5.1《圆的认识》（教案）-六年级上册数学人教版

《圆的认识》教学设计
备教材内容
1．本课时学习的是教材57～59页的内容及相关习题。
2．本课时教学圆的认识。教材首先通过观察自然界及建筑中的图形引出圆，为探究圆的特征做好准备。然后引导学生进行探究活动，在探究活动中认识圆心、半径和直径，并了解它们之间的关系，掌握圆的特征，明确圆心和半径的作用，掌握画圆的方法。最后安排了一个实践活动：根据圆的对称性，利用圆规和直尺绘制图案。
3．本课时是深入学习曲线图形的开始，也是学习圆的周长和面积的基础。
备教法学法
学生已经掌握了长方形、正方形、平行四边形、三角形等一些平面图形的相关知识，教师教学时可以在此基础上先认识曲线图形——圆。再引导学生动手操作，掌握画圆的方法。通过小组合作学习、动手操作、主动探究等活动，培养学生的创新意识。明确用符号表示圆心、半径和直径。提高学生的作图能力及抽象概括能力。
教学目标
1.使学生学会用圆规画圆，认识圆的各部分名称，理解并掌握圆的特征。
2.经历画圆的过程，提高学生动手操作、观察比较、推理和概括能力，发展空间观念。
3.感受数学与生活的紧密联系，用圆的相关知识解释生活中的一些现象；感受古代数学的博
大精深，激发学生对数学的学习兴趣。
教学重难点
教学重点：
理解圆的本质特征“一中同长”。
教学难点：
探索圆的本质特征。
备已学知识
1．长方形：对边平行且相等；四个角都是直角。
2．正方形：对边平行且四条边都相等；四个角都是直角。
3．平行四边形：对边平行且相等；对角相等。
4．三角形：两边之和大于第三边；三个内角的和是180°。
备知识讲解
知识点一　圆的认识和画圆的方法
问题导入　生活中，圆形的物体随处可见。你能说说自己见过的圆吗？你能想办法在纸上画一个圆吗？(教材57页)
过程讲解　
1．初步感知圆
观察下面的图片，从奇妙的自然界到文明的人类社会，从精巧的手工艺品到气势宏伟的各种建筑……到处都可以看到大大小小的圆。
2．探究画圆的方法
(1)借助实物画圆。
(2)系线画圆。
[操作指导：用图钉、细线和笔画圆时，图钉要固定好，细线不能有弹性且要拉直。]
(3)用圆规画圆。
①认识圆规。
如下图所示：
[画法提示：用圆规画圆的注意事项：(1)带有针尖的脚不能移动；(2)两脚之间的距离不能改变。]
②画法展示。
[方法提示：对比三种画圆的方法，用圆规画圆的方法最实用。]
由画圆过程发现，圆是由曲线围成的封闭图形，无顶点。
归纳总结
1．一条线段绕着它固定的一端在平面上旋转一周，它的另一端就会画出一条封闭的曲线，这条封闭的曲线就是圆。
2．用圆规画圆的方法：
定好两脚之间的距离。把带有针尖的脚固定在一点上。把装有铅笔的脚旋转一周，就画出了一个圆。
知识点二　圆的各部分名称
问题导入　观察右图，了解圆的各部分名称。(教材58页)
过程讲解
1．认识圆心
(1)圆心的意义：如图，用圆规画圆时，针尖所在的点叫做圆心。
圆心一般用字母O表示，如右图。
(2)圆心的作用：圆心决定圆的位置。
重点提示 用圆规画圆时，圆规两脚之间的距离就是所画圆的半径。
2．认识半径
(1)半径的意义：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。
半径一般用字母r表示，如上图。
(2)半径的作用：半径决定圆的大小。半径越长，圆越大；半径越短，圆越小。
(3)判断半径的方法：半径是一条线段，它的一端在圆心，另一端在圆上。
3．认识直径
(1)直径的意义：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
直径一般用字母d表示，如右图。
(2)判断直径的方法：①是一条通过圆心的线段；②线段的两端都在圆上；③是圆中最长的线段。
归纳总结
圆的各部分名称：
拓展提高　
1．圆的数学定义：圆是到定点的距离等于定长的所有点的集合。定点指的是圆心，定长指的是半径的长度。
2．等圆：半径相等的圆叫做等圆。等圆经过平移可以完全重合。如图一。
3．同心圆：圆心重合、半径不相等的圆叫做同心圆。如图二。
　　　　
图一 图二
知识点三　半径、直径的特征及关系
知识回顾　轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。
问题导入　用圆规画几个不同大小的圆，剪下来，沿着直径折一折，画一画，量一量，会有什么发现？(教材58页)
过程讲解
1．折一折
如图所示，反复实验都得到相同的结果。发现：把圆沿任何一条直径对折，直径两侧的部分都能够完全重合，这说明圆是轴对称图形，直径所在的直线就是圆的对称轴。
2．画一画
(1)在一个圆中任意画它的半径(如左下图)，发现可以画出无数条半径。
(2)在一个圆中任意画它的直径(如右上图)，发现可以画出无数条直径。由此可知：圆有无数条直径，也就有无数条对称轴。
3．量一量
在两个大小相等的圆中，分别画出半径和直径，并测量出它们的长度。
上面左图中，6条半径都是1 cm。上面右图中，4条直径都是2 cm。
由此可知：在同圆或等圆中，所有的半径都相等，所有的直径也都相等。
4．算一算
上面的两个圆是等圆，且这两个圆的半径都是1 cm，直径都是2 cm。
(1)算一算半径是直径的几分之几，直径是半径的几倍。
灵活应用 在同圆或等圆中，已知直径求半径，用直径除以2；已知半径求直径，用半径乘2。
1÷2＝　2÷1＝2
(2)明确半径和直径的关系：在同圆或等圆中，半径的长度是直径的，直径的长度是半径的2倍。
归纳总结
1．圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。
2．在同圆或等圆中，所有的半径都相等，所有的直径也都相等。
3．在同圆或等圆中：r＝或d＝2r。
拓展提高　
1．在同圆或等圆中，半径扩大到原来的几倍，直径也扩大到原来的几倍；半径缩小到原来的几分之一，直径也缩小到原来的几分之一。
2．可以用对折法找到前面用茶杯盖画出的圆的圆心，即将圆剪下来，沿不同的方向对折两次，折痕的交点就是圆心。如下图所示：
知识巧记
圆的认识并不难，心径特征要记全；
圆心一点定位置，大小两径说了算；
圆规画圆很简单，半径就在两脚间；
圆心定位靠针尖，笔尖一转就画完。
知识点四　用圆规和直尺绘制与圆有关的图案
问题(1)导入　用圆可以设计许多漂亮的图案。你能用圆规和直尺一步一步画出下面的图案吗？(教材59页)
过程讲解　
1．观图，找出图案的特点
此图案是由1个大圆和4个相等的小半圆组合而成的，图案中的白色部分是4个小半圆的重叠部分。
2．画图步骤及方法
　
问题(2)导入　请你试着用圆规和直尺画一画下面的图形。(教材59页)
　　　　　
图一 图二
过程讲解　
1．画图一
(1)观图，找出图案的特点。
(2)画图步骤及方法。
重点提示 绘图的关键是要确定某个圆或半圆的圆心和半径(或直径)，因为圆心和半径(或直径)分别决定圆的位置和大小。
2．画图二
(1)观图，找出图案的特点。
(2)画图步骤及方法。
[德育建议：引导学生动手操作，借助圆规和直尺，根据圆的特征设计图案，进一步理解圆的特征，感受图形之美，学会欣赏美、创造美。]
归纳总结
用圆规和直尺绘制图案的步骤及方法：(1)观察图案的特点；(2)用圆规和直尺一步一步地画图；(3)根据已知图案去掉多余的线条并涂上相应的颜色。
备易错易混
误区一　判断。
(1)圆的半径和直径分别相等。(√)
(2)通过圆心并且两端都在圆上的直线叫做直径。(√)
错解分析　(1)题错在没有考虑半径和直径分别相等的前提条件是在同圆或等圆中。(2)题错在没有理解直径的意义，直径是线段而不是直线。
错解改正　(1)×　(2)×
温馨提示
1．在同圆或等圆中，所有的半径都相等，所有的直径也都相等。2.半径和直径都是线段而不是直线。
误区二　判断：在同一个圆中，每条直径都能分成两条半径，所以两条半径一定能组成一条直径。(√)
错解分析　此题错在对半径和直径的意义理解不清。因为在同一个圆中d＝2r，所以两条半径的长度和与一条直径的长度相等，但当两条半径不在同一条直线上时，它们就不能组成一条直径。
错解改正　×
温馨提示
在同一个圆中，一条直径的长度等于两条半径的长度和，但只有在同一条直线上的两条半径才能组成一条直径。
误区三　判断：在同一平面内的任意两个圆都关于一条直线成轴对称。(√)
错解分析　在同一平面内的两个圆关于一条直线成轴对称，这两个圆的半径或直径一定相等。因为在同一平面内的任意两个圆的半径或直径并不一定相等，所以在同一平面内的任意两个圆不一定关于一条直线成轴对称。
错解改正　×
温馨提示
在同一平面内，关于一条直线成轴对称的两个图形的形状、大小一定完全相同。
备综合能力
思维开放　根据圆的特征解决找圆的直径的问题
典型例题　有一张圆形铁片，没有标明圆心，你能找出它的直径吗？
思路分析　圆形铁片无法对折，不能用对折法找出直径。在没有标明圆心的情况下，可以根据圆的特征找出直径，直径是圆中最长的线段；也可以紧贴圆形铁片边缘在圆形铁片外画一个正方形，根据圆的直径的长度等于这个正方形的边长找出直径。方法不唯一。
正确解答　方法不唯一，仅举四种方法。
方法一　把直尺的0刻度固定在圆形铁片边缘的任意一点上，移动直尺的另一端，量出的最长线段，就是圆形铁片的直径，如图一，图中线段AD最长，线段AD就是这张圆形铁片的直径。
　　　 图一　　　　　　　图二
方法二　紧贴圆形铁片边缘在圆形铁片外画一个正方形，正方形和圆形铁片的交点分别是点A、B、C、D，连接AC、BD。线段AC、BD都是这张圆形铁片的直径，如图二。
　　　 图三　　　　　　　　图四
方法三　把圆形铁片放在平面上，先紧贴圆形铁片边缘上一点画一条直线AB，然后在圆形铁片的另一侧边缘上画直线AB的平行线CD，直线AB、CD与圆形铁片的交点分别是点E、F，连接EF，线段EF就是这张圆形铁片的直径，如图三。
方法四　在圆形铁片上任意画一条线段CD，使线段CD的两端都在圆形铁片的边缘上，然后过线段CD的中点画它的垂线，这条垂线与圆形铁片相交于A、B两点，线段AB就是这张圆形铁片的直径，如图四。
方法总结　确定一个圆形物体的直径或半径的方法较多，要根据实际情况选择合适的方法，可以折叠的用对折法较简单，不可以折叠的用方法四更容易操作。
综合运用　运用圆和三角形的知识解决实际问题
典型例题　右面是由三个等圆组成的平面图形。依次连接O1、O2和O3
三个圆心围成一个三角形，这个三角形的三个内角各是多少度？
思路分析　
正确解答　这个三角形的三个内角都是60°。
方法总结　解决此题的关键是明确在等圆中，所有的半径(或直径)都相等。
思维开放　运用轴对称图形的特征解决实际问题
典型例题　在方格纸上画圆，使点A和点B都在圆上，可以画出多少个这样的圆？这些圆的圆心所在的纵向直线与线段AB有什么关系？
思路分析　在点A和点B中间的竖线l上(如图)任取一点O，以OA(或OB)为半径画圆，这样的圆能画出无数个。观察发现，这些圆的圆心所在的直线l垂直于线段AB，且平分线段AB。
正确解答　可以画出无数个这样的圆，这些圆的圆心所在的纵向直线垂直于线段AB，且平分线段AB。
方法总结　平分且垂直于线段的直线上的任意一点到线段两端的距离都相等。
方法运用　运用观察法解决实际问题
典型例题　在方格纸上画出下面轴对称图形的另一半。
思路分析　画轴对称图形的另一半，关键在于确定已知图形的关键点或关键线段，并根据轴对称图形的特征找到对应点或对应线段。圆是曲线图形，它的关键点就是圆心，关键线段就是半径或直径。
以画圆O1关于对称轴的轴对称图形为例。
找圆心O1的对应点：圆心O1距对称轴2个小格，在对称轴另一侧的同一条直线上，距对称轴2个小格处确定点O1′，点O1′即为圆心O1的对应点，如下图。
确定圆O1′的半径：圆O1的半径是1个小格的长度，所以圆O1′的半径也是1个小格的长度。
画圆O1′：以点O1′为圆心，以1个小格的长度为半径画圆，即为圆O1关于对称轴的轴对称图形，如下图。
用这种方法可以在方格纸上画出轴对称图形的另一半。
正确解答　
方法总结　画有关圆的轴对称图形的另一半时，一般圆心是关键点，半径或直径是关键线段。
备教学资源
我国古代著作中的“圆”
早在两千多年前，我国古代就有了关于圆的精确记载。墨子在他的著作中这样描述：圆，一中同长也。所谓“一中”，就是指一个圆心。“同长”指半径一样长，直径也一样长。
《周髀算经》中有这样的记载：圆出于方，方出于矩。所谓“圆出于方”，就是说最初的圆并不是用现在的圆规画出来的，而是由正方形不断切割而来的。