
分数 分子 — (分数线) 分母 分数值
备知识讲解
知识点一 比的基本性质
知识回顾 1.商不变的规律：被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外)，商不变。
2．分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外)，分数的大小不变。
问题导入 除法有商不变的规律，分数有分数的基本性质，联系比和除法、分数的关系，想一想：在比中有什么样的规律？(教材50页)
过程讲解
1．根据比和除法的关系研究比中的规律
(1)举例研究。
6÷8＝(6×2)÷(8×2)＝12÷16
6∶8＝(6×2)∶(8×2)＝12∶16
6∶8＝(6÷2)∶(8÷2)＝3∶4
6÷8＝(6÷2)÷(8÷2)＝3÷4
[方法提示：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，相当于被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外)。]
(2)验证规律。
发现：6∶8中比的前项和后项同时乘2或除以2后，得到的新比的比值和6∶8的比值相同。
2．根据比和分数的关系研究比中的规律
(1)举例研究。
＝ ＝
3∶15＝(3×3)∶(15×3)＝9∶45
3∶15＝(3÷3)∶(15÷3)＝1∶5
＝ ＝
(2)验证规律。
发现：3∶15中比的前项和后项同时乘3或除以3后，得到的新比的比值和3∶15的比值相同。
[思想方法解读：根据商不变的规律和分数的基本性质类推出比的基本性质，体现了类比思想。类比思想是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的数学思想。]
归纳总结
比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。这叫做比的基本性质。
拓展提高
比的基本性质同样适用于连比。
例如：10∶15∶20＝(10×2)∶(15×2)∶(20×2)＝20∶30∶40
10∶15∶20＝(10÷5)∶(15÷5)∶(20÷5)＝2∶3∶4
知识点二 化简比
问题(1)导入 “神舟”五号搭载了两面联合国旗，一面长15 cm，宽10 cm，另一面长180 cm，宽120 cm。这两面联合国旗长和宽的最简单的整数比分别是多少？[教材50页例1(1)]
过程讲解
1．分别写出两面联合国旗长和宽的比
一面联合国旗的长和宽的比是15∶10；另一面联合国旗的长和宽的比是180∶120。
2．化简比的意义
15∶10和180∶120这两个比的前项和后项都有大于1的公因数，可利用比的基本性质，在不改变比值的前提下，使其变得简洁。
3．化简两个比
方法提示 比的前项和后项同时除以它们的最大公因数，可以把整数比一次性化成最简单的整数比。
想：15和10的最大公因数是5，把15和10同时除以5。
15∶10＝(15÷5)∶(10÷5)＝3∶2
想：180和120的最大公因数是60，把180和120同时除以60。
180∶120＝(180÷60)∶(120÷60)＝3∶2
4．最简单的整数比
像3∶2这样，比的前项和后项只有公因数1的比叫做最简单的整数比。
问题(2)导入 把下面各比化成最简单的整数比。[教材51页例1(2)]
∶ 0.75∶2
过程讲解
1．化简∶
方法一 利用比的基本性质化简。
(1)方法分析。
6和9的最小公倍数是18，把和同时乘18，可以将原比化成整数比。
(2)化简过程。
∶＝∶＝3∶4
方法二 利用求比值的方法化简。
∶＝÷＝×＝＝3∶4
2．化简0.75∶2
(1)方法分析。
先把小数比化成整数比，再按照整数比的化简方法进行化简。
(2)化简过程。
0．75∶2＝(0.75×100)∶(2×100)＝75∶200＝3∶8
[方法提示：化简小数比时，可以考虑前、后项同时乘一个较小的整数(0除外)，使其化成整数比，这样化简更简单。]
归纳总结
根据比的基本性质，把比化成最简单的整数比的方法。
拓展提高
1．小数比的化简方法也适用于小数连比的化简。
例如：0.8∶0.5∶1.4＝(0.8×10)∶(0.5×10)∶(1.4×10)＝8∶5∶14
2．一个比中既有小数，又有分数，可以把小数化成分数，按照分数比的化简方法进行化简；如果分数能化成有限小数，那么也可以把分数化成小数，按照小数比的化简方法进行化简。
例如：0.5∶＝∶＝∶＝5∶6
或0.5∶＝0.5∶0.6＝(0.5×10)∶(0.6×10)＝5∶6
3．利用比的基本性质也可以对分数连比进行化简。
例如：∶∶＝×12∶∶＝3∶8∶2
备易错易混
误区 选择：把5∶12的前项加上5，要使比值不变，后项应(A)。
A．加上5 B．加上12 C．乘5
错解分析 此题错在对比的基本性质理解不透彻，比的前项和后项同时加上一个相同的数并不能保证比值不变。前项加上5，相当于乘2，要使比值不变，后项也要乘2，相当于加上12，因此应选B。
错解改正 B
温馨提示
解决此类问题可以利用比的基本性质去分析。
备综合能力
思维开放 运用转化法、找中间量法或设数法解决连比问题
典型例题 甲数是乙数的，乙数是丙数的，求这三个数的连比。
思路分析 思路一 转化法。
题中两个分率和所对应的单位“1”不同，不能直接比，可以把甲、乙、丙三个数中的一个数看作单位“1”，根据单位“1”表示出另外两个数后再比。两个已知条件中都有乙数，可以把乙数看作单位“1”。
甲数是乙数的 甲数是，乙数是1。
乙数是丙数的 丙数是乙数的 丙数是，乙数是1。
甲数∶乙数∶丙数＝∶1∶＝6∶20∶45
思路二 找中间量法。
在计算时可以用份数表示各数量，先把几分之几转化成比，两个比中都有乙数，但份数不同，不能直接连比。可以先找出乙数在两个比中的两个份数的最小公倍数，利用比的基本性质，使其相等后，再改成连比。
甲数是乙数的 甲数∶乙数＝3∶10＝(3×2)∶(10×2)＝6∶20。
乙数是丙数的 乙数∶丙数＝4∶9＝(4×5)∶(9×5)＝20∶45。
甲数∶乙数∶丙数＝6∶20∶45
思路三 设数法。
可以设这三个数中的一个数为具体数，一般设两个比中都有的数比较简单。如设乙数是10(或20、30、…)，先分别求出甲、丙两数，再写出这三个数的连比。
正确解答
方法一 甲数∶乙数∶丙数＝∶1∶＝6∶20∶45
方法二 甲数∶乙数＝3∶10＝6∶20
乙数∶丙数＝4∶9＝20∶45
甲数∶乙数∶丙数＝6∶20∶45
方法三 设乙数是10，则甲数＝10×＝3，丙数＝10÷＝。
甲数∶乙数∶丙数＝3∶10∶＝6∶20∶45
答：这三个数的连比是6∶20∶45。
方法总结 解决此类问题时，无论运用哪种方法，都需要借助三个数中的中间量。
综合运用 运用分数和比的知识解决实际问题
典型例题 两个盒子里都装有水果糖和奶糖，且两盒糖果的质量相等。第一个盒子里水果糖的质量是奶糖质量的，第二个盒子里水果糖的质量是奶糖质量的。若把这两个盒子里的糖果混合在一起，则水果糖和奶糖的质量比是多少？
思路分析
由此可求出两盒糖果混合后水果糖和奶糖的质量比。
正确解答 ∶＋＝23∶37
答：水果糖和奶糖的质量比是23∶37。
方法提示 找出每种糖果的质量占每盒糖果质量的分率是解决此题的关键。
备教学资源
建筑中的黄金分割
黄金分割被认为是建筑和艺术中最理想的比。建筑师们对0.618特别偏爱，世界上优秀的建筑物中几乎都包含黄金分割。无论是古希腊的帕特农神庙、古埃及的金字塔、印度的泰姬陵、中国的故宫、法国的巴黎圣母院这些著名的古代建筑，还是遍布全球的众多优秀的近现代建筑，尽管其风格各异，但是在构图布局设计方面， 都有意无意地运用了黄金分割的法则， 都有与0.618有关的数据，给人以整体上的和谐与悦目之美。黄金分割就像它的名字一样，是一笔神秘而又美丽的宝藏。
例如：法国的巴黎圣母院的正面高度和宽度的比是8∶5，它的每一扇窗户的长和宽的比也是如此。古希腊的帕特农神庙是举世闻名的完美建筑，它的高和宽的比值是0.618，至今还是世界上最美丽的建筑之一，这座神庙建于古希腊数学繁荣的年代，并且它的美丽就是建立在严格的数学法则上的。如果我们在帕特农神庙周围描一个矩形，会发现它的长大约是宽的1.6倍，这种矩形称为黄金矩形。建筑师们发现，按0.618来设计殿堂和别墅，殿堂将更加雄伟、美丽，别墅将更加舒适、漂亮。连一扇门窗若设计为黄金矩形都会显得更加协调和令人赏心悦目。
中华人民共和国国旗的规格尺寸
中华人民共和国国旗旗面为红色，长方形，其长和高的比为3∶2，通用尺寸定为以下五种：(单位：cm)
①288×192 ②240×160 ③192×128 ④144×96 ⑤96×64
备教材内容
1．本节课学习的是教材50～51页的内容及相关习题。
2．教材首先让学生回忆商不变的规律和分数的基本性质，然后启发学生思考：在比中有什么样的规律？进而按照比、除法、分数类比的思路，举出例子，并利用比、除法、分数三者之间的关系对实例加以研究。在此基础上，概括出比的基本性质。作为比的基本性质的直接运用，例1学习了怎样运用比的基本性质化简比。
3．通过本节课的学习，不但能加深对商不变的规律，分数的基本性质，比的意义，比、除法、分数三者之间的关系等知识的理解与掌握，而且为以后学习比的应用，比例的知识，正、反比例打好基础。
备教法学法
学生已经掌握了商不变的规律和分数的基本性质，积累了求最大公因数和最小公倍数的经验。在此基础上，可以先运用已有知识推导比的基本性质，再通过迁移类推，培养学生的归纳概括能力，渗透类比的数学思想，提高学生的思维能力。
教学目标
1. 结合已有知识经验，理解比的基本性质，并初步尝试运用比的基本性质把比化成最简
单的整数比。
2. 通过观察、对比、交流等学习活动，经历知识迁移的过程，提高建立联系、质疑辨析、
猜想推理的学习能力。
3. 体会知识之间的内在联系，提高学生独立思考和互动交流的学习习惯，建立学好数学
的信心。
教学重难点
学习重点：理解、掌握比的基本性质。
学习难点：选择恰当的方法进行化简比。
备已学知识
1．商不变的规律：被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外)，商不变。
2．分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外)，分数的大小不变。
3．最大公因数：几个自然数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。
4．最小公倍数：几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
5．比、除法、分数之间的关系。
比 前项 ∶(比号) 后项 比值
除法 被除数 ÷ (除号) 除数 商
分数 分子 — (分数线) 分母 分数值
备知识讲解
知识点一 比的基本性质
知识回顾 1.商不变的规律：被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外)，商不变。
2．分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外)，分数的大小不变。
问题导入 除法有商不变的规律，分数有分数的基本性质，联系比和除法、分数的关系，想一想：在比中有什么样的规律？(教材50页)
过程讲解
1．根据比和除法的关系研究比中的规律
(1)举例研究。
6÷8＝(6×2)÷(8×2)＝12÷16
6∶8＝(6×2)∶(8×2)＝12∶16
6∶8＝(6÷2)∶(8÷2)＝3∶4
6÷8＝(6÷2)÷(8÷2)＝3÷4
[方法提示：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，相当于被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外)。]
(2)验证规律。
发现：6∶8中比的前项和后项同时乘2或除以2后，得到的新比的比值和6∶8的比值相同。
2．根据比和分数的关系研究比中的规律
(1)举例研究。
＝ ＝
3∶15＝(3×3)∶(15×3)＝9∶45
3∶15＝(3÷3)∶(15÷3)＝1∶5
＝ ＝
(2)验证规律。
发现：3∶15中比的前项和后项同时乘3或除以3后，得到的新比的比值和3∶15的比值相同。
[思想方法解读：根据商不变的规律和分数的基本性质类推出比的基本性质，体现了类比思想。类比思想是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的数学思想。]
归纳总结
比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。这叫做比的基本性质。
拓展提高
比的基本性质同样适用于连比。
例如：10∶15∶20＝(10×2)∶(15×2)∶(20×2)＝20∶30∶40
10∶15∶20＝(10÷5)∶(15÷5)∶(20÷5)＝2∶3∶4
知识点二 化简比
问题(1)导入 “神舟”五号搭载了两面联合国旗，一面长15 cm，宽10 cm，另一面长180 cm，宽120 cm。这两面联合国旗长和宽的最简单的整数比分别是多少？[教材50页例1(1)]
过程讲解
1．分别写出两面联合国旗长和宽的比
一面联合国旗的长和宽的比是15∶10；另一面联合国旗的长和宽的比是180∶120。
2．化简比的意义
15∶10和180∶120这两个比的前项和后项都有大于1的公因数，可利用比的基本性质，在不改变比值的前提下，使其变得简洁。
3．化简两个比
方法提示 比的前项和后项同时除以它们的最大公因数，可以把整数比一次性化成最简单的整数比。
想：15和10的最大公因数是5，把15和10同时除以5。
15∶10＝(15÷5)∶(10÷5)＝3∶2
想：180和120的最大公因数是60，把180和120同时除以60。
180∶120＝(180÷60)∶(120÷60)＝3∶2
4．最简单的整数比
像3∶2这样，比的前项和后项只有公因数1的比叫做最简单的整数比。
问题(2)导入 把下面各比化成最简单的整数比。[教材51页例1(2)]
∶ 0.75∶2
过程讲解
1．化简∶
方法一 利用比的基本性质化简。
(1)方法分析。
6和9的最小公倍数是18，把和同时乘18，可以将原比化成整数比。
(2)化简过程。
∶＝∶＝3∶4
方法二 利用求比值的方法化简。
∶＝÷＝×＝＝3∶4
2．化简0.75∶2
(1)方法分析。
先把小数比化成整数比，再按照整数比的化简方法进行化简。
(2)化简过程。
0．75∶2＝(0.75×100)∶(2×100)＝75∶200＝3∶8
[方法提示：化简小数比时，可以考虑前、后项同时乘一个较小的整数(0除外)，使其化成整数比，这样化简更简单。]
归纳总结
根据比的基本性质，把比化成最简单的整数比的方法。
拓展提高
1．小数比的化简方法也适用于小数连比的化简。
例如：0.8∶0.5∶1.4＝(0.8×10)∶(0.5×10)∶(1.4×10)＝8∶5∶14
2．一个比中既有小数，又有分数，可以把小数化成分数，按照分数比的化简方法进行化简；如果分数能化成有限小数，那么也可以把分数化成小数，按照小数比的化简方法进行化简。
例如：0.5∶＝∶＝∶＝5∶6
或0.5∶＝0.5∶0.6＝(0.5×10)∶(0.6×10)＝5∶6
3．利用比的基本性质也可以对分数连比进行化简。
例如：∶∶＝×12∶∶＝3∶8∶2
备易错易混
误区 选择：把5∶12的前项加上5，要使比值不变，后项应(A)。
A．加上5 B．加上12 C．乘5
错解分析 此题错在对比的基本性质理解不透彻，比的前项和后项同时加上一个相同的数并不能保证比值不变。前项加上5，相当于乘2，要使比值不变，后项也要乘2，相当于加上12，因此应选B。
错解改正 B
温馨提示
解决此类问题可以利用比的基本性质去分析。
备综合能力
思维开放 运用转化法、找中间量法或设数法解决连比问题
典型例题 甲数是乙数的，乙数是丙数的，求这三个数的连比。
思路分析 思路一 转化法。
题中两个分率和所对应的单位“1”不同，不能直接比，可以把甲、乙、丙三个数中的一个数看作单位“1”，根据单位“1”表示出另外两个数后再比。两个已知条件中都有乙数，可以把乙数看作单位“1”。
甲数是乙数的 甲数是，乙数是1。
乙数是丙数的 丙数是乙数的 丙数是，乙数是1。
甲数∶乙数∶丙数＝∶1∶＝6∶20∶45
思路二 找中间量法。
在计算时可以用份数表示各数量，先把几分之几转化成比，两个比中都有乙数，但份数不同，不能直接连比。可以先找出乙数在两个比中的两个份数的最小公倍数，利用比的基本性质，使其相等后，再改成连比。
甲数是乙数的 甲数∶乙数＝3∶10＝(3×2)∶(10×2)＝6∶20。
乙数是丙数的 乙数∶丙数＝4∶9＝(4×5)∶(9×5)＝20∶45。
甲数∶乙数∶丙数＝6∶20∶45
思路三 设数法。
可以设这三个数中的一个数为具体数，一般设两个比中都有的数比较简单。如设乙数是10(或20、30、…)，先分别求出甲、丙两数，再写出这三个数的连比。
正确解答
方法一 甲数∶乙数∶丙数＝∶1∶＝6∶20∶45
方法二 甲数∶乙数＝3∶10＝6∶20
乙数∶丙数＝4∶9＝20∶45
甲数∶乙数∶丙数＝6∶20∶45
方法三 设乙数是10，则甲数＝10×＝3，丙数＝10÷＝。
甲数∶乙数∶丙数＝3∶10∶＝6∶20∶45
答：这三个数的连比是6∶20∶45。
方法总结 解决此类问题时，无论运用哪种方法，都需要借助三个数中的中间量。
综合运用 运用分数和比的知识解决实际问题
典型例题 两个盒子里都装有水果糖和奶糖，且两盒糖果的质量相等。第一个盒子里水果糖的质量是奶糖质量的，第二个盒子里水果糖的质量是奶糖质量的。若把这两个盒子里的糖果混合在一起，则水果糖和奶糖的质量比是多少？
思路分析
由此可求出两盒糖果混合后水果糖和奶糖的质量比。
正确解答 ∶＋＝23∶37
答：水果糖和奶糖的质量比是23∶37。
方法提示 找出每种糖果的质量占每盒糖果质量的分率是解决此题的关键。
备教学资源
建筑中的黄金分割
黄金分割被认为是建筑和艺术中最理想的比。建筑师们对0.618特别偏爱，世界上优秀的建筑物中几乎都包含黄金分割。无论是古希腊的帕特农神庙、古埃及的金字塔、印度的泰姬陵、中国的故宫、法国的巴黎圣母院这些著名的古代建筑，还是遍布全球的众多优秀的近现代建筑，尽管其风格各异，但是在构图布局设计方面， 都有意无意地运用了黄金分割的法则， 都有与0.618有关的数据，给人以整体上的和谐与悦目之美。黄金分割就像它的名字一样，是一笔神秘而又美丽的宝藏。
例如：法国的巴黎圣母院的正面高度和宽度的比是8∶5，它的每一扇窗户的长和宽的比也是如此。古希腊的帕特农神庙是举世闻名的完美建筑，它的高和宽的比值是0.618，至今还是世界上最美丽的建筑之一，这座神庙建于古希腊数学繁荣的年代，并且它的美丽就是建立在严格的数学法则上的。如果我们在帕特农神庙周围描一个矩形，会发现它的长大约是宽的1.6倍，这种矩形称为黄金矩形。建筑师们发现，按0.618来设计殿堂和别墅，殿堂将更加雄伟、美丽，别墅将更加舒适、漂亮。连一扇门窗若设计为黄金矩形都会显得更加协调和令人赏心悦目。
中华人民共和国国旗的规格尺寸
中华人民共和国国旗旗面为红色，长方形，其长和高的比为3∶2，通用尺寸定为以下五种：(单位：cm)
①288×192 ②240×160 ③192×128 ④144×96 ⑤96×64